- 1 -
THI HSG KHI 10 TNH VNH PHC KHễNG CHUYấN
Nm 1998-1999
Cõu 1. Gpt
2
2 4 6 11.x x x x + = +
Cõu 2. Cmr
1 1 2, *
n n
n n
n n
n
n n
+ + Ơ
Cõu 3. Gpt
7 6 5 4 3 2
2 3 3 2 1 0x x x x x x x + + + =
Cõu 4. Tỡm a h sau cú nghim duy nht:
2 2
2 2
2 2
4
x xy y a
x xy y a

+ +






x

=
+
là tham số). Tìm tất cả các giá trị của a để hàm số có GTLN,
GTNN; đồng thời các giá trị đó là các số nguyên?
Cõu 3. Cho
ABC
cú
2 2 2
2 2 2
a b c
a b c
m m m
h h h

+ =


+ =


a) Tớnh cosC. b) Cmr:
2 2
cos cos 1A B+ =
Cõu 4. Cho tam giỏc ABC cố định. Một điểm M thay đổi nhng không thuộc các đờng thẳng AB, BC,
CA. Gọi x, y, z tơng ứng là khoảng cách từ M đến AB, BC, CA. Tìm tập hợp điểm M sao cho

1
1999 2000 1999 2000 1999 2000 1333

.F x y y x= +
Cõu 4. Cho tứ giác ABCD, gọi M là giao điểm hai đng chéo AC và BD. Đặt AB=c, BC=p, CD=q,
DA=b, DB=a; biết rằng DB=3DM, AM=MC.
a. Hãy tính p, q theo a, b, c.
b. Chứng minh rằng nếu:
ã ã
0
180 2ABD ADB+ =
thỡ
ã ã
2DBC BDC=

- 2 -
Cõu 5. Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho p điểm
( ; ); 0,1,2, , 1;
k k
A k r k p=
vi p là số nguyên tố
lớn hơn 3 và
k
r
là số d trong phép chia
2
k
cho p. Chứng minh rằng trong các điểm
k
A
không có ba
điểm nào thẳng hàng; không có 4 điểm nào là 4 đỉnh của một hình bình hành.
Nm 2001-2002

cú l ba nh ca
mt tam giỏc u khụng?
b) Tỡm tt c cỏc im M
1 1 1
, ,A B C
l ba nh ca mt tam giỏc u.
Cõu 5. Trong các ô vuông của một bảng hình vuông kích thc 2002X2002, ngi ta ghi các số thực
sao cho: Tổng các số trong một hình chữ thập tùy ý ( hình gồm một dòng và một cột ) không nhỏ hơn
2002. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của tổng các số trong bảng.
Nm 2002-2003
Cõu 1.
a) Gpt
4 3 3 1 1x x + =
.
b) Tỡm iu kin ca tham s m, n hai h phng trỡnh sau tng ng

2 2
2 2
(1) (2)
x y m x xy n
y x m y xy n

+ = =+ = =Cõu 2. Tỡm tt c cỏc cp s nguyờn (x;y) tha món


+ = +


+ = +

Cõu 2. a. Cmr:
2 2
1 ( 1),( , ).p q p q p q+ + > + Ă
- 3 -
b. Tìm số thực b lớn nhất sao cho
2 2
1 ( 1),( , ).p q bp q p q+ + ≥ + ∀ ∈¡
Câu 3. Giải pt sau trên
¢
:
3 3 2
2 1.x y y= + +
Câu 4. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (C) (AC không là đường kính của đường tròn).
Tiếp tuyến với (C) tại A, C cắt nhau tại P. Giá sử
2
.PA PB PD=
và P nằm trên đường thẳng BD.
Cmr:
a)
APD BPC∆ ∆:
b) BD đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC.
Năm 2004-2005
Câu 1. Giả sử pt bậc hai
2
2 4 0x ax+ + =


− − −


− + =


a) Giải hpt khi a=-3, b=2. b) Tìm các số nguyên a,b để hệ có đúng ba nghiệm.
Câu 3.
a) Cho các h/s
2
( ) ; ( ) ,( 0
p p
f x x g x x p
x x
= + = + >
cho trước). Với x > 0, tìm GTNN của
( ), ( ).f x g x
b) Cho
3
4
, , 0 & 1. : .
3
x y z x y z Cmr x xy xyz> + + = + + ≤
Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn. Gọi (
1
O
), (
2
O

1 2
,x x
là hai
nghiệm của phương trình. Hãy tính GTLN và GTNN của biểu thức
2 2
1 1 2 2
3 3 .A x x x x= − + −
Câu 2.
a) Giải hpt:
2 2
2 2
( )( ) 3
( )( ) 15.
x y x y
x y x y

− − =


+ + =


b) Gpt:
1 2 1 2
1 2 1 2 .
1 2 1 2
x x
x x
x x
− +

Cmr:
a)
ABC∆
nhọn b)
2
2sin tan .tanC A B=
Câu 5. Cmr nếu
0y x≥ ≥
thì ta luôn có BĐT:
2 2 2 2 2
16 13 9 0.y x y x x y x− − − + ≥
- 4 -
Năm 2006-2007
Câu 1. Cho pt:
2 2
( 4) 3 3 0,x m x m m m+ − + − + =
là tham số. Tìm m để pt có 2 nghiệm
1 2
,x x
đều
khác 1. Khi đó chứng minh rằng:
1
2
2
2
1 2
49
7
1 1 9
mx

Tìm GTNN của
2 2 2
4 2 4 .P x y z xy= + + +
Năm 2007-2008
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của p để hệ bất phương trình sau vô nghiệm:
2
2
( )( 2) 0
1
p x p x
x

− + − ≤


≤


Câu 2. Cho các số thực dương
, , & . . 1a b c a b c =
. Cmr:
1 1 1
1 1 1 1.a b c
b c a
   
− + − + − + ≤
 ÷ ÷ ÷
   
Câu 3. Cho h/s
:f



+ + =


Câu 2.(2,5 đ) Giải bpt:
2 2
( 3 ) 2 3 2 0.x x x x− − − ≥
Câu 3. (1,5 đ) Cho a là một số thực. Xét hai tập hợp:

3 3
{( ; ) | , , } & {( ; )| , , }A x y x y x y a B x y x y x y a= ∈ + = = ∈ + <¡ ¡
.
Tìm tất cả các giá trị của a để A & B không có phần tử chung.
Câu 4. (2,5 đ) Cho tam giác ABC không đều với ba cạnh:
, ,AB c BC a CA b= = =
. Gọi O, G theo
thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm tam giác ABC. S, R theo thứ tự là diện tích và
bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
a) Cmr:
2 2 2 2 2
9( ).a b c R OG+ + = −
b) Giả sử
2
4 .cot . : .a S A Cmr AG OG= ⊥
Câu 5. (1 đ)
- 6 -
Cho
1 1 1
, , 0 & 1. : .