Chu
.
o
.
ng 7
Gi´o
.
iha
.
nv`aliˆen tu
.
ccu
’
a
h`am sˆo
´
7.1 Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
.............. 4
7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o
.
id
i
.
nh ngh˜ıa gi´o

.
n............ 11
7.1.3 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay sˆo
´
du
.
.
a
trˆen d
iˆe
`
ukiˆe
.
ndu
’
dˆe
’
d˜ay hˆo
.

dˆe
’
d˜ay hˆo
.
itu
.
(nguyˆen
l ´y h ˆo
.
itu
.
Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . 25
7.2 Gi´o
.
iha
.
n h`am mˆo
.
tbiˆe
´
n............ 27
7.2.1 C´ac kh´ai niˆe
.
mv`ad
i
.
nh l´y co
.
ba
’

.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
7.1 Gi´o
.
iha
.
ncu
’
ad˜ay sˆo
´
H`am sˆo
´
x´ac di
.
nh trˆen tˆa
.
pho
.
.
p N d
u
.
o
.
.

2
,...,a
n
,... (7.1)
ho˘a
.
c {a
n
}, trong d´o a
n
= f(n), n ∈ N du
.
o
.
.
cgo
.
il`asˆo
´
ha
.
ng tˆo
’
ng qu´at
cu
’
a d˜ay, n l`a sˆo
´
hiˆe
.

+
: ∀ n ∈ N ⇒|a
n
| 
M; v`a go
.
i l`a khˆong bi
.
ch˘a
.
nnˆe
´
u: ∀ M ∈ R
+
: ∃ n ∈ N ⇒|a
n
| >M.
ii) Sˆo
´
a d
u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a gi´o
.
iha

u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a d˜ay hˆo
.
itu
.
, trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p ngu
.
o
.
.
c
la
.
i d˜ay (7.1) go
.
i l`a d˜ay phˆan k`y.
v) D˜ay (7.1) go

’
d˜ay hˆo
.
itu
.
l`a d˜ay d´o pha
’
ibi
.
ch˘a
.
n.
Ch´u´y:i) Hˆe
.
th´u
.
c (7.2) tu
.
o
.
ng d
u
.
o
.
ng v´o
.
i:
−ε<a
n

ichı
’
sˆo
´
n>Ncu
’
a d˜ay
hˆo
.
itu
.
d
ˆe
`
un˘a
`
m trong khoa
’
ng (a − ε, a + ε), khoa
’
ng n`ay go
.
il`aε-lˆan
cˆa
.
ncu
’
ad
iˆe
’

h˜u
.
uha
.
nsˆo
´
ha
.
ng d
ˆe
`
un˘a
`
m trong ε-lˆan cˆa
.
nbˆa
´
tk`yb´ebao
nhiˆeu t`uy ´y cu
’
ad
iˆe
’
m a.
ii) Ta lu
.
u´yr˘a
`
ng d˜ay sˆo
´

.
nh ngh˜ıa gi´o
.
i
ha
.
n
Dˆe
’
ch´u
.
ng minh lim a
n
= a b˘a
`
ng c´ach su
.
’
du
.
ng d
i
.
nh ngh˜ıa, ta cˆa
`
ntiˆe
´
n
h`anh theo c´ac bu
.

.
i ε d
u
’
b´e bˆa
´
tk`ybˆa
´
tphu
.
o
.
ng tr`ınh d
ˆo
´
iv´o
.
i n:
b
n
<ε (7.5)
c´o thˆe
’
gia
’
imˆo
.
t c´ach dˆe
˜
d`ang. Gia

’
a
n
= n
(−1)
n
.Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng:
i) D˜ay a
n
khˆong bi
.
ch˘a
.
n.
ii) D˜ay a
n
khˆong pha
’
il`avˆoc`ung l´o
.
n.
Gia
’
i. i) Ta ch´u
.
ng minh r˘a

.
nho
.
n M.D
iˆe
`
ud´o c´o ngh˜ıa l`a d˜ay a
n
khˆong bi
.
ch˘a
.
n.
6Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
ii) Ta ch´u
.
ng minh r˘a

ule
’
d
ˆe
`
u thuˆo
.
c khoa
’
ng (−2, 2) v`ı khi n le
’
th`ı ta c´o:
n
(−1)
n
= n
−1
=1/n ∈ (−2, 2).
Nhu
.
vˆa
.
y trong kho
’
ng (−2, 2) c´o vˆo sˆo
´
sˆo
´
ha
.

ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng:
1) lim
n→∞
(−1)
n−1
n
=0. 2) lim
n→∞
n
n +1
=1.
Gia
’
i. D
ˆe
’
ch´u
.
ng minh d˜ay a
n
c´o gi´o
.
iha
.
nl`aa, ta cˆa
`

thuˆo
.
c ε) sao cho khi n>N th`ı suy ra |a
n
− a| <ε. Thˆong thu
.
`o
.
ng ta
c´o thˆe
’
chı
’
ra cˆong th´u
.
ctu
.
`o
.
ng minh biˆe
’
udiˆe
˜
n N qua ε.
1) Ta c´o:
|a
n
− 0| =



<ε⇔ n>
1
ε
·
V`ıthˆe
´
ta c´o thˆe
’
lˆa
´
y N l`a sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen n`ao d
´o tho
’
am˜andiˆe
`
ukiˆe
.
n:
N>
1
ε
⇒
1
N
<ε.

ncu
’
a d˜ay sˆo
´
7
Diˆe
`
ud´o c´o ngh˜ıa l`a lim
n→∞
(−1)
n
n
=0.
2) Ta lˆa
´
ysˆo
´
ε>0bˆa
´
tk`yv`at`ımsˆo
´
tu
.
.
nhiˆen N(ε) sao cho ∀ n>
N(ε) th`ı:



n

N(ε) l`a phˆa
`
n nguyˆen cu
’
a
1
ε
− 1, t´u
.
c l`a:
N(ε)=E((1/ε) − 1).
Khi d
´ov´o
.
imo
.
i n  N ta c´o:



n
n +1
− 1



=
1
n +1


· (7.8)
Gia
’
i. 1) Gia
’
su
.
’
d˜ay (7.6) hˆo
.
itu
.
v`a c´o gi´o
.
iha
.
nl`aa.Talˆa
´
y ε =1.
Khi d
´o theo di
.
nh ngh˜ıa gi´o
.
iha
.
ntˆo
`
nta
.

.
.
nhiˆen khˆong bi
.
ch˘a
.
n.
2) C´ach 1. Gia
’
su
.
’
d˜ay a
n
hˆo
.
itu
.
v`a c´o gi´o
.
iha
.
nl`aa.Talˆa
´
y lˆan
cˆa
.
n

a−

.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
V`ıdˆo
.
d`ai cu
’
a khoa
’
ng

a −
1
2
,a+
1
2

l`a b˘a
`
ng 1 nˆen hai d
iˆe
’
m −1
v`a +1 khˆong thˆe
’

ng 2. D
iˆe
`
ud´o c´o ngh˜ıa l`a o
.
’
ngo`ai
lˆan cˆa
.
n

a −
1
2
,a+
1
2

c´o vˆo sˆo
´
sˆo
´
ha
.
ng cu
’
ad˜ayv`av`ıthˆe
´
(xem ch´u
´yo

2
∀ n  N.
V`ı a
n
= ±1nˆen
|1 − a| <
1
2
, |−1 − a| <
1
2
⇒2=|(1 − a)+(1+a)|  |1 − a| + |a +1| 
1
2
+
1
2
=1
⇒2 < 1, vˆo l´y.
3) Lu
.
u´yr˘a
`
ng v´o
.
i n =2m ⇒ a
2m
=1+
1
2m

´o suy r˘a
`
ng
|a
n
− a
n−1
| > 1.
Nˆe
´
usˆo
´
a n`ao d
´o l`a gi´o
.
iha
.
ncu
’
ad˜ay(a
n
) th`ı b˘a
´
tdˆa
`
ut`u
.
sˆo
´
hiˆe

2
+
1
2
=1.
Nhu
.
ng hiˆe
.
ugi˜u
.
a hai sˆo
´
ha
.
ng kˆe
`
nhau bˆa
´
tk`ycu
’
ad˜ayd
˜a cho luˆon luˆon
l´o
.
nho
.
n1. D
iˆe
`

ncu
’
a d˜ay sˆo
´
9
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
H˜ay su
.
’
du
.
ng d
i
.
nh ngh˜ıa gi´o
.
iha
.
nd
ˆe
’
ch´u
.
ng minh r˘a

− 1
B˘a
´
td
ˆa
`
ut`u
.
sˆo
´
hiˆe
.
u N n`ao th`ı:
|a
n
− 3/5| < 0, 01 (DS. N =5)
3. lim
n→∞
a
n
=1nˆe
´
u a
n
=
3
n
+1
3
n

`
ng sˆo
´
a = 0 khˆong pha
’
i l`a gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay a
n
=
n
2
− 2
2n
2
− 9
.
8. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
lim
n→∞
n
2


 
n
,...
Chı
’
dˆa
˜
n. Biˆe
’
udiˆe
˜
n a
n
du
.
´o
.
ida
.
ng
a
n
=0, 22 ...2=
2
10
+
2
10
2

0, 2; 0, 23; 0, 233; 0, 2333; ...,0, 233...3

 
n
,...
Chı
’
dˆa
˜
n. Biˆe
’
udiˆe
˜
n a
n
du
.
´o
.
ida
.
ng
a
n
=
2
10
+

3

`
ndˆe
´
n
∞ th`ı d˜ay a
n
/b
n
dˆa
`
ndˆe
´
n0.
14. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
i) lim
n→∞
n
2
n
=0.
ii) lim
n→∞
n
a
n
=0 (a>1).

.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng |a
n
− 0|.
ii) Tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
i). Su
.
’
du
.
ng hˆe
.
th´u
.
c:

n.
´
Ap du
.
ng cˆong th´u
.
c t´ınh tˆo
’
ng cˆa
´
psˆo
´
nhˆan d
ˆe
’
t´ınh a
n
rˆo
`
i
u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng |a

i) {a
n
+ b
n
}.
ii) {a
n
b
n
}.
(D
S. i) lim{a
n
+ b
n
} khˆong tˆo
`
nta
.
i. H˜ay ch´u
.
ng minh.
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´

n
,b
n
=(−1)
n
; a
n
=
1
n
,b
n
=(−1)
n
.
7.1.2 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay sˆo
´
du
.

ng su
.
’
du
.
ng c´ac d
i
.
nh l´y v`a
kh´ai niˆe
.
m sau d
ˆay:
Gia
’
su
.
’
lim a
n
= a, lim b
n
= b.
i) lim(a
n
± b
n
)=lima
n
± lim b

n
x´ac
d
i
.
nh (ngh˜ıa l`a ∃ N : ∀ n  N ⇒ b
n
= 0) v`a:
lim
a
n
b
n
=
lim a
n
lim b
n
=
a
b
·
iv) Nˆe
´
u lim a
n
= a, lim b
n
= a v`a b˘a
´

.
ch˘a
.
n l`a d˜ay vˆo c`ung b´e.
vi) Nˆe
´
u(a
n
) l`a d˜ay vˆo c`ung l´o
.
nv`aa
n
= 0 th`ı d˜ay

1
a
n

l`a d˜ay vˆo
c`ung b´e; ngu
.
o
.
.
cla
.
i, nˆe
´
u α
n

´
nhˆa
.
n x´et sau d
ˆay:
i) D
i
.
nh l´y (iii) vˆe
`
gi´o
.
iha
.
ncu
’
athu
.
o
.
ng s˜e khˆong ´ap du
.
ng d
u
.
o
.
.
cnˆe
´

`
ng 0. Trong nh˜u
.
ng tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pd
´o nˆen biˆe
´
ndˆo
’
iso
.
bˆo
.
d˜ay thu
.
o
.
ng,
ch˘a
’
ng ha
.
nb˘a
`

.
ccu
’
a h`am sˆo
´
ii) Dˆo
´
iv´o
.
id
i
.
nh l´y (i) v`a (ii) c˜ung cˆa
`
n pha
’
i thˆa
.
n tro
.
ng khi ´ap du
.
ng.
Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.

n (xem v´ıdu
.
1, iii).
iii) Nˆe
´
u a
n
= a ≡ const ∀ n th`ı lim
n→∞
a
n
= a.
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. T`ım lim a
n
nˆe
´
u:
1) a
n
=(1+7
n+2
)/(3 − 7

.
’
sˆo
´
v`a mˆa
˜
usˆo
´
phˆan th´u
.
cv´o
.
i7
−n
ta c´o:
a
n
=
1+7
n+2
3 − 7
n
=
7
−n
+7
2
3 · 7
−n
− 1

´
cˆo
.
ng nˆen ta c´o:
2+4+6+···+2n =
2+2n
2
· n;
1+3+5+···+(2n +1)=
1+(2n +2)
2
(n +1).
Do d
´o
a
n
=
n
n +1
⇒ lim a
n
=1.
3) Nhu
.
ta biˆe
´
t:
1
2
+2

iha
.
n
lim
1+
1
2
+
1
4
+ ···+
1
2
n
1+
1
3
+
1
9
+ ···+
1
3
n
Gia
’
i. Tu
.
’
sˆo

+ ···+
1
3
n
=
3(3
n
− 1)
2 · 3
n
v`a do d´o:
lim a
n
= lim
2(2
n
− 1)
2
n
·
2 · 3
n
3(3
n
− 1)
= 2 lim
2
n
− 1
2

n
=
√
n
2
+ n − n
2) a
n
=
3
√
n +2−
3
√
n
3) a
n
=
3
√
n
2
− n
3
+ n
Gia
’
i.
1) Ta biˆe
´

√
n
2
+ n + n
=
n
√
n
2
+ n + n
=
1

1+1/n +1
Do d
´o
lim a
n
=
1
lim
n→∞
(

1+1/n +1)
=
1
2
·
14 Chu

n
=

3
√
n +2

3
−

3
√
n

3

3
√
n +2

2
+
3
√
n +2·
3
√
n +

3

.
cmˆa
˜
usˆo
´
b˘a
`
ng:
n
2/3

3

1+2/n

2
+
3

1+2/n +1

→∞
khi n →∞v`a do d
´o lim a
n
=0.
3) Ta c´o thˆe
’
viˆe
´

+ n

3
√
n
2
− n
3

2
− n
3
√
n
2
− n
3
+ n
2


3
√
n
2
− n
3

2
− n

1
[1/n − 1]
2/3
− [1/n − 1]
1/3
+1
suy ra lim a
n
=
1
3
· 
V´ı d u
.
4. T`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a c´ac d˜ay sau
a
n
=
n
√
n
2
+ n
,b

ˆa
`
utiˆentach´u
.
ng minh lima
n
= 1. Thˆa
.
tvˆa
.
y:
lim a
n
= lim
n
n

1+1/n
= lim
1

1+1/n
=1.
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo

Mˆo
.
tm˘a
.
t ta c´o:
c
n
<
1
√
n
2
+1
+
1
√
n
2
+1
+ ···+
1
√
n
2
+1
=
n
√
n
2

.
Nhu
.
vˆa
.
y a
n
<c
n
<b
n
v`a lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
=1. T`u
.
d
´o suy ra
lim
n→∞
c
n
=1. 
V´ı d u
.

ng th´u
.
c
|q|
n
>Ata thu du
.
o
.
.
c n>log
|q|
A.Nˆe
´
u ta lˆa
´
y N = [log
|q|
A]th`ı∀ n>N
ta c´o |q|
n
>A.Dod´o d˜ay (q
n
) l`a d˜ay vˆo c`ung l´o
.
n.
2) Gia
’
su
.

l`a d˜ay vˆo c`ung l´o
.
n v`a do d
´o d˜ay


1
q

n

−1

l`a vˆo c`ung
b´e, t´u
.
c l`a d˜ay (q
n
) l`a d˜ay vˆo c`ung b´e khi |q| < 1.
3) Nˆe
´
u q =0th`ıq
n
=0,|q|
n
<ε∀ n v`a do d´o(q
n
) l`a vˆo c`ung b´e.

B

= n
2
(n −
√
n
2
+ 1). (DS. −∞)
16 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
3. a
n
=
1+2+3+···+ n
√
9n
4
+1
.(D

3n +1
.(D
S. 1/3)
7. a
n
=
n
n +11
−
cos n
10n
.(D
S. 1)
8. a
n
=
n
3
+1
n
2
− 1
(D
S. ∞)
9. a
n
=
cos n
3
n

3
+ n −
√
n
.(D
S. +∞)
12. a
n
=
3
√
1 − n
3
+ n.(DS. 0)
13. a
n
=
√
n
2
+4n
3
√
n
3
− 3n
2
.(DS. 1)
14. a
n

n
2
+1+
√
4n
2
+1
.(D
S. −
1
3
)
18. a
n
=
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+ ···+
1
n(n +1)
.
Chı
’
dˆa
˜
n.
´

−
1
27
+ ···+
(−1)
n−1
3
n−1
.(DS.
3
4
)
20. a
n
=
2
n+1
+3
n+1
2
n
+3
n
.(DS. 3)
21. a
n
=
n +(−1)
n
n − (−1)

˜
n. Tru
.
c c˘an th´u
.
co
.
’
mˆa
˜
usˆo
´
c´ac biˆe
’
uth´u
.
c trong dˆa
´
u ngo˘a
.
c.
(D
S.
1
√
2
)
23. a
n
=

n(n +1)
−
1
(n + 1)(n +2)

(D
S.
1
4
)
24. a
n
=
1
a
1
a
2
+
1
a
2
a
3
+ ···+
1
a
n
a
n+1

dˆa
˜
n. B˘a
`
ng quy na
.
p to´an ho
.
cch´u
.
ng to
’
r˘a
`
ng a
n
=
n +2
2n +2
.
7.1.3 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu

.
cgo
.
i l`a:
i) D˜ay t˘ang nˆe
´
u a
n+1
>a
n
∀ n
ii) D˜ay gia
’
mnˆe
´
u a
n+1
<a
n
∀ n
C´ac d˜ay t˘ang ho˘a
.
c gia
’
mc`ond
u
.
o
.
.

´
u d˜ay
18 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
do
.
nd
iˆe
.
u t˘ang th`ı n´o bi
.
ch˘a
.
ndu
.
´o
.
ibo

.
ng d
ˆa
`
u. Ta c´o di
.
nh l´y sau dˆay
thu
.
`o
.
ng d
u
.
o
.
.
csu
.
’
du
.
ng d
ˆe
’
t´ınh gi´o
.
iha
.
ncu

nh l´y n`ay kh˘a
’
ng di
.
nh vˆe
`
su
.
.
tˆo
`
nta
.
icu
’
a gi´o
.
iha
.
n m`a khˆong chı
’
ra d
u
.
o
.
.
cphu
.
o

i, c´o thˆe
’
chı
’
ra phu
.
o
.
ng ph´ap t´ınh
n´o. Viˆe
.
c t´ınh to´an thu
.
`o
.
ng du
.
.
a trˆen d
˘a
’
ng th´u
.
cd
´ung v´o
.
imo
.
i d˜ay hˆo
.

.
.
iho
.
nca
’
l`a su
.
’
du
.
ng c´ach cho d˜ay b˘a
`
ng cˆong th´u
.
c truy hˆo
`
i.
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. Ch´u
.
nh minh r˘a
`

.
tvˆa
.
yv`ı:
a
n+1
= a
n
+
1
5
n+1
+1
nˆen a
n+1
>a
n
.
D˜ay d
˜a cho bi
.
ch˘a
.
n trˆen. Thˆa
.
tvˆa
.
y:
a
n

1
5
−
1
5
n+1
1 −
1
5
=
1
4

1 −
1
5
n

<
1
4
·
Nhu
.
vˆa
.
y d˜ay a
n
d˜achodo
.

=
2
n
n!
hˆo
.
itu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a
n´o.
Gia
’
i. D˜ay d
˜a cho c´o da
.
ng
2
1
,
2
2
2
,...,
2

2
n +1
< 1 ∀ n>1.
Do d
´o a
n+1
<a
n
v`a d˜ay bi
.
ch˘a
.
n trˆen bo
.
’
i phˆa
`
ntu
.
’
a
1
. Ngo`ai ra
a
n
> 0, ∀ n nˆen d˜ay bi
.
ch˘a
.
ndu

.
ncu
’
a n´o.
Ta c´o:
a
n+1
a
n
=
2
n +1
⇒ a
n+1
=
2
n +1
a
n
.
T`u
.
d
´o
lim a
n+1
= lim
2a
n
n +1

ng minh r˘a
`
ng d˜ay hˆo
.
i
tu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a n´o.
Gia
’
i. Hiˆe
’
n nhiˆen r˘a
`
ng: a
1
<a
2
<a
3
< ··· <.D´o l`a d˜ay do
.
nd
iˆe

2.
Thˆa
.
tvˆa
.
y
a
1
=
√
2; a
2
=
√
2a
1
<
√
2 · 2=2.
Gia
’
su
.
’
d
˜ach´u
.
ng minh d
u
.

’
a h`am sˆo
´
Vˆa
.
y theo tiˆen dˆe
`
quy na
.
p ta c´o a
n
 2 ∀ n.
Nhu
.
thˆe
´
d˜ay a
n
do
.
nd
iˆe
.
u t˘ang v`a bi
.
ch˘a
.
n nˆen n´o c´o gi´o
.
iha

.
c a
1
=0,a
2
=2.
V`ı d˜ay d
o
.
nd
iˆe
.
u t˘ang ∀ n nˆen gi´o
.
iha
.
n a =2. 
V´ı d u
.
4. Ch´u
.
ng minh t´ınh hˆo
.
itu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.
ncu

<x
3
< ··· <x
n
<x
n+1
<... ngh˜ıa l`a
d˜ay d
˜a cho l`a d˜ay t˘ang.
ii) Ta ch´u
.
ng minh d˜ay x
n
l`a d˜ay bi
.
ch˘a
.
n. Thˆa
.
tvˆa
.
y, ta c´o:
x
1
=
√
a<
√
a +1
x

cr˘a
`
ng: x
n
<
√
a +1.
Ta cˆa
`
nch´u
.
ng minh x
n+1
<
√
a + 1. Thˆa
.
tvˆa
.
y, ta c´o:
x
n+1
=
√
a + x
n
<

a +
√

a +1.
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
21
iii) Dˆe
’
t`ım gi´o
.
iha
.
ntax´et hˆe
.
th´u
.
c x
n
=
√
a + x
n−1
hay
x
2
n

1+
√
1+4a
2
,A
2
=
1 −
√
1+4a
2
·
V`ı A
2
< 0 nˆen gi´a tri
.
A
2
bi
.
loa
.
iv`ıx
n
> 0.
Do d
´o;
lim x
n
=

0 <a
1
< 1,a
n+1
= a
n
(2 − a
n
) ∀ n  1. (7.10)
Gia
’
i. i) D
ˆa
`
u tiˆen ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng a
n
bi
.
ch˘a
.
n, m`a cu
.
thˆe
’
l`a b˘a
`

i n v`a ta
s˜e ch´u
.
ng minh (7.11) d
´ung v´o
.
i n +1 .
T`u
.
(7.10) ta c´o; a
n+1
=1− (1 − a
n
)
2
.
T`u
.
hˆe
.
th´u
.
c n`ay suy ra 0 < (1 − a
n
)
2
< 1, v`ı 0 <a
n
< 1.
T`u

.
c:
a
n+1
a
n
=2− a
n
> 1.
22 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
T`u
.
d
´o a
n+1
>a
n

(7.10) ta c´o:
lim a
n+1
= lim a
n
· lim(2− a
n
)
hay a = a(2 − a).
T`u
.
d
´o a =0v`aa =1. V`ıx
1
> 0 v`a d˜ay a
n
t˘ang nˆen
a =1=lima
n
. 
V´ı d u
.
6. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay a
n
=
n!

.
tvˆa
.
y:
a
n+1
=
(n + 1)!
(n +1)
n+1
=
n!
(n +1)
n
=
n!
n
n
·
n
n
(n +1)
n
=
n
n
(n +1)
n
a
n

lim a
n
= a v`a r˜o r`ang l`a a = lim a
n
 0.
ii) Ta ch´u
.
ng minh a = 0. Thˆa
.
tvˆa
.
y ta c´o:
(n +1)
n
n
n
=

n +1
n

n
=

1+
1
n

n
 1+

.
.
c a 
a
2
⇒ a =0. 
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
23
1. Cho c´ac d˜ay sˆo
´
:
1) a
n
=
5n
2

ch˘a
.
n)
2. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay:
a
1
=
a
0
a + a
0
,a
2
=
a
1
a + a
1
,a
3
=
a
2
a + a
2
,...,

2) a
n
=2+
1
2!
+
1
3!
+ ···+
1
n!
Chı
’
dˆa
˜
n. T´ınh bi
.
ch˘a
.
nd
u
.
o
.
.
csuyt`u
.
n!  2
n−1
v`a do d´o

’
ach´ung
1) a
1
=
k
√
5, a
n+1
=
k
√
5a
n
, k ∈ N.(DS.
k−1
√
5)
2) a
n
=
2
n
(n + 2)!
Chı
’
dˆa
˜
n.
a

th´u
.
c: nx− 1 <E(nx)  nx.(D
S. a = x)
5. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay: a
n
= a
1/2
n
hˆo
.
itu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
an´o
(a>1).
24 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o

= a
1/2
n+1
= a
1/(2
n
·2)
=
√
a
n
,a
n
> 1)
6. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay
a
n
=1+
1
2
2
+
1
3
2
+ ···+

an´o
d
u
.
o
.
.
c x´ac lˆa
.
pb˘a
`
ng c´ach su
.
’
du
.
ng c´ac bˆa
´
td
˘a
’
ng th´u
.
c:
1
n
2
<
1
n(n − 1)

.
nh˜u
.
uha
.
n.
Chı
’
dˆa
˜
n. T´ınh bi
.
ch˘a
.
ncu
’
a a
n
du
.
o
.
.
c x´ac lˆa
.
pb˘a
`
ng c´ach so s´anh a
n
v´o

u gia
’
mv`a
lim
n→∞

1+
1
n

n+1
= e.
9. T´ınh lim
n→∞
a
n
,nˆe
´
u
1) a
n
=

1+
1
n + k

n
, k ∈ N.(DS. e)
2) a

2
n

2
n
.(DS. e)
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
25
7.1.4 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay sˆo
´
du
.

.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay.
Hai phu
.
o
.
ng ph´ap n`ay khˆong ´ap du
.
ng d
u
.
o
.
.
cd
ˆo
´
iv´o
.
i c´ac d˜ay khˆong d
o
.
n

’
ng ha
.
nb˘a
`
ng phu
.
o
.
ng ph´ap truy hˆo
`
i). M˘a
.
t
kh´ac, trong nhiˆe
`
u tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p ngu
.
`o
.
i ta chı
’
quan tˆam d

.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay chı
’
du
.
.
a
trˆen gi´a tri
.
cu
’
a c´ac sˆo
´
ha
.
ng cu
’
a d˜ay:
Nguyˆen l´yhˆo
.
itu
.
. D˜ay (a

n+p
| <ε.
T`u
.
nguyˆen l´yhˆo
.
itu
.
r´ut ra: D˜ay (a
n
) khˆong c´o gi´o
.
iha
.
n khi v`a chı
’
khi n´o tho
’
a m˜an d
iˆe
`
ukiˆe
.
n:
∃ ε>0, ∀ N ∈ N ∃ n  N ∃ m  N →|a
n
− a
m
|  ε.
C

.
26 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
Gia
’
i. Ta u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng hiˆe
.
u
|a

1
3
p
1 −
1
3
<
1
2
·
1
3
n
<
1
3
n
·
Gia
’
su
.
’
ε l`a sˆo
´
du
.
o
.
ng t`uy ´y. V`ı lim

n+p
− a
n
| <
1
3
n
<ε.
Do d
´o theo tiˆeu chuˆa
’
nhˆo
.
itu
.
d˜ay d˜a cho hˆo
.
itu
.
. 
V´ı d u
.
2. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay
a
n
=

| =



1
√
n +1
+
1
√
n +2
+ ···+
1
√
n + p




p
√
n + p
∀ n, p ∈ N.
D
˘a
.
cbiˆe
.
tv´o
.

n>N v`a
∃ p ∈ N sao cho |a
n
− a
n+p
|  ε. Thˆa
.
tvˆa
.
y, theo bˆa
´
td˘a
’
ng th´u
.
c (*) ta
7.2. Gi´o
.
iha
.
n h`am mˆo
.
tbiˆe
´
n 27
chı
’
cˆa
`
nlˆa

Su
.
’
du
.
ng tiˆeu chuˆa
’
nhˆo
.
itu
.
d
ˆe
’
ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay (a
n
)
nˆe
´

(−1)
k−1
k(k +1)
·
4. a
n
=
n

k=1
(−1)
k
k!
·
5. a
n
=0, 77 ...7

 
nch˜u
.
sˆo
´
.
6. a
n
=
n

k=1

lnn
, n =2,...
7.2 Gi´o
.
iha
.
nh`am mˆo
.
tbiˆe
´
n
7.2.1 C´ac kh´ai niˆe
.
mv`adi
.
nh l´yco
.
ba
’
nvˆe
`
gi´o
.
iha
.
n
Di
.
nh ngh˜ıa gi´o
.