Chuyên đề đại số lớp 9
định lý vi et và một số ứng dụng
A. Kiến thức cần nhớ:
I. Nhắc lại một số kiến thức có liên quan

một số hằng đẳng thức đáng nhớ:
1) (a + b)
2
= a
2
+ b
2
+ 2ab a
2
+ b
2
= (a + b)
2
2ab
2) (a - b)
2
= a
2
+ b
2
- 2ab = (a + b)
2
4ab a
2
+ b
2

, x
2
là hai nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0) thì:
S = x
1
+ x
2
=
P = x
1
.x
2
=
III. Một số ứng dụng của định lý Vi et:
1) Tính nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai( có 2 trờng hợp thờng sử dụng)
Cho phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0) (1)
a) Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình (1) có 2 nghiệm là: x
1
= 1 và x
2
=
b) Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình (1) có 2 nghiệm là: x
1
=- 1 và x
2
=-

4x
1
x
2
(x
1
x
2
)
3
= (x
1
+ x
2
)
3
3x
1
x
2
(x
1
+ x
2
)
.v.v.
3) Tìm hai số khi biết trớc tổng và tích:
1
b
a

; x
2
thì tam thức f(x) = ax
2
+ bx + c phân tích đợc nh sau:
f(x) = ax
2
+ bx + c = a(x x
1
)(x x
2
)
Bài giải
Ta có f(x) = ax
2
+ bx + c = a[ x
2
(- )
2
+ ] = a(x x
1
)(x x
2
)
*ứng dụng của bài toán trên:
Phân tích đa thức ax
2
+ bx + c thành nhân tử:
VD: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 2x

2
b
a
c
a
4 10
3
+
4 10
3

Vậy 3x
2
+ 8x + 2 = 3( x + )(x + )
* Nhận xét: Với bài toán này ở lớp 8 ta đã biết cách giải đó là: phân tích đa thức
thành nhân tử bằng phơng pháp tách, tuy nhiên với phơng pháp này đôi khi thực
hiện sẽ gặp khó khăn (ví dụ nh câu b). Song trong trờng hợp tam thức bậc hai có
nghiệm, nếu sử dụng kết quả bài toán trên thì bất kỳ tam thức bậc hai nào cũng
phân tích đợc thành nhân tử một cách thuận lợi.
Bài toán 2 : Tính nhẩm nghiệm của các phơng trình sau:
a) 2007x
2
2008x + 1 = 0
b) x
2
(
2 3+
)x +
6
= 0

5) x
1
3
x
2
3
2) 6) x
1
(1 x
2
) + x
2
( 1 x
1
)
3) x
1
2
+ x
2
2
7)* A = x
1
4
+ 2x
2
3
+ 3x
1
2

x
1
4
= (x
1
+ 1)
2
= x
1
+ 2x
1
+ 2 = 3x
1
+2
2x
2
3
= 2x
2
2
+ 2x
2
= 4x
2
+2
Vậy A = 3x
1
+ 2 + 4x
2
+ 2 + 3x

8) x
1
8
= (x
1
4
)
2
= 9x
1
2
+ 12x
1
+ 4 = 21x
1
+ 13

= 21( ) + 13 =
* Chú ý: Trớc khi thực hiện các yêu cầu của bài toán phải kiểm tra xem phơng
trình có nghiệm hay không. VD: phơng trình x
2
2x + 2 = 0 vô nghiệm song
vẫn tồn tại biểu thức và biểu thức .
* Nhận xét: Với bài toán này nếu dùng cách giải thông thờng: tính cụ thể
nghiệm rồi thay vào biểu thức cần tìm thì việc tính toán rất cồng kềnh, dài dòng,
phức tạp, song nhờ định lý Vi et, ta biểu diễn các biểu thức này thông qua
tổng và tích các nghiệm, sau đó mới thực hành tính toán trên các con số, vì vậy
việc tính toán sẽ ngắn gọn, chính xác hơn nhiều.
Bài toán 4: Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là:
a)

2
+ bx + c = 0 ( a 0) (1).
Giả sử phơng trình có 2 nghiệm là x
1
và x
2
. Đặt S
n
= x
1
n
+ x
2
n
(n N)
a) Chứng minh rằng: a S
n+2
+ bS
n+1
+ cS
n
= 0
b) áp dụng: Không khai triển, hãy tính: A =
B =
Bài giải
a) Vì x
1
và x
2
là 2 nghiệm của phơng trình (1) nên ta có:

1
n
+ x
2
n
) =
= (ax
1
n+2
+ bx
1
n+1
+ cx
1
n
) + (ax
2
n+2
+ bx
2
n+1
+ cx
2
n
) =
= x
1
n
(ax
2

1
và x
2
là 2 nghiệm của phơng trình: x
2
2x 2 = 0.
áp dụng kết quả bài toán trên ta có: S
n+2
2 S
n+1
2S
n
= 0
S
n+2
= 2S
n+1
+ 2S
n
4
c
a
1 5
2

16 6 5
2

1 5
2

= 2
S
2
= 2S
1
+ 2S
0
= 4 + 4 = 8
S
3
= 2S
2
+ 2S
1
= 16 + 4 = 20
S
4
= 2S
3
+ 2S
2
= 40 + 16 = 56
S
5
= 2S
4
+ 2S
3
= 112 + 40 = 152
S

có nghiệm này gấp k lần nghiệm kia là (k + 1)
2
ac = kb
2
Bài giải
* Điều kiện cần: Giả sử phơng trình đã cho có 2 nghiệm là x
1
, x
2
thoả mãn:
x
1
= kx
2
hoặc x
2
= k x
1
Ta có: (k + 1)
2
ac = kb
2
(k + 1) = k
(k + 1)
2
kx
2
2
= k(kx
2

b
2
= b
2
0
Do đó phơng trình luôn có nghiệm. Gọi x
1
, x
2
là 2 nghiệm của phơng trình(1).
Ta có: (x
2
k x
1
)(x
1
k x
2
) = x
1
x
2
kx
2
2
- k
2
x
1
2

2
+ 2kac + k
2
ac ): a
2
= = 0.
(x
2
k x
1
)(x
1
k x
2
) = 0 x
2
= kx
1
hoặc x
1
= kx
2
(đpcm)
5
c
a
2
4
( 1)
k

b
a


ữ

Bài toán 7 : Cho Parabol (P) y = x
2
. Gọi A và B thuộc (P) có hoành độ lần lợt là
- 1 và 2. Viết phơng trình đờng thẳng AB.
Bài giải
Cách 1: (giải thông thờng). Ta có A (P) và x
A
= - 1 y
A
= 1 A(- 1;1)
B(P) và x
B
= 2 y
B
= 4 B( 2; 4)
Phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b. Ta có hệ phơng trình:
- a + b = 1
2a + b = 4. Giải hệ trên ta đợc a = 1 và b = 2
Vậy phơng trình đờng thẳng AB là: y = x + 2
Cách 2: (Sử dụng định lý Vi - et).
Phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b.
Xét phơng trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x
2
ax b = 0 (1)

= 0 4a
2
+ 4b = 0 4a
2
8a + 4 = 0 a = 1
b = - 1
Vậy phơng trình đờng thẳng cần tìm là y = x - 1
* Cách 2: (Sử dụng định lý Vi et ).
Phơng trình đờng thẳng cần tìm có dạng y = ax + b (d)
Vì (d) tiếp xúc (P) nên phơng trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép và
nghiệm kép đó là x
A
= 2. Khi đó theo định lý Vi ét có:
4a = 4 a = 1
4 = - 4b b = - 1
6
2
4
x
2
4
x

Vậy phơng trình đờng thẳng cần tìm là y = x - 1
Bài toán 9 : Tìm độ dài 2 cạnh của hình chữ nhật, biết chu vi là 50 m và diện
tích là 150 m
2
.
Bài giải
Gọi x và y là độ dài các cạnh của hình chữ nhật ( ĐK: x > y > 0)

< 0 m 0.
Vậy phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu m 0
b)* Cách 1(Giải thông thờng):
Giả sử phơng trình (1) có 2 nghiệm là x
1
và x
2
. Khi đó ta có: x
2
1
2x
1
m
2
=
0.
Vì m 0 nên x
1
0 và x
2
0, khi đó chia cả 2 vế của phơng trình cho m
2
ta đ-
ợc:
= 0 = 0 chứng tỏ là nghiệm của phơng trình (2)
* Cách 2( ứng dụng định lý Vi et):
Giả sử phơng trình (1) có 2 nghiệm là x
1
và x
2

x
2
1 1
2
1
m
x x
+
1 2
2
1 2 1 2
1 1 2
x x
x x x x m
+

+ = =
2
1 2 1 2
1 1 1 1
.
x x x x m

= =
Vậy và là nghiệm của phơng trình x
2
- x + = 0 m
2
x
2

2
+ bx + c = 0
(a 0) có nghiệm này gấp 2008 lần nghiệm kia là 2009
2
ac = 2008 b
2
Bài 4: Cho Parabol(P): y = x
2
và đờng thẳng (d): y = mx + 1. Xác định m để (d)
cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A(x
A
; y
A
) và B(x
B
; y
B
) sao cho:
a) (x
A
1)
2
+ (x
B
1)
2
đạt giá trị nhỏ nhất
b) Độ dài AB là ngắn nhất.
Bài 5: Giả sử x
1

+ x
1

* x
1
3
+ x
2
3
và x
1
2
+ x
2
2
.
* Gợi ý: Bài 1- Câu c). Ta xét 3 trờng hợp: Trờng hợp 1: Xét m = 0, m = 3.
Trờng hợp 2: Phơng trình chỉ có 1nghiệm âm ac < 0.
Trờng hợp 3: Phơng trình chỉ có 1nghiệm âm m 0
= 0
8
1
1
x
1
1
x
2
2
m