Chun đề phương pháp tọa độ trong khơng gian GV:Nguyễn Thành Nam
1BÀI 1 : HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

VẤN ĐỀ 1 : Tìm tọa độ của một vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thỏa mãn một số
điều kiện cho trước
Sử dụng các đònh nghóa có liên quan đến vectơ : tọa độ của vectơ , độ dài của vectơ ,
biết phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng , biết tính tổng ( hiệu )mcủa hai
vectơ , biết tính các tọa độ trọng tâm của một tam giác ,…
VẤN ĐỀ 2 : Chứng minh các hệ thức vectơ
Sử dụng qui tắc ba điểm đối với phép cộng , phép trừ vectơ và các tính chất của các
phép toánvề vectơ để biến đổi các hệ thức vectơ.
VẤN ĐỀ 3 : Đònh nghóa tích vô hướng và các ứng dụng của tích vô hướng
 Sử dụng tích vô hướng và biểu thức tọa độ của tích vô hướng
 Sử dụng các công thức tính khoảng cách giữa hai điểm , tính góc giữa hai vectơ
* Cho
   
321321
,,,,, bbbbaaaa

 và một số k , khi đó ta có :

 
332211
;; babababa 




2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
332211
.
.
.
,coscos
bbbaaa
bababa
ba
ba
ba








bb
aa
bb
aa
bb
aa
ba
* Cho A( x
A
, y
A
, z
A
) và B(x
B
, y
B
, z
B
)


ABAA
zzyyxxAB
B
B


;;
     





bababa ,sin ],[ .
Chun đề phương pháp tọa độ trong khơng gian GV:Nguyễn Thành Nam
2

* Tính diện tích hình bình hành ABCD bằng công thức :

 ],[ ADABS
ABCD

* Tính diện tích tam giác ABC bằng công thức :

 ],[
2
1
ACABS
ABC

 tính thể tích V của hình hộp ABCD.A
’
B
’
C
’
D
’
bằng công thức :

2
= 0
 Cho biết phương trình mặt cầu, hãy xác tâm và bán kình của mặt cầu đó
Phương trình mặt cầu có dạng : x
2
+ y
2
+ z
2
– 2ax – 2by – 2cz + d = 0
Tâm I ( a, b, c) ; bán kính r = dcba 
222
.
 Mặt cầu và mặt phẳng:
Cho mặt cầu (S) tâm I , bán kính R và mp (P). Gọi H là hình chiếu vng góc của tâm I lên
mp (P). Khi đó:
o Nếu
R
IH

thì (P) và (S) khơng có điểm chung.
o Nếu
R
IH

thì (P) và (S) tiếp xúc nhau tại H.
o Nếu
R
IH


có dạng : A(x – x
0
) + B(y – y
0
) + C(z – z
0
) = 0
 Khai triển, rút gọn đưa về dạng : Ax + By + Cz + D = 0 (Với D = -Ax
0
– By
0
– Cz
0
)
Loại 2: Viết phương trình mặt phẳng

chứa ba điểm M,N,P không thẳng hàng
 Tìm VTPT


n =


MPMN,


đi qua M và có VTPT


n (loại 1)

,, zyxM vào (1) ta tìm được D’
 Cách 2:
o




nn//
o

đi qua M có VTPT


n (loại 1)
Loại 4: Viết phương trình mặt phẳng

chứa hai điểm M,N và vuông góc với mặt phẳng
0:




DCzByAx


 Tìm VTPT


n =






'
'
'
'
D
D
C
C
B
B
A
A




'
'
'
'
//
D
D
C
C
B

000
,
CBA
DCzByAx
Md




.
Loại 2: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Cho


0:  DCzByAx

và


0':  DCzByAx


 Chọn một điểm M thuộc


 Ta có





:




0''''  DzCyBxADCzByAx
 ************

Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH DƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
VẤN ĐỀ 1 : Viết phương trình tổng quát đường thẳng


Bước 1 : Xác đònh hai mặt phẳng phân biệt

và

cùng chứa


Bước 2 : Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng

và

:



DCzByAx
(1)
VẤN ĐỀ 2 : Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng


Bước 1 : Xác đònh một điểm cố đònh M
0
( x
0
,y
0,
z
0
) thuộc


Bước 2 : Xác đònh một VTCP
 
321
,, aaaa

của


Bước 3 : Phương trình tham số và phương trình chính tắc của

có dạng :
 
3
0



VẤN ĐỀ 3: Cách chuyển từ PTTS sang PTTQ và ngược lại
 Chuyển từ PTTS sang PTTQ:
Từ một trong ba phương trình của hệ (2) ta rút ra t rồi thay vào hai phương trình còn lại
 Chuyển từ PTTQ sang PTTS
o Cách 1: Từ (1) suy ra VTCP









nnu , . Để tìm điểm thuộc đường thẳng ta cho
một ẩn và giải hệ tìm hai ẩn còn lại.
o Cách 2: Đặt một ẩn bằng t, giải hai ẩn còn lại qua t ta tìm được PTTS

VẤN ĐỀ 4 : xét vò trí tương đối giữa hai đường thẳng

và
'

trong không gian
Bước 1 : xác đònh điểm cố đònh M
0
( x
0

1
'
,, aaaa

của
'

.
Bước 2 : tính



'
aan
.
Bước 3 : dùng các dấu hiệu sau để xét vò trí tương đối giữa

và
'

.


//
'














0.
0
0
'
nMM
n


và
'

chéo nhau 0.
0


nMM
VẤN ĐỀ 5 : xét vò trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d đi qua điểm M
0
( x
0
,y










0
0.
M
an
d//

Trường hợp 2: 









0
0.
M
an
d nằm trong

được:
A(x
0
+ ta
1
) + B(y
0
+ ta
2
) + C(z
0
+ta
3
) + D = 0 hay mt + n (1)
Xét số nghiệm t của phương trình (1) ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: (1) vô nghiệm

d//


Trường hợp 2: (1) có một nghiệm t = t
0


d cắt

tại điểm M
0
(x
0

0
( x
0
,y
0,
z
0
) đến đường thẳng

3
0
2
0
1
0
:
a
zz
a
yy
a
xx 





Cách 1:
 Viết phương trình mặt phẳng


) =


a
n
A H
a


Loại 2: Khoảng cách giữa đường thẳng

3
0
2
0
1
0
:
a
zz
a
yy
a
xx 




và

 Chun đề phương pháp tọa độ trong khơng gian GV:Nguyễn Thành Nam
6 Loại 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

3
0
2
0
1
0
:
a
zz
a
yy
a
xx 




chứa đường thẳng

và song song với
'

ta được :

: Ax + By + Cz + D = 0
 Lấy điểm M
’
0
( x
’
0
, y
’
0
, z
’
0
) thuộc
'


 Tính d(

,
'

) = d( M



H

Cách 2 :
 Xác đònh điểm M
0



và
''
0
M
 Xác đònh hai vectơ

a và

'
a
là hai VTCP của

và
'


 Tính


 ],[



 Chú ý:
 Một đường thẳng hồn tồn xác định khi biết:
o Một điểm thuộc đường thẳng và một VTCP.
o Nó là giao tuyến của hai mặt phẳng: Vì có nhiều cặp mp đi qua đường thẳng nên khi
chọn cặp mp ta cần chú ý các tính chất sau:
+ Nếu đường thẳng d đi qua M và vng góc với đường thẳng d’ thì đường thẳng d nằm
trong mp đi qua M và vng góc với d’
+ Nếu đường thẳng d đi qua M và cắt đường thẳng d’ thì đường thẳng d nằm trong mp đi
qua M và đường thẳng d’
+ Nếu đường thẳng d đi qua M và song song với mp (P) thì đường thẳng d nằm trong mp
đi qua M và song song mp (P).
Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam
7

+ Nếu đường thẳng d song song với d’ và cắt đường thẳng d” thì đường thẳng d nằm
trong mp chứa d” và song song với đường thẳng d’.
VẤN ĐỀ 7: Góc
 Góc giữa hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng
c
zz
b
yy
a
xx
000
:


 có VTCP
 
';';'' cbau 

.
Gọi


', 

. Khi đó
222222
'''.
'''
cos
cbacba
ccbbaa




.
 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Cho mp


0:  DCzByAx

có VTPT
 

222222
.
,cossin
cbaCBA
CcBbAa
un












.
 Góc giữa hai mặt phẳng:
Cho mp


0:  DCzByAx

có VTPT
 
CBAn ;;



'''
,coscos
CBACBA
CCBBAA
nn














VẤN ĐỀ 8: Hình chiếu
 Hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng:
Để tìm hình chiếu H của A lên đường thẳng

ta có các cách sau:
o Cách 1: Chuyển phương trình

về phương trình tham số
Khi đó H là điểm :






P
nAH
PH
//
)(

o Cách 2: Lập phương trình đường thẳng

đi qua A và vuông góc với (P). Khi đó H là
giao điểm của

và (P).
 Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng:
Để tìm hình chiếu của đường thẳng

lên mp (P) ta lập phương trình mp (Q) chứa đường
thẳng

và vuông góc với (P). Khi đó giao tuyến của (P) và và (Q) chính là hình chiếu của


lên (P).
Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam
8

 BÀI TẬP:
BÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

0; 3;2
a

 

 
4; 5;0
b

 

4 1
;0;
3
3
c

 

 
 

1 1
; ;
3
5
d


 

  
/ 3 5
d u a b c
   
  
Bài 4: Tìm tọa độ của vectơ
x

, biết rằng:

/ 0
a a x
  
 
với
 
1; 2;1
a

 

/ 4
b a x a
  
  với
 
0; 2;1
a

 

, biết rằng
a

và
c

ngược hướng và
2
c a
 
 .
Bài 6: Cho 3 vectơ
     
1; 1;1 ; 4;0; 1 ; 3; 2; 1
a b c
  
     
. Tìm
/ .
a a b c
  
 
 
 

2
/ .
b a b c
  
 

  
   
/ 2;5;4 ; 6;0; 3
b a b
 
   


/ 2;1; 2 ; 0; 2; 2
c a b
 
   




/ 3; 2;2 3 ; 3; 2 3; 1
d a b
 
  

 


/ 4;2;4 ; 2 2; 2 2;0
e a b
 


     
2;3; 1 ; 1; 2;3 ; 2; 1;1
/
5, 4; . 6
a b c
b
a u b u c u
  
     

     



      


     
7;2;3 ; 4;3; 5 ; 1;1; 1
/
. 5, . 7;
a b c
c
a u b u c u
  
     

    


   
3; 2;1 ; 2;1; 1
/
3 , 3 2 à
a b
b
u m a b v a m b v u v
 
       

   



    


   
3; 2;1 ; 2;1; 1
/
3 , 3 2 à ùng
a b
c
u m a b v a m b v u c phuong v
 
       

   



2; 1; 2 ; 6, 4
/
a b a b
b
Y a b
   
 

     




 



0
4, 6, , 120
/
,
a b a b
c
X a b Y a b
   
   

 
  
 

Bài 11: Cho ba vectơ
, ,
a b c
  
. Tìm
,
m n
để
,
c a b
  
 

 
 
:
     
/ 3; 1; 2 ; 1; 2; ; 5;1;7
a a b m c
  
    
     
/ 6; 2; ; 5; ; 3 ; 6;33;10
b a m b n c
  
    
Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam
10

     

     
/ 2;3;1 ; 1; 2;0 ; 3; 2;4
e a b c
  
    
     
/ 5; 4; 8 ; 2;3;0 ; 1;7; 7
f a b c
  
     

     
/ 2; 4;3 ; 1; 2; 2 ; 3; 2;1
g a b c
  
     
     
/ 2; 4;3 ; 1;3; 2 ; 3; 2;1
h a b c
  
      
Bài 13: Tìm m để ba vectơ
, ,
a b c
  
đồng phẳng:
     
/ 1; ; 2 ; 1; 2;1 ; 0; 2; 2
a a m b m c m
  

theo các vectơ
, ,
a b c
  
:
     
 
2;1;0 , 1; 1; 2 , 2;2; 1
/
3;7; 7
a b c
a
u
  


    



 


     
 
1; 7;9 , 3; 6;1 , 2;1; 7
/
4;13; 6
a b c
b

 
1; 0;2 , 2; 3; 0 , 0; 3;4
/
1; 6;22
a b c
d
u
  


    



  
     
 
2; 3;1 , 1; 2;5 , 2; 2;6
/
3;1;2
a b c
e
u
  


     

11

       
/ 2; 6;1 , 4; 3; 2 , 4; 2;2 , 2; 11;1
a a b c d
   
           
       
/ 2;6; 1 , 2;1; 1 , 4;3;2 , 2;11; 1
b a b c d
   
       

Vấn đề 2: Xác định điểm trong KG. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích-
Thể tích
Bài 1: Cho điểm


1;2;3
M . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên:
a/ Các mặt phẳng tọa độ
b/ Trên các trục tọa độ
Bài 2: Cho điểm


3; 1;2
M  . Tìm tọa độ điểm
'
M
đối xứng với điểm M:








/ 1;5; 10 ; 5; 7;8 ; 2;2; 7
d A B C
   

Bài 4: Cho ba điểm
, ,
A B C
.
4.1/ Chứng minh ba điểm
, ,
A B C
tạo thành một tam giác.
4.2/ Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
4.3/ Xác định điểm D để ABCD là hình bình hành.
4.4/ Tính số đo các góc trong của tam giác ABC.
4.5/ Tính diện tích của tam giác ABC. Từ đó suy ra độ dài đường cao AH của
ABC

.











/ 3; 1;2 ; 1;2; 1 ; 1;1; 3
e A B C
   







/ 4;1; 4 ; 0;7; 4 ; 3;1; 2
f A B C
 







/ 1;0;0 ; 0;0;1 ; 2;1;1
g A B C




/ 4;1; 4 ; 0;7; 4
c A B






/ 3; 1;2 ; 1;2; 1
d A B
 





/ 3; 4;7 ; 5;3; 2
e A B
  





/ 4;2;3 ; 2;1; 1
f A B
 

Bài 6: Trên mặt phẳng

c A B C
   







/ 0;13; 21 ; 11; 23;17 ; 1; 0;19
d A B C






/ 1; 0;2 ; 2;1;1 ; 1; 3; 2
e A B C
  







/ 1; 2;6 ; 2;5;1 ; 1;8;4
f A B C 
Bài 7: Cho bốn điểm









/ 1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1 ; 2;1; 1
b A B C D
 









/ 1;1;0 ; 0;2;1 ; 1; 0;2 ; 1;1;1
c A B C D










/ 2;4;1 ; 1;0;1 ; 1;4;2 ; 1; 2;1
g A B C D  









/ 3; 2;4 ; 2;5; 2 ; 1; 2;2 ; 4;2;3
h A B C D  








/ 3;4;8 ; 1; 2;1 ; 5;2;6 ; 7; 4;3
i A B C D 







/ 2;5; 3 ; 1;0;0 ; 3;0; 2 ; ' 3; 1;2
b A B C A   








/ 0;2;1 ; 1; 1;1 ; 0;0;0 ; ' 1;1;0
c A B D A 









/ 0;2; 2 ; 0;1;2 ; 1;1;1 ; ' 1; 2; 1
d A B C C
  

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam
13

Bài 9: Cho bốn điểm


a x y z x y
     

2 2 2
/ 4 8 2 4 0
b x y z x y z
      

2 2 2
/ 2 4 4 0
c x y z x y z
     

2 2 2
/ 6 4 2 86 0
d x y z x y z
      

2 2 2
/ 12 4 6 24 0
e x y z x y z
      

2 2 2
/ 6 12 12 72 0
f x y z x y z
      

2 2 2
/ 8 4 2 4 0






2 2 2 2
/ 2 3 2 1 2 2 7 0
b x y z m x m y mz m
         



2 2 2
/ 2 os 1 4 2 os . os2 7 0
c x y z c x y c z c
  
        





2 2 2 2 2
/ 2 3 2 os 4 sin 1 2 os4 8 0
d x y z c x y z c
  
         

2 2 2
/ 2ln . 2 6 3ln 8 0

A
c/ Có đường kính
AB
với




3; 2;1 ; 2;1; 3
A B
 
.
d/ Đi qua bốn đỉnh
, , ,
A B C D
với








1;1;0 ; 0; 2;1 ; 1; 0;2 ; 1;1;1
A B C D
e/ Đi qua 3 điểm




/
4 2 4 5 0
x y z x y z
a
x y z x y z

      


      



     
2 2 2
2 2 2
1 2 3 9
/
6 10 6 21 0
x y z
b
x y z x y z

     


      






2 2 2
2 2 2
2 6 4 5 0
/
6 2 4 2 0
x y z x y z
e
x y z x y z

      


      



2 2 2
2 2 2
4 2 2 3 0
/
6 4 2 2 0
x y z x y z
f
x y z x y z

      



là mặt phẳng trung trực của đoạn AB với




2;1;1 ; 2; 1; 1
A B
 

c/


P
đi qua điểm


1;2; 3
M

và có cặp VTCP
   
2;1; 2 ; 3;2; 1
a b
 
  

d/


P



1; 2; 4 ; 3;2; 1 ; 2;1; 3
A B C
   

g/


P
đi qua điểm


1; 2; 4
A  và vuông góc với đường thẳng
BC
với




3;2; 1 ; 2;1; 3
B C
  
.
h/


P
đi qua hai điểm



: 2 3 1 0
x y z

   

j/


P
đi qua điểm


1;2; 3
M

và đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng


: 2 3 5 0
x y z

   
,


: 3 2 5 1 0
x y z




P
đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng


: 2 3 4 0
P x y
  
,


: 2 3 5 0
Q y z
  

và vuông góc với mặt phẳng


: 2 3 2 0
R x y z
   
.
n/


P
đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng



/
3 2 5 3 0
x y z
b
x y z
   


   


5 5 5 1 0
/
3 3 3 7 0
x y z
c
x y z
   


   


6 4 6 5 0
/
12 8 12 5 0
x y z
d
x y z
   

   


Bài 2: Xác định
,
m n
để các cặp mặt phẳng sau: song song; cắt nhau; trùng nhau.
3 2 7 0
/
7 6 4 0
x my z
a
nx y z
   


   


5 2 11 0
/
3 5 0
x y mz
b
x ny z
   


   


mx y z
   


   


3 5 3 0
/
2 3 1 0
x y mz
f
x y z
   


   


2 0
/
2 4 3 0
x my z
g
x y mz
   


   


m
để các cặp mặt phẳng sau vuông góc nhau:
2 7 2 0
/
3 2 15 0
x y mz
a
x y z
   


   




 
2 1 3 2 3 0
/
1 4 5 0
m x my z
b
mx m y z
    



    



/
2 7 1 0
x y z
e
mx y z
  


   


3 5 3 0
/
3 2 5 0
x y mz
f
x y z
   


   


Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam
16

Vấn đề 3: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng- khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song. Hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng. Điểm đối xứng của
một điểm qua mặt phẳng.
Bài 1: Cho mặt phẳng





/ 2; 3;5 ; : 2 2 6 0
a M P x y z
    



/ 1; 4; 2 ; : 5 14 0
b M P x y z
     





/ 3;1; 2 ; : 6 2 3 12 0
c M P x y z
    




   


6 2 1 0
/
6 2 3 0
x y z
b
x y z
   


   


2 4 5 0
/
3 5 1 0
x y z
c
x y z
   


   


4 8 1 0
/
4 8 5 0

   


Bài 3: Tìm tập hợp các điểm cách mặt phẳng một khoảng bằng k cho trước:
/ 6 3 2 7 0, 3
a x y z k
    

/ 3 2 6 5 0, 4
b x y z k
    

/ 6 2 3 12 0, 2
c x y z k
    

/ 2 4 4 14 0, 3
d x y z k
    
.
Bài 4: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng:
2 3 1 0
/
2 3 5 0
x y z
a
x y z
   



x y z
d
x y z
   


   


2 4 5 0
/
3 5 1 0
x y z
e
x y z
   


   


3 6 3 7 0
/
2 1 0
x y z
f
x y z
   






/ 3;1; 2 ; : 6 2 3 12 0
c N P x y z
    





/ 2; 3;4 ; : 2 4 4 3 0
d N P x y z
    

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam
17





/ 2;1; 1 ; : 4 0
e N P x y z
    







   


2 4 5 0
/
4 2 1 0
x y z
c
x y z
   


   


4 8 1 0
/
4 8 5 0
x y z
d
x y z
   


   


2 4 5 0
/

Q
cho trước. Tính khoảng cách giữa


P
và


Q
.




/ 1; 2; 3 ; : 2 4 4 0
a A Q x y z
    





/ 3;1; 2 ; : 6 2 3 12 0
b A Q x y z
    

Bài 8: Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng


P

khoảng k:


/ 14; : 3 2 3 0
a k Q x y z
    



/ 29; : 4 3 2 5 0
b k Q x y z
    

Vấn đề 4: Góc giữa hai mặt phẳng
Bài 1: Tính góc giữa hai mặt phẳng:
1 0
/
5 0
x y z
a
x y z
   


   


2 2 1 0
/
2 2 5 0

  


2 2 3 0
/
2 2 12 0
x y z
e
y z
   



  



3 3 3 2 0
/
4 2 4 9 0
x y z
f
x y z

   


   



45
o
mx y mz
b x my z


   

   







 
2 2 5 0
/ 3 2 3 0
90
o
m x my mz
c mx m y z

    


    



:


 
2 2 2
: 2 2 1 0
/
: 6 2 4 5 0
P x y z
a
S x y z x y z
   


      



       
2 2 2
: 2 3 6 9 0
/
: 1 3 2 16
P x y z
b
S x y z
   

: 6 4 8 13 0
P x y z
d
S x y z x y z
   


      





 
2 2 2
: 2 2 0
/
: 6 2 2 0
P x y z
e
S x y z x y z
  


     






2 2 2
/ : 2 2 4 0; : 2 1 4 4 8 0
a P x y z S x y z m x my z m
           

           
2 2 2 2
/ : 4 2 4 5 0; : 1 2 3 1
b P x y z S x y z m
          

           
2 2 2 2
/ :3 2 6 7 0; : 2 1 1 2
c P x y z S x y z m          






2 2 2 2
/ : 2 3 6 10 0; : 4 2 1 2 3 5 4 0
d P x y z S x y z mx m y z m m
             

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam



/ 1;1;2 ; : 2 2 3 0
c I P x y z
   





/ 2;1;1 ; : 2 2 5 0
d I P x y z
    

Bài 4: Viết phương trình m,ặt phẳng


P
tiếp xúc với mặt cầu


S
cho trước:
       
2 2 2
/ : 3 1 2 24
a S x y z
     
tại điểm


và song song


: 3 2 6 14 0
x y z

   



2 2 2
/ : 6 4 2 11 0
e S x y z x y z
      
và song song


: 4 3 17 0
x z

  



2 2 2
/ : 2 4 4 0
f S x y z x y z
     
và song song


ABCD
tại A với








6; 2;3 ; 0;1;6 ; 2;0; 1 ; 4;1; 0
A B C D 
i/ Tiếp xúc với mặt cầu


2 2 2
: 10 2 26 113 0
S x y z x y z
      
và song song với
hai đường thẳng :
   
1 2
5 1 13 7 1 8
: , :
2 3 2 3 2 0
x y z x y z
d d
     
   


 
b/



đi qua hai điểm




2;3; 1 ; 1; 2;4
A B
c/



đi qua điểm


2; 5;3
A  và song song với đường thẳng
 
2 3
: 3 4
5 2
x t
d y t
z t
 

MN
với




5;3;2 ; 2;1; 2
M N

.
f/



đi qua điểm


2;4;3
A  và vuông góc với mặt phẳng


: 2 3 6 19 0
P x y z
   

g/



là giao tuyến của hai mặt phẳng


 

và
 
2
1 2 1
:
1 1 3
x y z
d
  
 
 

i/



đi qua điểm


1;2; 2
A

, vuông góc và cắt đường thẳng
 
' : 1
2
x t

 
     
 
 
  
 

k/



nằm trong mặt phẳng


: 2 0
P y z
 
và cắt hai đường thẳng
Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam
21   
1 2
2
1
: ; : 4 2
1 1 4
1
x t

1 1 2 1 3
: ; :
1 2 1 3 2 1
x y z x y z
d d
    
   


n/



là đường vuông góc chung của hai đường thẳng
   
1 2
3 2 2 3 '
: 1 4 ; : 4 '
2 4 1 2 '
x t x t
d y t d y t
z t z t
   
 
 
   
 
 
    
 

0;1;1
A , vuông góc với
 
1
1 2
:
3 1 1
x y z
d
 
 
và cắt
đthẳng
 
2
1
:
1
x
d y t
z t
 





 



ABC
có


1;2;5
A và hai trung tuyến
 
1
3 6 3
:
2 2 1
x y z
d
  
 

;
 
2
4 2 2
:
1 4 1
x y z
d
  
 

. Viết phương trình tham số của các đường thẳng chứa các cạnh
của tam giác.
Bài 4: Cho bốn điểm

a/ Chứng minh
.
S ABC
là một tứ diện.
b/ Viết phương trình các hình chiếu của SA,SB trên mặt phẳng


ABC
.
Vấn đề 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Bài 1: Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:
a/
 
1
1 2 4
:
2 1 3
x y z
d
  
 


 
2
1
:
2 3
x t
d y t

3 2 '
: 3 '
1 '
x t
d y t
z t
 


  


 


c/
 
1
2 2
: 1
1
x t
d y t
z
 


  



 
2
7 6 5
:
6 4 2
x y z
d
  
 
e/
 
1
1 5 3
:
2 1 4
x y z
d
  
 
 
2
6 1 3
:
3 2 1
x y z
d
  
 
f/
 

   


   


 
2
2 2 0
:
2 1 0
x y z
d
x y z
   


   


h/
 
1
9
: 5
3
x t
d y t
z t


2 3
x t
d y t
z t
 


 


  


 
2
2 '
: 1 '
3 2 '
x t
d y t
z t



 


 





 





c/
 
1
3 2
: 1 4
2 4
x t
d y t
z t
 


 


 


 
2
2 3 '
: 4 '

x y z
d
 
 
e/
 
1
7 3 9
:
1 2 1
x y z
d
  
 


 
2
3 1 1
:
7 2 3
x y z
d
  
 


f/
 
1



   


 
2
2 2 0
:
2 1 0
x y z
d
x y z
   


   


Bài 3: Tìm giao điểm của hai đường thẳng


1
d
và


2
d
:


 


b/
 
1
: 1 2
4 3
x t
d y t
z t



 


  


 
2
1 '
: 2 '
3 '
x t
d y t
z t
 

x t
d y t
z t
 


 





d/
 
1
2 1 0
:
1 0
x y
d
x y z
  


   


 
2
3 3 0


  


 
2
1 '
: 2 2 '
3 '
x t
d y t
z t
 


 


 


Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam
24

 
1
1
/ : 3 2
x t
b d y t

/ :
3 0
x y z
c d
x y
   


  


 
2
2 3 0
:
2 6 0
x y mz
d
x y z
   


   


Vấn đề 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Bài 1: Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng


d

 


     


 


   
12 9 1
/ : :3 5 2 0
4 3 1
x y z
c d P x y z
  
        
11 3
/ : : 3 3 2 5 0
2 4 3
x y z
d d P x y z
 
     

   
13 1 4

  

   


Bài 2: Cho đường thẳng


d
và mặt phẳng


P
. Tìm
,
m n
để:
2.1/


d
cắt


P
2.2/


d
//


   
1 3 1
/ : : 3 2 5 0
2 2
x y z
b d P x y z
m m
  
     


     
3 2 3 0
/ : : 2 3 2 0
4 3 4 2 0
x y z
c d P x y m z
x y z
   

    

   


Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian GV:Nguyễn Thành Nam
25

     


Bài 3: Cho đường thẳng


d
và mặt phẳng


P
. Tìm
,
m n
để:
 
/ : 2
3
x m t
a d y t
z t
 


 




cắt




S
. Tìm giao điểm
(nếu có) của chúng.
   
2 2 2
1 2
/ : : 2 4 1 0
2 1 1
x y z
a d S x y z x z
 
       


       
2 2
2
2 1 0
/ : : 1 2 16
2 3 0
x y z
b d S x y z
x z
   

    

  



   
2 2 2
2
/ : : 2 4 2 2 0
3
x t
e d y t S x y z x y z
z t
  


       


 


   
2 2 2
1 2
/ : 2 : 2 4 6 2 0
3
x t
f d y t S x y z x y z
z t
 


        