THANH TÙNG 0947141139

1

CHUYÊN ðỀ : SỐ PHỨC
Bài tập mẫu

Bài 1. Hãy viết các biểu thức sau dưới dạng số phức
a bi
+

( , )
a b
∈


1.
2(2 3 )
(1 2 )(3 ) 4 2
1
i
A i i i
i
+
= + − − + −
+
2.
1 3 1 2
1 2 1
i i i
B

+ + −2 2
2(5 )
5 5 4 2 5 5 (5 ) 4 2
1 1
i
i i i i i
+
= + − + − = + − + + − =
+
4 2
i
+

2.
2
1 3 1 2 (1 ) (3 )(2 ) (1 2 )(1 )
1 2 1 (1 )(1 ) (2 )(2 ) (1 )(1 )
i i i i i i i i
B
i i i i i i i i i
+ − + + − + + −
= + − = + −
− − + − + − + + −2 7 3 7 3 1 1
1

5
3
2
(2 )(1 2 ) (1 )
.(3 4 ) .(1 )
5 2
i i i
i i
 
+ + +
 
= + − +
 
 
 
 3 5
3 5
5 2
.(3 4 ) .(1 ) .(3 4 ) (1 ) (3 4 ) (1 )
5 2
i i
i i i i i i i i i i
   
= + − + = + − + = − + − + =
   
   
5 4

z
i
+
=
−
. Tính giá trị của biểu thức:
2013
2
A iz
= +
.

Giải: Ta có:
2
1 (1 ) 2
1 2 2
i i i
z i
i
+ +
= = = =
−
2013 2013 2 1006 1006
( ) . ( 1) .
z i i i i i
⇒ = = = − =2013 2
2 2 2 1

1
C i i i i
= + + + + +100
(1 )
D i
= −

16 8
1 1
1 1
i i
E
i i
+ −
   
= +
   
− +
   

105 23 2012 34
F i i i i
= + + −

2) Cho số phức
1
1


3 Bài tập mẫu
1. (D – 2012) Cho số phức z thỏa mãn
2(1 2 )
(2 ) 7 8
1
i
i z i
i
+
+ + = +
+
. Tìm môñun của số phức
1
w z i
= + +
.

Phân tích :
+) ðiều kiện
2(1 2 )
(2 ) 7 8
1
i
i z i
i
+

(2 ) 7 8
(1 )(1 )
i i
i z i
i i
+ −
⇔ + + = +
+ −2(3 )
(2 ) 7 8
2
i
i z i
+
⇔ + + = +(2 ) 4 7
i z i
⇔ + = +4 7 (4 7 )(2 ) 15 10
3 2
2 5 5
i i i i
z i
i

=
−
. Tìm môñun của số phức
z iz
+
.

Phân tích :
+) ðiều kiện
3
(1 3 )
1
i
z
i
−
=
−
chỉ chứa
z
nên ta thực hiện các phép toán
z a bi z a bi
⇒ = + ⇒ = −

+) Suy ra
z iz
+

z iz
⇒ +

z i
i
z
+
= −
+
. Tính môñun của số phức
2
1
w z z
= + +
.

Phân tích :
+) Trong ñiều kiện
5( )
2
1
z i
i
z
+
= −
+
chứa ñồng thời
z
và
z
nên gọi
z a bi

=


Giải:
+) Gọi
z a bi
= +

( , )
a b R
∈
,
1
z
≠ −

+) Khi ñó:
5( )
2 5( ) ( 1)(2 ) 5( ) ( 1)(2 )
1
z i
i z i z i a bi i a bi i
z
+
= − ⇔ + = + − ⇔ − + = + + −
+
(*)
(*)
5 5( 1) (2 2 ) ( 1 2 )
a b i a b a b i

chứa
z
nên gọi
z a bi
= +

( , )
a b R
∈

+) Từ hai ñiều kiện
2
z =

và
2
z
là số thuần ảo
1
2
( , ) 0
?
( , ) 0 ?
f a b
a
z
f a b b
=
=


⇒ − =
2 2
b a
⇔ =
(2)
THANH TÙNG 0947141139

Thay (2) vào (1):
2
1 1
2 2
1 1
a b
a
a b
= ⇒ = ±

= ⇔

= − ⇒ = ±

.
Vậy các số phức cần tìm là:
1 ;
i
+

1 ;
i
−

có
1
z
−
nên gọi
z a bi
= +

( , )
a b R
∈

+) Từ hai ñiều kiện
( 1)( 2 )
z z i
− +

là số thực và
1 5
z − =
1
2
( , ) 0
?
( , ) 0 ?
f a b
a
z
f a b b
=


là số thực
[ ( 1)( 2)] 0 2 2 0
ab a b a b
⇔ − − − = ⇔ + − =
(1)
Ta có:
2 2 2 2
1 5 1 5 ( 1) 5 ( 1) 5
z a bi a b a b
− = ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ − + =
(2)
Từ (1)
2 2
b a
⇒ = −
thay vào (2) ta ñược:
2 2 2
0 2
( 1) (2 2) 5 2 0
2 2
a b
a a a a
a b
= ⇒ =

− + − = ⇔ − = ⇔

= ⇒ = −


z i z i
− − = −

và z có môñun nhỏ nhất
1
2
( , ) 0
?
( , ) 0 ?
f a b
a
z
f a b b
=
=


⇒ ⇔ ⇒
 
= =



Giải:
+) Gọi
z a bi
= +

( , )
a b R

2 0 2 2
a a b
− = ⇔ = ⇒ =
.
Vậy số phức
2 2
z i
= + Chú ý: Các em có thể tham khảo thêm cách giải thứ 2 của bài toán này ở Dạng 3 – Loại 1
THANH TÙNG 0947141139
Bài tập áp dụng
1) Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:
a)
3 3
( 1 ) (2 )
z i i
= − + −
. b)
2013
(1 )
1
i
z
i
+

1 3
1
i
z
i
 
+
=
 
 
+
 
.
4) ( A – 2010): Tìm phần ảo của số phức z, biết:
(
)
2
2 (1 2 )
z i i
= + −
.
5) (Cð – 2009 – A): Cho số phức z thỏa mãn
2
(1 ) (2 ) 8 (1 2 )
i i z i i z
+ − = + + +
. Tìm phần thực, phần ảo của z.
6) (Cð – 2010): Cho số phức z thỏa mãn
2
(2 3 ) (4 ) (1 3 )


( B – 2011)
9) (A – 2011): Tìm tất cả các số phức z, biết:
2
2
z z z
= +
.
10) ( B – 2009): Tìm số phức z thỏa mãn:
(2 ) 10
z i− + = và
. 25
z z
=
.
11) Tìm số phức z thỏa mãn:
. 3( ) 4 3
z z z z i
+ − = −
.
12) Tìm số phức z thỏa mãn:
2 2
z i
− + =
. Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 ñơn vị.
13) Tìm số phức z, biết
2 5
z = và phần ảo của z bằng hai lần phần thực của nó.
14) Tìm số phức z thỏa mãn:
a.

= + + −
. b.
(1 )(2 )
1 2
i i
z
i
+ −
=
+

16) (A – 2011-NC): Tìm môñun của số phức z, biết:
(2 1)(1 ) ( 1)(1 ) 2 2
z i z i i
− + + + − = −
.
17) Cho số phức z thỏa mãn
11 8
1 2
.
1 1
i i
i z
i i
+
   
= +
   
− +
   

+ =


. Tìm số phức liên hợp của z.
21) Tìm số nghịch ñảo của số phức
3
2
1 3 2
1 (1 )
i i
z
i i
 
− −
= −
 
+ −
 
.
22) Biết số phức z thỏa mãn
30 7
z z iz i
+ + = −
. Tìm số ñối của z.

THANH TÙNG 0947141139 Bài tập mẫu
1. Xét các ñiểm A,B,C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số

− + = + ⇒2 6 (2 6 )(3 ) 20
2 (0;2)
3 10 10
i i i i
i C
i
+ + +
= = = ⇒
−

a. Khi ñó :
2 2
10
(1;3)
. 0
(3; 1)
AB CB
AB
AB CB
CB


= =
=
 
⇒
 

=
uuur uuur
1 1
2 3 1
x x
y y
− = = −
 
⇔ ⇔
 
− = = −
 

Vậy số phức biểu diễn bởi ñiểm
( 1; 1)
D
− −
là:
1
i
− −

2. Trong các số phức thỏa mãn ñiều kiện
2 4 2
z i z i
− − = −
. Tìm số phức z có môñun nhỏ nhất.

Giải: Cách 1: (Các em xem lại cách giải bài toán này theo phương pháp ñại số Ví dụ thứ 6 ở DẠNG 2)
Cách 2:

(*)

+) Ta có:
z OM
=
min
min
z OM OM d
⇒ ⇔ ⇔ ⊥. 0 0
d
OM u x y
⇔ = ⇔ − =
uuuur uur
(2*) (với
( ; ), (1; 1)
d
OM x y u
= = −
uuuur uur
)

Từ (*) và (2*) suy ra:
4 0 2
0 2
x y x
x y y
+ − = =

 
+
 
 
 
và
3
i
z
.
Chứng minh rằng:
a. Tam giác OMA vuông tại M.
b. Tam giác MAB là tam giác vuông.
c. Tứ giác OMAB là hình chữ nhật. Bài tập mẫu
1. Cho số phức
z
thỏa mãn
3 2
z i z
− + = +
.
a. Tìm tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy biểu diễn số phức
z
.
b. Trong các số phức
z
thỏa mãn ñiều kiện trên, tìm số có môñun bé nhất.

6 2 10 4 4 5 3 0
x y x x y
⇔ − + + = + ⇔ − − =

Vậy tập hợp ñiểm biểu diễn số phức
z
là ñường thẳng
d
có phương trình:
5 3 0
x y
− − =

(*)

THANH TÙNG 0947141139

b) Cách 1 (Phương pháp ñại số)
Từ (*) ta có:
5 3
y x
= − ⇒

2 2 2 2 2
(5 3) 26 30 9
z x y x x x x
= + = + − = − +

Nên:
min

d
có phương trình:
5 3 0
x y
− − =

có véctơ chỉ phương
(1;5)
d
u =
uur

Ta có:
z OM
=
min
min
z OM OM d
⇒ ⇔ ⇔ ⊥

. 0 5 0
d
OM u x y
⇔ = ⇔ + =
uuuur uur
(2*) (với
( ; )
OM x y
=
uuuur

 
 
hay số phức
15 3
26 26
z i
= −

2. Cho số phức
z
thỏa mãn
(1 )
2 1
1
i z
i
+
+ =
−

a. Tìm tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy biểu diễn số phức
z
.
b. Trong các số phức
z
thỏa mãn ñiều kiện trên, tìm số có môñun lớn nhất và số có môñun nhỏ nhất. Giải: a) Gọi
( ; )

y x
⇔ − + =
(*)
Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức
z
là ñường tròn tâm
(2;0)
I
có bán kính
1
R
=
.
b) Cách 1 (Phương pháp ñại số)
Từ (*)
2
( 2) 1 1 2 1 1 3
y y y
⇒ − ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤
(1) Mặt khác từ (*) ta có:
2 2
4 3
x y y
+ = −
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
2 2
1 9
x y
≤ + ≤

y
=
và
0
x
=
hay số phức có môñun lớn nhất là:
3
z i
=
.

THANH TÙNG 0947141139

Cách 2 (Phương pháp hình học) 3. Cho số phức
z
thỏa mãn
2
2 2( ) 2
z z z i
− = − −

a. Tìm tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy biểu diễn số phức
z
.
b. Trong các số phức
z
⇔
2 2
( 2) 4 2
x y y
− + = − −2 2
( 2) ( 2) 2
x y
⇔ − + + =

(*)

Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức
z
là ñường tròn tâm
(2; 2)
I
−
có bán kính
2
R =
.
b)

2
1
2 2
2
(1; 1)
2 1 1 1
( 2) 2 2 ( 2) 1
2 1 3 3 (3; 3)
M
x x y
x x x
x x y M
−
− = − = ⇒ = −

 
− + − + = ⇔ − = ⇔ ⇔ ⇒

 
− = = ⇒ = − −
 

1
2
2
3 2
OM
OM

=


2
max
z OM
=
hay
2
(3; 3)
M M
≡ −
nên số phức có môñun lớn nhất là:
2
3 3
z i
= −THANH TÙNG 0947141139

4
.

(
B
–

2010

–



th
ỏ
a mãn:
(1 )
z i i z
− = +Giải:
Gọi
( ; )
M x y
là ñiểm biểu diễn số phức
z x yi
= +

( ; )
x y R
∈
trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, ta có:

(1 ) (1 )( ) ( 1) ( ) ( )
z i i z x yi i i x yi x y i x y x y i
− = + ⇔ + − = + + ⇔ + − = − + +
CB
):
Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, tìm tập hợp ñiểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:(3 4 ) 2
z i
− − =
.

Giải:
Gọi
( ; )
M x y
là ñiểm biểu diễn số phức
z x yi
= +

( ; )
x y R
∈
trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, ta có:

(3 4 ) 2 (3 4 ) 2 ( 3) ( 4) 2
z i x yi i x y i
− − = ⇔ + − − = ⇔ − + + =2 2 2 2
( 3) ( 4) 2 ( 3) ( 4) 4


.
Giải:
Gọi
( ; )
M x y
là ñiểm biểu diễn số phức
w x yi
= +

( ; )
x y R
∈
trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, ta có:

1 2
w z i
= − −

⇒
1 2 1 2 ( 1) ( 2)
z w i x yi i x y i
= + + = + + + = + + +
( 1) ( 2)
z x y i
⇒ = + − +

Do ñó
1 1 ( 1) ( 2) 1 1
z i x y i i

. b.
1 2
z i
− + =
c.
2
z i z
+ = −
. d.
4
z i z i
− + + =
.
e.
4 4 10
z i z i
− + + =
f.
2 2
z i z z i
− = − +
. g.
(
)
2
2
z z
=
h.
1

2
z
là hai nghiệm phức của phương trình
2
2 10 0
z z
+ + =
.
Tính giá trị của biểu thức
2 2
1 2
A z z
= +
.

Giải : Phương trình
2
2 10 0
z z
+ + =

có biệt thức
2
' 1 10 9 9
i
∆ = − = − =
nên phương trình có hai nghiệm :

1
1 3

6
w z
z i
= +
+

Giải : Phương trình
2
6 13 0
z z
− + =

có biệt thức
2
' 9 13 4 4
i
∆ = − = − =
nên phương trình có hai nghiệm : 6 6
3 2
3
w z i
z i i
⇒ = + = − +
+ −6(3 ) 24 7

trên tập hợp các số phức.
Giải :
Cách 1 : Phương trình
2
3(1 ) 5 0
z i z i
+ + + =
có biệt thức
2 2
' 9(1 ) 20 2 (1 )
i i i i
∆ = + − = − = −

nên phương trình có nghiệm :
1
2
3(1 ) (1 )
1 2
2
3(1 ) (1 )
2
2
i i
z i
i i
z i
− + + −

= = − −


1
a b
i a bi a b abi
ab

− =
− = + = − + ⇔

= −

và “ñoán”:
1
1
a
b
=


= −


+) Hướng 3 : (ðây là hướng ñi tổng quát – khi không nhìn thấy luôn theo Hướng 1, Hướng 2)
Gọi
a bi
+
là căn bậc hai của
2 2 2
2 ( ) 2 2 2
i a bi i a b abi i
− ⇒ + = − ⇔ − + = −

−
và
1
i
− +
nên phương trình có nghiệm :

1
2
3(1 ) (1 )
1 2
2
3(1 ) ( 1 )
2
2
i i
z i
i i
z i
− + + −

= = − −


− + + − +

= = − −




[ 3( )] (2 3 3 5) 0
a b a b ab a b i
⇔ − + − + + + + =2 2
( )( 3) 0 (1)
3( ) 0
2 3( ) 5 0 (2)
2 3( ) 5 0
a b a b
a b a b
ab a b
ab a b
− + + =

− + − =

⇔ ⇔
 
+ + + =
+ + + =



(1)
3
a b
b a
=

a a
⇔ + + =1 2
2 1
a b
a b
= − ⇒ = −

⇔

= − ⇒ = −


Vậy
1 2
z i
= − −
hoặc
2
z i
= − −
. THANH TÙNG 0947141139

4. (Cð – 2010) Giải phương trình
2


= − = −

)
nên phương trình có hai nghiệm :
1
2
(1 ) (1 5 )
1 2
2
(1 ) (1 5 )
3
2
i i
z i
i i
z i
+ + −

= = −


+ − −

= =



5. (Cð – 2009) Giải phương trình sau trên tập số phức :
4 3 7

⇔ − + + + =

phương trình có biệt thức
2 2
(4 3 ) 4(1 7 ) 7 24 4 28 3 4 (2 )
i i i i i i
∆ = + − + = + − − = − = −

(Làm ra nháp: Nhẩm
,
a b
thỏa mãn
2 2
3
2; 1
2 (2 4)
a b
a b
ab ab

− =
⇒ = = −

= − = −

)
nên phương trình có hai nghiệm :
1
2
(4 3 ) (2 )

= +
. c)
4 6 5
z i
= + . d)
1 2 6
z i
= − − .
2) Giải các phương trình trên tập hợp các số phức:
a)
2
3 2 0
x x
+ + =
. b)
2
1 0
x x
+ + =
. c)
3
1 0
x
− =
.
d)
2
(3 4 ) 5 1 0
x i x i
− + + − =


là các nghiệm phức của phương trình
2
2 4 11 0
z z
− + =
. Tính giá trị biểu thức 2 2
1 2
2
1 2
( )
z z
A
z z
+
=
+

THANH TÙNG 0947141139

7) Gọi
1
z
và
2
z
là hai nghiệm phức của phương trình

2 2
1 2 1 2
B z z z z
= +
; c.
1 2
2 1
z z
C
z z
= +
.
9) Giải các phương trình sau trên tập số phức :
a.
2 2 2
( ) 4( ) 12 0
z z z z
+ + + − =
. b.
2 2 2 2
( 3 6) 2 ( 3 6) 3 0
z z z z z z
+ + + + + − =

c.
4 2
6 25 0
z z
− + =
. c.


+ =


=


.
11) Giải hệ phương trình sau trong tập số phức :
2
2
2 2 2 2
6
5
( ) 6 0
a a
a a
a b ab b a a

+ − =

+


+ + + − =

.

z iz
− − =
có biệt thức
2
' ( 3 ) 4 3 4 1
i
∆ = + = − + =

Suy ra phương trình có hai nghiệm :
1
1 3
z i
= + và
2
1 3
z i
= − +
+) Với
1
1 3
z i
= +
1 3 2
1 3
cos ;sin
2 2 3
r
π
ϕ ϕ ϕ



= + =

⇒

= − = ⇒ =


.Vậy dạng lượng giác :
2
2 2
2 cos sin
3 3
z i
π π
 
= +
 
 Bài tập áp dụng

1) Viết các số phức z sau dưới dạng lượng giác
a.
(1 3)(1 )
z i i
= − +
. b.
1 3

.
2) Tính
10 5
10
(1 ) ( 3 )
( 1 3)
i i
z
i
− +
=
− −
.
3) Viết dưới dạng lượng giác của số phức z biết
2
z = và một acgumen của
1
z
i
+
là
3
4
π
−
.
4) Viết dưới dạng lượng giác của số phức z biết
1 3
z z i
− = − và

7) Tìm số n là số nguyên dương và
[1;10]
n
∈
sao cho số phức
(1 3)
n
z i= +
là số thực.
8) Tìm n ñể số phức
3 3
3 3
n
i
i
 
−
 
 
−
 
là số thực, là số ảo ?.
9) Tìm phần thực và phần ảo của số phức
2013
2013
1
z
z
+
. Biết

thỏa mãn
3
3
1
2
z
z
+ ≤
. Chứng minh rằng :
1
2
z
z
+ ≤
.
4) Cho số phức
1 3
2 2
z i
= − +
. Chứng minh rằng :
2
1 0
z z
+ + =
;
2
1
z z
z

' '
z z z z
− = −
c.
. ' . '
z z z z
=
d.
'
'
z z
z
z
 
=
 
 
(
' 0
z
≠
) e.
. ' . '
z z z z
=
f.
' '
z
z
z z