1
Phần thứ nhất
Biến đổi biểu thức đại số
I. Các phép biến đổi về căn thức
1. Hằng đẳng thức đáng nhớ
( )
2
2 2
a b a 2ab b+ = + +
( )
2
2 2
a b a 2ab b = +
( ) ( )
2 2
a b a b a b+ =
( )
3
3 2 2 3
a b a 3a b 3ab b+ = + + +
( )
3
3 2 2 3
a b a 3a b 3ab b = +
( )
( )
3 3 2 2
a b a b a ab b+ = + +
( )
( )
3 3 2 2

=
A 1
AB (AB 0;B 0)
B B
= >
A A B
(B 0)
B
B
=


m
2
2
C C( A B)
(A 0;A B )
A B
A B
C C( A B)
(A 0;B 0;A B )
A B
A B
=


m
3. Các dạng bài tập cơ bản
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức
Phơng pháp: Bớc 1: Trục căn thức ở mẫu (nếu có)

Bớc 3: Căn cứ vào điều kiện loại những giá trị ngoại lai
Bài tập tham khảo
Bài 1: Cho biểu thức :
a 2 5
P
a 3 a a 6
+
= +
+ +
1
2 a
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P < 1
Bài 2: Cho biểu thức P =
a 1 2 a
1 :
a 1
a 1 a a a a 1

+
ữ ữ
ữ ữ
+
+


a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của P nếu
a 19 8 3=
Bài 3: Cho biểu thức: P =


a) Tìm x để
Q Q>
b) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên
Bài 5 : Cho biểu thức : A =
x x 1 x 1
x 1
x 1
+


+
a) Rút gọn biểu thức
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =
1
4
c) Tìm x để A < 0.
d) Tìm x để
A A=
chiến lợc giải bài toán
Trong quá trình giải bài tập rất cần khả năng suy nghĩ lập luận có tính chất chiến lợc để giải bài toán,
nh vậy cần tự mình đặt ra câu hỏi và cố gắng tự tìm câu trả lời trong khả năng có thể. Để rèn luyện đợc thói
quen này, ta nên làm theo những hớng dẫn suy luận sau:
1. Tìm hiểu bài toán:
- Gọi chung Giả thiết là: điều cho biết, dữ kiện bài toán, các điều kiện ràng buộc vv Kết luận là:
điều phải tìm, là ẩn vv
- Trớc hết h y cố gắng viết tóm tắt đề bài bằng ngôn ngữ toán học và sử dựng các kí hiệu toán học.ã
- Cần xác định ngay dạng của bài toán để xác định rõ phơng hớng giải.
2
3

- Kiểm tra kết quả. Xem xét các lập luận.
- Nhìn lại toàn bộ các bớc giải. Rút ra phơng pháp giải một loại toán hay một dạng toán nào đó. Rút ra
kinh nghiệm giải toán nh về:
+ Cách giải, phơng pháp giải loại toán đó
+ Những bài toán dạng này cần sử dụng kiến thức gì để giải
+ Những điểm cần chú ý, những sai lầm thờng mắc phải và cách khắc phục vv.
- Cố gắng tìm thêm cách giải khác (nếu có thể).
- Khai thác thêm các kết quả có thể có của bài toán, đề xuất các bài toán tơng tự, bài toán đặc biệt. Đặc
biệt nên cố gắng đa bài toán đ cho về dạng tổng quát của nóã
3
4
Phần thứ hai
Phơng trình bậc nhất và hệ phơng trình
A- Ph ơng trình bậc nhất:
* Định nghĩa: Là phơng trình dạng ax+ b= 0 (với a, b cho trớc, a

0)
* Biện luận : Phơng trình ax+ b= 0
+ Vô nghiệm khi a=0 và b

0
+ Có nghiệm duy nhất khi a

0
+ Vô số nghiệm khi a= 0 và b= 0
B- Hệ ph ơng trình bậc nhất hai ẩn:
* Định nghĩa:
* Nghiệm hệ phơng trình:
* Số nghiệm của hệ:
C- Hệ ph ơng trình bậc nhất hai ẩn

* Dạng 1: Nhận biết phơng trình bậc nhất hai ẩn, viết đợc nghiệm tổng quát và
biểu diển tập nghiệm trên mặt phẳng toạ độ.
Ví dụ: Phơng trình nào là phơng trình bậc nhất hai ẩn:
A) 0x+ y= 1 C) 2x+ 0y= 2
B) 0x+ 0y= 5 D) 2x= 2
* Dạng 2: Giải hệ phơng trình.
* Dạng 3: Giải và biện luận.
Ví dụ: Cho hệ: mx+ 2y= -3
m
2
x- 4y= 6
4
5
a) Giải hệ với m= 2.
b) Tìm m để hệ có vô số nghiệm.
Giáo viên có thể hớng dẫn học sinh sử dụng một trong hai phơng pháp trên.
Phần thứ ba
Ph ơng trình bậc hai Hệ thức vi-ét
A- Ph ơng trình bậc hai:
* Định nghĩa: Là phơng trình có dạng ax
2
+ bx + c= 0
(a, b, c cho trớc và a 0)
* Cách giải:
- Khuyết b: ax
2
+ c= 0

x
2

x(ax+ b)= 0

x= 0
x=
b
a

- Phơng trình: ax
2
+ bx + c= 0 (a 0)
Dùng công thức nghiệm
B- Các dạng toán:
* Dạng 1: Điều kiện có nghiệm của phơng trình dạng ax
2
+ bx + c= 0
- Phơng trình vô nghiệm:
+ Xét a= 0 thay vào xem phơng trình vô nghiệm không.
+ Xét a 0 và < 0
- Phơng trình nhận mọi x làm nghiệm: a= b= c= 0
- Phơng trình có nghiệm:
+ Xét a= 0 thay vào xem phơng trình có nghiệm không.
+ Xét a 0 và

0
- Phơng trình có nghiệm duy nhất:
+ Xét a= 0 và b 0
+ Xét a 0 và = 0
Ví dụ 1: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
mx
2

= -
1
2

b) Phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi > 0 và m

1
= m
2
+ 2m +1+m
2
-1= m (m +2) >0 khi m > 0 và m 1
m < -2
c) Phơng trình có 1 nghiệm có hai khả năng:
- Với m
2
= 1

m= 1 thì phơng trình có dạng: 4x -1 =0

x=
1
4
m=-1 thì phơng trình có dạng: 0x +1= 0 (phơng trình
vô nghiệm)
- Với m

1 thì phơng trình có một nghiệm khi = 0

m = 0

0 thì ít nhất một trong hai phơng trình có nghiệm.
Chú ý: Ta có nhận xét sau:
- Nếu
1
+
2
< 0 thì ít nhất một trong hai phơng trình vô nghiệm.
- Nếu
1
.
2
< 0 thì một phơng trình vô nghiệm, một phơng trình có nghiệm.
* Dạng 3: Nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỷ
Với a, b, c là các số nguyên : ax
2
+ bx+ c= 0
Định lý 1: Điều kiên cần để phơng trình có nghiệm hữu tỷ là = k
2
(với k

Z)
Định lý 2: Nếu x
0
=
p
q
là nghiệm hữu tỷ của phơng trình và (p, q)= 1 thì p là ớc
của c và q là ớc của q.
Chú ý: Nếu a = 1 thì phơng trình có nghiệm hữu tỷ khi = k
2

1
= 1 và x
2
=
c
a
- Nếu có a- b+ c= 0 thì x
1
= -1 và x
2
= -
c
a
d. Ph ơng trình qui về ph ơng trình bậc hai
Học sinh nắm chắc cách giải phơng trình trùng phơng, phơng trình chứa ẩn ở mẫu,
phơng trình tích
E- Các dạng bài tập:
* Dạng 1: Nhẩm nghiệm phơng trình và cho biết một nghiệm tìm nghiệm kia
Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm phơng trình sau:
a) 3 x
2
+ 4x- 7= 0
b) 5 x
2
- 3x -8 = 0
c) (m- 1)x
2
+ 3mx+ 2m+ 1= 0
Chú ý: Nếu vội kết luận phơng trình này có a- b + c= 0 thì x
1



Ví dụ 2: Cho phơng trình: x
2
- 2mx+ 5= 0. Tìm m để phơng trình có một nghiệm
bằng 2. Tìm nghiệm kia?
Giải:
Phơng trình có một nghiệm bằng 2 khi: 2
2
- 2.2m+ 5= 0

m=
9
4

Vì x
1
. x
2
=
c
a
= 5 mà x
1
= 2 nên x
2
=
5
2
* Dạng 2: Tìm hai số biết tổng và tích :

* Dạng 3: 1- Lập phơng trình bậc hai biết 2 nghiệm của nó.
- Biết hai nghiệm x
1
và x
2
thì ta tính đợc:
S= x
1
+ x
2
P= x
1
. x
2
Ví dụ 1: Lập phơng trình bậc hai nhận
1 2
và
1 2+
Giải:
S=
1 2
1 2+ +
= 2
P= (
1 2
).(
1 2+
)= -1
Vậy ta có phơng trình nhận
1 2

- 1
2- Lập phơng trình với các hệ số hữu tỷ có 1 nghiệm cho trớc
Ví dụ: Lập 1 phơng trình với các hệ số hữu tỷ có 1 nghiệm là 1-
3
Giải:
Gọi phơng trình cần lập có dạng: x
2
+ ax+ b= 0. Vì x = 1-
3
là nghiệm nên:
(1-
3
)
2
+ a (1-
3
)+b = 0 <=> (4+ a+ b) -
3
( 2+a)= 0
Vì phơng trình cần lập có các hệ số hữu tỷ nên (4+ a+ b) =0 và (2+ a)= 0


a= -2 và b= -2. Vậy phơng trình cần lập là: x
2
- 2x- 2= 0
* Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức giữa các nghiệm:
Ph ơng pháp : - Điều kiện phơng trình có hai nghiệm: a 0 và

0
- Biến đổi biểu thức về dạng tổng và tích các nghiệm


2
1 1 2 1
( )x x x x= +
x
1
. x
2
= x
1
+ 1

1
3 2
1 1 1 1
. ( 1)x x x x x= = +
=
2
1
x
+x
1
= 2x
1
+ 1

5 2 3
1 1 1
.x x x=
= ( x

+ 3+ 8x
2
+ 5+ 3x
1
= 8(x
1
+ x
2
)+ 8= 16
Chú ý: Để nhấn mạnh điều kiện để vận dụng hệ thức vi-ét giáo viên có thể đem
ví dụ sau:
Ví dụ: Một học sinh làm nh sau: Phơng trình x
2
- x+ 1= 0 có x
1
+ x
2
=1
và x
1
. x
2
= 1. Em có nhận xét gì về cách làm của bạn .
(Học sinh trên làm sai vì phơng trình x
2
- x+ 1 =0 có < 0 nên phơng trình vô
nghiệm)
* Dạng 5: Tìm hệ thức độc lập giữa các nghiệm không phụ thuộc vào
tham số:
Ph ơng pháp : - Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm a 0 và

2
= S = 2m+ 1 (1)
và x
1
. x
2
=P =m
2
+ m- 1 (2)
Từ (1) ta có: m=
1
2
s
thay vào (2) ta đợc (
1
2
s
)
2
+
1
2
s
-1 = P


S
2
- 4P= 5 hay (x
1

- 2mx- (m- 1)
2
= 0 có hai nghiệm dơng.
c) 2x
2
- 2( m+ 1)x+ m= 0 có hai nghiệm âm phân biệt.
Với mức độ khó hơn ta có bài tập sau:
Ví dụ 2: Cho phơng trình: mx
2
- 2(3- m)x+ m- 4= 0. Tìm m để:
a) Phơng trình có đúng một nghiệm âm.
b) Phơng trình có hai nghiệm đối nhau.
H ớng dẩn:
a) Xét hai trờng hợp :
9
10
- Với m= 0 thì phơng trình có nghiệm là x =
2
3

là nghiệm âm duy nhất của
phơng trình
- Với 0 phơng trình có đúng một nghiệm âm khi :
x
1
< 0 < x
2
P< 0
x
1

0

m

4
3
Ta có hệ : x
1
+ x
2
=
4
3

x
1
. x
2
=
3
m
Giải hệ ta đợc m=1 thoã mãn điều kiện
x
1
= 3 x
2
Đối với hs khá ta có thể đem bài tập sau:
Ví dụ 2: Tìm mđể phơng trình: x
2
- (m+1)x+ 2m= 0 có hai nghiệm phân biệt x

1
= 0< y
2
a 0, S > 0 và P= 0
2 y
1
< 0 < y
2
P< 0
0 <y
1
= y
2
a 0 và = 0 , S >0
1 y
1
< 0= y
2
a 0 P=0 và S

o
10
11
0 y
1

y
2
< 0
a 0 và

,
a
+) (d)// (
/
d
)

, ,
;a a b b=
+) (d)

(
/
d
)

, ,
;a a b b= =
+) (d)

(
/
d
)

,
. 1a a =
Ví dụ 1: Cho hàm số :y=ax+b .Hãy xác định a và b trong các trờng hợp sau :
a) Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y=-2x và cắt trục tung tại điểm có tung
độ bằng 2 .


)
Lu ý : Có thể thay A,B bằng các điểm khác có toạ độ nguyên thoã mãn phơng trình đ-
ờng thẳng .
Ví dụ 1 :Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một hệ trục toạ độ và xác định hệ số
góc của mỗi đờng thẳng :
a)y=-2x b)y=3x- 2 c)x-2y =4
II. Đồ thị hàm số :y=
2
ax
(a
0
)
Ph ơng pháp giải:
-Lập bảng giá trị (Thờng lấy 5 giá trị )
-Vẽ đồ thị
Ví dụ 2 :Vẽ đồ thị của các hàm số sau :
a)y=
2
3x
b)
2
1
2
y x=
Dạng 3: Tìm giao điểm của hai đồ thị
Ph ơng pháp giải:
- Lập phơng trình hoành độ giao điểm
- Giải phơng trình từ đó tìm đợc các toạ độ giao điểm .
Ví dụ 1: Cho hai đồ thị (P) :y=

2 2x m m +
.Với những giá trị
nào của m thì đờng thẳng (d) cắt pa ra bol (P) tại hai điểm phân biệt .
Ví dụ 4: Cho hai đồ thị (P)
2
y mx=
và (d) y=2x-5 .Tìm m để (d) tiếp xúc với (P)
Dạng 4: Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi tham số m .
Ph ơng pháp giải: Cho hàm số
( )x
y f=
.Giả sử
0 0
( ; )M x y
là điểm cố định mà đồ thị hàm
số luôn đi qua với mọi giá trị của tham số m

0
0 ( )x
y f=
với mọi m

Đa thức với ẩn m
có tất cả các hệ số bằng 0 .
Ví dụ 1: Cho đờng thẳng có phơng trình:
2(m-1)x+(m-2)y=2
a) Chứng minh rằng đờng thẳng đã cho luôn đi qua một điểm cố định khi m
thay đổi.Tìm điểm cố định đó .
b) Tìm m để đờng thẳng đã cho cách gốc toạ độ một khoảng lớn nhất.
12

a) Trên đờng thẳng 8x-13y+6=0 tìm các điểm có toạ nguyên (điểm nguyên )
nằm giữa hai đờng thẳng x=-10;x=50
b) Vẽ đồ thị(d) hàm số
3 7
2 4
y x= +
.Có bao nhiêu điểm có toạ độ nguyên nằm
trên cạnh hoặc trong tam giác tạo bởi 3 đờng thẳng (d);x=6;y=0
HD: a)Trớc hết giải pt nghiệm nguyên ta đợc
13 9
8 6( )
x t
y t t Z
= +


= +

Do -10<x<50

-10 <13t+9 < 50

-1
3t

{ }
1;0;1;2;3t
.Thay t vào tìm đợc x;y .
b)Vẽ đờng thẳng
3 7

y=2x-4và
3
( )d
y=mx+m+2
a) Tìm điểm cố định mà đờng thẳng
3
( )d
luôn đi qua voOoơí mọi giá trị của m .
b) Tìm m để ba đờng thẳng đồng qui .
13
14
Bài tập vận dụng:
1.Cho hàm số :
2
3 6 5y x x= + +
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số .
b) Chứng minh rằng hàm số đồng biến khi x>-1, nghịch biến khi x<-1
2.Xác định hàm số f(x) biết :
a) f(x-5)=2x-1
b) f(x+1)=
2
2 3x x +
3.Vẽ đồ thị các hàm số sau :
a)
3y x=
b)
2 3 1y x= +
4.Trên mặt phẳng toạ độ chứng minh ba điểm M(1;1) ;N(2:-2):P(-1;7) thẳng hàng.
5.Cho hàm số: y=(2m-3)x-1.Tìm m để đồ thị hàm số :
a) Song song với đờng thẳng y=5x+3

2. Các dạng toán th ờng gặp :
a)Toán chuyển động :
-S ử dụng thành thạo các công thức:
. , ,
S S
S v t v t
t v
= = =
(trong đó S là quãng đ-
ờng, v là vận tốc, t là thời gian )
- Lu ý thống nhất đơn vị
- Đối với chuyển động dới dòng nớc chảy
xd cn dn
v v v= +
,
nd cn dn
v v v=
b) Toán làm chung, làm riêng, vòi nớc chảy
- Coi cả công việc (cả bể nớc) là 1
- Tính năng suất của mỗi đối tợng
14
15
c) Toán về số và quan hệ các số
- Chú ý cấu tạo số
d) Toán liên quan đến tỉ số %
e) Toán liên quan đến hình học
g) Toán liên quan vật lý, hoá học
II.Một số bài tập
1. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian nhất định, nếu ô tô tăng vận tốc
thêm 8km/h thì đến B sớm hơn dự định 1giờ, nếu ô tô giảm vận tốc 4km/h thì đến B

11. Một hợp kim đồng và kẽm trong đó có 5kg kẽm .Nếu thêm 15 kg kẽm vào hợp
kim này ta đợc một hợp kim mới .Kết quả là trong hợp kim mới lợng đồng đã giảm so
với lúc đầu là 30%.Tính khối lợng ban đầu của hợp kim.
15
16
12. Ngời ta trộn lẫn 8 gam chất lỏng này với 6gam chất lỏng khác có khối lợng
riêng nhỏ hơn nó 200
kg
/
3
m
để đợc một hỗn hợp có khối lợng riêng là 700
kg
/
3
m
.Tìm
khối lợng riêng của mỗi chất lỏng .
13. Ngời ta cho thêm 1kg nớc vào dung dịch A thì đợc dung dịch B có nồng độ a xít
là 20% .Sau đó lại cho thêm 1kg a xít vào dung dịch Bthì đợc dung dịch C có nồng độ
a xít là
1
33
3
%.Tính nồng độ a xít trong dung dịch A.
14. Mỗi phòng họp có 100 chỗ ngồi nhng số ngời đến họp là 144 ngời do đó ngời ta
phải kê thêm 2dãy ghế và mỗi dãy ghế phải thêm 2 ngời ngồi. Hỏi phòng họp lúc đầu
có mấy dãy ghế
15. Một mảnh vờn hình chữ nhật có diện tích
2

+=
5)

ABC vuông tại A

a
2
= b
2
+ c
2

4) Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
b = a.sinB = a.cosC; c = a.sinC = a.cosB
b = c.tgB = a.cotgC; c = b.tgC = a.cotgB
5) Vị trí tơng đối.
- Vị trí tơng đối của đờng thẳng a với đờng tròn (O; R)
+ Đờng thẳng a và đờng tròn (O; R) cắt nhau d < R
+ Đờng thẳng a và đờng tròn (O; R) tiếp xúc nhau d = R
+ Đờng thẳng a và đờng tròn (O; R) không giao nhau d > R
- Vị trí tơng đối của đờng tròn (O; R) và (O; r) (với R > r)
+ Hai đờng tròn cắt nhau R - r < d < R + r
+ Hai đờng tròn tiếp xúc trong d = R - r
Hai đờng tròn tiếp xúc ngoài d = R + r
+ Hai đờng tròn ngoài nhau d > R + r
Hai đờng tròn đựng nhau d < R - r
6) Tiếp tuyến của đờng tròn.
- Định nghĩa: Đờng thẳng a và đờng tròn (O; R) có một điểm chung A thì đờng
thẳng đó gọi là tiếp tuyến của đờng tròn, A gọi là tiếp điểm.
- Tính chất
ẳ
ã
sd AmB AOB=
;
ẳ
ẳ
0
360sd AnB sd AmB=
n
m
B
A
O
2. Góc nội tiếp là góc có đỉnh
nằm trên đờng tròn và hai
cạnh chứa hai dây của đờng
tròn đó
Số đo của góc nội tiếp bằng nữa
số đo của cung bị chắn
ã
ẳ
1
2
ACB sd AmB=
C
m
B
A

AEC sd AmC sd BnD= +
j
E
B
D
n
m
C
A
O
5. Góc có đỉnh nằm ở bên
ngoài đờng tròn
Số đo của góc có đỉnh nằm ở
bên ngoài đờng tròn bằng nữa
hiệu số đo của hai cung bị chắn
ã
ẳ
ẳ
1
( )
2
AEC sd AmC sd BnD=
E
B
D
n
m
C
A
O

- Chứng minh tứ giác đó có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện dới một
góc không đổi.
9) Độ dài đờng tròn, cung tròn
Độ dài đờng tròn: C = 2

R =

d
Độ dài cung tròn:.
360180

CnR
l ==
10) Diện tích hình tròn, hình quạt tròn
Diện tích hình tròn S =

R
2
Diện tích hình quạt tròn S
quat
=
2
360 2
R n lR

=
11) Diện tích hình tròn, hình quạt tròn
Các công thức tính diện tích, thể tích của hình trụ, hình nón và hình cầu
II/. Một số kĩ năng
- Kĩ năng vẽ hình

1
), (O
2
) th
t ti C, D. ng thng CE v ng thng DF ct nhau ti I.
a) Chng minh IA vuụng gúc vi CD.
b) Chng minh t giỏc IEBF l t giỏc ni tip.
c) Chng minh ng thng AB i qua trung im ca EF.
Bài 3: Cho hai đờng tròn (0
1
) và (0
2
) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến chung gần P hơn
của hai đờng tròn tiếp xúc với (0
1
) tại A, tiếp xúc với (0
2
) tại B. Tiếp tuyến của (0
1
)
tại P cắt (0
2
) tại điểm thứ hai D khác P, đờng thẳng AP cắt đờng thẳng BD tại R. Hãy
chứng minh rằng:
a) Bốn điểm A, B, Q,R cùng thuộc một đờng tròn
b) Tam giác BPR cân
c) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB và RB.
Bi 4: Cho ng trũn (O;R), ng kớnh AB c nh. Trờn tia BA kộo di v phớa A
ly im S c nh ( nm ngoi ng trũn (O) ). T S k cỏt tuyn ct ng trũn
(O) theo th t ti hai im C v D (khỏc A,B). K dõy DM vuụng gúc vi AB, gi K

b) Chng minh t giỏc OBMA l mt hỡnh thoi.
c) Khi B di ng trờn ng trũn (O) thỡ M di ng trờn ng no?
Bi 7: Cho na ng trũn (O), ng kớnh AB. V cỏc tip tuyn Ax, By vi na
ng trũn. M l mt im ca cung AB (M khỏc A v B ); C l im ca on OA
(C khỏc O v A ). ng thng i qua im M vuụng gúc vi MC ct Ax ti im P;
20
21
đường thẳng qua điểm C vuông góc với CP cắt By tại điểm Q. Gọi D là giao điểm
của CP và AM; E là giao điểm của CQ và BM.
a) Chứng minh tứ giác ACMP; CEMD nội tiếp trong một đường tròn
b)Chứng minh DE
⊥
Ax.
c) Chứng minh 3 điểm P, M và Q thẳng hàng.
Bài 8:Cho hai đường tròn bằng nhau (O
1
; R) và (O
2
; R) cắt nhau tại hai điểm A và B
sao cho AB = R. Kẻ các đường kính AO
1
C và AO
2
D. Trên cung nhỏ BC lấy điểm M
(M khác B và C). Giao điểm thứ hai của tia MB với đường tròn (O
2
; R) là P. Các tia
CM và PD cắt nhau ở Q; MP và AQ cắt nhau ở K.
a) Chứng minh tứ giác AMQP nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh tam giác MPQ đều.

BE CF
AK A
HK
+ + =
21
22
Một số đề ôn luyện:
Đề số I
Câu 1. Rút gọn biểu thức sau:
A =
1 1
( 0, 1)
a a a a
a a
a a a a
+
>
+
Câu 2. Cho phơng trình: x
2
+ (3 - m).x - m =0 (*)
a) Giải phơng trình (*) khi m = 2
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng -2. Tìm nghiệm còn lại.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm đối nhau.
Câu 3. Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 10 m. Nếu tăng chiều dài thêm
5m và giảm chiều rộng đi 5 m ta đợc một hình chữ nhật mới có chiều rộng bằng
2
7

chiều dài. Tính chu vi và diện tích hình chữ nhật ban đầu.


; x
2
là hai nghiệm của phơng trình x
2
+2009x 2010 = 0 . Tính
gía trị của biểu thức : A = x
1
+ x
2
+ x
1
. x
2
Câu 2: Cho biểu thức: P =
1
1
:
1
1
1
3
+ì






+ì

24
Đề số 3
Câu 1: a) Giải phơng trình sau:
2
8 2 1 0x x =
b) Gọi x
1

; x
2
là hai nghiệm của phơng trình x
2
+ 2009x 2010 = 0 . Tính
giá trị của biểu thức : A = x
1
+ x
2
+ x
1
. x
2
.
Câu 2: Cho biu thc:
A =







điểm thứ hai N. Đờng thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đờng
tròn tại điểm P. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác OMNP nội tiếp.
b) Tứ giác CMPO là hình bình hành
c) Khi M di động trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định.
Câu 5: Giải phơng trình:

2
2 2
4 8
4
x
x x+ =
24
25
Đề số 4
Câu 1: 1, Giải hệ phơng trình :
2 4
3 2 1
x y
x y



+ =
=
2, Gọi x
1
,


+

với - 1 < a < 1
1, Rút gọn biểu thức P.
2, Tìm các giá trị của a để P
2
= P.
Câu 3 : Một ngời đi xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 60 km. Khi từ B
trở về A, do trời ma, ngời đó giảm vận tốc 10 km/h so với lúc đi nên thời gian
về nhiều hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc lúc đi của ngời đó.
Câu 4 : Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB. Trên đờng tròn lấy điểm C ( C khác A và
B ), tia AC cắt tiếp tuyến kẻ từ B của đờng tròn tại điểm D. Gọi I là trung
điểm của AC.
1, Chứng minh

BAD =

CBD.
2, Chứng minh AO.IB = AI.OD .
3, Tìm vị trí của điểm C để diện tích tứ giác BDCO gấp 7 lần diện tích tam
giác BCO.
Câu 5 : Các số thực x, y thoả mãn điều kiện: x
2
8(x + y) + 2xy + 2y
2
+13 = 0.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + y.
25