Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

1 Nội dung
Trên cơ sở các kiến thức của chương trình phổ thông, mục đích của bài này là ôn tập, hệ thống
hóa và nâng cao các kiến thức về hàm số một biến số: Giới hạn, tính liên tục của
hàm số.Hướng dẫn học
• Đây là bài học nhằm ôn tập và hệ thống hóa lại các kiến thức toán học đã học trong chương
trình phổ thông nên bạn cần đọc kỹ lại các lý thuyết về hàm số, giới hạn.
• Sau khi đọc kỹ lý thuyết bạn cần làm bài tập càng nhiều càng tốt để củng cố và nâng cao
kiến thức.

BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Thời lượng Mục tiêu
Bạn nên học và làm bài tập của bài này
trong hai tuần, mỗi tuần khoảng 3 đến 4
giờ đồng hồ.

• Hiểu được khái niệm hàm số, giới hạn, sự
liên tục
• Giải được các bài tập về hàm số, giới hạn,
tính liên tục
• Áp dụng phần mềm toán để tính toán với
hàm số, giới hạn

ta hiểu miền xác định của hàm số là tập hợp những giá trị thực của biến số
x làm cho
biểu thức có nghĩa.
Ví dụ 1:
Biểu thức
2
y1x=− xác định khi :
2
1x 0 x 1 1x1.
−
≥⇔ ≤⇔−≤≤

Do đó miền xác định của hàm số
2
y1x
=
− là
[
]
1,1− .
Dễ dàng thấy rằng miền giá trị của hàm y là [0,1].
Miền xác định của một hàm số có thể gồm nhiều tập con rời nhau, trên mỗi tập con đó
lại có một quy tắc riêng để xác định giá trị của hàm số. Hàm số có thể được xác định
bởi nhiều công thức khác nhau tùy thuộc vào giá trị của biến.
Ví dụ 2:

2
x 1 khi x 0
f(x)
1 2x khi x 0

X ⊂ R
. Ứng với mỗi giá trị
0
xX∈ ta có
giá trị
00
yf(x)= của hàm số. Trong hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc, xét điểm
000
M(x,y)= . Khi
0
x thay đổi và “quét” hết tập xác định X thì
0
M cũng thay đổi
theo và vạch nên một đường cong trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
. Đường cong này được
gọi là đồ thị của hàm số y = f(x).
Như vậy, đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp những điểm trong mặt phẳng có tọa
độ
()
Mx;y, ở đó y = f(x), x thuộc miền xác định X.

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

3

Ví dụ 3:
Đồ thị của hàm số
2
x khi x 0

Xác định các điểm
•

111 n nn
M (x , y ), ,M (x , y )==
•
Nối các điểm đã xác định nói trên ta có
hình ảnh phác họa của đồ thị hàm số.
Cách vẽ như trên không hoàn toàn chính xác
mà chỉ cho hình dáng của đồ thị hàm số.
Đồ thị của hàm số được dùng để minh họa
các đặc trưng cơ bản, sự phụ thuộc của giá
trị của hàm số và biến số. Nhìn vào đồ thị có thể dễ dàng quan sát xu hướng thay đổi
của giá trị hàm số khi bi
ến độc lập thay đổi.
1.1.3. Hàm số đơn điệu. Hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn
1.1.3.1. Hàm số đơn điệu
Hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b)
•
Được gọi là đơn điệu tăng trong khoảng (a,b)

nếu với mọi
12 1 2
x,x (a,b),x x∈<
kéo theo:
12
f(x ) f(x )≤ .
CHÚ Ý:
Đồ thị của hàm số có thể là tập hợp các điểm rời rạc, cũng có thể gồm một số cung liền


Hình 1.3
1.1.3.2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Hàm số f xác định trên một tập hợp D đối xứng
(
)
xD xD∈⇔−∈ , chẳng hạn khoảng
(l,l)−
, đoạn
[
]
a,a− , tập
(b,a) (a,b)(0 a b)−−∪ <<
,…
•
Được gọi là hàm chẵn nếu:
f(x) f( x)
=
−
với mọi
xD
∈
.
Nói một cách đơn giản khi x đổi dấu thì yvẫn không thay đổi.
•
Được gọi là hàm lẻ nếu: f(x) f( x)
=
−− với mọi x D
∈
.
Nói một cách đơn giản khi x đổi dấu thì ycũng đổi dấu.

−=− =− =−
∀
∈
⎬
−= −=− =−
⎭
R

Đồ thị của hàm chẵn nhận trục
Oy làm trục đối xứng, còn đồ thị hàm lẻ nhận gốc tọa
độ
O làm tâm đối xứng (hình 1.4)
Hàm chẵn: Hàm lẻ:

1.1.3.3. Hàm số tuần hoàn
Định nghĩa:
Hàm số fđược gọi là tuần hoàn trên miền xác định D (thông thường xét D ≡ R ) nếu
tồn tại số thực p 0
≠ sao cho:
x D thì x p D và f(x p) f (x).∀∈ ± ∈ + =

Số p gọi là chu kỳ của hàm f .

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

6
Nếu trong các số p nói trên, tồn tại một số dương nhỏ nhất – ký hiệu bởi T – thì T


Khi đó với
x0
=
ta phải có:
sin T sin 0 0 T k (k )
=
=⇒ =π ∈Z

mà
T2<π nên T =π.
Khi đó với
x
2
π
=
thì sin sin
22
ππ
⎛⎞⎛⎞
+π =
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
, hay 1 1
=
− .
Về mặt hình học, đồ thị của hàm tuần hoàn là một họ đường lặp đi lặp lại trong từng
khoảng có độ dài bằng chu kỳ. Do đó để vẽ đồ thị của hàm tuần hoàn, ta chỉ cần vẽ đồ
thị trong một chu kỳ cơ bản T , sau đó thực hiện liên tiếp các phép tịnh tiến theo các
vectơ song song với trục hoành và có độ dài bằng T.

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

7
Hàm số g

biến x thành y theo quy tắc trên gọi là (hàm số) hợp của hai hàm f và
ϕ
.
Ký hiệu: g f ( (x))=ϕ . (Nhớ rằng trong cách ký hiệu trên, hàm nào đứng sau lại có tác
động trước đến biến
x
).
Ví dụ 6:
Hàm số
5
ysinx= là hàm hợp của hai hàm
5
yu
=
và usinx
=
.
Cách nói sau cũng được chấp nhận:
“Hàm số
5
g(x) sin x= là hàm hợp của hai hàm
5
f(x) x
=
và (x) sin x

f(y) x f(x) y.
−
=
⇔=

Khi đó, dễ dàng thấy rằng
f
là hàm ngược của
1
f
−
.
Ví dụ 7:
• Hàm số
3
yx
=
( →RR) có hàm ngược là hàm số
3
xy= ( →RR) vì:
3
3
yx x y=⇔=

•
Hàm số
x
ya=
()
a0,a1>≠(

22
⎛ππ⎞
⎡
⎤
−→−
⎜⎟
⎢
⎥
⎣
⎦
⎝⎠


o Hàm số ycosx=
[
]
()
0, [ 1,1]π→− có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược
đó là:
xarccosy=
[
]
(
)
[1,1] 0,
−
→π.
o Hàm số ytgx= ,
22
⎛ππ ⎞

)
xarccotgy 0.=→π\
(
)
(
)
0,→πR

1.1.6. Các hàm số sơ cấp
1.1.6.1. Các hàm số sơ cấp cơ bản
• Hàm lũy thừa y x ( )
α
=α∈R
Miền xác định (MXĐ) của hàm phụ thuộc
vào số

≠ )
o MXĐ:
*
+
R , MGT:R ; Hàm số đồng biến nếu a1> và nghịch biến nếu
0a1<<.
•
Hàm lượng giác
o ysinx= : Có MXĐ là R , MGT [ 1,1]
−
; cho tương ứng mỗi số thực x với
tung độ điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác. Hàm sin là
hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản
2
π
.

Hình 1.7:
Đồ thị hàm số
=
3
y
x

CHÚ Ý :
• Do thường ký hiệu
x để chỉ biến độc lập và y để chỉ biến phụ thuộc nên khi biểu diễn
hàm ngược thay vì
1
xf(y)

1
f(x)
−
thì theo
định nghĩa:
M (x, y) (C) M' (y,x) (C')=∈⇔=∈ Hình 1.6:
Hàm mũ, hàm logarit
Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

9
o ycosx= : Có MXĐ là R ,
MGT
[1,1]− ; cho tương ứng
mỗi số thực x với hoành độ
điểm biểu diễn cung x radian
trên đường tròn lượng giác.
Hàm cos là hàm chẵn, tuần
hoàn với chu kỳ cơ bản
2
π
.
o ytgx= : Có MXĐ là
\ (2k+1) , k
2

π
.

Hình 1.8:
Quy tắc xác định các hàm lượng giácHình 1.9:
Đồ thị các hàm số lượng giácBài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

10
• Hàm lượng giác ngược
o yarcsinx= : Có MXĐ là [ 1,1]
−
, MGT ,
22
π
π

π
π
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
là hàm ngược của hàm cotgx.
Hàm y arccotgx= là hàm lẻ, nghịch biến.

Hình 1.10:
Đồ thị các hàm lượng giác ngược

1.1.6.2. Định nghĩa
Hàm số sơ cấp là một hàm số được thành lập từ các hàm số sơ cấp cơ bản và hàm
hằng cùng với một số hữu hạn các phép toán số học (cộng, trừ, nhân chia) và các phép
toán lấy hàm hợp.
Ví dụ 8:
Các hàm số sau đều là các hàm sơ cấp:
•
Hàm bậc nhất: y ax b=+.

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

11
• Hàm bậc hai:
2
yax bxc=++.
•
Hàm lôgarit:
(

•
Liệt kê: Viết tất cả các số hạng theo đúng thứ tự (nếu không viết được hết thì dùng
dấu “…” để biểu thị dãy còn tiếp tục).
•
Công thức tổng quát: Chỉ rõ cách xác định một số hạng bất kỳ chỉ cần biết thứ tự
của số hạng đó trong dãy.
•
Công thức truy hồi: Chỉ rõ cách xác định một số hạng khi biết các số hạng liền
trước nó trong dãy.
•
Liệt kê chỉ có ý nghĩa mô tả và thích hợp nhất với dãy hữu hạn, có thể xem là cách
biểu diễn bằng quy nạp không hoàn toàn. Còn hai cách kia đảm bảo có thể tìm
được số hạng với thứ tự bất kỳ trong dãy.
Ví dụ 9:
Dãy Fibonacci và 3 cách biểu diễn nêu trên
•
Liệt kê: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
•
Công thức tổng quát: Số hạng thứ n là:
nn
15 15
22
⎛⎞⎛⎞
−+
+
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

•

1, , , , ,
n23n
∞
=
⎧
⎫⎧ ⎫
=
⎨
⎬⎨ ⎬
⎩⎭ ⎩ ⎭

(B)
{
}
{
}
nn
n1
( 1) 1,1, 1, ,( 1) ,
∞
=
−=−−−
(C)
{
}
{
}
22
n1
n 1, 4,9, ,n ,

<∀∈`
•
Dãy giảm nếu
nn1
xx n
+
>∀∈`
•
Dãy đơn điệu nếu nó là dãy tăng hoặc dãy giảm.
•
Bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho
n
xM,n
≤
∀∈`
•
Bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho
n
xm,n≥∀∈`
•
Bị chặn nếu vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.
Trong ví dụ 10
•
Dãy (A) là dãy số giảm, bị chặn dưới bởi 0 và bị chặn trên bởi 1.
•
Dãy (B) không đơn điệu, bị chặn dưới bởi 1
−
và bị chặn trên bởi 1.
•
Dãy (C) là dãy tăng, bị chặn dưới bởi 1 không bị chặn trên nên không bị chặn.

n>N
∀

thì khoảng cách giữa
n
x và 0 sẽ bé hơn số
ε
đó.
Chẳng hạn, cho trước khoảng
0,05
ε
=
thì chỉ cần n8
=
thì
n
1
x0 0,05
256
−= <
.
Ta nói dãy
{
}
n
x dần tới 0 khi n tiến tới vô cùng.
Định nghĩa:
Dãy
{
}

lim x a
→∞
=
. Trong trường hợp
ngược lại, ta nói dãy phân kỳ.
Trong định nghĩa trên, số
0
n phụ thuộc vào
ε
nên ta viết
00
nn()
=
ε .
Ví dụ 11:

n
1
lim 0
n
→∞
=
.
Thật vậy, ta có:
n
1
x0
n
−
= .

n
x được nói là có giới hạn
∞
khi n tiến tới vô cùng nếu với mọi số M0>
cho trước (lớn tùy ý), tồn tại số tự nhiên
0
n sao cho với mọi
0
nn> thì
n
xM> ; ta
cũng viết
n
n
lim x
→∞
=∞ và là dãy phân kỳ.Trên đây chỉ phát biểu định nghĩa giới hạn vô cùng nói chung, ta có thể phát biểu chi
tiết hơn về giới hạn
,+∞ −∞
.
1.2.3. Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn
1.2.3.1. Tính duy nhất của giới hạn
Định lý:
Nếu một dãy có giới hạn (hữu hạn) thì
• Dãy đó là dãy bị chặn .
• Giới hạn là duy nhất.
1.2.3.2. Nguyên lý giới hạn kẹp

lim y a
→∞
= .
1.2.3.3. Định lý Weierstrass
Dãy số tăng và bị chặn trên (hoặc giảm và bị chặn dưới) thì hội tụ.

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

14
1.2.4. Các định lý về giới hạn của dãy số
Cho
{
}
{
}
nn
x,y là các dãy có giới hạn hữu hạn. Dùng định nghĩa có thể chứng minh
các kết quả sau:

nn n n
nnn
lim(x y ) lim x lim y
→∞ →∞ →∞
±
=±

nn n n
nnn
lim(x y ) lim x lim y
→∞ →∞ →∞

∞
∞−∞ ∞
∞
. Khi đó ta
phải dùng các phép biến đổi để khử dạng vô định.
Ví dụ 12:

2
2
2
nn
2
12
1
nn2 1
nn
:lim lim .
1
2n 1 2
2
n
→∞ →∞
+−
∞+−
⎛⎞
=
=
⎜⎟
∞+
⎝⎠

+− +
⎜⎟
⎝⎠

1.3. Giới hạn và sự liên tục của hàm số
1.3.1. Định nghĩa
1.3.1.1. Định nghĩa (giới hạn hàm số)
Giả sử hàm số f (x) xác định ở lân cận điểm
0
x (có thể trừ tại
0
x ). Ta nói hàm số
f(x)có giới hạn là A

khi x

dần tới
0
x nếu:
Với mọi số
0ε> cho trước, đều tồn tại một số 0
δ
> sao cho khi:

0
xx−<δ thì f(x) A
−
<ε.
Kí hiệu là:
0

0
xx< . Khi xem xét giới hạn, nhiều khi ta phải xét riêng hai quá trình này với kí hiệu
như sau:

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

15
• Quá trình x tiến đến
0
x về phía bên phải, tức là
0
xx→ với điều kiện
0
xx> ,
được kí hiệu là:
0
xx0→+ hoặc đơn giản hơn là
0
xx→+
• Quá trình
x
tiến đến
0
x về phía bên trái, tức là
0
xx→ với điều kiện
0
xx
<
,

Định lý:
Điều kiện cần và đủ để
0
xx
lim f (x) L
→
=
là:
00
xx xx
lim f(x) lim f(x) L
→+ →−
=
= .
1.3.2. Tính chất
1.3.2.1. Tính chất các hàm có giới hạn
Giới hạn của hàm số cũng có một số tính chất tương tự như giới hạn của dãy số
Định lý:
Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi xa→ thì giới hạn đó là duy nhất.
Định lý:
Nếu hàm số f(x) có giới hạn hữu hạn khi
xa→
thì nó bị chặn trong miền
{
}
Xx : 0xa ,=∈ <−<δR
với
δ
là một số dương đủ nhỏ.
Định lý:

Định lý:
Nếu khi xa→ các hàm số f(x) và g(x) lần lượt có giới hạn là các số thực
1
L và
2
L thì:
•
()
12
xa
lim f(x) g(x) L L
→
+
=+

•
()
1
xa
lim kf (x) kL
→
=Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

16
•
()
12

=

• tồn tại số 0
δ
> sao cho khi x (a ;a )
∈
−δ +δ và x a
≠
ta luôn có: u (x) b=ϕ ≠
thì:
(
)
xa
lim f (x) L
→
ϕ
= .
Định lý:
Nếu hàm số sơ cấp f (x) xác định trong khoảng chứa điểm xa
=
thì
xa
lim f (x) f (a)
→
= .
Định lý:
Nếu tồn tại số
0δ>
sao cho u(x) f(x) v(x)
≤

xa
lim f (x) b
α
→
=
.
Ví dụ 13:

3x
x5
3
x
2x 1
lim 2 8
x1
−
→∞
−
⎛⎞
=
=
⎜⎟
+
⎝⎠
, do
x
2x 1
lim 2
x1
→∞

lim x sin 0
x
→
= vì
2
x0
lim x 0
→
=
và
1
sin
x
là hàm bị chặn.
1.3.3. Vô cùng lớn, vô cùng bé
1.3.3.1. Khái niệm
• Đại lượng f(x) gọi là một vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi xa→ nếu
xa
lim f (x) 0
→
=
.
Ở đây,
a có thể là hữu hạn hay vô cùng. Từ định nghĩa giới hạn của hàm số, ta suy
ra rằng nếu:
f(x) A
→ khi
xa→
thì f(x) A (x)
=

Chú thích:
• Một hàm hằng khác không dù nhỏ bao nhiêu cũng không là một VCB khi xa→
• Một hàm hằng lớn bao nhiêu cũng không thể là một VCL khi xa→
1.3.3.2. Tính chất
• Nếu
12
f (x),f (x) là hai VCB khi xa→ thì
1212
f(x) f(x),f(x).f(x)
±
cũng là những
VCB khi
xa→ .
• Nếu
12
f (x),f (x) cùng dấu và là hai VCL khi
xa→
thì
12
f(x) f(x)+ cũng là một
VCL khi
xa→ . Tích của hai VCL khi xa→ cũng là một VCL khi xa→ .
1.3.3.3. So sánh các vô cùng bé
• Bậc của các VCB
Định nghĩa:
Giả sử (x), (x)αβ là hai VCB khi
xa→
.
o Nếu
xa

→
α
=≠≠∞
β
; ta nói rằng (x)
α
và (x)
β
là hai VCB cùng bậc.
o Nếu
xa
(x)
lim
(x)
→
α
β
không tồn tại, ta nói rằng không thể so sánh hai VCB (x)α và
(x)β .
Ví dụ 14:
1cosx− và
2x

đều là những VCB khi
x0→ .
Vì:
2
x0 x0 x0
xx
sin sin

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

18
Nhưng không tồn tại
x0
1
lim sin
x
→
nên
1
xsin
x
và 2x là hai VCB khi
x0→ không
so sánh được với nhau.
• VCB tương đương
Định nghĩa:
Hai VCB
()
xα và
()
xβ khác 0 khi xa→ gọi là tương đương với nhau nếu
xa
(x)
lim 1
(x)
→
α
=

(x) ~ (x), (x) ~ (x)ααββ; ta có:
xa xa
11
(x) (x)
lim 1; lim 1
(x) (x)
→→
α
β
=
=
αβ
.
1.3.3.4. Các vô cùng bé tương đương thường gặp
Nếu (x) 0α→khi
xa→
thì :
sin (x) ~ (x), tg (x)~ (x),
arcsin (x) ~ (x), arctg (x) ~ (x).
αα αα
⎧
⎨
αα αα
⎩

1.3.4. Hàm số liên tục
1.3.4.1. Định nghĩa
f là một hàm số xác định trong khoảng
0
(a,b), x là một điểm thuộc (a,b).Ta nói

x0
lim y 0
Δ→
Δ
=
.
Chú thích: Ta cũng có thể nói rằng f liên tục tại
0
x(a,b)
∈
nếu:
00
xx xx
lim f (x) f ( lim x)
→→
= .
Ví dụ 16:
Hàm số
2
yx= liên tục tại mọi
0
x
∈
R .
Thật vậy, ta có:
22222
000 0 0 0 0
0
x0 x0 x0 x0
y x,y y(x x),y(x x) x 2xx(x);

= ).
1.3.4.2. Các phép toán về hàm liên tục
Từ các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương và từ định nghĩa của hàm số liên tục
tại một điểm, có thể dễ dàng suy ra:
Định lý:
Nếu f và g là hai hàm số liên tục tại
0
x thì:
• f(x) g(x)+ liên tục tại
0
x
• f (x).g(x) liên tục tại
0
x
•
f(x)
g(x)
liên tục tại
0
x nếu
0
g(x ) 0
≠
.
Định lý:
Nếu hàm số u(x)=ϕ liên tục tại
0
x, hàm số yf(u)
=
liên tục tại


1.3.4.3. Tính chất của hàm số liên tục
Các định lý sau đây (không chứng minh) nêu lên những tính chất cơ bản của hàm số
liên tục.
Định lý:
Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn
[
]
a;b
thì nó bị chặn trên đoạn đó, tức là tồn tại
hai số m và M sao cho
[
]
mf(x)M x a;b≤≤∀∈ .
Định lý:
Nếu hàm số
f(x)
liên tục trên đoạn
[
]
a;b thì nó đạt giá trị nhỏ nhất
m
và giá trị lớn
nhất M của nó trên đoạn ấy, tức là tồn tại hai điểm
12
x , x sao cho:
[
]
[
]

()
f0ξ=

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

20
TÓM LƯỢC CUỐI BÀI
Trong bài này chúng ta nghiên cứu ba vấn đề là:
• Những vấn đề cơ bản về hàm số một biến số
• Dãy số và giới hạn của dãy số
• Giới hạn của hàm số
Phần đầu tiên hệ thống hóa lại các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số, một số tính chất
của hàm số như tính đơn điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn. Tiếp theo, học viên sẽ tìm hiểu các
khái niệm về dãy số và giới hạn của dãy số, các định lý áp dụng để tính giới hạn của dãy số.
Phần cu
ối cùng trình bày về giới hạn hàm số, hàm số liên tục và các khái niệm vô cùng lớn, vô
cùng bé.

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

21
CÂU HỎI ÔN TẬP
1. Định nghĩa hàm số đơn điệu, chẵn, lẻ, tuần hoàn.
2. Định nghĩa hàm số ngược của hàm số y = f(x). Tìm hàm số ngược của các hàm số
lượng giác.
3. Định nghĩa và phân loại các hàm số sơ cấp.
4. Định nghĩa giới hạn của dãy số.
5. Định nghĩa giới hạn của hàm số, giới hạn một phía, giới hạn vô hạn.
6. Phát biểu hai tiêu chuẩn tồn tại giới hạn.
7. Định nghĩa VCB, VCL, VCB tương đương.

11
f (x) sin x sin 2x sin 3x
23
=+ +
c.
2
f(x) sin x= d. f(x) tgx=
4. Chứng minh rằng:
a.
arcsin x+arccos x=
2
π
b.
arc tgx+arccotgx =
2
π

5. Sử dụng định nghĩa giới hạn dãy số, chứng minh rằng dãy số
2
n
2
3n 1
x
5n 1
+
=
−
có giới hạn
bằng
3