Sở Giáo dục và đào tạo
thanh hoá
Đề chính thức
Số báo danh
Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Năm học: 2009 - 2010
Môn thi: Toán
Lớp: 12 THpt
Ngày thi: 24/ 03/ 2010
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề thi)
Đề này có 05 bài gồm 01 trang
Bài 1: (4 điểm) Cho hàm số y = - x
3
+ 3x - 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) kẻ từ điểm M(-2; 1).
Bài 2: (6 điểm)
1. Giải phơng trình:
1
2
cos
2
sin
2
4
sin22cos
2
=




32
3. Tìm các giá trị của tham số m để bất phơng trình
( )( )
mxxxx ++ 264
2
nghiệm
đúng với mọi x


[ ]
6;4
.
Bài 3: (3 điểm)
1. Tính tích phân: I =

9
0
2
2
cos

x
dx

2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập đợc bao số tự nhiên gồm bốn chữ số khác
nhau, trong đó phải có chữ số 2 và 4 ?
Bài 4: (5 điểm)
1. Cho hình lập phơng ABCDA'B'C'D' cú cạnh bng a. Trên cỏc cạnh BC và DD' lần lợt
lấy các điểm M và N sao cho BM = DN = x (
ax 0

2
tan
2
tan +++
CBACBA
Du ng thc xy ra khi n o ?
Hết
S GD & T THANH HO
HNG DN CHM
CHNH THC
(Gm cú 5 trang)
K THI CHN HC SINH GII TNH
NM HC 2009 - 2010
MễN THI: TON
LP: 12 THPT
Ngy thi: 24 - 3 - 2010
Thi gian lm bi 180 phỳt (khụng k thi gian giao )
Bài Ý Hướng dẫn chấm Điểm
Bài 1
4 điểm
1
3đ

Tập xác định R.
Sự biến thiên: y' = - 3x
2
+ 3 = 3(1 - x
2
)
y' = 0

= −∞ = +∞
. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
0,25
Bảng biến thiên
x -
∞
-1 1 +
∞
y' - + -
y
+∞
1
-3
−∞
0,75
Đồ thị đi qua điểm (-2; 1) và (2; -3).
y
Điểm uốn I(0; -1) là tâm đối xứng
1

-2 -1 I 1 2 x
0,75
-3
2
1đ Phương trình đường thẳng đi qua điểm M(-2; 1) có hệ số góc k:
y = k(x + 2) + 1
Đường thẳng tiếp xúc với (C)
3
2
3 1 ( 2) 1

 =



=

+ − =
 

⇔ ⇔


= −
= −





= −




9;0 −==⇒ kk
Vậy có hai tiếp tuyến với đồ thị (C) thoả mãn bài toán là:
y = 1 và y = - 9x -17
0,25
0,25
Bài 2



0,5
0,5
0,5
0,25
* cosx = 0 kết hợp với điều kiện
2
2
x k
π
π
≠ +
suy ra
x =
2
2
t
π
π
− +
với t
∈
Z
* cosx =
2
1
3
2
2

m
π
π
+
và x =
2
3
n
π
π
− +
với t, m, n
∈
Z
2
2đ
Điều kiện:





>−
≠+
>+
0
1
0
yx
yx







−=−




=+
=+
⇔
−
+
yx
yx
yx
yx
yxyx
yx
yx
44
4
4log
2
1
0,5
0,5
















=
=







=
=
⇔




y
x
y
x
yx
yx
yx
yx
0,5
3
2đ
Đặt t =
( )( ) ( )
5012524264
2
2
≤≤⇒−−=++−=−+ txxxxx
t
2
= -x
2
+ 2x + 24
⇒
x
2
- 2x = 24 - t
2
Bất phương trình trở thành: t + 24 - t
2


=≤⇔
Vậy m
≤
4
1
Bài 3
3 điểm
1
1,5đ
Đặt t =
x
suy ra x = t
2
; dx = 2t dt
2
0
0
3
9
x
t
t
x
π
π
=
=


 

=


⇒
 
=
=



I = 2t tant
3 3
0 0
2 3 ( osx) 2 3
2 tan 2 2ln osx
3 3
3 cosx 3
0 0
d c
tdt c
π π
π π
π
π
− = + = +
∫ ∫

I =
2 3
2ln 2

= 54 số
0,25
0,25
* Trường hợp 2: Trong X không có chữ số 0.
Có bốn cách xếp chữ số 2; ba cách xếp chữ số 4 và
2
3
A
cách xếp ba chữ
số 1; 3; 5.
Suy ra có 4.3.
2
3
A
= 72 số.
Vậy có tất cả 54 + 72 = 126 số
0,25
0,25
0,25
Bài 4
5 điểm
1
2đ
Đặt
cADbABaA === ;;A'
thì
acba ===
;
cbaAC ++='
và

2
22
=⋅






−+−⋅=++












−+−⋅=⋅⇒ a
a
x
aa
a
x
cbac
a

2
2
2
aa
a
x
a
a
x
aa
a
x
MN ≥+






−=⋅






−++⋅=
MN ngắn nhất bằng
22
1

+−−
⇔
m
0,25




−−=
−=
⇔=+⇔
11215
11215
21511
m
m
m
Vậy m =
11215 −
và m =
11215 −−
0,25
3
2đ Gọi giao điểm của (
α
) với ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt là A(a; 0; 0);
B(0; b; 0); C(0; 0; c) với a, b, c > 0
Phương trình (
α
):

3
321
1
3
≥⇒≥⇒≥⇔≥++= Vabc
abcabccba
Giá trị nhỏ nhất của V = 27 đạt được khi
3
1321
===
cba

⇔
a = 3;
b = 6; c = 9
Phương trình mặt phẳng (
α
) là:
0182361
963
=−++⇔=++ zyx
zyx
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 5
2 điểm
Không mất tính tổng quát, giả sử
CBA

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: 1 - x; 1 - y; 1 - z ta
được:
( )( )( )
33
)(1111
3
111
xyzxzyzxyzyxzyx
zyx
−+++++−=−−−≥
−+−+−
Vì xy + yz + xz = tan
2
A
tan
2
B
+ tan
2
B
tan
2
C
+ tan
2
A
tan
2
C
= 1

++
−−≥+++⇔
−++−≥






++
−⇔−++−≥
++
−
zyxzyx
xyzzyx
xyzzyx
zyx
xyzzyx
zyx
Vì x + y + z
3≥
nên
9
310
1
3
3
2
3
=