Các Chuyên Đề BDT Thi Đại Học
VD1 với bài này có thể dùng phương pháp vectơ như trên các bạn tự làm nhé
. Cho x,y,z là 3 số dương và. Chứng minh rằng
Ta có
Tương tự tự với y,z ta cộng lại ta được
VD 2;Cho a,b>2 và: a+b=8. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Vì a>2; b>2 nên có a-2>0 và b-2>0.
Theo BDT Cosi ta có:
Tương tự ta cộng lại suy ra MIN là 320
VD3,cho x,y>0 và tìm min của
Ta có
Cho a là 1 số dương cho trước và x,y dương thỏa mãn x+y=1 tìm min
Bài tập tự luyện
Bài 1 cho a,b,c dương thỏa mãn
Tìm Min của
Bài 2 cho a,b,c dương và
Tìm Min của
Bài 3 Cho a,b,c, là các số dương tìm Min của

Bài 4 cho a,b,c dương và
Tìm Min của
Bài 5 ,cho a,b,c dương và
Tìm Min
Bài 6 ;Cho a,b,c>0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
b)
c) Cho x,y>0 và x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức:
chuyên đề 2 sử dụng tam thức bậc 2 .
A Nội dung
Cơ sở của phương pháp là biến đổi BĐT ở giả thiết về dạng có chứa
Để xét dấu tam thức bậc hai , ta thường viết nó dưới dạng:

Bài 3: Giả sử A, B, C là ba góc của một tam giác không cân tại C. Biết rằng phương trình
Có đúng 1 nghiệm thực. CMR góc B nhở hơn 60
Bài 1 ;Cho a,b,c là các số dương CMR;
Nếu trong a,b,c có 1 số lớn hơn 1 thi BDT luôn đúng
Với a,b,c nhỏ hơn 1 khi đó ta áp dụng BDT becnuli ta được

Suy ra tương tự với (a+c) và (a+b) ta cộng lại sẽ được điều phải CM
Bài 2; cho a,b,c dương và xyz=1và a>2 CMR
Ta có suy ra
Tương tự vơi y,z sau đó ta cộng lại ta được
Ta phải
CM
Ta có và
Suy ra \ dpcm
Bài 3 cho a,b,c dương CMR
Ta CM <2 (1)
Ta có
suy ra \
à,
\
Suy ra
Bây gioe ta CM >2
Ta có tương tự với b.c ta cộng lại suy ra
\>2 (2)
Vậy từ 1 và 2 suy ra điều phải CM
Bài 4 cho a,b,c thảo mãn
CMR
Ta đăt
Ta có \
Tương tự ta có \

Bài 1. cho a,b,c, là các số dương thỏa mẵn CMR
Ta có suy ra
Ta xét ta có và
Vậy ta được tương tự với b,c sau đó công lại ta được điều phải CM
Bài 2;Cho a,b,c là các số dương chứng minh rằng
BDT
Ta xét hàm số với x>0 suy ra
Suy ra f(x) là hàm lồi với mọi x>0 .ta sử dụng BDT Jensen ta có
suy ra điều phải CM
Bài này có thể tổng quát lên như sau
Bài 3. cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác CMR
Ta xét hàm số f(x)=xlnx là hàm lồi với x>0 ta có
Ta chứng minh
Ta có còn ta dùng BDT cosi các
bạn thử nghĩ nha hay đấy !!!!!
Bài 4. cho a,b,c dương và
CMR (bài này có thể dùng bunhinha các bạn thử nghĩ)
Ta xét hàm số xét bảng biến thiên với
Ta có ta có
Suy ra giá trị lớn nhất
Tương tự ta được và ,
Cộng kại ta được
Bìa 5;Cho a,b,c thảo mãn
CMR
Xét
Thoe định lí lagrange ta sẽ tồn tại sao cho
TM và
Suy ra nghiệm
Ta có suy ra điều phải CM


Hướng dẫn:

Bài tập:
1) Cho a,b,c>0, thoả điều kiện:
[
CMR
2) Cho a,b>0, thoả điều kiện:
a+b=2
Chứng minh rằng :
3) Chứng minh rằng với mọi a,b,c: a+b+c=0, ta có:Chuyên đề 6: Phương pháp lượng giác chứng minh bất đẳng thức.
A Nội dung:
Phương pháp này thường được sử dụng trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức mà các số bị ràng buộc với nhau
bởi các điều kiện nhất định chẳng hạn:
Nếu có hệ thức thì có thể đặt
Nếu có hệ thức xy=1 thì có thể đặt: hoặc
Ghi chú: Ở đây không ngoại trừ bài toán sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác với các quan hệ lượng giác.
B Bài tập thí dụ:
: Cho bốn số thực x, y, u, v thoả mãn:
CMR:
và
Khi đó :
Do đó
Nhiều bài toán chưa thấy ngay yếu tố để ta chuyển về dạng lượng giác, cần qua một quá trình biến đổi và đặt ẩn phụ
thích hợp mới có thể chuyển về dạng lượng giác thuận lợi cho quá trình giải. Ví dụ :
: Cho 4 số dương a, b, c, d. CMR:
(1)
Với bài này ta có thể sử dụng BĐT BunhiaCopski với 4 số , tuy nhiên chúng ta có thể dùng phương

Đặt
[,
Từ giả thiết ta có:
Suy ra,
với A,B,C là ba góc của một tam giác
Vậy

C Bài tập tự luyện
Bài 1:Cho x là số thực thoả mãn . CMR:
Bài 2: Cho x, y là hai số thực thoả mãn 5x+12y=13. CMR
Bài 3: Cho a, b, c là ba số dương. CMR

Bài 4: CMR với mọi số tự nhiên khác không ta có BĐT
: BÀI 6) Cho 0<a,b,c<1. Chứng minh rằng
Bài 7) Chứng minh rằng:
Bài 8) Chứng minh rằng:

Bài 9) Cho a,b,c>0 và abc+a+c=b. Tìm GTLN

Bài 10;Cho a,b,c, dương và 2006ac+ab+bc=2006
Tìm Max
Bài 12 ;cho a,b,c dương và
Tìm Min của
Bài 13, chho a,b, thỏa mãn
Bài 14 cho x,y thay đổi thảo mãn
Tìm Max ,Min của Z=y-2x+5
Bài 15 cho x,y thỏa mãn
Tìm Max , Min của
Bài 16 CMR
Với a,b thỏa mãn

VD2; cho xy+xz+zy+2xyz=1 CMR
Ta đặt
suy ra

Suy ra
bài tập tự luyện
cho x,y,z dương và xy+xz+zy+2xyz=1 CMR
1,
2,
3,
Dạng 3 cho a,b,c là các số thực dương và
Ta đặt
1.
2.
3.
chuyên đề 8: Phương pháp tuyết tuyến
tiếp tuyến chắc hẳn các bạn thấy lạ nó có gì mà có thể CM bất đẳng thức , Đừng nói thế bạn , pp này
rất hay và rất dể sử dụng và cố rất nhiều bài toán khó nếu dung nó sẽ đơn giản đi rất nhiều sau đây là 1
số bài có thể dumhf phương pháp này .Những bài toán này có thể dung các phương pháp khác các bạn
nghĩ ra cứ pos lên cho mọi người tham khảo nhé
VD1
Cho a,b,c d là các số dương thỏa mãn
CMR
Ta xét hàm ta có x phải thuộc trong khoảng (0,1)
Dễ dành nhận thấy dấu bằng sảy ra khi
Ta viết pt tiếp tuyến của f(x) tai
Ta được
Bây giờ ta CM
Tương tự với a,b,c ta cộng lại suy ra điều phải CM
VD2; cho a,b,c thỏa mãn và a+b+c=1

Ta cần CMR
Ta đặt giả sử ta có suy ra
Suy ra dpcm
Bài 2 cho a,b,c dương CMR
Ta có suy ra
Mặt khác ta áp dụng BDT BCS ta có
Suy ra dpcm
Bài 3 cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1
CMR
Ta đặt
Suy ra
Ta có abc=1
Ta cần CM
Ta có
dpcm
Bài tập tự luyện
1,Cho a,b,c dương thảo mãn
CMR a,
B,

1,Cho a,b,c dương thảo mãn
Tìm min của
Bài 2 cho và
CMR
Bài 3,cho a,b,c thỏa mãn
CMR
Chuyên đề 12: Phương pháp quy nạp chứng minh bất đẳng thức
A Nội dung.
Cơ sở của phương pháp quy nạp để chứng minh một bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên
thuộc tập con D của tập số tự nhiên N, mà là phần tử nhỏ nhất của tập con đó; ta thực hiện ba

Chuyên đề 13: Phương pháp ước lượng non, ước lượng già chứng minh bất đẳng thức.
A Nội dung:
Cơ sở của phương pháp này là thêm bớt một hay nhiều số thực (mà ta đã biết dấu, biết tính chất của chúng) vào trong biểu thức (ở đây là biểu thức chứa một nhóm hay một vế của BĐT cần chứng minh)
Thông thường, chúng ta sử dụng hai loại ước lượng non-già phổ biến sau:
1/ Ước lượng một vài hạng tử của tổng hay tích.
• Chẳng hạn:
• D: là tập xác định của hàm y = f(x).
2/ Ước lượng một phân số dương
• Chẳng hạn :
[ct]\
\begin{array}{l}
0 < \frac{A}{B} < \frac{A}{{B - 1}} < < A \\
\frac{1}{{1.2.3.4}} < \frac{1}{{3.4}};\frac{1}{{1.2.3.4.5}} < \frac{1}{{4.5}} ;\frac{1}{{1.2.3 n}} < \frac{1}{{n(n - 1)}} \\
[/ct]
[/ct]Như vậy kỹ thuật ước lượng cần thiết tế nhị. Chỉ bằng những kinh nghiệm thực tế khi va chạm với từng bài toán ước lượng, chúng ta sẽ xây dựng phương pháp ước lượng cho bản thân mình mà bất thành văn. Chính thế số
lượng cách giải cùng một bài toán ước lượng là khá nhiều , tuỳ theo cách đánh giá để ước lượng.
B Bài tập ví dụ:
Bài 1: Cho a, b, c, d là các số dương nhỏ hơn 1. CMR
Vì

C Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho a, b, c là các số dương có tổng bằng 1. CMR
Bài 4: Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn :