Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
Hệ thống kiến thức cơ
bản

Môn : Hình Học - THCS
Website:
1. Điểm - Đờng thẳng
- Ngời ta dùng các chữ cái in hoa A,
B, C, để đặt tên cho điểm
- Bất cứ hình nào cũng là một tập
hợp các điểm. Một điểm cũng là
một hình.
- Ngời ta dùng các chữ cái thờng a,
b, c, m, p, để đặt tên cho các
đờng thẳng (hoặc dùng hai chữ
cái in hoa hoặc dùng hai chữ cái
thờng, ví dụ đờng thẳng AB, xy,
)
- Điểm C thuộc đờng thẳng a (điểm
C nằm trên đờng thẳng a hoặc đ-
ờng thẳng a đi qua điểm C), kí
hiệu là:
C a

- Điểm M không thuộc đờng thẳng a
(điểm M nằm ngoài đờng thẳng a
hoặc đờng thẳng a không đi qua
điểm M), kí hiệu là:
M a

trªn tia kia ®ỵc gäi lµ hai tia trïng
nhau
- Hai tia AB vµ Ax lµ hai tia trïng
nhau
5. §o¹n th¼ng, ®é dµi ®o¹n th¼ng
- §o¹n th¼ng AB lµ h×nh gåm
®iĨm A, ®iĨm B vµ tÊt c¶ c¸c ®iĨm
n»m gi÷a A vµ B
- Hai ®iĨm A vµ B lµ hai mót
(hc hai ®Çu) cđa ®o¹n th¼ng
AB.
- Mçi ®o¹n th¼ng cã mét ®é dµi. §é
dµi ®o¹n th¼ng lµ mét sè d¬ng
6. Khi nµo th× AM + MB = AB ?
- NÕu ®iĨm M n»m gi÷a hai ®iĨm
A vµ B th× AM + MB = AB. Ngỵc
l¹i, nÕu AM + MB = AB th× ®iĨm
M n»m gi÷a hai ®iĨm A vµ B
7. Trung ®iĨm cđa ®o¹n th¼ng
- Trung ®iĨm M cđa ®o¹n th¼ng
AB lµ ®iĨm n»m gi÷a A, B vµ c¸ch
®Ịu A, B (MA = MB)
- Trung ®iĨm M cđa ®o¹n th¼ng
AB cßn gäi lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa
®o¹n th¼ng AB
8. Nưa mỈt ph¼ng bê a, hai nưa mỈt ph¼ng ®èi nhau
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011

ã
ã
xOy uIv=
- Góc xOy nhỏ hơn góc uIv, ta viết:
ã
ã ã
ã
xOy uIv uIv xOy< <=> >
- Góc có số đo bằng 90
0
= 1v, là góc
vuông
- Góc nhỏ hơn góc vuông là góc
nhọn
- Góc lớn hơn góc vuông nhng nhỏ
hơn góc bẹt là góc tù.
11. Khi nào thì
ã
ã ã
xOy yOz xOz
+ =

- Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox
và Oz thì
ã
ã ã
xOy yOz xOz+ =
.
- Ngợc lại, nếu
ã

=> tia Oz lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc
xOy
- §êng th¼ng chøa tia ph©n gi¸c
cđa mét gãc lµ ®êng ph©n gi¸c cđa
gãc ®ã (®êng th¼ng mn lµ ®êng
ph©n gi¸c cđa gãc xOy)
14. §êng trung trùc cđa ®o¹n th¼ng
a) §Þnh nghÜa: §êng th¼ng vu«ng gãc
víi mét ®o¹n th¼ng t¹i trung ®iĨm
cđa nã ®ỵc gäi lµ ®êng trung trùc cđa
®o¹n th¼ng Êy
b) Tỉng qu¸t:
a lµ ®êng trung trùc cđa AB


⊥



a AB t¹i I
IA =IB
15. C¸c gãc t¹o bëi mét ®êng th¼ng c¾t hai ®êng th¼ng
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
a
I
B
A
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011

A và B
.
c) Khi a//b thì:

à
à
1 2
A và B
;
à
à
4 3
A và B
gọi là các cặp
góc trong cùng phía bù nhau
16. Hai đờng thẳng song song
a) Dấu hiệu nhận biết
- Nếu đờng thẳng c cắt hai đờng
thẳng a, b và trong các góc tạo
thành có một cặp góc so le trong
bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng
vị bằng nhau) thì a và b song song
với nhau
b) Tiên đề Ơ_clít
- Qua một điểm ở ngoài một đờng
thẳng chỉ có một đờng thẳng song
song với đờng thẳng đó
c, Tính chất hai đờng thẳng song song
- Nếu một đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song thì:
Hai góc so le trong bằng nhau;

b
a
M
c
b
a
Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ
thông
Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D¬ng
- Mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi mét
trong hai ®êng th¼ng song song th×
nã còng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng
kia
c b
c a
a / / b
⊥

=> ⊥


e) Ba ®êng th¼ng song song
- Hai ®êng th¼ng ph©n biƯt cïng song
song víi mét ®êng th¼ng thø ba th×
chóng song song víi nhau
a//c vµ b//c => a//b
17. Gãc ngoµi cđa tam gi¸c
a) §Þnh nghÜa: Gãc ngoµi cđa mét
tam gi¸c lµ gãc kỊ bï víi mét gãc
cđa tam gi¸c Êy

c
b
a
c
b
a
x
C
B
A
C
'
B'
A'
C
B
A
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
*) Trờng hợp 1: Cạnh - Cạnh - Cạnh
(c.c.c)
- Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba
cạnh của tam giác kia thì hai tam
giác đó bằng nhau
Nếu ABC và A'B'C' có:
AB A 'B'
AC A 'C' ABC A 'B'C'(c.c.c)
BC B'C'


*) Trờng hợp 3: Góc - Cạnh - Góc (g.c.g)
- Nếu một cạnh và hai góc kề của tam
giác này bằng một cạnh và hai góc
kề của tam giác kia thì hai tam giác
đó bằng nhau
à à
à à
Nếu ABC và A'B'C' có:
B B'
BC B'C' ABC A 'B'C'(g.c.g)
C C'


=


= => =


=


c) Các trờng hợp bằng nhau của hai tam giác vuông
C'
B'
A'
C
B
A
C'

A'
C
B
A
C'
B'
A'
C
B
A
A
B
C
A'
B'
C'
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
19. Quan hệ giữa các yếu tố trong tam
giác (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện
trong tam giác)
- Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh
lớn hơn là góc lớn hơn
à
à
ABC : Nếu AC > AB thì B > C

Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn


giác
C'
B'
A'
C
B
A
A
B
C
d
B
H
A
Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ
thông
Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D¬ng
- Trong mét tam gi¸c, tỉng ®é dµi hai c¹nh bÊt k× bao giê còng lín h¬n
®é dµi c¹nh cßn l¹i.
AB + AC > BC
AB + BC > AC
AC + BC > AB
- Trong mét tam gi¸c, hiƯu ®é dµi hai c¹nh bÊt k× bao giê còng nhá h¬n
®é dµi c¹nh cßn l¹i.
AC - BC < AB
AB - BC < AC
AC - AB < BC
- NhËn xÐt : Trong mét tam gi¸c, ®é dµi mét c¹nh bao giê còng lín h¬n
hiƯu vµ nhá h¬n tỉng ®é dµi hai c¹nh cßn l¹i.
VD: AB - AC < BC < AB + AC

này cách đều ba đỉnh của tam giác
đó
- Điểm O là tâm đờng tròn ngoại tiếp
tam giác ABC
24. Phơng pháp chứng minh một số bài toán cơ bản
(sử dụng một trong các cách sau đây)
a) Chứng minh tam giác cân
1. Chứng minh tam giác có hai cạnh bằng nhau
2. Chứng minh tam giác có hai góc bằng nhau
3. Chứng minh tam giác đó có đờng trung tuyến vừa là đờng cao
4. Chứng minh tam giác đó có đờng cao vừa là đờng phân giác ở
đỉnh
b) Chứng minh tam giác đều
1. Chứng minh tam giác đó có ba cạnh bằng nhau
2. Chứng minh tam giác đó có ba góc bằng nhau
3. Chứng minh tam giác cân có một góc là 60
0
c) Chứng minh một tứ giác là hình bình hành
1. Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành
2. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành
G
D
F
E
C
B
A
O
C
B

h) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh vu«ng
1. H×nh ch÷ nhËt cã hai c¹nh kỊ b»ng nhau
2. H×nh ch÷ nhËt cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc
3. H×nh ch÷ nhËt cã mét ®êng chÐo lµ ®êng ph©n gi¸c cđa mét gãc
4. H×nh thoi cã mét gãc vu«ng
5. H×nh thoi cã hai ®êng chÐo b»ng nhau
25. §êng trung b×nh cđa tam gi¸c, cđa h×nh thang
a) §êng trung b×nh cđa tam gi¸c
 §Þnh nghÜa: §êng trung b×nh cđa tam gi¸c lµ ®o¹n th¼ng nèi
trung ®iĨm hai c¹nh cđa tam gi¸c
 §Þnh lÝ: §êng trung b×nh cđa tam gi¸c th× song song víi c¹nh thø
ba vµ b»ng nưa c¹nh Êy
DE lµ ®êng trung b×nh cđa tam gi¸c
1
DE / /BC, DE BC
2
=
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
E
C
B
D
A
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
b) Đờng trung bình của hình thang
Định nghĩa: Đờng trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối
trung điểm hai cạnh bên của hình thang
Định lí: Đờng trung bình của hình thang thì song song với hai

AB'
B'C'/ /BC
AB AC
= =>
; Các trờng hợp khác tơng tự
c) Hệ quả của định lí Ta_lét
- Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với
cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tơng ứng tỉ lệ
với ba cạnh của tam giác đã cho. Hệ quả còn đúng trong trờng hợp đờng
thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai
cạnh còn lại (
AC' B'C'
AB'
B'C'/ /BC
AB AC BC
=> = =
)
F
E
D
C
B
A
C'B'
a
CB
A
13
13
Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ


f) §Þnh lÝ vỊ hai tam gi¸c ®ång d¹ng:
- NÕu mét ®êng th¼ng c¾t hai c¹nh cđa mét tam gi¸c vµ song song víi
c¹nh cßn l¹i th× nã t¹o thµnh mét tam gi¸c míi ®ång d¹ng víi tam gi¸c
®· cho
MN / /BC AMN ABC=> ∆ ∆
*) Lu ý: §Þnh lÝ còng ®óng ®èi víi trêng
hỵp ®êng th¼ng c¾t phÇn kÐo dµi hai
c¹nh cđa tam gi¸c vµ song song víi
c¹nh cßn l¹i
g) C¸c trêng hỵp ®ång d¹ng cđa hai tam gi¸c
*)Trêng hỵp 1: NÕu ba c¹nh cđa tam gi¸c nµy tØ lƯ víi ba c¹nh cđa tam
gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã ®ång d¹ng.
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
C'
B'
a
C
B
A
C'
B'
a
C
B
A
D'
C
B
A

B B'


=

=>


=

*)Trờng hợp 3: Nếu hai góc của tam giác này lần lợt bằng hai góc của
tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng;
à à
à à
Nếu ABC và A'B'C' có:
A A '
ABC A 'B'C'(g.g)
B B'


=

=>

=


h) Các trờng hợp đồng dạng của hai tam giác vuông
*)Trờng hợp 1: Nếu hai tam giác vuông có một góc nhọn bằng nhau thì
chúng đồng dạng.

0
NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
A A ' 90
ABC A 'B'C'
C C'
∆ ∆

= =

=> ∆ ∆

=


*)Trêng hỵp 2: NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cđa tam gi¸c vu«ng nµy tØ lƯ
víi hai c¹nh gãc vu«ng cđa tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c ®ã ®ång
d¹ng.
Hai tam gi¸c vu«ng ABC vµ A'B'C' cã:
AC
AB
ABC A 'B'C'
A 'B' A 'C'
= => ∆ ∆
*)Trêng hỵp 3: NÕu c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh hun cđa tam gi¸c vu«ng
nµy tØ lƯ víi c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh hun cđa tam gi¸c vu«ng kia
th× hai gi¸c ®ã ®ång d¹ng.
Hai tam gi¸c vu«ng ABC vµ A'B'C' cã:
BC
AB
ABC A 'B'C'

C
B
A
S
S
S
S
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
.S a b=

2
S a
=

1
S ah
2
=
1
S ah
2
=
1
S ah
2
=
1
S (a b)h EF.h

h
a
h
a
d
1
d
2
17
17
Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ
thông
a
b
h
a
Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D¬ng
30. HƯ thøc lỵng trong tam gi¸c vu«ng (líp 9)
a) Mét sè hƯ thøc vỊ c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng

2
b ab'=

2
c ac'=

2 2 2
a b c= +
(Pi_ta_go)
 bc = ah

+) Cho
0 0
0 90< α <
. Ta cã:

2 2
0 sin 1; 0 cos 1; sin cos 1< α < < α < α + α =sin cos
tg ; cotg ; tg .cotg 1
cos sin
α α
α = α = α α =
α α
 So s¸nh c¸c tØ sè lỵng gi¸c
0 0
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
0 90 sin sin ;cos cos ;tg tg ;cotg cotg< α < α < => α < α α > α α < α α > α
c) Mét sè hƯ thøc vỊ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
a
H
h
b'
b
c'
c
CB
A

là cung nhỏ (
0 0
0 180< <
)
+)
ẳ
AnB
là cung lớn
+) Hai điểm A, B là hai mút của cung
- Góc có đỉnh trùng với tâm đờng tròn đ-
ợc gọi là góc ở tâm (
ã
AOB
là góc ở tâm
chắn cung nhỏ AmB)
- Góc bẹt COD chắn nửa đờng tròn
- Số đo cung:
+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của
góc ở tâm chắn cung đó
ẳ
sđAmB =
(
0 0
0 180< <
)
+) Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa
360
0
và số đo của cung nhỏ (có chung
hai mút với cung lớn)

§Þnh lÝ 1: Trong mét ®êng trßn
a) Hai d©y b»ng nhau th× c¸ch ®Ịu t©m
b) Hai d©y c¸ch ®Ịu t©m th× b»ng nhau
AB = CD => OH = OK
OH = OK => AB = CD
§Þnh lÝ 2: Trong hai d©y cđa mét ®êng trßn
a) D©y nµo lín h¬n th× d©y ®ã gÇn t©m h¬n
b) D©y nµo gÇn t©m h¬n th× d©y ®ã lín h¬n
AB < CD => OH > OK
OH > OK => AB < CD
34. VÞ trÝ t¬ng ®èi cđa ®êng th¼ng vµ ®êng trßn
a) §êng th¼ng vµ ®êng trßn c¾t nhau (cã
hai ®iĨm chung)
- §êng th¼ng a gäi lµ c¸t tun cđa (O)
d = OH < R vµ HA = HB =
2 2
R OH−
b) §êng th¼ng vµ ®êng trßn tiÕp xóc
nhau (cã mét ®iĨm chung)
- §êng th¼ng a lµ tiÕp tun cđa (O)
- §iĨm chung H lµ tiÕp ®iĨm
d = OH = R
*) TÝnh chÊt tiÕp tun: NÕu mét ®êng th¼ng
lµ tiÕp tun cđa mét ®êng trßn th× nã vu«ng
gãc víi b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iĨm.
a lµ tiÕp tun cđa (O) t¹i H => a
OH⊥
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học

tia phân giác của góc tạo bởi
hai tiếp tuyến
Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là
tia phân giác của góc tạo bởi
hai bán kính đi qua các tiếp
điểm.
ã
ã
AB AC;OAB OAC= =
;
ã
ã
AOB AOC=
b) Đờng tròn nột tiếp tam giác
- Đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh của
tam giác đợc gọi là đờng tròn nội tiếp
tam giác, khi đó tam giác gọi là tam
giác ngoại tiếp đờng tròn
- Tâm của đờng tròn nội tiếp tam
giác là giao điểm của các đờng phân
giác các góc trong của tam giác
21
21
Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ
thông
Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D¬ng
c) §êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c
- §êng trßn tiÕp xóc víi mét c¹nh cđa
mét tam gi¸c vµ tiÕp xóc víi c¸c phÇn
kÐo dµi cđa hai c¹nh kia gäi lµ ®êng

OO' R r= +
+) Tiếp xúc trong tại A:
OO' R r=
c) Hai đờng tròn không giao nhau
(không có điểm chung)
+) ở ngoài nhau:
OO' R r> +
+) Đựng nhau:
OO' R r<
+) Đặc biệt (O) và (O) đồng tâm:
OO' 0=
23
23
Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ
thông
Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D¬ng
d) TiÕp tun chung cđa hai ®êng
trßn
- TiÕp tun chung cđa hai ®êng trßn lµ
®êng th¼ng tiÕp xóc víi c¶ hai ®êng
trßn ®ã
- TiÕp tun chung ngoµi kh«ng c¾t
®o¹n nèi t©m
- TiÕp tun chung trong c¾t ®o¹n nèi
t©m
38. So s¸nh hai cung trong mét ®êng trßn hay trong hai ®êng
trßn b»ng nhau.
- Hai cung ®ỵc gäi lµ b»ng nhau nÕu chóng cã sè ®o b»ng nhau
- Trong hai cung, cung nµo cã sè ®o lín h¬n ®ỵc gäi lµ cung lín h¬n
- KÝ hiƯu:

trßn vµ hai c¹nh chøa hai d©y cung cđa ®-
êng trßn ®ã.
- Cung n»m bªn trong gãc ®ỵc gäi lµ cung
bÞ ch¾n
b) §Þnh lÝ:
Trong mét ®êng trßn, sè ®o cđa gãc néi
tiÕp b»ng nưa sè ®o cđa cung bÞ ch¾n
·
BAC
lµ gãc néi tiÕp ch¾n
cung nhá BC(h×nh a) vµ
ch¾n cung lín BC(h×nh b)
·
1
BAC
2
=
s®
»
BC
c) HƯ qu¶: Trong mét ®¬ng trßn
+) C¸c gãc néi tiÕp b»ng nhau ch¾n c¸c cung b»ng nhau
Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
+) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng
nhau thì bằng nhau
+) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90
0

1
ACB
2
= =
sđ
ẳ
AmB
ã
ẳ
ã
ẳ
1
BAx sđAmB
2
1
BAy sđAnB
2
=
=
42. Góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn. Góc có đỉnh ở bên ngoài
đờng tròn.
a) Góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn.
- Góc có đỉnh nằm bên trong đờng tròn đợc gọi
là góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn
- Hình vẽ:
ã
BEC
là góc có đỉnh ở bên trong đ-
ờng tròn chắn hai cung là
ẳ