Thuyớ khờ kyợ thuỏỷt ổùng duỷng Huyỡnh Vn Hoaỡng

-

Hỗnh 9.4

Phổồng trỗnh cỏn bũng chuyóứn õọỹng cuớa phỏửn tổớ naỡy theo truỷc ox :

dF
Rx
+ dF
px
+ dF

x
+ dF

x
x





Lỏỳy õaỷo haỡm
zyx
p
zợ
yợ
x








;; tổỡ (9.21) vaỡ
z
v
v
y
v
v
x
v









+


+


+


+


=


+


+


+

v
xxx
x
x
z
x
y
x
x
x


(9.35.)

Chổùng minh tổồng tổỷ cho caùc truỷc y,z :

Thu khê k thût ỉïng dủng Hunh Vàn Hong

-
(
)
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂

v
v
y
v
v
x
v
v
t
v
z
v
y
v
x
v
vdiv
yy
p
R
z
v
v
y
v
v
x
v
v
t

v
corw
∆++−++=+
∂
∂
.)(.
3
11
νν
ρ
(9.36)

Hãû phỉång trçnh (9.35) hồûc (9.36) l phỉång trçnh vi phán chuøn âäüng ca cháút lng
thỉûc. Nãúu
ν = 0 phỉång trçnh (9.35) s thnh (9.16). Nãúu chuøn âäüng dỉìng 0=
∂
∂
t
v
thç d ν≠0
thç trong màût càõt ỉåït ca dng chy ạp sút thy âäüng s phán bäú theo quy lût thy ténh. Trong
dng chy biãún âäøi cháûm äúng cọ âäü cong khäng âạng kãø thç kãút lûn ny váùn âụng. Do tênh cháút
phi tuún ca hãû phỉång trçnh (9.36) âãún nay chụng ta chỉa cọ âỉåüc mäüt cạch gii täøng quạt.
Trong k thût ngỉåìi ta ạp dủng phỉång trçnh ny âãø gii mäüt säú bi toạn cọ âiãưu kiãûn biãn âån
gin, hồûc bàòng mäüt säú gi thuút nháút âënh âãø gim båït mäüt säú säú hảng ca phỉång trçnh m
khäng nh hỉåíng âãún kãút qu tênh toạn. Âãø cọ hãû phỉång trçnh xạc âënh ngỉåìi ta kãút håüp thãm
phỉång trçnh liãn tủc, phỉång trçnh trảng thại, phỉång trçnh chuøn hoạ c
a cạc quạt trçnh. Cạc áøn
säú ca hãû phỉång trçnh ny l v
x

∂
∂
+
∂
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂

∂
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
z
v
y
v
x
v
z
p

y
v
x
v
x
p
R
z
v
v
y
v
v
x
v
v
zzz
z
z
z
z
y
z
x
yyy
y
y
z
y
y

.2=vrot vaỡ (8.18) ta coù :

z
v
y
v
x
v
z
v
y
z
x
z
y
x


+=




+=



.2;.2 (9.39)
Thay (9.39) vaỡ
x




=+


+


+


+


2
2
2
2
2
2
1
2 2
z
v
y
v
x
v
x










=


+


+


2
2
v
xx
v
v
x
v
v
x
v
v


Phổồng trỗnh (9.40) õổồỹc vióỳt laỷi :









+


+


+


=+


2
2
2
2



+


+


+


=+


2
2
2
2
2
2
2 2
z
v
y
v
x
v
y
F
vv





+















+











+


+










+





+


+






v
x
v
yx
v
y
v
x
v
y
v
x
v
t
x
y
x
y
x
y
z
x
z
x
y
x
z
y
x
z

v
z
z
z
z








.2.2 :











+


+




+


+










+


+





+


+


z
x
z
y
x
z
z
y
x
z
z
y
z
y
z
x
z







2
2
2
2
2



=


+


+


+


vdiv
z
v
y
v
x
v
vrotdiv
zyx
dt
d
z
v
y
v
x
v







+


+


+


+


+


=
2
2
2
2
2
2
zyx
z


+


+


+


+


+


=
2
2
2
2
2
2
zyx
z
v
y
v
x
v



+


+


+


=
2
2
2
2
2
2
zyx
z
v
y
v
x
v
dt
d
xx
z
x


xút hiãûn chuøn âäüng xoạy củc bäü v nọ cng khäng máút âi v khäng lan truưn trong cháút lng ,
nọ chè gäưm nhỉỵng pháưn tỉí nháút âënh .
Âäúi våïi cháút lng thỉûc khi cọ chuøn âäüng xoạy thç cỉåìng âäü xoạy bë gim do ma sạt. Cạc
xoạy chè bàõt âáưu v kãú thục åí trãn bãư màût phán cạch giỉỵa cháút lng v mäi trỉåìng, hồûc cạc xoạy
tảo thnh nhỉûng vng xoạy khẹp kên. Hçnh dảng såüi xoạy cọ thay âäøi thç nọ cng chè gäưm nhỉỵng
pháưn tỉí lng â tham gia chuøn âäüng xoạy.

9.6 Phỉång trçnh Bernoulli

Viãûc gii hãû phỉång trçnh vi phán chuøn âäüng c
a cháút lng l tỉåíng ráút phỉïc tảp. Trong
k thût âãø gii cạc bi toạn chuøn âäüng ca dng chy cọ kêch thỉåïc hỉỵu hản cháút lng chuøn
âäüng dc theo chiãưu dng chy. Bernoulli â têch phán tỉì phỉång trçnh Åle dc theo chiãưu dng
chy v âỉåüc mäüt phỉång trçnh gi l phỉång trçnh nàng lỉåüng. Chụng ta s chỉïng minh phỉång
trçnh âọ nhỉ sau. 8.6.1 Phỉång trçnh Bernoulli cho dng ngun täú cháút lng l tỉåíng

Chụng ta nháûn tháúy trong phỉång trçnh (9.16) cạc âải lỉåüng âãưu biãøu diãùn lỉûc âån vë tạc
dủng lãn mäüt âån vë khäúi lỉåüng cháút lng âang chuøn âäüng. Nãúu chụng ta nhán våïi qung âỉåìng
dëch chuøn thç s thu âỉåüc cäng âån vë. Trỉåïc hãút chụng ta thỉûc hiãûn theo phỉång x , nhán
phỉång trçnh thỉï nháút ca (9.16) våïi dx: dx
y
p
dxRdx

⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρBiãøu thỉïc trong ngồûc âån l nàng lỉåüng chuøn âäüng ca cháút lng. Nọ gäưm nàng lỉåüng chuøn
âäüng tënh tiãún v nàng lỉåüng chuøn âäüng quay. Âãø tạch riãng chụng ra chụng ta cäüng v trỉì vo
phỉång trçnh ny våïi biãøu thỉïc :
dx
x
v
vdx
x
v
v
z
z
y

vvdx
x
v
v
x
v
v
x
v
vdx
t
v
y
z
y
z
y
y
y
yy
z
z
y
y
y
x
y
.
1
.

+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
(9.45) Biãøu thỉïc trong ngồûc âån thỉï nháút chênh l nàng lỉåüng chuøn âäüng tënh tiãún ca phán täú lng
dc theo trủc x, biãøu thỉïc trong ngồûc âån thỉï hai l 2
ω
z
v biãøu thỉïc trong ngồûc âån thỉï ba l
2.ω

= 2 (v
y
Ω
0
- v
z
Ω
y
) ; R
cy
= 2 (v
z
Ω
x
- v
x
Ω
z
) ; R
xz
= 2 (v
x
Ω
y
- v
y
Ω
x
)


x
U
dx
x
p
dx
v
x
dx
t
v
yzzyyzzy
x
ωω
ρ
(9.46a)

Tỉång tỉû nhỉ thãú ta cọ thãø viãút phỉång trçnh nàng lỉåüng âån vë theo cạc trủc ta âäü y,z.

()( )
0.2.2
1
2
2
=Ω−Ω+−+
∂
∂
−
∂
∂

(9.46b)

()( )
0 2 2
1
2
2
=Ω−Ω+−+
∂
∂
−
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
dzvvdzvvdz
z
U

[2
2
2
=Ω+−+
+Ω+−+Ω+−+−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∂
∂
zzyx
yyxzzxzy
dxvdyv
dzvdxvdyvdzvdU
dp
v
dld
t
v
ω
ωω
ρ
(9.47)


⎜
⎝
⎛
+
∂
∂
dydxv
dxdzvdzdyv
dU
dp
v
dld
t
v
xxyyx
zzxxyzzzzx
ωω
ωωωω
ρ
]
(9.48)

Âãø nghiãn cỉïu chuøn âäüng ca cạc dng cháút lng chụng ta thỉûc hiãûn têch phán (9.47)
hồûc (9.48) theo cạc âiãưu kiãûn củ thãø.

a. Têch phán dc theo âỉåìng dng
Tỉì (8.18) ta cọ : v
x
dy - v
y

t
v
ρ
(9.49)

Têch phán (9.49) dc theo âỉåìng dng:

constdU
dp
v
dld
t
v
=++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∂
∂
∫∫∫∫
ρ
2
2
(9.50)

2

Nãúu lỉûc khäúi cọ thãú chè l trng lỉûc (R
z
= - g) ; U= - g.z

Thuyớ khờ kyợ thuỏỷt ổùng duỷng Huyỡnh Vn Hoaỡng

-
constgz
p
v
ld
t
v
=+++




2
2
(9.52)
Phổồng trỗnh (9-52) vióỳt cho hai õióứm trón õổồỡng doỡng : ()


=
2
1
ld
t
v
gh
qt
(9.54)
goỹi laỡ nng lổồỹng quaùn tờnh õồn vở cuớa doỡng chỏỳt loớng nhanh dỏửn õóửu hay chỏỷm dỏửn õóửu. Noù
chờnh laỡ nng lổồỹng õồn vở bở tióu hao õóứ khừc phuỷc lổỷc quaùn tờnh trón chióửu daỡi cuớa doỡng chaớy.

2
2
1
2
2
vv
Sổỷ thay õọứi õọỹng nng giổợa hai õióứm hoỷc coỡn goỹi laỡ nng lổồỹng õóứ laỡm
1kg chỏỳt loớng thay õọứi vỏỷn tọỳc tổỡ v
1
sang v
2
- goỹi laỡ õọỹng nng õồn vở.


12
pp
Sổỷ thay õọứi aùp nng, chờnh laỡ nng lổồỹng chuyóứn 1kg chỏỳt loớng tổỡ aùp suỏỳt



=












=












=




=










+










+






0
2
2
=+








+








dU
dp
v
d
t
d


(9.55)





(9.57)

trong õoù C(t) laỡ hũng sọỳ chố phuỷ thuọỹc vaỡo thồỡi gian.
Bióứu thổùc (9.56) laỡ nng lổồỹng toaỡn phỏửn cuớa mọỹt õồn vở khọỳi lổồỹng chỏỳt loớng. Tổỡ
phổồng trỗnh (9.57) ta thỏỳy rũng trong doỡng thóỳ vỏỷn tọỳc chỏỳt loớng lyù tổồớng ,nng lổồỹng toaỡn phỏửn
cuớa mọỹt õồn vở khọỳi lổồỹng chỏỳt loớng khọng phuỷ thuọỹc vaỡo toỹa õọỹ khọng gian. Taỷi mọựi õióứm trong
chỏỳt loớng chố coù mọỹt giaù trở nng lổồỹng toaỡn phỏửn. Nhổ vỏỷy sổỷ thay õọứi nng lổồỹng toaỡn phỏửn cuớa
doỡng thóỳ vỏỷn tọỳc khọng dổỡng seợ xaớy ra õọửng thồỡi vaỡ nhổ nhau taỷi moỹi õióứm trong toaỡn mióửn chỏỳt
loớng.
Phổồng trỗnh (9.57) vióỳt cho hai õióứm bỏỳt kyỡ trong doỡng chaớy ồớ mọỹt thồỡi õióứm xaùc õởnh
( = const) :

12
2
2
2
2
1
1
2
1
22





ldv.

(9.59)




=


)(l
ld
t
v
t

(9.60)
vaỡ
Thuyớ khờ kyợ thuỏỷt ổùng duỷng Huyỡnh Vn Hoaỡng

-



=



0
2
12
12
2
1
2
2
2
1
=+

+

+



zzg
ppvv
ld
t
v

(9.61)

Phổồng trỗnh (9.61) giọỳng (9.53) vóử hỗnh thổùc nhổng tờnh chỏỳt vỏỷt lyù thỗ khaùc nhau. Phổồng trỗnh
(9.53) thỗ tờch phỏn theo õổồỡng doỡng, coỡn (9.61) thỗ tờch phỏn trong doỡng thóỳ vỏỷn tọỳc (= - ).

c. Tờch phỏn doỹc theo õổồỡng xoaùy

2
2
2
1
1
2
1
.
2
.
2
zg
pv
zg
pv
++=++

(9.63)

(9.63) laỡ phổồng trỗnh Bernoulli cho doỡng nguyón tọỳ chỏỳt loớng lyù tổồớng, chuyóứn õọỹng ọứn õởnh,
chỏỳt loớng khọng chởu neùn vaỡ lổỷc khọỳi coù thóỳ laỡ troỹng lổỷc.

9.6.2 Phổồng trỗnh Bernoulli cho doỡng nguyón tọỳ chỏỳt loớng thỏỷt

Thổỷc hióỷn pheùp bióỳn õọứi tổồng tổỷ nhổ trón õọỳi vồùi phổồng trỗnh Navió-Stọỳc ta coù :

Thu khê k thût ỉïng dủng Hunh Vàn Hong

-


⎡
Ω+−+
+Ω+−+Ω+−
+−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∂
∂
ldvldvdivgrad
dxvdyv
dzvdxvdyvdzv
dU
dp
v
dld
t
v
zzyx
yyxzzxzy
νν
ω
ωω
ρ

1
1
2
1
.
2
.
2
−−
++++=++
∫∫
tqt
ghghzg
dp
v
zg
dp
v
ρρ
(9.67)

- Âäúi våïi cháút lng khäng nẹn âỉåüc thç phỉång trçnh trãn cọ dảng : 21212
2
2
2
1
1

−
+++=++
t
ghzg
pv
zg
pv
ρρ
(9.69)
Phỉång trçnh âỉåüc viãút dỉåïi dảng cäüt ạp [mẹt cäüt cháút lng] : 212
2
2
2
1
1
2
1
.
.2
.
.2
−
+++=++
t
hz
g
p