c
b
a
M
H
C
B
A
Chau Thanh 2 High School Hinh Hoc 12
ÔN TẬP
KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 - 10
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho
ABC
∆
vuông ở A ta có :
a) Định lý Pitago :
2 2 2
BC AB AC
= +

b)
2 2
BA =BH.BC; CA =CH.CB
c) AB. AC = BC. AH=2S
ABC

d)
2 2 2
1 1 1
= +
AH AB AC

* Độ dài đường trung tuyến:
( )
2 2 2
a
2 b +c -a
m =
4
3. Các công thức tính diện tích.
a/ Công thức tính diện tích tam giác:

a
1 1 a.b.c
S = a.h = a.bsinC = = p.r = p.(p-a)(p-b)(p-c)
2 2 4R
với
a+b+c
p=
2
Đặc biệt : *
ABC
∆
vuông ở A :
1
S= AB.AC
2
,
*
ABC
∆
đều cạnh a: diện tích

1) Tính góc giữa hai đường thẳng:
PP1: Áp dụng định nghĩa:

( ) ( )
a'//a
a,b = a';b'
b'//b

⇒


PP2: Sử dụng tích vô hướng:
( )
( )
a.b
cos a;b = cos a;b =
a . b
r r
r r
r r
2) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
PP1:
a b a.b=0⊥ ⇔
r r
PP2:
a//b
a c
b c

⇒ ⊥

A. Dạng toán cơ bản:
1) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
PP1:

⊥ ⊥

⊂ ⇒ ⊥



d a ,d b
a ,b mp(P) d mp(P)
a,b caét nhau
PP2:
a//b
a mp(P)
b (P)

⇒ ⊥

⊥

2) Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng :
PP1
a (P)
a b
b (P)
⊥

⇒ ⊥

ng vuông góc v
ng vuông góc v
ớ
ớ
i
i
m
m
ặ
ặ
t
t
phẳng
phẳng
d
a
b
P
a
b
(P)
a'
a
b
P
P
a'
a
Chau Thanh 2 High School Hinh Hoc 12
A. Dạng toán cơ bản:

( )
( ) ( )
( )
a P
P Q
a Q
⊂

⇒ ⊥

⊥

3) Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng :
PP:
(P) (R)
(Q) (R)Δ (R)
(P) (Q)=Δ
⊥


⊥ ⇒ ⊥


∩

4) Cho đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P). Có duy nhất một mặt phẳng chứa a
và vuông góc với (P).
Written by_TruongThiLien Page
4
V

Q
P
a
a
R
Q
P
Chau Thanh 2 High School Hinh Hoc 12
A. Dạng toán cơ bản:
1) Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng
∆
:
Hạ MH vuông góc với ∆ tại H ⇒ d(M;∆)=MH
2) Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P):
Hạ MH vuông góc với (P) tại H ⇒ d(M;(P))=MH
3) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Lấy M bất kì thuộc (P) ⇒ d((P);(Q))=d(M;(Q))
3
) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
a) Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:
 Nếu a⊥b thì ta dựng mặt phẳng(P) chứa b và vuông góc với a tại M, kẻ
MN⊥b tại N. Khi đó MN là đoạn vuông góc chung của a và b
 Nếu a không vuông góc với b thì:
- Dựng mặt phẳng(Q) chứa b và song song với a
- Dựng hình chiếu a’ của a trên (Q), a’ cắt b tại J
- Dựng đường thẳng qua J và vuông góc với (Q) cắt a tại
I.
Khi đó: IJ là đoạn vuôn góc chung của a và b.
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
d(a;b)=MN

KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12
PHẦN 1:THỂ TÍCH
A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DI Ệ N
I/ Các công thức thể tích của khối đa diện:
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V= B.h
với
B: dieän tích ñaùy
h : chieàu cao



a) Thể tích khối hộp chữ nhật:
V = a.b.c
với a,b,c là ba kích thước
b) Thể tích khối lập phương:
V = a
3

với a là độ dài cạnh
2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:
V=
1
3
Bh
với



B: dieän tích ñaùy

nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
B. KHỐI TRÒN XOAY:
1. Hình trụ , khối trụ và mặt trụ tròn xoay:
- Trục OO’
- Đường sinh MM’=l
- Bán kính R=OM, đường cao
h=OO’=MM’
- Diện tích xung quanh:
S
xq
=2πRl
- Diện tích toàn phần:
S
tp
=2πRl+2πR
2
- Thể tích khối trụ: V=πR
2
l
- Mặt trụ tròn xoay sinh ra khi
quay đường thẳng l song song
đt ∆ cố định và cách ∆ một
đoạn R không đổi.
2. Hình nón, khối nón, mặt nón tròn xoay:
- Trục SO
- Đường sinh SM=l
- Góc ở đỉnh là 2α
- Bán kính đáy R=OM, chiều
cao h=SO
O
S
M
l
h
R
Chau Thanh 2 High School Hinh Hoc 12
3. Hình cầu, mặt cầu và khối cầu:
- Tâm O, bán kính R=OM
- Diện tích mặt cầu: S=4πR
2
- Thể tich khối cầu:
2
4
3
V R
π
=
4. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện:
Tâm O của mặt cầu nếu có là điểm cách đều tất cả các đỉnh của
nên thuộc tất cả các mặt phẳng trung trực của các cạnh.
Với tứ diện thì luôn tồn tại mặt cầu ngoại tiếp, tâm E là giao
điểm của trục tam giác đáy với một trung trực đồng phẳng của một cạnh
bên.
Với hình chóp thì điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp là khi đáy
hình chóp là đa giác nội tiếp, lúc đó tâm E là giao điểm của trục tam
giác đáy với một trung trực đồng phẳng của một cạnh bên.
PHẦN 2: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

( ) ( ) ( )
2 2 2
B A B A B A
AB= x -x + y -y + z -z
 Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k≠1:
A B A B A B
x -kx y -ky z -kz
MA=kMB M ; ;
1-k 1-k 1-k
 
⇔
 ÷
 
uuuur uuur
.
 Trung điểm I của AB có tọa độ
A B A B A B
x +x y +y z +z
I ; ;
2 2 2
 
 ÷
 
.
 Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ
A B C A B C A B C
x +x +x y +y +y z +z +z
G ; ;
3 3 3
 

r r
o
ku=(kx;ky;kz)
r
o
2 2 2
| u|= x +y +z
r
 Tích vô hướng của hai vectơ:
o Biểu thức toạ độ:
u.v=x.x'+y.y'+z.z'
r r
( )
= u . v .cos(u,v)
r r r r
o Góc giữa hai vectơ:
2 2 2 2 2 2
x.x'+y.y'+z.z'
cos(u,v)=
x +y +z . x' +y' +z'
r r
 Tích có hướng của hai vectơ:
, ; ;
' ' ' ' ' '
y z z x x y
u v
y z z x x y
 
 
=

r r r
o
u
r
,
v
r
,
w
uur
đồng phẳng ⇔
u,v .w 0
 
=
 
r r uur
 Diện tích hình bình hành:
ABCD
S = AB,AD
 
 
uuur uuur
 Diện tích tam giác :
ABC
1
S = AB,AC
2
 
 
uuur uuur

2
+y
2
+z
2
-2ax-2by-2cz+d=0,
với điều kiện : a
2
+b
2
+c
2
>d, là phương trình mặt cầu có tâm I(a;b;c) và
có bán kính
2 2 2
R= a +b +c -d
* Giao điểm của mặt phẳng ( α ) và mặt cầu (S):
Gọi IH là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (α); R là bán kính mặt cầu:
o IH>R : (α)∩(S)=φ
o IH=R : (α)∩(S)=H
o IH<R : (α)∩(S)=(C)
Cách xác định tâm và bán kính của đường tròn
(C):
 Viết phương trình đường thẳng d đi qua I
và vuông góc với (α):
dα
u =n
uur uur
 Tâm H của đường tròn (C): H=d∩(α)
 Bán kính r của (C):

n=(A;B;C)
r
 Chú ý:
- Phương trình các mặt phẳng đặc biệt:
mp(Oxy):z=0 ;
mp(Oyz):x=0 ;
mp(Oxz):y=0
- Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng có vectơ pháp tuyến
n= AB,AC
 
 
r uuur uuur
và ta gọi
AB, AC
uuur uuur
là cặp vectơ chỉ phương của mp(ABC).
- Pt mặt phẳng theo đoạn chắn trên 3 trục toạ độ: Mp đi qua M(a;0;0),
N(0;b;0) và P(0;0;c) có phương trình là:
x y z
+ + =1
a b c
Written by_TruongThiLien Page
10
R
r
I
H
Chau Thanh 2 High School Hinh Hoc 12
- Mp chứa hai đường thẳng cắt nhau: Nếu (P) =mp(d,d’) thì (P) có vectơ
pháp tuyến là




 Phương trình chính tắc của d (khi abc≠0) là:
0 0 0
x-x y-y z-z
= =
a b c
6. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Nếu (α) có phương trình Ax+by+Cz+D=0 và (α’) có phương trình
A’x+B’y+C’z+D’=0 thì:
• (α) và (α’) cắt nhau khi và chỉ khi A:B:C≠A’:B’:C’
• (α) và (α’) song song khi và chỉ khi
A B C D
= =
A' B' C' D'
≠
• (α) và (α’) trùng nhau khi và chỉ khi
A B C D
= =
A' B' C' D'
=
• (α) và (α’) vuông góc với nhau khi và chỉ khi AA’+BB’+CC’=0
7. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:
Nếu đường thẳng d đi qua điểm M
0
, có vectơ chỉ phương
u
r
và đường

⇔

 
≠

 

r ur r
uuuuuur
r r
• d và d’ cắt nhau
'
0 0
u,u' .M M =0
u,u' 0

 

 
⇔

 
≠

 

uuuuuur
r ur
r ur r
• d và d’ chéo nhau

Ax +By +Cz +D 0

⇔

≠

• d ⊂(α)
0 0 0
Aa+Bb+Cc=0
Ax +By +Cz +D 0

⇔

=

9. Khoảng cách:
 Khoảng cách gữa hai điểm A(x
A
;y
A
;z
A
) và B(x
B;
y
B
;z
B
) là:
( ) ( ) ( )

1
M M ,u
d(M ,Δ)=
u
 
 
uuuuuur r
r
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ và ∆’, trong đó ∆ đi
qua điểm M
0
, có vectơ chỉ phương
u
r
và đường thẳng ∆’ đi qua điểm
'
0
M
, có vectơ chỉ phương
u'
ur
là:
'
0 0
u,u' .M M
d( ,Δ')=
u,u'
 
 
∆

A.a+B.b+C.c
sinφ= =
n . u
A +B +C . a +b +c
r r
r r
Written by_TruongThiLien Page
13