1-12Những tình huống điển hình trong dạy học toán
Biên soạn:
I. Một số khái niệm thờng gặp
Nội dung môn toán ở trờng phổ thông liên hệ mật thiết trớc hết với
những hoạt động toán học sau đây:
+ Hoạt động nhận dạng và thể hiện
Nhận dạng và thể hiện là hai dạng hoạt động trái ngợc nhau liên hệ với
một định nghĩa, một định lý hay một phơng pháp .
Tuy hai hoạt động trái ngợc nhau nhng lại liên quan mật thiết với nhau
và đan kết vào nhau.
- Nhận dạng một khái niệm là phát hiện xem một đối tợng cho trớc có
thoả mãn định nghĩa đó hay không. Thể hiện một khái niệm là tạo một đối t-
ợng thoả mãn định nghĩa đó.
- Nhận dạng một định lý là xét xem một tình huống cho trớc có ăn khớp
với định lý đó hay không, còn thể hiện một định lí là xây dựng một tình huống
ăn khớp với định lí cho trớc.
- Nhận dạng một phơng pháp là phát hiện xem một loạt tình huống có
phù hợp với các bớc thực hiện phơng pháp đó hay không, thể hiện một phơng
pháp là tạo ra một dãy tình huống phù hợp với các bớc của một phơng pháp đã
biết.
+ Những hoạt động toán học phức hợp: nh chứng minh, định nghĩa, giải
toán dựng hình, quỹ tích
Những hoạt động này xuất hiện lặp đi lặp lại trong sách giáo khoa toán
phổ thông. Học sinh luyện tập những hoạt động này làm cho họ nắm vững
những nội dung toán học và phát triển những kỹ năng và năng lực toán học t-
ơng ứng.
- Suy luận: Là nhận thức hiện thực một cách gián tiếp xuất phát từ một
hay nhiều điều đã biết để đi đến những phán đoán mới.
- Suy đoán: Trên cơ sở thực nghiệm, thấy có một số dấu hiệu giống
nhau nào đó đề ra giả thuyết theo hình thức quy nạp không hoàn toàn.
- Phán đoán: Là một hình thức t duy trong đó khẳng định một dấu hiệu

=> => A
n
= A.
- So sánh: Phát hiện những điểm chung và những điểm khác nhau của
một số đối tợng.
- Tơng tự: Là thao tác t duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan
hệ giữa các đối tợng toán học khác nhau.
Sự tơng tự do tính trực quan và dễ phát hiện ra nó, thờng đợc áp dụng
trong giải BTT. Tuy nhiên cần lu ý cũng giống nh phơng pháp quy nạp không
hoàn toàn, tơng tự cũng dễ dẫn đến kết quả sai.
- Khái quát hoá: Là thao tác t duy chuyển từ khái niệm hay tính chất
nào đó có ngoại diên hẹp sang khái niệm hay tính chất có ngoại diên rộng
hơn bao gồm tập hợp các đối tợng ban đầu. (khái quát hoá ngoại diên).
Khái quát hoá cũng là thao tác t duy chuyển từ khái niệm hay tính chất
nào đó sang khái niệm hay tính chất rộng hơn, bao gồm cả khái niệm hay tính
chất ban đầu (khái quát hoá nội hàm).
Hoạt động khái quát hoá có liên quan mật thiết đến đặc biệt hoá, phân
tích, tổng hợp, so sánh, tơng tự, trừu tợng hoá và hệ thống hoá.
- Đặc biệt hoá: Là thao tác t duy ngợc với khái quát hoá. Đặc biệt hoá là
thao tác t duy chuyển từ một khái niệm hay một tính chất nào đó từ ngoại
diên rộng sang tập các đối tợng có ngoại diên hẹp hơn, chứa trong tập ban đầu
(đặc biệt hoá ngoại diên). Đặc biệt hoá cũng là thao tác t duy chuyển từ khái
niệm hay tính chất tổng quát về khái niệm hay tính chất xuất phát (đặc biệt
hoá nội hàm)
- Trừu tợng hoá: Là thao tác tách ra từ một đối tợng toán học một tính
chất (về quan hệ số lợng hoặc hình dạng logic của thế giới khách quan) để
nghiên cứu riêng tính chất đó. Trừu tợng hoá thoát ra khỏi mọi nội dung có
tính chất liệu.
+ Những hoạt động ngôn ngữ
Việc sử dụng ngôn ngữ, nói riêng trong giới học sinh, còn có những điều

sang dạng khác (chẳng hạn từ dạng kí hiệu toán học sang ngôn ngữ tự nhiên
hoặc ngợc lại), trình bày lời giải của bài tập toán
II. Dạy học khái niệm toán học
1, Khái niệm toán học
KháI niệm là một hình thức t duy phản ánh một lớp đối tợng.
- Do đó khái niệm có thể đợc xem xét theo hai phơng diện:
- Lớp đối tợng xác định khái niệm đợc gọi là ngoại diên.
- Các thuộc tính chung của lớp đối tợng này đợc gọi là nội hàm của khái
niệm.
Giữa nội hàm và ngoại diên có mối liên hệ có tính quy luật: Nội hàm
càng mở rộng thì ngoại diên càng hẹp và ngợc lại.
Ví dụ: Mở rộng nội hàm của khái niệm hình bình hành, bổ sung có
một góc vuông ta đợc một lớp là hinh chữ nhật là một bộ phận thực sự của
lớp hình bình hành.
2, Định nghĩa khái niệm
Định nghĩa một khái niệm là một thao tác lôgic nhằm phân biệt một lớp
dối tợng, thờng bằng cách chỉ ra nội hàm của khái niệm đó.
- Có những khái niệm không định nghĩa:
- Để định nghĩa một khái niệm mới dựa vào khái niệm đã biết mà quá
trình đĩnh nghĩa cứ tiếp tục đến một khái niệm không thể dựa và khái niệm
khác để định nghĩa vậy khái niệm đó đợc thừa nhận là điểm xuất phát, gọi là
những khái niệm nguyên thủy.
Ví dụ: Khái niệm điểm, đờng thẳng, mặt phẳng.
3, Yêu cầu của dạy khái niệm:
Trong việc dạy toán ở phổ thông ,điều quan trọng bậc nhất là hình
thành một cách vững chắc cho hs một hẹ thống khái niệm. Đó là cơ sở toàn bộ
kiến thứcToán học của hs, là tiền đề quan trọng cho hs khả năng vận dụng các
kiến thức đ ã học.
Việc dạy kn toán cần làm cho hs dần dần đạt đợc các yêu cầu sau:
- Nắm vững các đặc điểm đặc trng cho một khái niệm.

một sự hiểu biết trực giác khái niệm đó tùy theo yêu cầu của chơng trình.
Quy trình tiếp cận khái niệm theo con đờng quy nạp
- Gv đa ra một số ví dụ cụ thể để hs thấy sự tồn tại hoặc tác dụng của
một loạt đối tợng nào đó.
- Dẫn dắt hs phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung của
các đối tợng đang xem xét.
- Gợi mở cho hs phát biểu đn bằng cách nêu tên và đặc trng của kn.
Ví dụ: Đn tứ giác( ở lớp 8), hàm số ( ở lớp 9)
c, Con đờng kiến thiết
Kết hợp những yếu tố quy nạp lẫn suy diễn.
Quy trình tiếp cận khái niệm theo con đờng kiến thiết.
- Xây dựng một hay nhiều đối tợng đại diện cho khái niệm cần đợc hình
thành hớng vào những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ môn
toán.
- Khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tợng đại diện, đi tới đặc
điểm đặc trng cho kn cần hình thành.
- Phát biểu biểu đn theo gợi ý kết quả bớc 2.
(Con đờng kiến thiết không thấy xuất hiện ở Toán THCS)
Ví dụ: Kn lũy thừa số mũ âm, Vận tốc tức thời của chuyển động.
6, Dạy học phân chia khái niệm
Đn một khái niệm (ở dạng tờng minh hoặc không tờng minh), thì nội
hàm và ngoại diên của nó đợc xác định. Ngoại diên của khái niệm đợc sáng tỏ
hơn nữa nhờ sự phân chia khái niệm. Biết phân chia khái niệm là một trong
những biểu hiện của việc nắm vững những khái niệm toán học
Để học sinh biết phân chia khái niệm, trớc hết cần cho họ hiểu đúng thế
nào là phân chia khái niệm. Một khái niệm có ngoại diên tơng ứng là A đợc
phân chia thành các khái niệm có ngoại diên tơng ứng là A
1
, A
2

- Học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh Toán học, từ
chỗ hiểu chứng minh, trình bàylại đợc chứng minh, nâng lên đến mức độ biết
cách suy nghĩ để tìm ra chứng minh, theo yêu cầu chơng trình phổ thông.
Hai con đờng dạy học định lý:
Mục này đợc trình bày dựa theo Pietzsch 1980 (tr. 22-23)
Trong việc dạy học những định lý Toán học, ngời ta phân chia hai con
đờng: con đờng có khâu suy đoán và con đờng suy diễn. Hai con đờng này đ-
ợc minh họa bằng sơ đồ sau:
Sự khác biệt căn bản giữa hai con đờng đó là ở chỗ: theo con đờng có
khâu suy đoán thì việc dự đoán phát hiện trớc việc chứng minh định lý, còn ở
con đờng suy diễn thì hai việc này nhập lại thành một bớc.
Con đờng có khâu suy đoán Con đờng suy diễn
Gợi động cơ và phát biểu vấn đề
Dự đoán và phát biểu định lý Suy diễn dẫn tới định lý
Chứng minh định lý Phát biểu định lý
Vận dụng định lý để giải quyết vấn đề
Củng cố định lý
a. Con đờng có khâu suy đoán
- Gợi động cơ lập định lý xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực
tiễn hoặc trong nội bộ Toán học.
- Dự đoán và phát biểu định lý dựa vào những phơng pháp nhận thức
mang tính suy đoán: quy nạp không hoàn toàn, lật ngợc vấn đề, tơng tự hóa,
khái quát hóa một định lý đã biết, nghiên cứu trờng hợp suy biến, xét mối liên
hệ và phụ thuộc,
- Chứng minh định lý, trong đó đặc biệt chú ý việc gợi động cơ chứng
minh và gợi học sinh thực hiện những hoạt động ăn khớp với những phơng
pháp suy luận, chứng minh thông dụng và những quy tắc kết luận logic thờng
dùng.
Tùy theo yêu cầu của chơng trình, trong những trờng hợp nhất định,
việc chứng minh một số định lý có thể không đặt ra cho chơng trình phổ

giáo cần có ý thức thông qua việc dạy học các quy tắc trên mà rèn luyện cho
học sinh một loại hình t duy quan trọng: t duy thuật toán, một yếu tố học vấn
phổ thông của con ngời trong thời đại máy tính.
T duy thuật toán liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật toán đã trình bày ở
trên. Do đó, phơng thức t duy này thể hiện ở những khả năng sau đây:
- Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một
thuật toán cho trớc.
- Phân tích một hoạt động thành những thao tác thành phần đợc thực
hiện theo một trình tự xác định.
- Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động.
- Khái quát hóa một hoạt động trên trên những đối tợng riêng lẻ thành
một hoạt động trên một lớp đối tợng.
- So sánh những thuật toán khác nhau cùng thực hiện một công việc và
phát hiện thuật toán tối u.
Để tập luyện cho học sinh thực hiện những thao tác theo một trình tự
xác định phù hợp với một thuật toán cho trớc, có thể phát biểu một số quy tắc
toán học thành những thuật toán dới dạng ngôn ngữ tự nhiên hoặc sơ đồ khối
(nếu học sinh đã đợc học phơng tiện này) rồi yêu cầu họ thực hiện các quy tắc
ấy, thông qua đó nhấn mạnh các bớc và trình tự tiến hành các bớc trong mỗi
quy tắc.
V. Dạy luyện tập toán
ở trờng phổ thông dạy toán là dạy hoạt động toán học.Đối với hs có thể xem
giải toán là hình thức chủ yếu của hạot động toán học. Các bài toán là phơng
tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế trong việc giúp học sinh nắm vững
tri thức, phát triễn t duy, hình thành kỷ năng, kỷ xảo ứng dụng toán học vào
thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán ở trờng phổ thông là điềukiện thực hiện
tốt mục dích dạy học bộ môn toán. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy luyện
tập toán có vai trò quyết định đối với chất lợng dạy học toán.
Bài tập toán học có chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng
phát triển và chức năng kiểm tra

trớc sự phát triển, nó sẽ thúc đẩy, kéo theo sự phát triển đi lên. Mấu chốt
của dạy học phát triển là xác định đúng các trình độ phát triển của học
sinh: Trình độ phát triển hiện thời và khả năng phát triển gần nhất. Mức
độ hiện tại đợc biểu hiện qua quá trình HS độc lập giải quyết nhiệm vụ,
không cần sự trợ giúp từ bên ngoài. Còn khả năng phát triển gần nhất đợc
thể hiện trong tình huống HS hoàn thành nhiệm vụ khi có sự hợp tác, giúp
đỡ của ngời khác. Từ đó ông đa ra nguyên lý dạy học phải tác động vào
vùng phát triển gần nhất, có nghĩa là phơng pháp dạy học tuân theo
nguyên tắc tôn trọng kinh nghiệm đã có của HS và tăng dần mức độ khó
khăn.
Có ý kiến cho rằng dạy luyện tập toán giống nh luyện tập quân sự; đối
với đối tợng học sinh khá, giỏi thầy chỉ hớng dẫn các thao tác và HS tự mình
làm đợc; đối với học sinh trung bình thầy làm mẫu các động tác và học sinh
làm theo đợc; đối với HS yếu thầy giáo phải cho HS làm từng động tác theo
mình cho đến lúc HS tự làm đợc mà không có thầy làm mẫu ở phía trớc.
Qua thực tế dạy học và công tác quản lý dạy và học, chúng tôi đa ra một
số định hớng cho tiết dạy luyện tập hình học nh sau:
+ Phân loại các bài tập ở SGK, SBT (BTT củng cố kiến thức của bài học,
BTT ôn kiến thức của bài học trớc, BT bổ sung lý thuyết, BT khắc sâu kiến
thức).
+ Căn cứ vào đối tợng HS của lớp giáo viên giảng dạy để lựa chọn một
trong các ý tởng :
- Với đối tợng học sinh của lớp là học sinh học trung bình và yếu môn
toán:
. Thờng dùng các BTT ôn tập kiến thức để kiểm tra nhanh đầu tiết luyện
tập (những bài cha đợc sử dụng sau phần học lý thuyết).
. Hớng dẫn học sinh giải các BTT bổ sung lý thuyết và BTT khắc sâu
kiến thức (các BT ở SGK và SBT đợc lựa chọn), qua việc sử dụng các BTT đó,
giúp học sinh tìm đợc quy trình hoặc định hớng giải các BTT cùng dạng.
- Với đối tợng là học sinh trung bình và trung bình khá:

- Hiểu rõ BTT (understanding the problem)
- Xây dựng chơng trình giải (devising a plan)
- Thực hiện chơng trình giải (carrying out the plan)
- Kiểm tra lời giải tìm đợc (looking back)
+ Rubinstêin X.L.và X.B Fenby cho rằng các bớc giải BTT đợc hình
thành theo hớng tâm lý hoạt động. Các tác giả cũng nêu tiến trình giải bài tập
toán theo 4 bớc: Quan sát bài tập toán; Vạch kế hoạch; Làm ; Đánh giá.
+ Nguyễn Bá Kim Vũ Dơng Thuỵ khi nghiên cứu về dạy học phát
hiện và giải quyết vấn đề đã xem BTT là một vấn đề cần giải quyết gồm 3 bớc:
Tri giác vấn đề; Giải quyết vấn đề; Kiểm tra nghiên cứu lời giải.
+Với quan điểm Học tập là một quá trình xử lý thông tin. Quá trình này
đợc học sinh thực hiện bằng những hoạt động của mình: Đa tin vào, ghi nhớ
và biến đổi thông tin; Đa tin ra và điều phối. John Dewey trong cuốn Giải
toán theo lý thuyết thông tin chia tiến trình giải BTT thành 6 bớc:
- Tìm hiểu thông tin.
- Phân cấp thông tin.
- Đề xuất và xử lý thông tin về các phơng án giải BTT.
- Xem xét hiệu quả và khả năng của từng phơng án.
- Thử nghiệm phơng án thích hợp phù hợp với kênh thông tin tối u.
- Kiểm tra và kết luận lời giải.
+ Fanghaenel thì cho rằng Giải một BTT là dự kiến trong t duy và thực
hiện một dãy hữu hạn các thao tác :
- Chúng đợc hớng về mục đích của BTT.
- Giải quyết mối quan hệ giữa cái đã cho và các điều kiện, giả thiết và
kết luận.
-Thông qua chúng đạt mục đích đã cho.
Với cách hiểu BTT là đối tợng đòi hỏi chủ thể có các hành động nhằm
mục đích giải đợc BTT có thể hoàn toàn nhất trí với quan điểm cho rằng giải
BTT đợc xem nh thực hiện một hệ thống các hành động: Hiểu rõ BTT; Xây
dựng chơng trình giải; Thực hiện chơng trình giải; Khảo sát lời giải đã tìm đ-

Thuật toán đợc hiểu nh một quy tắc mà từ những chỉ dẫn rõ ràng và
chính xác để ngời (hay máy) thực hiện một loạt thao tác nhằm đạt đợc mục
đích đặt ra hay giải một lớp BTT nhất định.
Với những bài tập hình học điển hình việc dùng thuật toán để giải là rất ít
gặp mà thờng giải BTT theo hớng ơristic.
R. Đề Các đã nghĩ đến một phơng pháp toàn năng để giải mọi bài tập,
Leibnis thì đa ra ý niệm rõ ràng về một phơng pháp toàn mỹ để giải toán.
Polya G. đã rất đề cao việc hình thành và phát triển năng lực sáng tạo qua giải
bài tập toán nhng ông đã khẳng định Tìm kiếm một phơng pháp toàn năng và
toàn mỹ chẳng mang lại kết quả gì hơn đi tìm một viên đá thần kỳ, để có thể
biến mọi kim loại thành vàng. Nh vậy không thể có phơng pháp để giải tất cả
các BTT, ngoài những dạng toán có thể dùng phơng pháp theo định hớng
angôrit còn phải sử dụng phơng pháp ơristic.
Thuật ngữ ơristic có nguồn gốc Hy Lạp là ơrêca đợc hiểu là sự tìm tòi,
tìm đoán, sáng tạo
Ơristic đợc hiểu là tổng thể nói chung các quy tắc phơng pháp khái
quát từ kinh nghiệm quá khứ đợc dùng trong quá trình nghiên cứu phát hiện,
sáng tạo ra cái mới .
Giải toán theo định hớng Ơristíc mang tính chất tìm đoán thờng dùng để
giải những BTT mang tính chất là một vấn đề, tìm hiểu và phát hiện ra vấn đề,
tìm cách giải quyết vấn đề đó là hoạt động toán học cần thiết cho học sinh.
Tóm lại:
- Bài tập huấn đã nêu lên những định hớng chung để soạn bài và dạy các
tiết lên lớp của giáo viên dạy môn toán. Căn cứ vào đối tợng học sinh của
mình các thầy, cô giáo soạn bài giảng sát đối tợng nhằm từng bớc đa chất l-
ợng học sinh của mình ngày một khá hơn.
- PPDH đảm bảo phối hợp giữa cách dạy tái hiện kiến thức và tìm kiếm
kiến thức, trong đó tận dụng cơ hội và điều kiện để cách dạy tìm kiếm kiến
thức chiếm u thế, đồng thời kết hợp hài hoà với tính sẵn sàng học tập của
HS, thì cơ bản PPDH đó có khả năng tích cực hoá hoạt động học tập của