Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng

Giải tích 1

Chương 1: Giới hạn và liên tục • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008)


Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản về vi tích phân hàm một
biến và phương trình vi phân.
Mục tiêu của môn học Toán 1
Giúp học viên hiễu lý thuyết, nắm vững các kỹ năng tính toán,
biết vận dụng giải các bài toán cụ thể.
Biết vận dụng các phương pháp và tư duy sáng tạo vào khoa
học kỹ thuật.
Giới hạn và liên tục
Đạo hàm và vi phân
Tích phân hàm một biến
Phương trình vi phân
Nhiệm vụ của sinh viên.
Đi học đầy đủ.
Làm tất cả các bài tập cho về nhà.
Đọc bài mới trước khi đến lớp.
Đánh giá, kiểm tra.
Thi giữa học kỳ: trắc nghiệm (20%), 20 câu hỏi/ 45 phút
Thi cuối kỳ: thi viết (80%), thời gian 90 phút.
Tài
liệu tham khảo

được
gọi là cận dưới đúng của A và ký hiệu là infA,
(
infimum của A)
I. Giới hạn của dãy số thực

Một dãy số là một ánh xạ từ tập số tự nhiên N vào tập
số thực R.
Định nghĩa
:
u N R
→
( )
n u n
a
Thường dùng ký hiệu: hay đơn giản
(
)
1
n
n
u
∞
=
(
)
n
u
được gọi là số hạng thứ n của dãy.
n

n
n
u
n
 
−
− −
 
=
 
+
 
 
Ghi ở dạng tường minh, ta có
Nếu giới hạn của dãy là hữu hạn, thì dãy được gọi là
dãy hội tụ.
Số được gọi là giới hạn của dãy số , nếu
Định nghĩa
(
)
0 0
0,

n
n n n u a
ε ε
∀ > ∃ > ⇒ − <
Ký hiệu: hay
a
(

0
ε
∀ >
1
1
n
n
ε
− <
+
1
1
n
ε
⇔ <
+
1
1
n
ε
⇔ > −
Chọn số tự nhiên
0
1
1
n
ε
> −
Khi đó
0

n N n n u a
ε ε
∃ > ∀ ∈ ∃ ≥ − ≥
a
(
)
n
u
Số a không là giới hạn của dãy , nếu tồn tại số
(
)
n
u
dương để với mọi số tự nhiên n tìm được số tự
0
ε
>
sao cho
1 0
n n
≥
1
.
n
u a
ε
− ≥
Chứng tỏ rằng dãy không có giới hạn
Ví


n n
u u
+
− >
2
1
1 1
2
k
u
k
= + >
Thật vậy, trong hai số hạng kế nhau, có một số hạng với
chỉ số chẵn và một số hạng với chỉ số lẻ.
2 1
1
1 0
2 1
k
u
k
±
= − + <
±
1
| | 1
n n
u u
+
⇒ − >

u
→+∞
→+∞
+∞
+∞
Ta nói tiến đến (hoặc: nhận làm giới hạn)
khi và chỉ khi:
(
)
0 0
0,
N
n
B n n n u B
∀ < ∃ ∈ >
⇒
<
Ký hiệu: hay
(
)
n
u
lim
n
n
u
→+∞
= −∞
n
n

Giả sử và .
lim
lim
n
n
n
n
u a
u b
→+∞
→+∞
=



=


a b
≠
Đặt
3
a b
ε
−
=
Đặt
{
}
0

)
(
)
,
n n
u v
(
)
(
)
,
n n
u a v b
→ →
{
} { }
{ }
; ; ( 0 0); , &
n
n n n n n n
n
u
u v u v v b u
v
 
± ⋅ ≠ ≠
 
 
các dãy
(

u a
→∞
=
Ta nói dãy bị chặn trên, nếu

Định

nghĩa

(
)
n
u
: ,
n
A R n N u A
∃ ∈ ∀ ∈ ≤
Ta nói dãy bị chặn dưới, nếu
: ,
n
B R n N u B
∃ ∈ ∀ ∈ ≥
(
)
n
u
Một dãy vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới gọi là dãy
bị chặn.
Ta nói dãy là dãy tăng, nếu
Định nghĩa

Giả sử
lim
n
n
u a
→+∞
=
n
u M
⇒ ≤
Nếu dãy hội tụ, thì bị chặn.
Mệnh đề 2
(
)
n
u
(
)
n
u
1 1
n
a u a
⇒ − < < +
Đặt:
{
}
0
1 2
, , , ,1 | |

n n n
n n n u v w
∃ ∀ > ⇒ ≤ ≤
và cùng hội tụ đến a, khi đó
(
)
(
)
,
n n
u w
(
)
n
n
v a
→∞
→
Cho .
0
ε
>
Vì hội tụ đến a, nên
(
)
(
)
,
n n
u w

∀ >
| |
| |
n
n n n
n
u a
u a v a w a
w a
ε
ε ε
ε
− <

⇒ − < − ≤ − ≤ − <

− <

| |
n
v a
ε
⇒ − <
(
)
n
n
v a
→+∞
→

u
n n
→∞
=
≤ = →
∑
+ +
2
1
1
1
n
n
n
k
n
n
n
u
n
n
→∞
=
≥ = →
∑
+
+
(
)
lim 1

0 , 6
6
n
n
n
n
n
 
< < ∀ >
 
 
0
5
lim 0
n
n
n
n
→∞
⇒ =
Chứng tỏ
Ví

dụ
.

lim 1, 0.
n
n
a a

TH1.
1
a
≥
lim 1
n
n
a
→∞
⇒ =
TH2.
0 1
a
< <
1 1
lim , 1
lim
n
n
n
n
a b
a
b
→∞
→∞
= = >
Sử dụng TH1,
lim 1.
n

Vì tăng nên
(
)
n
u
0
0
n n
n n u u
∀ >
⇒
≥
n
a u a a
ε ε
⇒ − ≤ ≤ < +
n
u a
ε
⇒ − <
lim
n
n
u a
→∞
⇒ =
Chứng tỏ dãy truy hồi
Ví

dụ

n k
= +
Vậy dãy bị chặn trên.
2
1
2
n n n n n n
u u u u u u
+
= + > + > =
Vậy dãy tăng.
lim
n
u a
⇒ ∃ =
2
a a
= +
2
2 0
a a
⇒ − − =
2.
a
⇒ =