BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
1.Dạng 1:
( )f x c≥
(1)
a.Nếu c
≤
0 : (1) thoả với mọi x
∈
R sao cho f(x)
≥
0
b.Nếu c > 0 : Ta có :
( )f x c≥

⇔
f(x)
≥

2
c
(1a)
Tập nghiệm của (1a) là tập nghiệm của (1).
Thí dụ: giải các phương trình
a.
2 3 1x + ≥ −
b.
2
7 1 3x x+ + ≥
Giải
a.Ta có :
2 3 1x + ≥ −


⇔

8 1x x≤ − ∪ ≥
2.Dạng 2:
( )f x c≤
(2)
a.Nếu c < 0 : (2) vô nghiệm
b.Nếu c
≥
0 : Ta có :

2
( ) 0
( )
( )
f x
f x c
f x c
≥

≤ ⇔

≤

Giải hệ bất phương trình (2a). suy ra nghiệm của (2)
Thí dụ: giải các bất phương trình:
a.
2
4 3 1x x− + < −

2
2
1 3
2 3 0
2 3 2
1 2 2 1 2 2
2 7 0
x x
x x
x x
x
x x
≤ − ∪ ≥


− − ≥
 
− − < ⇔ ⇔
 
− < < +
− − <





⇔
1 2 2 1 3 1 2 2x x
− < ≤ − ∪ ≤ < +
Vậy nghiệm của (c) là :

2 3 2 3x x x x
+ − ≥ − −
Giải
a.Ta có:

2 1x x+ ≥ +
1 0 1
1
2 1 2 1
x x
x
x x
+ ≥ ≥ −
 
⇔ ⇔ ⇔ ≥ −
 
+ ≥ + ≥
 
Vật nghiệm của rất phương trình là x
≥
-1
b. Ta có:

1 0 1
2 3 3 1 4
2 3 1 4
x x
x x x
x x x
+ ≥ ≥ −

2 3 2 3
x x x x
x x x x
x x
x x x x

− − ≥ ≤ − ∪ ≥


+ − ≥ − − ⇔ ⇔
 
≤ − ∪ ≥
+ − ≥ − −



Vậy bất phương trình có nghiệm là
3 3x x≤ − ∪ ≥
4.Dạng 4:
( ) ( )f x h x≥
(4)
Ta có :

2
( ) 0
( ) 0
( ) ( ) (4 ) (4 )
( ) 0
( ) [ ( )]
h x

+ −
≥
+
Giải
a.Ta có:
2
2 1 0
2 1 0
1 2 1
1 0
1 (2 1)
x
x
x x
x
x x
+ ≥
+ <


+ > + ⇔ ∪
 
+ ≥
+ > +


2
1
1
1 1 1


Vậy nghiệm của bất phương trình là:
1 0x− ≤ <
b.Ta có:
2
2 2 2
2
2 0 2 0
2
6 2
10
3 2
6 0 6 ( 2)
3
x
x x
x
x x x
x x
x
x x x x x
≥ −

+ < + ≥
< −
 


+ − ≥ + ⇔ ∪ ⇔ ∪
−   

− − ≥
⇔
≠ −
4 5
4 5
4
x x
x x
x
≤ − ∪ ≥
⇔ ⇔ < − ∪ ≥
≠ −
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
4 5x x< − ∪ ≥
5.Dạng 5:

( ) ( )f x h x
≤
(5)
Ta có:
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
f x
f x h x h x
f x h x

≥


x x
x
x x x x x
x x
x x x x
 
+ ≥ ≥ −
≥ −

− +
  
+ ≤ + ⇔ + ≥ ⇔ ≥ − ⇔ ⇔ ≥
  
− − − +
≤ ∪ ≥
  
+ ≤ + + − ≥

 
Vậy nghiệm của bất phương trình là
1 5
2
x
− +
≥
b.Ta có:
2
2
2 2
2

2
2
2 2
3 10 0 2 5
74
3 10 8 8 0 8 2 5
13
74
3 10 (8 )
13
x x x x
x x x x x x x
x x x
x



− − ≥ ≤ − ∪ ≥


− − < − ⇔ − > ⇔ < ⇔ ≤ − ∪ ≤ <
 
 
− − < −


<

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
74

2
f x g x
f x g x c g x f x
c f x g x
f x g x f x g x c
f x g x



≥ ≥


+ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
 
 
− −
+ + ≥


≥

Trở lại lại dạng 4 mà cách giải ta đã biết
Thí dụ : Giải các bất phương trình:
a.
1 2 3 1x x+ + − ≥ −
b.
1 1 4x x− + + ≥
Giải
a.Ta có:


1 1 4x x− + + ≥
2 2
2 2
1
1 0 1
8 0
1 0 1
8 0
1 1 2 1 16 1 8
1 (8 )
x
x x
x
x x
x
x x x x x
x x
≥

 
− ≥ ≥

− ≤

 

⇔ + ≥ ⇔ ≥ − ⇔

  
− ≥

⇔ ⇔ > ∪ ≤ ≤ ⇔ ≥


≤






≥



Vậy nghiệm của bất phương trình là
65
16
x ≥
7.Dạng 7:
( ) ( )f x g x c+ ≤
(7)
a.Nếu c < 0 : (7) vô nghiệm.
b.Nếu c
≥
0
Ta có:
2
2
( ) 0 ( ) 0
( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0

Ta có:
2
2 2 2
2 4 2 4 2 2
4 0
2 2
4 1 2 1 0 1 1
5 2 2 5 4 4 2 5 4 2 1
x
x
x x x x
x x x x x x
 
− ≥
− ≤ ≤
 
− + − ≤ ⇔ − ≥ ⇔ − ≤ ≤
 
 
− + − + < − + < −
 
2
4 2 4 2
1 1
1 1
2 2 15 15
2 1 0 1 1
2 2 4 4
4 5 4 4 4 1
15 15

(8)
Ta có:
( ) 0
( ) 0
( ) 0
( ) 0
( ) ( ) ( )
( ) 0
( ) 0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )
2
f x
f x
g x
g x
f x g x h x
h x
h x
h x g x f x
f x g x
f x g x f x g x h x
≥

≥



≥

3 0
1
1 0
3 1 2 5
3
2 5 0
2 4 2 ( 1)( 3) 2 6
4 3 5
x
x
x
x
x x x
x
x
x x x x
x x
≥
− ≥




≥
− ≥
 
− + − ≥ − ⇔ ⇔
 
≥ −
− ≥

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là
2 26x ≥ +
b.Ta có:

2 2 2
1 1 2 6 2x x x x x x+ + + − + ≥ + +

⇔
2 2 2 2
2 2 2 ( 1)( 1) 2 6 2x x x x x x x
+ + + + − + ≥ + +

⇔

2 2 2
2 ( 1) 6x x x
+ − ≥

4 2 2
0
0
1 9
x
x
x x x
≥

⇔ < ∪

+ + ≥

( ) 0
( ) 0
( ) ( ) ( )
( ) 0
( ) 0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )
2
f x
f x
g x
g x
f x g x h x
h x
h x
h x f x g x
f x g x
f x g x f x g x h x
≥

≥



≥
≥

 
+ ≤ ⇔ ⇔

3 5 12 4
x
x
x
x
x x x
x
x
x x x x
x x

≥ −

+ ≥



≥
− ≥


+ + − ≤ + ⇔ ⇔
 
+ ≥
 
≥ −
 
+ + + − ≤ +



b.Ta có:
1 0
2 1 0
3 1 2 1 1 2 1 3
3 0
3 2 2 ( 1)(2 1) 3
x
x
x x x x x x
x
x x x x
− ≥


− ≥

+ − − > − ⇔ − + − < + ⇔

+ ≥


− + − − < +


2
2
1
1
1
1

− < <
+ − <

 
≥ −


− + < − +


Vậy bất phương trình có nghiệm là
3
1
2
x≤ ≤
10.Dạng 10:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x m f x g x h x± ± ≥
(10)
_Đặt điều kiện có nghĩa.
_Đặt y =
( ) ( ).f x g x±
Thí dụ: giải các bất phương trình sau:
a.
2 2
2 4 3 4 5x x x x− + ≥ − + +
b.
1 3 2 ( 1)( 3) 4 2x x x x x− + + + − + > −
Giải
a Xét bất phương trình:
2 2

2 5 2 5x x⇔ ≤ − ∪ ≥ +
Vậy nghiệm của bất phương trình là

2 5 2 5x x≤ − ∪ ≥ +
b.Xét bất phương trình:

1 3 2 ( 1)( 3) 4 2x x x x x− + + + − + > −
Với điều kiện:
1 0 1
1
3 0 3
x x
x
x x
− ≥ ≥
 
⇔ ⇔ ≥
 
+ ≥ ≥ −
 
Đặt
1 3, 0y x x y= − + + ≥
Ta có:

2 2
3 2
2 2 4 2 6 0
2
0
0 0


 
− + + ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ≥
 
+ + − + ≥
+ − ≥ −




Vậy nghiệm của bất phương trình là
1x ≥
11.Dạng 11:
( ) ( ) ( ) ( )f x g x h x k x± ≥ ±
(10)
Đặc đều kiện có nghĩa cho các căn thức
Đặc điều kiện để hai vế bất phương trình cùng âm hoặc cùng không âm
Bình phương hai vế bất phương trình ta được một dạng mới đơn giản hơn
Thí dụ: Giải các bất phương trình:
a.
9 1 4x x x x+ + ≥ + + +
b.
6 1 2 3 8 4 2x x x x+ − + ≤ − +
Giải
a.Điều kiện xác định:
0 0
9 0 9
0
1 0 1
4 0 4

⇔

2
9x x x+ ≥ −
Vậy nghiệm của bất phương trình là
0x
≥
b. Điều kiện xác định

1
6
6 1 0
3
2 3 0
0
2
8 0
0
4 2 0
1
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x


10 3 2 (6 1)(4 2) 10 3 2 8 (2 3)x x x x x x+ + + + ≤ + + +
⇔

2 2
24 16 2 16 24x x x x+ + ≤ +
⇔

2 2
24 16 2 16 24x x x x
+ + ≤ +
⇔

2
4 4 1 0x x
− + ≤
⇔

2
(2 1) 0x + ≤
⇔

2 1 0x − =
⇔

1
2
x =
Vậy nghiệm duy nhất của bất phương trình là
1