ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn : TOÁN - Khối : D
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
4 2
6y x x= − − +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
1
6
y x= −
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình
sin 2 cos 2 3sin cos 1 0x x x x− + − − =
2. Giải phương trình
3 3
2 2 2 2 4 4
4 2 4 2 ( )
x x x x x x
x
+ + + + + −
+ = + ∈ ¡
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
1
3
2 ln
e
I x xdx
x
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) và ∆ là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình
chiếu vuông góc của A trên ∆. Viết phương trình đường thẳng ∆, biết khoảng cách từ H đến
trục hoành bằng AH.
2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆
1
:
3x t
y t
z t
= +
=
=
và ∆
2
:
2 1
2 1 2
x y z− −
= =
.
Xác định toạ độ điểm M thuộc ∆
1
sao cho khoảng cách từ M đến ∆
2
bằng 1.
2
" 12 2 0y x= − − < ⇒
hàm số lồi trên R
lim lim
x x
y y
→+∞ →−∞
= = −∞
x -∞ 0 +∞
y' + 0 −
y 6
-∞ -∞
Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;0), nghịch biến trên khoảng (0;+∞)
y đạt cực đại tại x = 0, y
CĐ
= 6.
(C) ∩ Ox : A
( 2;0)±
.
2/ Tiếp tuyến ∆ vuông góc d :
1
1
6
y x= −
⇒
Pt (∆) : y = − 6x + b
∆ tiếp xúc (C) ⇔ hệ sau có nghiệm :
4 2
3
x x x
⇔ − + + − − =
⇔ − + + − =
⇔ − + − + =
⇔ − + + =
1
2
sin
6
2
5
cos sin 2( )
2 ( )
6
x k
x
x x VN
x k k Z
π
= + π
=
⇔ ⇔
π
•
3
4 2 2
2 2
x x+ +
=
3
2 2 4x x⇔ = + +
3
8 2( 2 2)x x− = + −
⇔
2
2( 2)
( 2)( 2 4)
2 2
x
x x x
x
−
− + + =
+ +
2
2 0 2
2
2 4
2 2
x x
x x
x
• − = ⇒ =
e
I x xdx=
∫
; Đặt
ln
dx
u x du
x
= ⇒ =
;
2
2
x
dv xdx v= ⇒ =
2 2 2 2
1
1
1 1
1 1 1
ln
2 2 2 2 2 4
e e
e
x e x e
I x xdx
+
= − = − =
÷ ÷
−
=
Câu IV:
Ta có
2
2
2 14
4 4
a a
SH a
= − =
÷
÷
2
2 2
14 3 2 32
2
16 4 16
a a a
SC a
= + = =
÷
÷
= AC
Vậy ∆SCA cân tại C nên đường cao hạ từ C xuống ∆SAC
( 2) 25
2 4
y x x
= − − + − − − +
÷
; đk :
2
2
4 21 0 3 7
2 5
2 5
3 10 0
x x x
x
x
x x
− + + ≥ − ≤ ≤
⇔ ⇔ − ≤ ≤
− ≤ ≤
− + + ≥
2 2 2 2
y x x x x
= ⇔ − − − + = − − − +
÷ ÷
2 2
2 2
3
( 2) 0
2
3 3 49
( 2) 25 ( 2)
2 2 4
x x
x x x x
− − ≥
÷
⇔
− − − + = − − − +
− = −
⇔
÷
− = − ⇔
÷
− = − −
÷
3
2
2
1
( )
10 15 7 14 3 1
x −2 1/3 5
y' − 0 +
y y(
1
/
3
)
min
1
2; 2
3
y y
= =
÷
Cách khác: có thể không cần bảng biến thiên, chỉ cần so sánh y(-2), y(1/3) và y(5).
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a:
1/ * C1: Nối dài AH cắt đường tròn (C) tâm I tại điểm H'
⇒ BC đi qua trung điểm HH'.
Phương trình AH : x = 3
Đường tròn (C) có pt :
2 2
1
AH
Nên :
2
1
( 2;3)
3
2
M
M
x
IM AH M
y
= −
= ⇔ ⇔ −
=
uuur uuur
Pt BC qua M và vuông góc AH : y − 3 = 0
Toạ độ C thoả hệ phương trình :
2 2
( 2) 74
2 65
3 0
3
0
x y
x
; PVT
(2;0; 2) 2(1;0; 1)
R
k n m= ∧ = − = −
uur r ur
Phương trình (R) có dạng : x − z + D = 0. Ta có : d (0;(R)) = 2
2 2 2
2
D
D⇔ = ⇔ = ±
Phương trình (R) :
2 2 0 2 2 0x z hay x z− + = − − =
Câu VII.a: Đặt
2 2 2
2z a bi z a b abi= + ⇒ = − +
Ta có hệ phương trình
2 2 2
2 2 2
0 1
2 1
a b a
a b b
− = =
⇒
+ = =
( 2) 0
2 0
. 0
( , )
4 4 0
( 2)
x y y
x y y
AH OH
AH d H Ox
x y
x y y
+ − =
+ − =
=
⇒ ⇔
=
− + =
+ − =
x loai
= − +
= − +
+ − =
= − ±
⇒ ⇔ ⇒
− + =
= −
= − −
= − − <
AH qua A
k
⊥ ∆
⇒ = − +
Toạ độ H = ∆ ∩ AH thoả hệ
2
2
2 2
2
2
2
2 2
1
;
1
1 1
2
2
1
k
x
y kx
k k
k
H
k k
y x
2
2 2 2
( ; ) 2 1 0
1 1 1
1 5
2 2 5
2
2
1 5
0 ( )
2
k k k
AH d H Ox k k
k k k
k
k
k loai
= ⇔ + − = ⇔ − − =
÷
÷
+ + +
+
=
+
Ta có :
(1 ; 1; )AM t t t= + −
uuuur
2
[ , ] (2 ;2; 3)a AM t t⇒ = − −
uur uuuur
; d(M; ∆
2
) = 1
2 2
2 2
(2 ) 4 ( 3)
1
4 1 4
1 (4;1;1)
2 10 17 3 2 10 8 0
4 (7;4;4)
t t
t M
t t t t
t M
− + + −
⇔ =
+ +
= ⇒
⇔ − + = ⇔ − + = ⇔
= ⇒
*
2
0 ( )
2 (1) 4 2 2 0
3
x loai
y x x x x
x
=
= − ⇒ − + − + =
=
*
2
2
4 2 2 0
2 (1)
1( )
5 4 0
4
x x x
y x
x loai
x x
x
− + − + =
Copyright: Tài liệu đại học ©