phân dạng và phơng pháp giải

Môn : Đại Số - THCS
Website:
I - Các loại phơng trình
1. Phơng trình bậc nhất
- Phơng trình bậc nhất là phơng trình có dạng ax + b = 0 (a
0
)
- Phơng trình có nghiệm duy nhất x =
b
a

- Chú ý: Nếu phơng trình chứa tham số ta chuyển về dạng Ax = B và xét các tr-
ờng hợp sau:
Nếu A
0
phơng trình có nghiệm x =
B
A

Nếu A = 0 , B
0
phơng trình trở thành 0.x = B
=> phơng trình vô nghiệm
Nếu A = 0, B = 0 => phơng trình vô số nghiệm
2. Phơng trình tích
- Phơng trình tích có dạng A(x).B(x) = 0
- Cách giải: A(x).B(x) = 0 <=> A(x) = 0 hoặc B(x) = 0
- Trình bày gọn : A(x).B(x) = 0 <=>
A(x) 0

A
A nếu A < 0


=



- Các dạng phơng trình

f(x) 0 f(x) 0= <=> =

f(x) k(k 0) f(x) k= > <=> =

f(x) g(x)
f(x) g(x)
f(x) g(x)
=

= <=>

=

Hay
[ ] [ ]
2 2
f(x) g(x) f(x) g(x)= <=> =
, đa về phơng trình tích

f(x) g(x)=



=







=



Hoặc <=>
g(x) 0
f(x) g(x) hoặc f(x) g(x)



= =

Hoặc <=>
[ ] [ ]
2 2
g(x) 0
f(x) g(x)





=


f(x) 0
f(x) g(x) g(x) 0
f(x) g(x)



= <=>


=

*)Lu ý: Hầu hết khi giải phơng trình chứa ẩn trong căn, ta cần xác định điều
kiện có nghĩa của phơng trình và các điều kiện tơng đơng. Nếu không có thể thử lại
trực tiếp.
6. Phơng trình trùng phơng
Phơng trình trùng phơng là phơng trình có dạng:
4 2
ax bx c 0 (a 0)+ + =
Đặt x
2
= t (
t 0
), phơng trình trùng phơng trở thành phơng trình bậc hai ẩn
t :
2
at bt c 0+ + =

+ bx
2
+ cx + d = 0 (với d =
2
c
a

ữ

).
Ph ơ ng ph á p:
Với x = 0, thay vào phơng trình và kiểm tra xem x = 0 có là nghiệm hay
không ?
Với x

0. Chia cả hai vế cho x
2
, sau đó ta đặt t = x +
c
ax
d)
Phơng trình bậc 4 dạng:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k (với a + b = c + d = m)
Ph ơ ng ph á p: Đặt t = x
2
+ mx +
+
ab cd
2


Hai bất phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng tập nghiệm và
dùng kí hiệu <=> để chỉ sự tơng đơng đó
Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử (là số hoặc đa thức) từ vế này
sang vế kia của bất phơng trình ta phải đổi dấu hạng tử đó => ta có thể xóa
hai hạng tử giống nhau ở hai vế
Quy tắc nhân: Khi nhân hai vế của một bất phơng trình với cùng một số
khác 0, ta phải: Giữ nguyên chiều BPT nếu số đó dơng; đổi chiều BPT nếu số
đó âm.
4) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức
- Với mọi số thực a, b, c ta có : a > b <=> a + c > b + c
- Với mọi số thực a, b, c, d ta có : a > b, b > c => a > c (t/c bắc cầu)
a > b, c > d => a + c > b + d
a > b > 0, c > d > 0 => ac > b
- Với mọi số thực a, b, c,
+ Nếu c > 0 thì a > b <=> ac > bc
+ Nếu c < 0 thì a > b <=> ac < bc
- Với a, b là hai số thực : a > b <=>
3 3
a b>
và a > b <=>
3 3
a b>
- Nếu
a 0,b 0
thì a > b <=>
a b>
và a > b <=>
2 2
a b>
- Giá trị tuyệt đối của một biểu thức A

- Biểu thức có dạng
A
B
xác định (có nghĩa) khi B
0
- Biểu thức có dạng
A
xác định (có nghĩa) khi A
0
- Biểu thức có dạng
A
B
xác định (có nghĩa) khi B > 0
- Biểu thức có dạng
B
A
C
+
xác định (có nghĩa) khi
A 0
C 0



>

- Biểu thức có dạng
B
A
C

A B A B (với A 0 và B 0)=
2
A B A B (với A < 0 và B 0)=
6)
A 1
AB (với AB 0 và B 0)
B
B
=
7)
A B
A
(với B > 0)
B
B
=
8)
(
)
2
2
C A B
C
(với A 0 và A B )
A B A B
=

m
9)
(

(a - b)
2
= a
2
- 2ab + b
2
= +
2
( a b) a 2 a.b b (a,b 0)
3)
a
2
- b
2
= (a + b).(a - b)
= +
a b ( a b).( a b) (a,b 0)
4)
(a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
5)
(a - b)

= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc
9)
+ + = + + + + +
2
( a b c) a b c 2 ab 2 ac 2 bc (a,b,c 0)
10)

=
2
a a
Phân dạng bài tập chi tiết
Dạng 3.1 : Tính Rút gọn biểu thức không có điều kiện
Dạng 3.2 : Rút gọn biểu thức có điều kiện
Dạng 3.3 : Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của
biến
Dạng 3.4 : Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu
thức
Dạng 3.5 : Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận
giá trị nguyên
Dạng 3.6 : Tìm giá trị của biến khi biết dấu của biểu thức
Dạng 3.7 : Chứng minh bất đẳng thức sau khi đã rút gọn
Dạng 3.8 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
Dạng 3.9 : Bài tập tổng hợp
IV Các dạng toán về hàm số

)
Hàm số bậc hai: Là hàm số có công thức y = ax
2
+ bx + c
(trong đó x là biến,
Ăa,b,c , a 0
).
Chú ý: Nếu c = 0 thì hàm bậc hai có dạng y = ax
2
+ bx (
a 0
)
Nếu b = 0 và c = 0 thì hàm bậc hai có dạng y = ax
2
(
a 0
)
3) Khái niệm hàm đồng biến và hàm nghịch biến.
Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi x
Ă
. Với x
1
, x
2
bất kì thuộc R
a) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tơng ứng f(x) cũng tăng lên thì hàm
số y = f(x) đợc gọi là hàm đồng biến.
Nếu
1 2 1 2
x x mà f(x ) < f(x )<

Chú ý: Dạng đồ thị:
a)
Hàm hằng.
Đồ thị của hàm hằng y = m (trong đó
x là biến,
m

Ă
) là một đờng
thẳng luôn song song với trục Ox.
Đồ thị của hàm hằng x = m (trong đó
y là biến,
m

Ă
) là một đờng
thẳng luôn song song
với trục Oy.
b)
Đồ thị hàm số y = ax (
a 0
) là một đờng thẳng (hình ảnh tập hợp các điểm)
luôn đi qua gốc toạ độ.
*) Cách vẽ: Lấy một điểm thuộc đồ thị khác O(0 ; 0), chẳng hạn điểm A(1 ; a).
Sau đó vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm O(0 ; 0) và A(1 ; a) ta đợc đồ thị
hàm số y = ax (
a 0
)
c)
Đồ thị hàm số y = ax + b (

Đồ thị hàm số y = ax
2
(
a 0
) là một đờng cong Parabol có đỉnh O(0;0). Nhận
trục Oy làm trục đối xứng
- Đồ thị ở phía trên trục hoành nếu a > 0.
- Đồ thị ở phía dới trục hoành nếu a < 0.
6) Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
*)
Hai đờng thẳng y = ax + b (
a 0
) và y = ax + b (
a' 0
)
+
Trùng nhau nếu a = a, b = b.
O
x
y
a < 0
O
x
y
a > 0
+
Song song với nhau nếu a = a, b

b.
+

a 0
) là góc tạo bởi tia Ax và tia AT (với T
là một điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b có tung độ dơng).
-
-
Nếu a > 0 thì góc

tạo bởi đờng thẳng y = ax + b với trục Ox đợc tính theo
công thức nh sau:
=
tg a
(cần chứng minh mới đợc dùng).
Nếu a < 0 thì góc

tạo bởi đờng thẳng y = ax + b với trục Ox đợc tính theo
công thức nh sau:

=
0
180
với
=tg a
(cần chứng minh mới đợc dùng).
Phân dạng bài tập chi tiết
Dạng 1: Nhận biết hàm số
Dạng 2: Tính giá trị của hàm số, biến số.
Dạng 3: Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến.
a)
Hàm số bậc nhất y = ax + b (
a 0

x
y
O
(a < 0)

a) Hàm hằng.
Đồ thị của hàm hằng y = m (trong đó
x là biến,
m Ă
) là một đờng
thẳng luôn song song với trục Ox.
Đồ thị của hàm hằng x = m (trong đó
y là biến,
m Ă
) là một đờng
thẳng luôn song song
với trục Oy.
b)
Đồ thị hàm số y = ax (
a 0
) là một đờng thẳng (hình ảnh tập hợp các điểm)
luôn đi qua gốc toạ độ.
*) Cách vẽ: Lấy một điểm thuộc đồ thị khác O(0 ; 0), chẳng hạn điểm A(1 ; a).
Sau đó vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm O(0 ; 0) và A(1 ; a) ta đợc đồ thị
hàm số y = ax (
a 0
)
c)
Đồ thị hàm số y = ax + b (
a,b 0

2
(
a 0
) là một đờng cong Parabol có đỉnh O(0;0). Nhận
trục Oy làm trục đối xứng
- Đồ thị ở phía trên trục hoành nếu a > 0.
- Đồ thị ở phía dới trục hoành nếu a < 0.
Dạng 5: Điểm thuộc và không thuộc đồ thị hàm số.
*) Điểm thuộc đờng thẳng.
- Điểm A(x
A
; y
A
)

(d): y = ax + b (a

0) khi và chỉ khi y
A
= ax
A
+ b
- Điểm B(x
B
; y
B
)

(d): y = ax + b (a


(P)

y
1


ax
1
2
.
Dạng 6: Xác định hàm số
Dạng 7: Xác định điểm cố định của hàm số
*) Ph ơ ng ph á p:
Để tìm điểm cố định mà đờng thẳng y = ax + b (
a 0
; a,b có chứa tham số)
luôn đi qua với mọi giá trị của tham số m, ta làm nh sau:
Bớc 1: Gọi điểm cố định là A(x
0
; y
0
) mà đờng thẳng y = ax + b luôn đi qua với
mọi giá trị của tham số m
Bớc 2: Thay x = x
0
; y = y
0
vào hàm số đợc y
0
= ax

; (d
2
): y = a
2
x + b
2
Là nghiệm của hệ phơng trình
1 1
2 2
y a x b
y a x b
= +


= +

8.2: Tìm toạ độ giao điểm của Parabol với đờng thẳng.
Cho (P) : y = ax
2
(a

0) và (d) : y = mx + n.
Xét phơng trình hoành độ giao điểm ax
2
= mx + n.
Giải phơng trình tìm x.
Thay giá trị x vừa tìm đợc vào hàm số y = ax
2
hoặc y = mx + n ta tìm đợc
y.

+ Phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt (

> 0 hoặc ac < 0)

(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
8.4: Tìm giá trị của một tham số khi biết giao điểm của hai đờng thẳng.
8.5: Tìm giá trị của 2 tham số khi biết giao điểm của hai đờng thẳng.
8.6: Tìm giá trị của tham số khi biết số giao điểm của Parabol và đờng thẳng.
Cho (d) : y = ax + b và (P): y = ax
2
(a

0)(a, a, b có chứa tham số)
Xét phơng trình hoành độ giao điểm ax
2
= ax + b. (*)
+ (d) và (P) không có điểm chung

Phơng trình (*) vô nghiệm (

< 0)
+ (d) tiếp xúc với (P)

Phơng trình (*) có nghiệm kép (

= 0).
Nghiệm kép là hoành độ điểm tiếp xúc
+ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Phơng trình (*) có hai


x
B
và y
A

y
B
.
Ph ơng pháp:
Gọi phơng trình đờng thẳng (d) cần lập đi qua A và B có dạng
y = ax + b (a

0).
Do A

(d) thay x = x
A
; y = y
A
vào y = ax + b ta có y
A
= ax
A
+ b
(1)
Do B

(d) thay x = x
B

; y
0
) =>
0 0
y kx b= +
=>
0 0
b y kx=
Bớc 3: Phơng trình đờng thẳng cần tìm là y =
0 0
kx y kx+
9.3: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm
A(m; y
A
) và B(m; y
B
) trong đó y
A

y
B
.
Ph ơng pháp:
Do A(m; y
A
)

(d): x = m;
Do B(m; y
B

A
) và tiếp xúc với đờng
cong
2
y ax (a 0)=
Bớc 1: Giả sử phơng trình cần lập là y = ax + b
Bớc 2: Đờng thẳng này tiếp xúc với đờng cong
2
y ax (a 0)=
khi và chỉ khi phơng trình hoành độ giao điểm
2
ax a'x b'= +
có nghiệm kép.
Ta cho
0
=
, tìm ra một hệ thức giữa a và b (1)
11
Bớc 3: Đờng thẳng đi qua A(x
A
; y
A
) =>
A A
y a'x b'= +
(2)
Bớc 4: Từ (1) và (2) ta có một hệ phơng trình hai ẩn là a và b. Giải hệ tìm đ-
ợc a và b => phơng trình cần lập
9.6: Lập phơng trình đờng thẳng có hệ số góc là k và tiếp xúc với đờng
cong

Bớc 2: Thay toạ độ giao điểm trên vào phơng trình đờng thẳng còn lại. Giải
phơng trình và tìm tham số.
Dạng 12: Vị trí tơng đối của hai đồ thị của hai hàm số
12.1: Vị trí tơng đối của hai đồ thị của hai hàm số bậc nhất
Cho hai đờng thẳng : (d
1
): y = a
1
x + b
1
; (d
2
): y = a
2
x + b
2
+) (d
1
) cắt (d
2
)

a
1


a
2
+) (d
1

)

a
1
.a
2
= -1 (phải chứng minh mới đợc dùng)
12.2: Tìm điều kiện để hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục
tung.
Cho (d
1
): y = a
1
x + b
1
và (d
2
): y = a
2
x + b
2
Để (d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm trên trục tung thì



=


=


1 2
1 2
1 2
a a (1)
b b
(2)
a a
Lu ý: Chỉ nên áp dụng khi hai phơng trình đều chứa tham số.
Dạng 13: Xác định giá trị của tham số m để đờng thẳng y = ax + b cắt hai
trục tọa độ Ox, Oy tạo thành một tam giác có diện tích bằng c
Bớc 1: Để đồ thị hàm số y = ax + b cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác
thì ta có điều kiện cần là:
a 0,b 0
=> điều kiện của m
12
Bớc 2: Tìm giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ; giả sử A và B lần lợt là
giao điểm của đồ thị với trục tung và trục hoành
A(0 ; b) và B(
b
;0
a

)
Bớc 3: Xét tam giác vuông OAB có
S
OAB

(*)
Giải phơng trình (*) ta tìm đợc giá trị của m (kiểm tra điều kiện ở bớc1)
Cách 2: Đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác cân khi và chỉ khi
đờng thẳng y = ax + b song song với đờng thẳng y = x hoặc song song với đờng
thẳng y = - x
Dạng 15: Xác định giá trị của tham số để giao điểm của hai đờng thẳng ax
+ by = c và ax + by = c nằm trong các góc phần t của hệ trục tọa độ.
Bớc 1: Tìm tọa độ giao điểm A(x ; y) của hai đờng thẳng, chính là nghiệm của
hệ phơng trình:
ax by c
a'x b'y c'
+ =


+ =

Bớc 2:
+) Nếu A nằm trong góc phần t thứ I thì điều kiện là:
x 0
y 0
>


>

+) Nếu A nằm trong góc phần t thứ II thì điều kiện là:
x 0
y 0
<



Bớc 2: Giải hệ này tìm đợc giá trị của tham số
V - Các dạng toán về hệ phơng trình
Lí thuyết chung
1. Định nghĩa:
Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là:
13
+ =


+ =

ax by c
(I)
a'x b'y c'
(trong đó a, b, c, a , b, c có thể chứa tham số)
2.
Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm
- Nghiệm (x
0
; y
0
) của hệ (I) là nghiệm chung của hai phơng trình trong hệ
- Nếu hai phơng trình trong hệ không có nghiệm chung thì hệ phơng trình vô
nghiệm
- Giải hệ phơng trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm) của nó.
*) Điều kiện để hệ hai ph ơng trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất, có vô
số nghiệm, vô nghiệm.
ax by c
a'x b'y c'

a)
Phơng pháp cộng đại số.
*) Cách giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số
Bớc1: Nhân hai vế của mỗi phơng trình với một số thích hợp (nếu cần)
sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phơng trình của hệ bằng
nhau hoặc đối nhau.
Bớc 2: áp dụng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới, trong đó
có một phơng trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phơng
trình một ẩn)
Bớc 3: Giải phơng trình một ẩn vừa thu đợc, rồi suy ra nghiệm của hệ
đã cho
*) Tổng quát:
+ Nếu có
ax by c
ax b'y c'
+ =


+ =



+ = +


+ =

(b b')y c c'
ax b'y c'
+ Nếu có


k.ax kby kc
k.ax b'y c'

(kb b')y k.c c'
ax by c
=


+ =

b) Phơng pháp thế.
*) Cách giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế
Bớc 1: Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phơng trình đã cho để đợc một hệ
phơng trình mới, trong đó có một phơng trình một ẩn
Bớc 2: Giải phơng trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho
*) Tổng quát:
14
ax by c
a'x b'y c'
+ =


+ =


a c
y x
b b
a'x b'y c'

+) Nếu hai đờng thẳng cắt nhau thì hệ có nghiệm duy nhất, dựa vào đồ thị
đoán nhận nghiệm duy nhất đó, sau đó thử lại và kết luận nghiệm của
hệ
+) Nếu hai đờng thẳng song song thì hệ vô nghiệm
+) Nếu hai đờng thẳng trùng nhau thì hệ có vô số nghiệm
Chú ý: Có thể đặt ẩn phụ trớc khi áp dụng các phơng pháp giải hệ: (áp dụng
cho các hệ phơng trình chứa ẩn ở mẫu, dới dấu căn bậc hai.)
Phân dạng bài tập chi tiết
Dạng 1: Giải hệ phơng trình không chứa tham số
Dạng 2: Giải hệ phơng trình khi biết giá trị của tham số
Ph ơng pháp:
Bớc 1: Thay giá trị của tham số vào hệ phơng trình
Bớc 2: Giải hệ phơng trình không chứa tham số vừa thu đợc.
Dạng 3: Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số
- Dùng phơng pháp cộng hoặc thế để tìm x theo tham số m (hoặc y theo tham số m),
làm xuất hiện phơng trình có dạng :
Ax = B (1) (hoặc Ay = B)
Nếu A = 0 thì phơng trình (1) có dạng 0x = B.
+) Khi B = 0 thì phơng trình (1) có dạng 0x = 0


phơng trình có vô số nghiệm
=> hệ phơng trình có vô số nghiệm
+) Khi B

0 phơng trình (1) vô nghiệm
=> hệ phơng trình vô nghiệm
Nếu A

0 thì phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất

= =
+ Hệ vô nghiệm nếu
a b c
a' b' c'
=
+ Hệ có một nghiệm duy nhất nếu
a b
a' b'

Dạng 5: Tìm giá trị tham số khi biết dấu của nghiệm của hệ phơng trình
Dạng 6: Tìm giá tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình
15
6.1: Tìm một giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phơng trình.
Cho hệ phơng trình :
+ =



+ =

ax by c (1)
a x b y c (2)

Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm
0
0
x x
y y
=



có nghiệm
0
0
x x
y y
=


=

Bớc 1: Thay x = x
0
; y = y
0
vào cả hai phơng trình của hệ phơng trình ta đợc
0 0
0 0
ax by c
a x b y c
+ =



+ =

Bớc 2: Giải hệ phơng trình chứa ẩn là tham số.
Dạng 7: Tìm giá trị tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa x và y.
Cho hệ phơng trình :
ax by c (1)

x a với a, b Z
A(m)
= +
0
d
y c với c, d Z
B(m)
= +
0
0
b
x Z Z A(m) Ư (b)
A(m)
m ?
d
y Z Z B(m) Ư (d)
B(m)

<=> <=>

=> =

<=> <=>


*) Đặc biệt nếu :
0
b
x a với a, b Z
A(m)

2
(x) + d

d

P(x,y)

d
Giá trị lớn nhất của P(x,y) bằng d đạt đợc khi A(x) = 0.
k > 0

kA
2
(x)

0

kA
2
(x) + d

d

P(x,y)

d
Giá trị nhỏ nhất của P(x,y) bằng d đạt đợc khi A(x) = 0.
Cách 2:
P(x,y) = ax
2

x
2a

=
=
b'
a

.
P(x,y)

e

Giá trị lớn nhất của P(x,y) bằng e đạt đợc khi

=
'
= 0

b
x
2a

=
=
b'
a

Dạng 10: Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số
1. Ph ơng pháp:

đơng
- Hai hệ phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng một tập nghiệm
(tức là mọi nghiệm của hệ này đều là nghiệm của hệ kia và ngợc lại)
Dạng 12: Giải hệ phơng trình theo phơng pháp đặt ẩn phụ và
giải một số hệ phơng trình không ở dạng hệ hai phơng trình bậc nhất hai
ẩn (hệ đặc biệt)
VI Phơng trình bậc hai một ẩn
Phần I: Phơng trình không chứa tham số
I.
Định nghĩa: Phơng trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phơng trình bậc hai) là
phơng trình có dạng
2
0 ( 0)ax bx c a+ + =
Trong đó: x là ẩn; a, b, c là những số cho trớc gọi là các hệ số
II.
Phân loại.
17
1.
Phơng trình khuyết c: ax
2
+ bx = 0 (a

0)
Phơng pháp giải:
ax
2
+ bx = 0 (a, b

0)


2
+ c = 0 (a

0)


2
c
x
a

=
+)
+)
Nếu
c
a

< 0

Phơng trình vô nghiệm.
Nếu
c
a

> 0

Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

=


phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x
1
=
+
b
2a
; x
2
=

b
2a
+)

= 0

Phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
b
2a

* ) C ô ng th ứ c nghi ệ m thu g ọ n
Nếu b = 2b (b =
2
b

'b
a

+ Nếu

< 0

phơng trình vô nghiệm
Phần II Các dạng phơng trình chứa tham số
Dạng 1: Giải phơng trình khi biết giá trị của tham số
Thay giá trị của tham số vào phơng trình và giải phơng trình
Dạng 2: Giải và biện phơng trình theo tham số
T ổ ng qu á t:
Với a = 0: Phơng trình trở thành phơng trình bậc nhất bx + c = 0.
+ Nếu b

0 thì phơng trình có nghiệm x =

c
b
+ Nếu b = 0 và c

0 thì phơng trình vô nghiệm.
18
+ Nếu b = 0 và c = 0 thì phơng trình có vô số nghiệm.
Với a

0 phơng trình trở thành phơng trình bậc hai có biệt số:

= b


> 0) thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x
1
=
+ +
=
b b' '
2a a
; x
2
=

=
b b' '
2a a
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm
- Xét hai trờng hợp của hệ số a:
Trờng hợp 1: a = 0, ta tìm đợc một vài giá trị của m, sau đó thay trực tiếp vào
phơng trình rồi kết luận với những giá trị nào của m thì phơng trình có
nghiệm
Trờng hợp 2: a ã 0, phơng trình bậc hai một ẩn có nghiệm <=>
( )
0 ' 0
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có hai nghiệm phân
biệt
Phơng trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm phân biệt
<=>
0
0( ' 0)




<


Cách 2: Chứng minh:



>

a 0
0
Ch ú ý: Cho tam thức bậc hai

=
2
am bm c+ +
Để chứng minh
0, m >
ta cần chứng minh
2
m
a 0
b 4ac 0
>




0
0
a
P






>

hoặc
0
0
0
a
ac






>

b) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu <=>
0
0
a

>


>

d) Phơng trình có hai nghiệm âm <=>
0
0
0
0
a
P
S






>


<


e) Phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt <=>
0
0
0
0



<


g) Phơng trình có hai nghiệm là hai số đối nhau
<=>
1 2
0
0
0
a
b
S x x
a







= + = =


h) Phơng trình có 2 nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau
20
<=>
1 2
0

c
a
Bớc 3: Biểu thị đợc các biểu thức theo x
1
+ x
1
và x
1
.x
1
; sau đó thay giá trị của
x
1
+ x
1
và x
1
.x
1
vào để tính giá trị của biểu thức.
Chú ý:
+ = +
2 2 2
a b (a b) 2ab
+ = + +
3 3 3
a b (a b) 3ab(a b)
= +
2 2
(a b) (a b) 4ab

1 2
x x k+ =
d)
3 3
1 2
x x t+ =
, . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bớc 1: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
. Giải
hệ ĐK:
0
0
a




=> m = ?
Bớc 2: Theo hệ thức Vi ét, ta có:
1 2
1 2
b
S x x
a
c
P x x
a

còn lại
Bớc 1: Thay x = x
1
vào phơng trình, ta có:

2
1 1
0 ?ax bx c m+ + = => =
21
Bớc 2: Để tìm nghiệm còn lại x
2
ta thực hiện theo hai cách:
C á ch 1: Thay giá trị của m vào phơng trình ban đầu. Từ đó có phơng trình bậc
hai và giải phơng trình này ta tìm đợc x
2
C á ch 2: Tính x
2
nhờ định lí Vi - ét:
2 1 2 1
hoặc x = P : xx S x=
Dạng 12: Tìm phơng trình bậc hai khi biết trớc hai nghiệm số
Trờng hợp 1: Cho từng nghiệm x
1
, x
2
. Ta có phơng trình với ẩn x là :
( )
2
1 2 1 2 1 2
( ) 0 ( ) 0x x x x x x x x x x = <=> + + =

và x
4
thông
qua mối liên hệ với x
1
, x
2
.
Bớc 4: Lập phơng trình.
Dạng 14: Tìm đẳng thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào
tham số
Cách 1:
Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
.
Giải hệ điều kiện
0
0
a




Bớc 2: Tính hệ thức Vi - ét:


= + =


Bớc 2: Giải phơng trình tìm x
1
, x
2
.
Bớc 3: Tìm hệ thức (khử tham số).
Dạng 15: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của tam thức bậc hai
2
y ax bx c (a 0)= + +
Cách 1:
Biến đổi y = kA
2
(x) + m (m là hằng số).
k < 0

kA
2
(x)

0

kA
2
(x) + m

m

y

m

hoặc
'
.
+ Bớc 2: Đặt điều kiện


0 (
'

0)

Giải bất phơng trình chứa ẩn y.
y

m

Giá trị nhỏ nhất của y bằng m đạt đợc khi

=
'
= 0

b
x
2a

=
=
b'
a


+ = =
Bớc 3: Biến đổi biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm là A(x
1
; x
2
) về dạng có chứa
x
1
+ x
2
và x
1
.x
2

Bớc 4: Thay x
1
+ x
2
và x
1
.x
2
vào biểu thức A. Khi đó A trở thành tam thức bậc
hai ẩn là tham số.
Bớc 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của A. Chọn giá trị tham số thích
hợp.
Dạng 17: Chứng minh biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc
vào tham số

; thấy kết quả là một
hằng số => Biểu thức liên hệ giữu hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số

Dạng 18: Tìm giá trị của tham số để hai nghiệm của phơng trình thỏa mãn
bất đẳng thức đã cho.
Dạng 19: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số u và v thoả mãn
+ =


=

u v S
u.v P
(S
2


4P). Thì u và v là nghiệm của ph-
ơng trình x
2
- Sx + P = 0 (*)
- Nếu phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt
1 2
x ,x
. Do x, y có vai trò nh nhau
nên có hai cặp số thỏa mãn là
1
2
u x

2 2
ax bx c 0 (a 0) và a 'x b'x c' 0 (a' 0)+ + = + + =
Trong đó
a,b,c,a',b',c'
chứa tham số m
*) C á ch 1:
Hai phơng trình trên có nghiệm chung khi và chỉ khi hệ phơng trình:
2
2
ax bx c 0 (a 0)

a'x b'x c' 0 (a' 0)

+ + =



+ + =

có nghiệm
Trừ vế với vế của hai phơng trình trong hệ ta có phơng trình dạng:
A(m).x = B(m)
+) Nếu A(m) = 0, từ đẳng thức này ta rút ra một vài giá trị của m, sau đó
thay trực tiếp vào hai phơng trình

giải hai phơng trình không chứa
tham số và xét xem ứng với giá trị m đó hai phơng trình có nghiệm
chung hay không ?
+) Nếu
A(m) 0

của tham số m, nếu cần thiết thử lại để kiểm tra
C á ch 3: Chỉ thực hiện cách giải này ở một số bài toán đơn giản
Từ một trong hai phơng trình ta rút m theo x và thế vào phơng trình kia, đợc
phơng trình ẩn x; từ phơng trình này ta tìm đợc nghiệm chung, sau đó tìm m = ?
Dạng 21: Chứng minh trong hai phơng trình bậc hai một ẩn có ít nhất
một phơng trình có nghiệm
Cho hai phơng trình
2 2
ax bx c 0 (a 0) và a 'x b'x c' 0 (a' 0)+ + = + + =
Trong đó
a,b,c,a',b',c'
chứa tham số
Chứng minh ít nhất một trong hai phơng trình trên có nghiệm
Ph ơ ng ph á p:
C á ch 1: Gọi
1 2
,
lần lợt là biệt thức của hai phơng trình. Ta cần chứng minh
+)
1 2
0 +
=>
1


0
hoặc
2



*) Dạng 22.1: Hai phơng trình bậc nhất
Tìm nghiệm của hai phơng trình theo tham số và cho hai nghiệm bằng nhau,
từ đó tìm đợc giá trị của tham số để hai phơng trình tơng đơng
*) Dạng 22.2: Hai phơng trình bậc hai một ẩn
Xét hai trờng hợp
Trờng hợp1: Hai phơng trình có nghiệm chung
Trớc hết tìm giá trị của tham số để hai phơng trình có nghiệm chung sau
đó thay giá trị của tham số vào hai phơng trình và tìm tập nghiệm của
chúng. Nếu tập nghiệm bằng nhau thì hai phơng trình tơng đơng => giá
trị của tham số
Trờng hợp 2: Hai phơng trình cùng vô nghiệm <=>
1
2
0
0
<



<



=> Giá trị của tham số
Đặc biệt: Nếu nhận thấy một trong hai phơng trình có hai nghiệm
(
1 2
0 hoặc 0
)
=> Hai phơng trình tơng đơng khi hai nghiệm của phơng trình

2
+ bx + c = 0
(1)
(a

0) có hai nghiệm x = x
1
; x = x
2
.
C á ch 1:
Bớc 1: Thay x = x
1
; x = x
2
vào phơng trình (1) ta có hệ phơng trình:

+ + =


+ + =


2
1 1
2
2 2
ax bx c 0
ax bx c 0
Bớc 2: Giải hệ phơng trình có ẩn là tham số.

2
ax bx c (a 0)+ +
f(x) =
( ) ( )
2
2 2
2
2 2
b c b b 4ac b
a(x x ) a x a x
a a 2a 2a
4a 4a



+ + = + = +



25