bài tập ôn tập vào lớp 10
Phần 1: Các loại bài tập về biểu thức

Bài 1: Cho biểu thức :

+
+

+
+
=
6
5
3
2
aaa
a
P
a2
1
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P<1
Bài 2: Cho biểu thức:
P=








x
x
x
x
x
x
a) Rút gọn P
b)Tìm giá trị của a để P<0
Bài 3: Cho biểu thức:
P=








+

















+










+
+
1
2
1
1
:
1
1
aaaa
a
a
a
a





+


+

a
a
a
a
a
a
a
aa
1
1
.
1
1
:
1
)1(
332
a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức M=a.(P-
2
1

+
12
2
12
1
1:1
12
2
12
1
x
xx
x
x
x
xx
x
x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x
( )
223.
2
1
+=
Bài 7: Cho biểu thức:
P=





0
1
Bài 8: Cho biểu thức:
P=









+
+








++

+
a
a
a




+

++
+
+

+
x
x
xx
x
xx
x
a) Rút gọn P
b) So sánh P với 3
Bài 10: Cho biểu thức :
P=









+




















+


+
+
1
3
22
:
9
33


+












3
2
2
3
6
9
:1
9
3
x
x
x
x
xx
x
x

3
2

Bài 14: Cho biểu thức:
P=
2
2
44
2
mx
m
mx
x
mx
x



+
+
với m>0
a) Rút gọn P
b) Tính x theo m để P=0.
c) Xác định các giá trị của m để x tìm đợc ở câu b thoả mãn điều kiện x>1
2
Bài 15: Cho biểu thức :
P=
1
2
1











+
+
+
+
1
11
1
:1
11
1
ab
aab
ab
a
ab
aab
ab
a

a) Rút gọn P

+
+
+



1
1
1
1111
a
a
a
a
a
a
aa
aa
aa
aa
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của a thì P=7
c) Với giá trị nào của a thì P>6
Bài 18: Cho biểu thức:
P=






a
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của a để P<0
c) Tìm các giá trị của a để P=-2
Bài 19: Cho biểu thức:
P=
( )
ab
abba
ba
abba
+
+
.
4
2
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn P
c) Tính giá trị của P khi a=
32
và b=
3
Bài 20: Cho biểu thức :
P=
2
1
:
1
1
11





++
+












+
1
2
1:
1
1
1
2
xx
x
xxx
xx









+
+
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P=20
Bài 23: Cho biểu thức :
P=
( )
yx
xyyx
xy
yx
yx
yx
+
+






















+
+
+ baba
ba
bbaa
ab
babbaa
ab
ba
:
31
.
31
a) Rút gọn P
b) Tính P khi a=16 và b=4
Bài 25: Cho biểu thức:

a) Rút gọn P
b) Cho P=
61
6
+
tìm giá trị của a
c) Chứng minh rằng P>
3
2
Bài 26: Cho biểu thức:
P=










+
+
+

+





( )
baba
baa
babbaa
a
baba
a
222
.1
:
133
++










+


++
a) Rút gọn P
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
Bài 28: Cho biểu thức:
P=

a
a
aa
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P>
6
1
4
Bài 29: Cho biểu thức:
P=
33
33
:
112
.
11
xyyx
yyxxyx
yx
yxyx
+
+++









2
3
a) Rút gọn P
b) Tìm tất cả các số nguyên dơng x để y=625 và P<0,2
Bài 31: Thực hiện phép tính.
A =
15:)277512( ++
B =
363:)122273487( +
C =
347347 ++
D =
2179179 +
M =
154)610)(154( +

N =
34710485354 +++
( N = 3 )
P =
222222
100
1
99
1
1
4
1
3
1

2
1 1 1 1
1 1
1
1
n n n
n
+ + = +


Từ đó ta có
P =
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 98
2 3 3 4 99 100 2 100

+ + + + + + = +
ữ ữ ữ

= 98
49
100
Q =
2007
2006
2007
2006
20061
2
2

1
+
++
+
+
+
+
+
B =
24
1

3
1
2
1
1
1
++++
Tính A
Chứng minh B > 8
Gợi ý:
Trục từng căn thức để tính giá trị của A = 4.
5
Ta có 2B =
2 2 2 2

2 1 2 2 2 3 2 24
+ + + +
=

Cách 2. áp dụng cauchy cho 2 số không âm ta có:
1
2 2 2 2
2 2
1 1
1 1 1
2 2
x y y x
x y y x
+ +
+ + =
.
Dấu = xảy ra khi
2
2 2
2 2
2 2
2
1
1
1
1
x y
x y
x y
y x
y x

=


+

1
1
1
1
a
aa
a
aa
a> Tìm a để P có nghĩa.
b> Rút gọn P.
Bài 36: Cho S =
1 1 1
1
2 3 100
+ + + +
. Chứng minh rằng S không phải là số tự nhiên.
Gợi ý: Trớc hết cần chứng minh bất đẳng thức kép sau:
1
2 1 2 2 2 1n n n n
n
+ < <
( với n là số tự nhiên khác 0.)
Từ đó suy ra :
S=
1 1 1
1
2 3 100
+ + + +

1
3 3 1
:
2 2 2
a a b
a a
a ab b a a b b a b a ab b +
ữ
ữ
+ + + +

a) Rút gọn M.
6
b) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cđa a ®Ĩ M cã gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 38: TÝnh tỉng: S =
1 1 1

2 1 1 2 3 2 2 3 100 99 99 100
+ + +
+ + +
.
Gỵi ý: CÇn chøng minh:
1 1 1
( 1) 1 1n n n n n n
= −
+ + + +
Bµi 39: ( 3 ®iĨm )

TÝnh gi¸ trÞ cđa
A
khi
324 +=x
Bµi 40:( 2 ®iĨm )
Trơc c¨n thøc ë mÉu c¸c biĨu thøc sau :
232
12
+
+
=A
;
222
1
−+
=B
;
123
1
+−
=C
Bµi 41:( 2,5 ®iĨm )
Cho biĨu thøc : A =
1 1 2
:
2
a a a a a
a
a a a a
 

a a
+ − −
− + ≠
−
− +
a) Rót gän P .
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa P víi a = 9 .
2) Cho ph¬ng tr×nh : x2 - ( m + 4)x + 3m + 3 = 0 ( m lµ tham sè )
a) X¸c ®Þnh m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm b»ng 2 . T×m nghiƯm cßn l¹i .
b) X¸c ®Þnh m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x1 ; x2 tho¶ m·n
3 3
1 2
0x x+ ≥

Bµi 44: Cho biểu thức
1 1 1
. 1
1 1
A
a a a
   
= − −
 ÷  ÷
− +
   
a) Rút gọn A.
b) Tính A khi
1
4
a =

4 3 4
A = − +
.
b) Cho biểu thức:
( )
2
4a b ab
a b b a
B
a b ab
+ −
+
= −
−
Tìm điều kiện để B có nghóa.
Khi B có nghóa, chứng tỏ giá trò của B không phụ thuộc vào a.
Bµi 47: Tính giá trò các biểu thức: A =
2 40 12 2 75 3 5 48− −
B =
3 4 3
6 2 5
+
+ −
Bµi 48: a) So sánh hai số
= + + =17 5 1 và 45B C
b) Chứng minh rằng số sau đây là số nguyên:
− − −5 3 29 12 5
Bµi 49. Rót gän c¸c biĨu thøc sau:
6342534284546c/C
.324324b/B

−
+−
−
=
a. Rót gän P.
b. T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ P<1.
c. T×m
Zx ∈
®Ĩ
ZP ∈
.
Bµi 51: Cho biĨu thøc:B =
2 1 2
1 .
1
1 2 1
a a a a a a a a
a
a a a
 
+ − − + −
+ −
 ÷
 ÷
−
− −
 
Rót gän A.
T×m a ®ª B =
6

Bài 53: Cho phơng trình :

( )
2
2
2122 mxxm +=
a) Giải phơng trình khi
12 +=m
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm
23 =x
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng duy nhất
Bài 54: Cho phơng trình :

( )
0224
2
=+ mmxxm
(x là ẩn )
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm
2=x
.Tìm nghiệm còn lại
b) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm phân biệt
c) Tính
2
2
2
1
xx +
theo m
Bài 55: Cho phơng trình :

=+++ mxmxm
có hai nghiệm trái dấu
Bài 57: Cho phơng trình :

( )
021
22
=+ aaxax
a) Chứng minh rằng phơng trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a
b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
.Tìm giá trị của a để
2
2
2
1
xx +
đạt giá trị
nhỏ nhất
Bài 58: Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức:
2
111
=+
cb

CMR ít nhất một trong hai phơng trình sau phải có nghiệm
0
0

2
=+++ mxx
a) Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm
b) Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thoả mãn điều kiện
9

10
2
2
2
1
=+ xx
Bài 62: Cho phơng trình

( )
05212
2
=+ mxmx
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cung dấu . Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ?
Bài 63: Cho phơng trình

( )
010212
2
=+++ mxmx

21
; xx
thoả mãn hệ thức:

0
2
5
1
2
2
1
=++
x
x
x
x

Bài 65: A) Cho phơng trình :

01
2
=+ mmxx
(m là tham số)
a) Chứng tỏ rằng phơnh trình có nghiệm
21
; xx
với mọi m ; tính nghiệm kép ( nếu có)
của phơng trình và giá trị của m tơng ứng
b) Đặt
21

9188
2
+ mm
Tìm m sao cho A=27
c)Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia.
Bài 66: Giả sử phơng trình
0.
2
=++ cbxxa
có 2 nghiệm phân biệt
21
; xx
.Đặt
nn
n
xxS
21
+=
(n nguyên dơng)
a) CMR
0.
12
=++
++ nnn
cSbSSa
b) áp dụng Tính giá trị của : A=
55
2
51
2

= 0

có nghiệm với mọi m
b)
Đặt x=t+2 .Tính f
(x)
theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f
(x)
= 0

có 2
nghiệm lớn hơn 2

Bài 68: Cho phơng trình :

( )
05412
22
=+++ mmxmx

a) Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm
b) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng
c) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau
và trái dấu nhau
d) Gọi
21
; xx
là hai nghiệm nếu có của phơng trình . Tính
2
2

Bài 70: Cho phơng trình

( )
0122 =+++ mxmx
x

a) Giải phơng trình khi m=
2
1

b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Gọi
21
; xx
là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của m để :

2
1221
)21()21( mxxxx =+
Bài 71: Cho phơng trình

03
2
=++ nmxx
(1) (n , m là tham số)
Cho n=0 . CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
Tìm m và n để hai nghiệm
21
; xx
của phơng trình (1) thoả mãn hệ :

2
2
1
=+ xx
Bài 73: Cho phơng trình

( )
04412
2
=+ mxxm
(1)
a) Giải phơng trình (1) khi m=1
b) Giải phơng trình (1) khi m bất kì
c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có một nghiệm bằng m
Bài 74:Cho phơng trình :

( )
0332
22
=+ mmxmx
a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm
21
, xx
thoả mãn
61
21
<<< xx
Bài 75. Cho phơng trình x2 + 2(m - 1)x - 3 +2m = 0.(1) (m tham số.)
1. Chứng tỏ rằng phơng trình có 2 nghiệm với mọi m.

Trong các điểm sau điểm nào thuộc (P) điểm nào thuộc (d) vừa tìm đợc : M(-2;1); N(2;
-1); E(-2; -1)
Gọi B là giao điểm của (d) (ở câu 2) với trục tung , C là điểm đối xứng của A qua trục
tung. Chứng tỏ C nằm trên (P) và tam giác ABC vuông cân.
Bài 80: trong hệ trục vuông góc gọi P là đồ thị của hàm số y = x2, gọi M,N là hai điểm
thuộc P có hoành độ lần lợt là: -1 và 2. Viết phơng trình đờng thẳng MN. ( KQ: y = x+2)
Bài 81: Cho phơng trình: mx2- 2( m+1 )x + m +2 = 0.
Xác định m để phơng trình có nghiệm.
Xác định m để phơng trình có nghiệm phân biệt có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái
dấu nhau.
Gợi ý: b. phơng trình có nghiệm phân biệt có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau
khi
( )
0
0
1 0
' 0 1
0
0
2 1
0
m
a
m
S
S
m
m




. áp dụng cauchy suy ra:
Q = a4 +
4
2
4 2 2 4
a
+ +
=> Min Q =
2 2 4+
khi a8 = 2
Bài 84: Cho Parabol y =
2
2
1
x
(P) và điểm M(0;2), N(m; 0) với m 0.
Vẽ (P).
Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qu 2 điểm M, N.
12
Chứng minh rằng đờngthẳng (d) luôn cắt (P) tại hai
điểmphân biệt A, B với mọi m 0.
Gọi H, K là các hình chiếu của A, B trên trục hoành.
Chứng minh rằng tam giác MHK là tam giác vuông.
Bài 85: Cho hai số thực x, y thoả mãn điều kiện: x2 + y2 = 1.Tìm giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ hất của biểu thức: A = x + y.
Gợi ý: Ta có: ( x++)2 2 (x2+y2) = 2 => A
2
2 2 2a A
Phần 3: Hệ ph ơng trình:

ymx
myx
Tìm m để hệ phơng trình có vô số nghiệm .
Giả hệ phơng trình với m = - 2.
Tìm m Z để hệ có nghiệm duy nhất ( x; y) với x > 0, y > 0.
Bài 88: Giải hệ phơng trình





=+
=+
=+
1543
0432
132
zyx
zyx
zyx
Bài 89 : Cho hệ phơng trình



=+
=+
12
12
ymx
myx

+ +

+
(m + 2)2 = 4 m=0 hoặc m = -4.
Bài 90: Cho hệ phơng trình:
3
1
1
2
mx y
x y
=



=


Giải hệ phơng trình khi m =
3
2

13
Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm ( x = -2; y = -2 ).
Bài 91: Cho hệ phơng trình
2 1
( 1) 2
mx my m
x m y
+ = +

x y z
x y z
+ + =


+ + =


+ + =

b)
2 3 11
2 3 2
3 2 3
x y z
x y z
x y z
+ + =


+ + =


+ + =

KQ: a) ( 6; -11; 6) b) ( -2; -1; 5 )
Bài 93: Tìm giá trị của m để hệ phơng trình ;

( )
( )

1
44
2
yx
yx
c)



=
=+
123
11
xy
xy
Bài 95: Cho hệ phơng trình :



=
=+
5
42
aybx
byx
a)Giải hệ phơng trình khi
ba =
b)Xác định a và b để hệ phơng trình trên có nghiệm :
* (1;-2)
* (





=+
=++
1
19
22
yxyx
yxyx
Bài 99*: Tìm m sao cho hệ phơng trình sau có nghiệm:

( ) ( )



=++
=+
01
121
2
yxyxmyx
yx
Bài 100 :GiảI hệ phơng trình:




=

=+
ayxa
yxa
.
3)1(
a) Giải hệ phơng rình khi a=-
2
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y>0
Phần 4: Hàm số và đồ thị
Bài 103: Cho hàm số :
y= (m-2)x+n (d)
Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số :
a) Đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;-4)
b) Cắt trục tung tại điểm cótung độ bằng 1-
2
và cắt trục hoành tại điểm có hoành
độ bằng 2+
2
.
c) Cắt đờng thẳng -2y+x-3=0
d) Song song vối đờng thẳng 3x+2y=1
Bài 104: Cho hàm số :
2
2xy =
(P)
a) Vẽ đồ thị (P)
b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ
c) Xét số giao điểm của (P) với đờng thẳng (d)
1= mxy
theo m

b) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng
2

Bài 108: Cho đờng thẳng (d)
3
4
3
= xy

a) Vẽ (d)
b) Tính diện tích tam giác đợc tạo thành giữa (d) và hai trục toạ độ
c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d)
Bài 109: Cho hàm số
1= xy
(d)
a) Nhận xét dạng của đồ thị. Vẽ đồ thị (d)
b) Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm của phơng trình
mx =1
Bài 110: Với giá trị nào của m thì hai đờng thẳng :
(d)
2)1( += xmy
(d')
13 = xy
a) Song song với nhau
b) Cắt nhau
c) Vuông góc với nhau
Bài 111: Tìm giá trị của a để ba đờng thẳng :

12.)(
2)(

Bài 116: Cho (P)
4
2
x
y =
và (d) y=x+m
a) Vẽ (P)
b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
c) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) và cắt (P) tại
điẻm có tung độ bằng -4
d) Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vuông góc với (d') và đi qua giao điểm của
(d') và (P)
16
Bài 117: Cho hàm số
2
xy =
(P) và hàm số y=x+m (d)
a) Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P)
c) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì. áp dụng: Tìm m sao cho
khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng
23
Bài 118: Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng (
1
d
) y=-2(x+1)
a) Điểm A có thuộc (
1
d
) ? Vì sao ?

4;2x
sao cho tam giác
MAB có diện tích lớn nhất.
(Gợi ý: cung AB của (P) tơng ứng hoành độ
[ ]
4;2x
có nghĩa là A(-2;
A
y
) và B(4;
B
y
)

tính
BA
yy ;
;
)
Bài 120: Cho (P)
4
2
x
y =
và điểm M (1;-2)
a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m
b) CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi
c) Gọi
BA
xx ;

a) Vẽ (P)
b) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm
c) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định
Bài 123: Cho (P)
2
4
1
xy =
và điểm I(0;-2) .Gọi (d) là đờng thẳng qua I và có hệ số
góc m.
17
a) Vẽ (P) . CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
Rm

b) Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất
Bài 124: Cho (P)
4
2
x
y =
và đờng thẳng (d) đi qua điểm I(
1;
2
3
) có hệ số góc là m
a) Vẽ (P) và viết phơng trình (d)
b) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P)
c) Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
Bài 125: Cho (P)
4

2
1
=+
=+
ymxd
myxd
cắt
nhau tại một điểm trên (P)
2
2xy =
Phần 5: Giải toán bằng cách lập ph ơng trình
1. chuyển động
Bài 129: Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km . Cùng một lúc , một ôtô đi từ A đến B và
một xe máy đi từ B về A . Hai xe gặp nhau tại thị trấn C . Từ C đến B ôtô đi hết 2 giờ ,
còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút . Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng trên đờng
AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi
Bài 130: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngợc dòng từ bến B về bến A
mất tất cả 4 giờ . Tính vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng ,biết rằng quãng sông AB dài
30 km và vận tốc dòng nớc là 4 km/h.
Bài 131: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h , sau đó lại ngựơc từ
B trở về A .Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngợc 1 giờ 20 phút . Tính khoảng cách
giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 5 km/h
Bài 132: Một ngời chuyển động đều trên một quãng đờng gồm một đoạn đờng bằng
và một đoạn đờng dốc . Vận tốc trên đoạn đờng bằng và trên đoạn đờng dốc tơng ứng là
40 km/h và 20 km/h . Biết rằng đoạn đờng dốc ngắn hơn đoạn đờng bằng là 110km và
thời gian để ngời đó đi cả quãng đờng là 3 giờ 30 phút . Tính chiều dài quãng đờng ngời
đó đã đi.
Bài 133: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B . Xe tảI đi với vận tốc
30 Km/h , xe con đi với vận tốc 45 Km/h. Sau khi đi đợc
4

Km/h . Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó , khi còn 60 Km nữa thì đợc một nửa quãng đờng
AB , ngời lái xe tăng vận tốc thêm 10 Km/h trên quãng đờng còn lại . Do đó ô tô đến
tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định . Tính quãng đờng AB.
Bài 141: Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bến B . Ca nô I chạy
với vận tốc 20 Km/h , ca nô II chạy với vận tốc 24 Km/h . Trên đờng đi ca nô II dừng lại
40 phút , sau đó tiếp tục chạy . Tính chiều dài quãng đờng sông AB biết rằng hai ca nô
đến B cùng một lúc .
Bài 142: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 Km . Sau đó 1 giờ 30 phút ,
một ngời đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ . Tính vận tốc của mỗi xe , biết
rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.
Bài 143: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ , xuôi dòng 108 Km và ngợc dòng 63
Km. Một lần khác , ca nô đó cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 Km và ngợc dòng 84
Km . Tính vận tốc dòng nớc chảy và vận tốc riêng ( thực ) của ca nô.
Bài144: Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 Km , cả đi và về mất 8 giờ 20
phút . Tính vận tốc của tầu khi nớc yên lặng , biết rằng vận tốc dòng nớc là 4 Km/h.
Bài 145: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A . Sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc
ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20
Km. Hỏi vận tốc của thuyền , biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12 Km/h.
Bài 146: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đờng dài 120
Km trong một thời gian đã định . Đi đợc một nửa quãng đờng xe nghỉ 3 phút nên để đến
19
nơi đúng giờ , xe phải tăng vận tốc thêm 2 Km/h trên nửa quãng đờng còn lại . Tính thời
gian xe lăn bánh trên đờng .
Bài 147: Một ôtô dự định đi từ A đén B cách nhau 120 Km trong một thời gian quy
định . Sau khi đi đợc 1 giờ ôtô bị chắn đờng bởi xe hoả 10 phút . Do đó , để đến B đúng
hạn , xe phải tăng vận tốc thêm 6 Km/h . Tính vận tốc lúc đầu của ôtô.
Bài148: Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định . Khi còn cách B
30 Km , ngời đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi ,
nhng nếu tăng vận tốc thêm 5 Km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ .Tính vận tốc của xe
đạp tren quãng đờng đã đi lúc đầu.

5 giờ 50 phút . Nếu chảy riêng thì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 4
giờ . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy trong bao lâu sẽ đầy bể ?
Bài 157: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không có nớc và chảy đầy bể mất 1
giờ 48 phút . Nếu chảy riêng , vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai trong 1
giờ 30 phút . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu ?
Bài 158: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể chứa trong một thời gian quy
định thì mỗi giờ phải bơm đợc 10 m
3
. Sau khi bơm đợc
3
1
thể tích bể chứa , máy bơm
hoạt động với công suất lớn hơn , mỗi giờ bơm đợc 15 m
3

. Do vậy so với quy định , bể
chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút. Tính thể tích bể chứa.
20
Bài 159: Nếu hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể chứa không có nớc thì sau 1 giờ
30 phút sẽ đầy bể . Nếu mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi khoá lại và mở vòi thứ hai
chảy tiếp trong 20 phút thì sẽ đợc
5
1
bể . Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy
bể ?

Bài 160: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể chứa không có nớc thì sau 2 giờ 55
phút sẽ đầy bể . Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2
giờ . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu ?
Phần 6 : Hình học
b) Tính tích CP.DQ theo R
c) Khi PC=
2
R

. CMR
16
25
=


CED
POQ
d) Tính thể tích của hình giới hạn bởi nửa đờng tròn tâm O và hình thang vuông
CPQD khi chúng cùng quay theo một chiều và trọn một vòng quanh CD
Bài 163: Cho đờng tròn tâm O bán kính R có hai đờng kính AOB , COD vuông góc
với nhau. Lấy điểm E bất kì trên OA , nối CE cắt đờng tròn tại F . Qua F dựng tiếp tuyến
Fx với đờng tròn , qua E dựng Ey vuông góc với OA . Gọi I là giao điểm của Fx và Ey .
a) Chứng minh I,F,E,O cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Tứ giác CEIO là hình gì ?
c) Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đờng nào ?
Bài 164: Cho đờng tròn tâm O và một điểm A trên đờng tròn . Qua A dựng tiếp tuyến
Ax . Trên Ax lấy một điểm Q bất kì , dựng tiếp tuyến QB .
a) CMR tứ giác QBOA nội tiếp đợc
b) Gọi E là trung điểm của QO , tìm quỹ tích của E khi Q chuyển động trên Ax.
c) Hạ BK Ax , BK cắt QO tại H . CMR tứ giác OBHA là hình thoi và suy ra quỹ
tích của điểm H
Bài 165: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O . Các đờng cao AD ,

OB . Đờng tròn này cắt đờng tròn O tại C và D
a) Tứ giác ODBC là hình gì ? Tại sao ?
b) CMR OC AD ; OD AC
c) CMR trực tâm của tam giác CDB nằm trên đờng tròn tâm B
Bài 168: Cho đờng tròn tâm O và một đờng thẳng d cắt đờng tròn đó tại hai điểm cố
định A và B . Từ một điểm M bất kì trên đờng thẳng d nằm ngoài đoạn AB ngời ta kẻ hai
tiếp tuyến với đờng tròn là MP và MQ ( P, Q là các tiếp điểm ) .
a) Tính các góc của
MPQ
biết rằng góc giữa hai tiếp tuyến MP và MQ là 45
0
.
b) Gọi I là trung điểm AB . CMR 5 điểm M , P , Q , O , I cùng nằm trên một đờng
tròn .
c) Tìm quỹ tích tâm đờng tròn ngoại tiếp MPQ khi M chạy trên d
Bài 169: Cho ABC nội tiếp đờng tròn tâm O , tia phân giác trong của góc A cắt
cạnh BC tại E và cắt đờng tròn tại M .
a) CMR OM BC
b) Dựng tia phân giác ngoài Ax của góc A . CMR Ax đi qua một điểm cố định
c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài tại F . CMR FB . EC = FC . EB
( Hớng dẫn : áp dụng tính chất đờng phân giác của tam giác )
Bài 170: Cho ABC ( AB = AC , A < 90
0
), một cung tròn BC nằm trong ABC
và tiếp xúc với AB , AC tại B và C . Trên cung BC lấy điểm M rồi hạ các đờng vuông
góc MI , MH , MK xuống các cạnh tơng ứng BC , CA , AB . Gọi P là giao điểm của MB
, IK và Q là giao điểm của MC , IH.
a) CMR các tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp đợc
b) CMR tia đối của tia MI là phân giác HMK
c) CMR tứ giác MPIQ nội tiếp đợc . Suy ra PQ // BC

Bài174: Cho đờng tròn (O;R) và hai đờng kính AB , CD vuông góc với nhau . E là
một điểm bất kì trên cung nhỏ BD (
DEBE ;
) . EC cắt AB ở M , EA cắt CD ở N.
a) CMR AMC đồng dạng ANC .
b) CMR : AM.CN = 2R
2

c) Giả sử AM=3MB . Tính tỉ số
ND
CN
Bài 175: Một điểm M nằm trên đờng tròn tâm (O) đờng kính AB . Gọi H , I lần lợt là
hai điểm chính giữa các cungAM , MB ; gọi Q là trung điểm của dây MB , K là giao
điểm của AM , HI.
a) Tính độ lớn góc HKM
b) Vẽ IP AM tại P , CMR IP tiếp xúc với đờng tròn (O)
c) Dựng hình bình hành APQR . Tìm tập hợp các điểm R khi M di động trên nửa đờng
tròn (O) đờng kính AB
Bài 176: Gọi O là trung điểm cạnh BC của ABC đều . Vẽ góc xOy =60
0
sao cho tia
Ox, Oy cắt cạnh AB , AC lần lợt tại M, N .
a) CMR OBM đồng dạng NCO , từ đó suy ra BC
2
= 4 BM.CN .
b) CMR : MO, NO theo thứ tự là tia phân giác các góc BMN, MNC .
c) CMR đờng thẳng MN luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định , khi góc xOy quay
xung quanh O sao cho các tia Ox,Oy vẫn cắt các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC
Bài177: Cho M là điểm bất kì trên nửa đờng tròn tâm (O) đờng kính AB=2R (
BAM ,

Bài 180: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AB = 2R và một điểm M di động trên
một nửa đờng tròn . Ngời ta vẽ một đờng tròn tâm (E) tiếp xúc với đờng tròn (O) tại M
và tiếp xúc với đờng kính AB tại N . Đờng tròn này cắt MA , MB lần lợt tại các điểm thứ
hai C , D
a) Chứng minh : CD // AB .
b) Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đờng thẳng MN luôn đi qua một
điểm K cố định.
c) CMR : KM.KN không đổi
23
Bài 181: Cho một đờng tròn đờng kính AB , các điểm C , D ở trên đờng tròn sao cho
C , D không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC. Gọi các
điểm chính giữa các cung AC , AD lần lợt là M , N ; giao điểm của MN với AC , AD lần
lợt là H , I ; giao điểm của MD với CN là K
a) CMR:
MAKNKD ;
cân
b) CMR tứ giác MCKH nội tiếp đợc . Suy ra KH // AD
c) So sánh góc CAK với góc DAK
Bài 182: Cho ba điểm A , B , C trên một đờng thẳng theo thứ tự ấy và đờng thẳng (d)
vuông góc với AC tại A . Vẽ đờng tròn đờng kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì . Tia
CM cắt đờng thẳng d tại D ; tia AM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai N ; tia DB cắt đờng
tròn tại điểm thứ hai P.
a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp đợc
b) CMR : CM.CD không phụ thuộc vị trí của M
c) Tứ giác APND là hình gì ? Tại sao ?
d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAC chạy trên một đờng tròn cố định khi
M di động.
Bài 183: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB . Một điểm M nằm trên cung AB ;
gọi H là điểm chính giữa của cung AM . Tia BH cắt AM tại một điểm I và cắt tiếp tuyến
tại A của đờng tròn (O) tại điểm K . Các tia AH ; BM cắt nhau tại S .

D và CO
2
E.
a) CMR: M là trung điểm của BC
b) CMR:

O
1
MO
2
vuông
c) Chứng minh B , A , E thẳng hàng ; C , A , D thẳng hàng
d) Gọi I là trung điểm của DE . CMR đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO
1
O
2
tiếp xúc
với đờng thẳng d
Bài 186: Cho (O;R) trên đó có một dây AB = R
2
cố định và một điểm M di động
trên cung lớn AB sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn . Gọi H là trực tâm của tam
giác MAB ; P , Q lần lợt là các giao điểm thứ hai của các đờng thẳng AH , BH với đờng
tròn (O) ; S là giao điểm của các đờng thẳng PB , QA.
a) CMR : PQ là đờng kính của đờng tròn (O)
b) Tứ giác AMBS là hình gì ? Tại sao ?
c) Chứng minh độ dài SH không đổi
d) Gọi I là giao điểm của các đờng thẳng SH , PQ . Chứng minh I chạy trên một đ-
ờng tròn cố định.
Bài 187: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB , kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P

CMR : CA và DB vuông góc với AB
c)
CMR :
AMB
đồng dạng
COD

d)
CMR : AC.BD = R
2
Bài 191: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB và một điểm M bất kỳ trên đờng tròn .
Gọi các điểm chính giữa của các cung AM , MB lần lợt là H , I . Cãc dây AM và HI cắt
nhau tại K .
a) Chứng minh góc HKM có độ lớn không đổi
b) Hạ

. Chứng minh IP là tiếp tuyến của (O;R)
c) Gọi Q là trung điểm của dây MB . Vẽ hình bình hành APQS . Chứng minh S
thuộc đờng tròn (O;R)
d) CMR kkhi M di động thì thì đờng thẳng HI luôn luôn tiếp xúc với một đờng
tròn cố định.
Bài 192: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và hai điểm C , D thuộc nửa đờng
tròn sao cho cung AC < 90
0
và
0
90

=DOC
. Gọi M là một điểm trên nửa đờng tròn sao