Chuyên đề 1 : phương trình lượng giác
Bài 1 : Giải các phương trình : a.
sin 2 3 / 2x =
b.
0
cos(2 25 ) 2 / 2x + = −
c.
tan(3 2) cot 2 0x x+ + =
d.
sin 4 cos5 0x x+ =
e. .
3 2sin .sin 3 3cos 2x x x+ =
. f.
2 2
cos 3sin 2 3sin .cos 1 0x x x x+ + − =
g.
sin 3 cos 2x x+ =
h.
( )
cos 3 sin 2cos / 3x x x
π
+ = −
k.
2
4cos 2 2( 3 1)cos2 3 0x x− + + =
l.
( )
2 sin cos 6sin .cos 2 0x x x x+ + − =
m.
( )
5sin 2 12 sin cos 12 0x x x− − + =

cos2 cos8 cos6 1x x x− + =

Bài 6 :Giải các PT : a/
1 2sin .cos sin 2cosx x x x+ = +
b/
( )
sin sin cos 1 0x x x− − =
c/
3 3
sin cos cos2x x x+ =
d/
sin 2 1 2 cos cos2x x x= + +
e/
( )
2
sin 1 cos 1 cos cosx x x x+ = + +
f/
( ) ( )
2
2sin 1 2cos2 2sin 1 3 4cosx x x x− + + = −
g/
( ) ( )
2
sin sin 2 sin sin 2 sin 3x x x x x− + =
h/
( )
sin sin 2 sin3 2 cos cos2 cos3x x x x x x+ + = + +
Bài 7 : Giải các PT : a/
3 3
1

1 sin
x
tg x
x
+
=
−
d/
cos2
sin cos
1 sin2
x
x x
x
+ =
−
e/
2
1 2sin 2
1 tan 2
cos 2
x
x
x
−
+ =
f/
1 cos4 sin 4
2sin 2 1 cos4
x x

( )
2
3 2sin cos 1 cos
1
1 sin2
x x x
x
+ − +
=
+
q/
3 3
sin cos
2cos sin
x x
x x
+
−
=cos2x
Bài 9 :Giải các PT : a/
2
2
1 1
cos 2 cos 2
cos
cos
x x
x
x
 

+ = − + +
d/
2
2
1
cot cot 5 0
cos
tgx gx g x
x
+ + + − =
Bài 10 : Tìm m để PT sau có nghiệm :
4 4 6 6 2
4(sin cos ) 4(sin cos ) sin 4x x x x x m+ − + − =

Bài 11 : Cho PT :
sin cos 4sin 2x x x m− + =
a/ Giải PT khi m=0 b/ Tìm m để PT có nghiệm ?
Bài 12: Cho PT :
2 2
cos4 cos 3 sinx x a x= +
a/ Giải PT khi a = 1 b/ Tìm a để PT có nghiệm
( )
0; /12x
π
∈
Bài 13 : Cho PT :
5 5 2
4cos sin 4sin cos sin 4 (1)x x x x x m− = +
a/ Biết
x

 
+ = +
 ÷
+
 

2) Gi¶i ph¬ng tr×nh a.
2
4
4
(2 sin 2 )sin3
1 tan
cos
x x
x
x
−
+ =
b.
2
1
sin
8cos
x
x
=
c.
( )
( )
2


6) Gi¶i PT :a.
2sin 4
cot tan
sin 2
x
x x
x
= +
b.
4 4
sin cos 1 1
cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x x
x
x x
+
= −
c.
2
tan cos cos sin 1 tan .tan
2
x
x x x x x
 
+ − = +
 ÷
 


x x
−
= +
+
g.
2
5sin 2 3(1 sin ) tanx x x− = −
h.
(2cos 1)(2sin cos ) sin 2 sinx x x x x− + = −
k.
6 2
3cos4 8cos 2cos 3 0x x x− + + =
l.
3 tan (tan 2sin ) 6cos 0x x x x− + + =
m.
2
cos2 cos (2tan 1) 2x x x= − =
n
3 tan (tan 2sin ) 6cos 0x x x x− + + =
.
7) Cho ph¬ng tr×nh
2sin cos 1
(1)
sin 2cos 3
x x
a
x x
+ +
=
− +

+ − = −
i.
2
2
2 4
4 4
3 0
1
2 1
x
x x
x
x x
−
− +
+ − =
−
− +
j.
2
2
4
1
2
x x
x x
−
≤
+ +
k.

2 2
1 1 1 2 1x x x
 
+ − = + −
 ÷
 
g.
2
2 2
1
x
x
x
+ =
−
h.
2 2
1 1 (1 2 1 )x x x+ − = + −
k.
( ) ( ) ( )
1
3 1 4 3 3
3
x
x x x
x
+
− + + − = −
−
l.

d.
4 2
2 1 1x x x− + ≥ −
e.
2 2
5 10 1 7 2x x x x+ + ≥ − −
f.
2 1 2 2x x x− − + > −
g.
2 2
( 3 ) 3 2 0x x x x− − − ≥
h.
12 3 2 1x x x+ ≥ − + +
Bài 5 : Cho bpt :
5 1
5 2
2
2
x x m
x
x
+ < + +
a.Giải BPT khi m=4 b.Tìm m để BPT nghiệm đúng
[1 / 4;1]x∀ ∈
Bài 6 : Cho PT :
4 4 4x x x x m+ − + + − + =
a. Gi¶i PT khi m = 6 b. T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm
Bài 7 : T×m m ®Ĩ a.
2
( 1)( 3)( 4 6)x x x x m+ + + + ≥


+ + ≤


− + − ≤


cã n
0
g.
2
2 ( 1) 2
x y
y x x y a
+ ≤



+ + − + =


cã n
0
h.
2 2
2 1
0
x y x
x y m


x y xy
+ + =



+ + =


c
2 2
3
6
xy x y
x y x y xy
− + = −



+ − + + =


d.
3 3 3 3
17
5
x x y y
x xy y

+ + =




g.
2 2
2 2
2 2
2 2
x y x y
y x y x

− = +


− = +


h.
2 2
2 2
3 2 11
2 3 17
x xy y
x xy y

+ + =


+ + =



( )
2 2
2 2
2 3
10
y x y x
x x y y

− =



+ =

l.
( )
( )
( )
2
2 2
. 2
1
x y y
x y x xy y

+ =


+ − + =



o.
2 2
4
128
x y x y
x y

+ + − =


+ =


p
2 2
2 2
x y
y x

+ − =


+ − =


q.
( ) ( )
2 2
2 2 2

x y
x y

− + − =


− =



Bài 2: Xác đònh các giá trò m để hệ
2 2
6x y
x y m
+ =



+ =


: a. Vô nghiệm b. Có một nghiệm duy nhất c. Có hai nghiệm phân biệt
Bài 3: Cho hệ PT
2
2
1
1
x y mxy
y x mxy



+ = +


b.
2
2
( 1)
( 1)
xy x m y
xy y m x

+ = −


+ = −


c.
2
2
( 1)
( 1)
x y m
y x m

+ = +


+ = +

− + − + −
 ÷  ÷
   
d.
3 1 5 3 4
3
4 5 4 5 5
i i i
     
+ − − + + − −
 ÷  ÷  ÷
     
e. (2 - 3i)(3 + i)
f. (3 + 4i)
2
g.
3
1
3
2
i
 
−
 ÷
 
h.
( ) ( )
2 2
1 2 2 3i i+ + −
k.

2 3
4 2 2
i
i i
+
+ −
C©u 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau (víi Èn lµ z) trªn tËp sè phøc
a.
( )
4 5 2i z i− = +
b.
( ) ( )
2
3 2 3i z i i− + =
c.
1 1
3 3
2 2
z i i
 
− = +
 ÷
 
d.
3 5
2 4
i
i
z
+

2
2 5 2 2 0i x i x i+ − − + − =
k. ix
2
+ 4x + 4 - i = 0
C©u 4: Gi¶i PT trªn tËp sè phøc : a.
2
( 3 )( 2 5) 0z i z z+ − + =
b.
2 2
( 9)( 1) 0z z z+ − + =
c.
3 2
2 3 5 3 3 0z z z i− + + − =

d. (z + i)(z
2
- 2z + 2) = 0 e. (z
2
+ 2z) - 6(z
2
+ 2z) - 16 = 0 f. (z + 5i)(z - 3)(z
2
+ z + 3)=0
C©u 5: T×m hai sè phøc biÕt tỉng vµ tÝch cđa chóng lÇn lỵt lµ: a. 2 + 3i vµ -1 + 3i b. 2i vµ -4 + 4i
C©u 6: T×m ph¬ng tr×nh bËc hai víi hƯ sè thùc nhËn α lµm nghiƯm: a. α = 3 + 4i b. α =
7 3i−
C©u 7: T×m tham sè m ®Ĩ mçi ph¬ng tr×nh sau ®©y cã hai nghiƯm z
1
, z

z
) = 0 d. 2z + 3
z
=2+3i
C©u 10: Giải hệ PT trong số phức : a/
2 1 2
3
x y i
x y i
+ = −


+ = −

b/
( ) ( )
( ) ( )
3 4 2 2 6
2 2 3 5 4
i x i y i
i x i y i

− + + = +


+ − + = +


c/
( ) ( )

xy i
+ =


= +

f.
2 2
5
1 2
x y i
x y i
+ = −



+ = +


g.
3 3
1
2 3
x y
x y i
+ =



+ = − −


i.
3 2
1 1 17 1
26 26
x y i
i
x y
+ = +



+ = +


C. D¹ng l ỵng gi¸c cđa sè phøc :
Bài 1: Viết dưới dạng lượng giác của số phức : a/ 1+ i b/ 1-
3i
c/
2 3z i= + +
d/
1 3z i= − −
e/- 1 f/ 2i g/ -4i
Bài 2 : Cho số phức
1 cos sin
7 7
Z i
π π
= − −
. Tính môđun và acgumen của Z , rồi viết Z dưới dạng lượng giác .

( )
1
n
z+
.T/quát tính :
( )
1 cos sin
n
i
α α
+ +
Bài 6 : Cho
1 2
1 3 1 3
;
2 2 2 2
i i
z z
− −
= + = −
. Tính
1 2
n n
z z+
Bài 7 : Cho biết
1
2cosz
z
α
+ =

n
n n n
n
C C C
π
− + − + =
b)
1 3 5 7
2
2 sin
4
n
n n n n
n
C C C C
π
− + − + =
chuyên đề 3 : phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
1. Viết PT đường tròn (C) đi qua 2 điểm A(9; - 4), B(- 3; - 4) và cắt đ/thẳng d : 3x + y + 17 = 0 theo một dây cung có độ dài = 2
10
.
2. Cho ∆ ABC có A(3; 8). Hai điểm H(- 57; 38), G(1; 2) lần lượt là trực tâm, trọng tâm của
ABC∆
. Tìm toạ độ hai đỉnh B và C của
ABC∆
3. Cho ∆ ABC có PT đường trung tuyến AM: x + y – 3 = 0, trung tuyến BN: 2x + y – 4 = 0, PT đường cao CH: x + 2y – 18 = 0.
Viết PT 3 cạnh của ∆ ABC.
4. Cho 2 đ/tròn (C
1
): x

ABC∆
.
8. Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 2x – 6y – 10 = 0. a) Viết PT tiếp tuyến của đường tròn (C) đi qua điểm M(5; 6).
b) Tìm điểm A trên đường tròn (C) sao cho khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆: 2x + y + 15 = 0 nhỏ nhất.
9. Cho đ/tròn (C): x
2
+ y
2
– 2x + 4y – 20 = 0. Viết PT đ/tròn (C’) có tâm I’(3; - 1) và cắt đ/tròn (C) tại hai điểm E, F sao cho EF = 2
5
.
10. Cho ∆ ABC có B(0; - 4), C(- 3; - 1) và tâm đường tròn nội tiếp tam giác là I(- 1; - 1). Tìm toạ độ đỉnh A của ∆ ABC.
11. Cho hbh ABCD có đỉnh A(3; - 2) , tâm I(1; 2) và có trung điểm của cạnh BC là M(- 2; 10). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hbh ABCD.
12. Cho ∆ ABC cân tại A có PT cạnh AB: 2x + y – 4 = 0 và PT cạnh BC: x – y – 5 = 0. Viết PT cạnh AC biết AC đi qua điểm M(- 1; 3) và
tính diện tích
ABC∆
.
13. Cho ∆ ABC có PT cạnh AB: x + y – 3 = 0 , PT cạnh AC: 3x + y – 7 = 0 và trọng tâm G(2;1/3 ). Viết PT đ/tròn qua trực tâm H và 2 đỉnh B, C.
14. Cho
ABC∆
có B(- 3; - 2), C(3; - 4) và cosB =
5 / 5
, cosC =3/5. Tìm toạ độ đỉnh A của tam giác ABC.
15. Cho
ABC∆
vng tại A có trọng tâm G(-1/3;5)) .

– 4x + 6y – 12 = 0 và đường thẳng ∆: 2x + y + 19 = 0.
a) Viết phương trình đường tròn (C ’) đối xứng với (C) qua đường thẳng ∆.
b) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C) thoả mãn
·
0
60AMB =
.
20. Cho
ABC∆
có tâm đường tròn ngoại tiếp là I(- 2; 3), PT cạnh AB : 2x – y – 8 = 0, PT cạnh AC : x + 3y + 3 = 0. Tính diện tích
ABC∆
21. Viết PT đường tròn (C) qua M(5; - 3) có tâm thuộc d: x – 2y -1 = 0 và cắt đ/thẳng ∆: x – y + 4 = 0 theo một dây cung có độ dài = 2
2
.
22. Cho ∆ABC nhọn có A
1
(1; 1), B
1
(2; - 6), C
1
(- 6; 2) lần lượt là hình chiếu của A, B, C lên cạnh BC, CA, AB. Viết PT các cạnh của ∆ABC.
23. Cho ∆ABC . Đường tròn đường kính AB có phương trình (C): x
2
+ y
2
– 6x + 4y – 87 = 0, phương trình cạnh AC: 3x + 4y – 51 = 0.
Đường tròn (C) tiếp xúc với cạnh AC tại A và cắt cạnh BC tại B và trung điểm của nó . Tìm toạ độ các đỉnh của ∆ABC.
24. Cho đường tròn (C
1
): x

2
– 8x - 8y + 7 = 0
a. Chứng minh rằng đường tròn (C
1
) và (C
2
) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B (Điểm A có toạ độ ngun). Tìm toạ độ điểm A và B.
b. Viết PT đường thẳng ∆ đi qua A cắt đường tròn (C
1
) tại M, cắt đường tròn (C
2
) tại N (M, N khơng trùng với A) sao cho A là trung điểm
của đoạn thẳng MN.
26. Cho 2 đường tròn (C
1
): x
2
+ y
2
– 4x – 6y - 7 = 0 và (C
2
) : x
2
+ y
2
+ 6x + 4y + 3 = 0 và đường thẳng ∆: x + 2y – 1 = 0. Tìm toạ độ điểm
A ∈( C
1
), điểm C ∈ (C
2

D
> 0.
a) Tìm toạ độ đỉnh C và D . b. Viết phương trình đường tròn nội tiếp hình thoi.
33. Cho hbh ABCD có đỉnh A(1; - 1). Gọi M(4; 5), N(1; 8) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD. Tìm toạ độ ba đỉnh B, C, D
34. Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
- 2x - 4y - 20 = 0 . Viết PT đường thẳng d đi qua điểm M(0; - 1) cắt đường tròn (C) tại 2 điểm phân biệt E , F : EF = 8.
35. Cho ∆ABC có đỉnh B(0; 8), C(2; 0) và đường phân giác trong AD của tam giác có PT : x - 2y + 1 = 0. Viết PT các cạnh của ∆ABC
36. Cho
ABC∆
có đỉnh C(3; - 5) ,đường cao AH: 4x - y - 1 = 0, đường trung tuyến BM: 2x - 7y - 11 = 0 .Viết PT các cạnh của ∆ABC.
37. Cho
ABC∆
cân tại A có PT cạnh AB: 7x - y - 6 = 0, PT cạnh AC: x + y - 2 = 0, đường thẳng BC đi qua M(1; 3). Viết PT cạnh BC.
38. Trong mp(Oxy) cho parabol (P) :
2
2y x=
và hai điểm A(2;-2) ; B(8;4). Gọi M là điểm thuộc cung nhỏ AB của (P) . Xác định M sao cho
tam giác AMB có diện tích lớn nhất.
Chuyên đề 5 : biện luận số nghiệm pt – bpt
1 Định m để phương trình
3
3x x m− =
có nghiệm trên [-2;3]
2 Tìm m để :
2
(3 ) 3 2 0x m x m− − + − =
có nghiệm trên

2
1
x mx m
y
x
+ +
=
−
đồng biến khi
2x ≥
.
b/ H/số:
3 2
3(2 1) (12 5) 2y x m x m x= − + + + +
đ/biến trên
( ) ( )
, 1 2,−∞ − ∪ +∞
c/ H/s
3 2
/ 3 ( 1) ( 3) 4y x m x m x=− + − + + −
đ/biến trên (0,3)
d/ H/số
3 2
(1 / 3) ( 1) 3( 2) 1/ 3y mx m x m x= − − + − +
đồng biến [2;+∞).
e/ Tìm m để h/số
3 2
3y x x mx m= + + +
tăng trên đoạn có độ dài đúng =1.
7. Tìm a để hàm số

có nghiệm
14 Tìm m để PT sau có 4 nghiệm phân biệt:
2
2
2
1
1
3
x x
m m
−
 
= + +
 ÷
 
.
15 Tìm điều kiện của a để hệ PT
2 2
2 2
(1)
(2)
x y a y
y x a x

+ =


+ =



ta có:
tan x x>
3 Cho:
6a ≤
;
8b ≤ −
và
3c ≤
. CMR:
4 2
1x ax bx c x− − ≥ ∀ ≥
.
4 CMR:
2
1 (1/ 2)
x
e x x> + +
với mọi x > 0.
5 Chứng minh rằng vơi x > 0, x ≠ 1. Ta có:
ln 1
1
x
x
x
<
−

6. Chứng minh rằng với
,0
2

< <
, chứng minh
2sin (3/2) 1
2 2 2
x tgx x+
+ >
10. Cho:
0x y> >
. CMR:
2 ln ln
x y x y
x y
+ −
>
−
11 CMR với
0 / 2
β α π
< < <
thì
2 2
tan tan
cos cos
α β α β
α β
β α
− −
< − <
B – phương pháp biến đổi tương đương – đánh giá
1. Cminh

2 2 2 2
4 4 4
( )
3
a b c
a b c
+ +
+ + ≥
g.
1 1 1
2 , 0
a b c
abc
bc ca ab a b c
 
+ + ≥ + − ∀ >
 ÷
 
h.
3
3 3
2 2
a b a b+ +
 
≥
 ÷
 
với a + b
≥
0 k.

( 1)( 3)( 4)( 6) 10 1x x x x− − − − + ≥
c.
2 2
2 6 12 2 45 4x xy y x y− + − + + ≥
d) x
2
+ 5y
2
– 4xy + 2x – 6y + 3 > 0 e. x
2
+ 4y
2
+ 3z
2
+ 14 > 2x + 12y + 6z
f. 5x
2
+ 3y
2
+ 4xy – 2x + 8y + 9
≥
0 g. 3y
2
+ x
2
+ 2xy + 2x + 6y + 3
≥
0
c- phương pháp sử dụng bđt cô si
1. kó thuật hoán vò xoay vòng ( 3 số hay 2 số 3 lần )

c
a
+
) ≥ 8
e) (a + b + c)(
1 1 1
a b c
+ +
) ≥ 9 f)(a + b + c)(
1 1 1
a b b c c a
+ +
+ + +
)≥
9
2
g)
a b b c c a
c a b
+ + +
+ +
≥ 6 g)
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
≥
3
2


+ + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
     
( B- 2005)
2. kó thuật tách nghòch đảo Cho a, b, c > 0 CM BĐT :
a)
1 1 4
a b a b
+ ≥
+
d)
1 1 1 3 3 3
2 2 2a b c a b b c c a
+ + ≥ + +
+ + +
b)
1 1 1 9
a b c a b c
+ + ≥
+ +
e)
2 2 2 9
b c c a a b a b c
+ + ≥
+ + + + +
c)
1 1 1 1 1 1 1
2a b b c c a a b c
 
+ + ≤ + +

+ + +
b.Cho a,b,c,d>0.CM:
3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
4
a b c d a b c d
a b b c c d d a
+ + +
+ + + ≥
+ + + +
c. Cho a,b,c,d>0 tho¶ a+b+c+d=4,CM:
2 2 2 2
1 1 1 1
2
1 1 1 1a b c d
+ + + ≥
+ + + +
d. Cho a,b,c>0 tho¶ m·n a+b+c=3,CMR
2 2 2
1 1 1
3
1 1 1
a b c
b c a
+ + +
+ + ≥
+ + +
e. Cho a,b,c,d>0 tho¶ a+b+c+d=4,CM:
2 2 2 2
2

3 3 3
1
2 2 2
a b c
a b b c c a
+ + ≥
+ + +
k. Cho a,b,c,d>0 tho¶ a+b+c+d=4,CM:
2 2 2 2
1 1 1 1
4
1 1 1 1
a b c d
b c d a
+ + + +
+ + + ≥
+ + + +
l. Cho a,b,c
≥
0 tho¶ m·n a+b+c=3 CM:
2 2 2
2 2 2
3
2
a b c
a b b c c a
+ + ≥
+ + +
chuyên đề 7 : tổ hợp – xác suất
a – bài toán đếm số phương án

= 1140)
b) Có bao nhiêu tam giác mà có 2 cạnh là cạnh của đa giác (20)
c) Có bao nhiêu tam giác mà chỉ có 1 cạnh là cạnh đa giác (320)
d) Có ? tam giác mà không có cạnh nào là cạnh đa giác (800 )
13) Có ? số gồm 5 chữ số khác nhau và ≤ 46800 (11004)
14) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau mà không có mặt
đồng thời số 0 và số 1(544320 – 241920 = 302400 số)
15) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau và có mặt đồng
thời số 1 và số 2, 2 số đó không đứng cạnh nhau.(257040 số)
16) Có 5 nam và 5 nữ ngồi vào 1 dãy ghế có 10 chỗ. Hỏi số cách xếp
biết họ ngồi theo phái? (2!5!5! = 28800 cách)
17) Một tập thể nhà khoa học gồm 2 nhà toán học và 10 nhà vật lý. Hỏi
có bao nhiêu cách thành lập từ tập thể đó một phái đoàn gồm 8
người trong đó có ít nhất một nhà toán học.(240 + 210 = 450 )
18) Tính xác suất để khi gieo con súc sắc 6 lần độc lập, khơng lần nào xuất
hiện mặt có số chấm là một số chẵn.
19) Trong một lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là1/4.
Lớp học đủ sáng nếu có ít nhất 4 bóng đèn sáng. Tính xác suất để lớp
học khơng đủ ánh sáng.
20) Một bài trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi. Mỗi câu hỏi cho 5 câu trả lời,
trong đó chỉ có một câu đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm, mỗi
câu trả lời sai trừ 1 điểm. Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn hú
họa một câu trả lời. Tính xác suất để
a. Anh ta được 13 điểm b. Ạnh ta bị điểm âm.
21) Ba qn bài rút từ 13 qn cùng chất rơ (2-3-…-10-J-Q-K-A).
a.Tính xác suất trong ba qn bài đó để khơng có Q và K.
b.Tính xác suất trong ba qn bài đó để có K hoặc Q hoặc cả hai.
c.Tính xác suất trong ba qn bài đó để rút được cả K và Q.
bài tập tự luyện
Bµi 1( D - 2006): §éi thanh niªn xung kÝch cđa mét trêng cã 12 häc sinh gåm 5 häc

2
…A
2n
nhiều gấp 20 lần số hình
chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A
1
A
2
…A
2n
. Tìm n? (n = 8) (B-2002)
Bài 8: Chøng minh : a.
k n-k
n n
C C=
b.
k-1 k k
n-1 n-1 n
C + C = C
c.
n+2 n+1 2 n
n+k n+k n+k
A A Ak+ =
d.
2 2 2 5
k n+1 n+3 n+5 n+5
P A A A n.k!A=

e.
n

k k k k k
n n n n n
C C C C C
− − −
+
+ + + =
với
3 k n≤ ≤
Bài 10 : Cho
4 k n≤ ≤
CM:
1 6 3 4
4
4 6 4
k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
− − −
+
+ + + + =
B – pt – bpt – hpt tổ hợp
Bài 1 : Giải các PT : a/
1 2 3
(7 / 2)
x x x
C C C x+ + =

b/
2 3
11

2
x x x
A A C
x
− ≤ +
c/
1 2
1 1
( 1)!
79
2( 3)!
x x
x x
x
C C
x
− −
− −
−
+ < −
−
b/
( )
3
2 3
! . . 720
n n n
n n n
n C C C <
d/

3 5
y y
x x
y y
x x
C C
x y
C C
+
+ +
−
+ +

=

≥

=


c/
1 1
1
: : 6:5 : 2
y
y y
x x
x
C C C
+ −

x
x
 
+
 ÷
 
c.
( )
4
3 17
3
2
1
( ) 0x x
x
+ ≠
Bài 2 :a/ Tìm hệ số của
29 8
x y
trong khai triển của
( )
15
3
x xy−
b/ Tìm hệ số x
25
y
10
trong khai triễn (x
3

c. Cho
1 1
20 3 10
( ) ( )
2
A x x
x
x
= − + −
. Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu
thức A sẽ gồm bao nhiêu số hạng?
Bài 4 : a. T×m hƯ sè cđa x
2
trong khai triĨn:
3 10
1
(1 )A x
x
= + +
b. Tìm số hạng không chứa x trong k/triễn :
9
2
1
( ) (1 2 )P x x
x
= + −
Bài 5 :T×m sè h¹ng chøa x
8
trong
5

3
2
3
( )
n
x
x
+
. Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu
tiên trong khai triển trên bằng 631. Tìm hệ số của số hạng có chứa x
5
.
Bài 8: a. Tìm giá trò của x sao cho trong KT của
1
1
( 2 )
2
x n
x−
+
( n là số
nguyên dương ) có số hạng thứ 3 và thứ 5 có tổng bằng 135, còn các hệ
số của ba số hạng cuối của khai triển đó có tổng bằng 22.
b. Cho biÕt tỉng tÊt c¶ c¸c hƯ sè cđa khai triĨn nhÞ thøc
3
2
1
2
2
n

= 3
20
. Tìm hệ số có GTLN
Bài 11 : Đặt (x – 2)
100
= a
0
+ a
1
x+ a
2
x
2
+…+a
100
x
100
a/ Tính hệ số a
97
b/ Tính tổng S = a
1
+a
2
+…….+ a
100
c/ Tính tổng M = a
1
+ 2a
2
+ 3a

e.
16 0 15 1 14 2 16 16
16 16 16 16
3 3 3 2C C C C− + − + =
f.
0 1 1 1 2 2 2
2 2 .7 . 2 .7 . 7 9
n n n n n n
C C C C
n n n n
− −
+ + + + =
g.
0 1 1 0 1
3 3 ( 1)
n n n n n
n n n n n n
C C C C C C
−
− + + − = + + +
h.
0 1 1 2 2 0 1 2 2
4 4 4 ( 1) 2 2 2
n n n n n n n
n n n n n n n n
C C C C C C C C
− −
− + + + − = + + + +
k.
1 3 5 2 1 0 2 4 2 2 1

n C n C n C C n
− − − − − −
+ − + − + + =
d.
1
1 2
1 1 1 2 1
1
2 3 1 1
n
n
n n n
C C C
n n
+
−
+ + + + =
+ +
e.
( )
1 2
1
1 1 1
1
2 3 1 1
n
n
n n n
C C C
n n

n n
+ +
−
+ + + + =
+ +
Bài 3 : CMR :
1 1 1
0 1 2
3 4
3
3
3
3
n n n
C C C C
n n n n
n
 
+ + + + =
 
 
Bài 4 : TÝnh tỉng a.
0 1 2 2 n n
n n n n
A = C + 2C + 2 C + + 2 C

b.
17 0 1 16 1 2 15 2 3 14 3 17 17
17 17 17 17 17
B = 3 C - 4 .3 C + 4 .3 C - 4 .3 C + - 4 .C

+ + +

h.
1 2 2 3 3 n n n
n n n n
H = 1- 2C + 2 C -2 C + + (-1) 2 C
k.
n 0 n-2 2 n-4 4 n
n n n n
K = 2 C + 2 C + 2 C + + C
Bài 5: CMR :
2 3
1
1 2 1 1
( 1)
2. 3. . .
2
k n
n n n n
n
k n
n n n n
C C C C
n n
C k n
C C C C
− −
+
+ + + + + + =
Bài 6:Tính

− − − −
− − − −
− − −
+ = + + + +
Biết rằng trong khai triển đó
3 1
5
n n
C C=
và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x.
B – 2002 . Cho đa giác đều A
1
A
2
…A
2n
mội tiếp đường tròn (O;R). Biết số tam giác
có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A
1
;A
2
;…;A
2n
nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có
các đỉnh là 2 trong 2n điểm A
1
;A
2
;…;A
2n

B-2003 Tính tổng:
2 3 1
0 1 2
2 1 2 1 2 1
.
2 3 1
n
n
n n n n
C C C C
n
+
− − −
+ + + +
+
D-2003 Gọi
3 3n
a
−
là hệ số của
3 3n
x
−
trong khai triển thành đa thức của
( )
( )
2
1 2
n
n

 
+
 ÷
 
x>0
A-2005 Tìm số ngun dương n sao cho:
( )
1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2 3.2 4.2 2 1 .2 2005.
n n
n n n n n
C C C C n C
+
+ + + + +
− + − + + + =
B-2005 Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi
có bao nhiêu cách phân cơng đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền
núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?.
D-2005 Tính giá trị của biểu thức:
( )
4 3
1
3
,
1 !
n n
A A
M
n

n n n n
C C C C
+ + + +
+ + + + = −
(x > 0)
B – 2006 : Cho tập A gồm n phần tử ( n
≥
4). Biết rasố tập con gồm 4 phần tử của
A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm
{1,2, , }k n∈
sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất
D – 2006 : Đội thanh niên xung kích của 1 trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5
HS lớp A, 4 HS lớp B và 3 HS lớp C. Cần chọn 4 HS đi làm nhiệm vụ sao cho 4 HS
này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy ?
A-2007 : CMR :
2n
1 1 1 1 2 -1
1 3 5 2n-1
C + C + C + + C =
2n 2n 2n 2n
2 4 6 2n 2n +1
B – 2007 : Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong KT nhò thức Newtơn của (2+x)
n

biết :
n 0 n-1 1 n-2 2 n-3 3 n n
3 C -3 C +3 C -3 C + + (-1) C = 2048
n n n n n

2
n
n
a
a
a + + + =
. Tìm max trong :
0 1
, , ,
n
a a a
B – 2008 : CMR :
1
1 1
1 1 1 1
( )
2
k k k
n n n
n
n
C C C
+
+ +
+
+ =
+
D – 2008 : Tìm soá nguyeân döông n thoaõ
1 3 2 1
2 2 2