Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin

1 LƯỢNG GIÁC QUA CÁC KỲ THI

A. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Công thức lượng giác
Trên đường tròn lượng giác, lấy điểm
(
)
0 0
;
M x y
sao cho
số đo cung

AM
α
=
.

tan
AP
α
= có nghĩa k.v.c.k
2


3. Hàm số lượng giác của những góc (cung) có liên quan đặc biệt


3
2

1

cos
α

1

3
2

2
2

1
2

0

tan
α

0

3
3

1

cot
sin
α
α
α
=

2
2
1
1 tan
cos
α
α
+ =

2
2
1
1 cot
sin
α
α
+ =

2 2
sin cos 1
α α
+ =


sin cos 1 3sin cos
α α α α
+ = −

a. Hai góc đối nhau
(
)
cos cos
α α
− =

(
)
sin sin
α α
− = −

(
)
tan tan
α α
− = −

(
)
cot cot
α α
− = −

b. Hai góc bù nhau

cos cos
π α α
+ = −

(
)
sin sin
π α α
+ = −

(
)
tan tan
π α α
+ =

(
)
cot cot
π α α
+ =

c. Hai góc phụ nhau
cos sin
2
π
α α
 
− =
 

2
π

cos sin
2
π
α α
 
+ = −
 
 

sin cos
2
π
α α
 
+ =
 
 

tan cot
2
π
α α
 
+ = −
 
 


=

0
0
cot
x
y
α
=

(
)
sin 2 sin
k
α π α
+ =

(
)
cos 2 cos
k
α π α
+ =

( )
sin ,
sin
sin ,
k
k

k
k
k
α
α π
α

+ =

−

ch½n
lÎNguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác

2

2
1
sin cos sin sin
2
1
cos sin sin sin
2
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
= + + −
 
 
= − + − −
 
 
= + + −
 
 
= + − −
 
 

4. Công thức cộng
(
)
cos cos cos sin sin
α β α β α β
± =

2 2
2cos 1 1 2sin
α α
= − = −

2
2tan
tan2
1 tan
α
α
α
=
−

6. Công thức nhân ba
3
sin3 3sin 4sin
α α α
= −

3
cos3 4cos 3cos
α α α
= −

3
2
3tan tan
tan3

1 cos2
α
α
α
−
=
+

3
3sin sin3
sin
4
α α
α
−
=

3
cos3 3cos
cos
4
α α
α
+
=

9. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos cos
2 2
α β α β

± =

8. Biểu diễn qua tang góc chia đôi
Đặt
tan
2
t
α
=
. Khi đó,

2
2
sin
1
t
t
α
=
+

2
2
1
cos
1
t
t
α
−

 
= + +
 
+ +
 
( )
2 2
cos sin sin cos
a b x x
ϕ ϕ
= + +

( )
2 2
sina b x
ϕ
= + +
với
tan .
b
a
ϕ
=

( )
2 2
sin sin cos cos
y a b x x
α α
= + +


sin 3cos 2sin 2cos
3 6
x x x x
π π
   
± = ± = ±
   
   
∓

3sin cos 2sin 2cos
6 3
x x x x
π π
   
± = ± = ±
   
   
∓

Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin

3
b. Phương trình
cos
x m
=

- Nếu


= − +

ℤ

Đặc biệt,
cos 0
2
x x k
π
π
= ⇔ = +cos 1 2
x x k
π
= ⇔ =

(
)
k
∈
ℤcos 1 2
x x k
π π
= − ⇔ = +

2.
3.
4.
5.
6.

2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
 Phương pháp giải.

3. Phương trình bậc nhất đối với
sin
x
và
cos
x

 Phương trình có dạng
sin cos
a x b x c
+ =


α
=
.
Khi đó,
( )
2
sin sin
2
x k
x k
x k
α π
α
π α π
= +

= ⇔ ∈

= − +

ℤ

Đặc biệt,
sin 0
x x k
π
= ⇔ =sin 1 2

α β
α π β π
= +

= ⇔

= − +


c. Phương trình
tan
x m
=

Chọn góc
α
sao cho
tan
m
α
=
.
Khi đó,
(
)
tan tan
x x k k
α α π
= ⇔ = + ∈
ℤ


Phương trình luôn có nghiệm với mọi
m
.
*Tổng quát
cot cot
k
α β α β π
= ⇔ = +

Phương pháp 1. Dùng
tan
b
a
ϕ
=
để đưa
phương trình về dạng cơ bản như sau:
( )
sin cos sin tan cos
sin cos
b c c
x x x x
a a a
c
x
a
ϕ
ϕ ϕ
+ = ⇔ + =

ϕ
=
+
và
2 2
cos
b
a b
ϕ
=
+
.
Phương pháp 3.
(Thường dùng khi phương trình chứa tham số)
Dùng ẩn số phụ
tan
2
x
t =
thì phương trình trở thành:
( ) ( )
2
2 2
2
2 1
. .
1 1
2 0
t t
a b c

-
D
ạng
2
tan tan 0
a x b x c
+ + =
, đ
ặt
tan
t x
=
.

Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác

4

 Cách sử dụng MTBT đưa phương trình dạng
asin cos
x b x c
+ =
về phương trình lượng giác
cơ bản
(
)
sin
X x Y c
+ =
hoặc

* Đưa về dạng
(
)
cos
X x Y c
− =
thì làm tương tự, nhập Pol(b,a ta được X, Y.
Khi đó,
(
)
asin cos cos
x b x c X x Y c
+ = ⇔ − =
.
Chú ý:
• Chuyển về sin thì bấm hệ số của sin trước và góc cùng dấu.
• Chuyển về cos thì bấm hệ số của cos trước và góc trái dấu.



 Ví dụ 1: Giải phương trình
3sin 2 cos2 3
x x− =

 Cách 1 - Đưa vế trái về sin bấm:
( 3, 1
Pol
−
ta được
2

6 3
x k
x k
π π
π
π π
π π

− = +

⇔


− = − +


2 2
2
5
2 2
6
x k
x k
π
π
π
π

= +


X
=
và
2
3
Y
π
=
.
Giải:
2
3sin 2 cos2 3 2cos 2 3
3
x x x
π
 
− = ⇔ − =
 
 
2 3
cos 2 cos
3 2 6
x
π π
 
⇔ − = =
 
 

2

π

= +

⇔


= +


5
12
4
x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔


= +


.


 
3 1
sin sin
4 2 6
x
π π
 
⇔ + = = ⇔
 
 

Cách 2 - Đưa vế trái về cos bấm:
(2, 2
Pol
−
ta được
2 2
X
=
và
4
Y
π
= −
.
Giải:
2sin 2cos 2 2 2cos 2
4
x x x
π

   

Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin

5
hoặc
1
sin3 3cos3 1 2cos 3 1 cos 3 cos
6 6 2 3
x x x x
π π π
   
+ = ⇔ − = ⇔ − = = ⇔
   
   

4. Phương trình đối xứng đối với
sin
x
và
cos
x

 Phương trình có dạng
(
)
sin cos sin cos 0
a x x b x x c
± + + =

- Đẳng cấp bậc 3 có dạng
3 3 2 2
sin cos sin cos sin cos esin cos 0
a x b x c x x d x x x f x
+ + + + + =

 Phương pháp giải. Dùng ẩn số phụ
( )
sin cos 2sin 2 .
4
t x x x t
π
 
= ± = ± ≤
 
 

2
2
1
1 2sin cos sin cos
2
t
t x x x x
−

2
cos
x
ta
đượ
c ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai
đố
i
v
ớ
i
tan
t x
=
là
(
)
(
)
(
)
2 2 2
tan tan 1 tan tan tan 0.
a x b c x d x a d x c x b d
+ + = + ⇔ − + + − =


= −
.

 Phương pháp 2.
Dùng công th
ứ
c h
ạ
b
ậ
c
2
1 cos2
sin
2
x
x
−
=
;
2
1 cos2
cos
2
x
x
+
=
và
sin2

cos
x
ta
đượ
c ph
ươ
ng trình b
ậ
c ba
đố
i
v
ớ
i
tan
t x
=
là
(
)
(
)
3 2 2 2
tan tan tan tan 1 tan 1 tan 0
a x b c x d x e x x f x
+ + + + + + + =

(
)
(

chung r
ồ
i gi
ả
i, b
ằ
ng cách thay
2 2
sin 1 cos
x x
= −
.
6. i. Phương trình dạng

sin ,cos ,tan ,tan ,cot 0
2
x
f x x x x
 
=
 
 

 Phương pháp giải.

Đặ
t
tan
2
x


Phương pháp giải.

Đặ
t
tan
t x
=
, r
ồ
i
áp d
ụ
ng công th
ứ
c tang góc chia
đ
ôi
bi
ể
u di
ễ
n
sin 2 ,cos2 ,tan2 ,cot 2
x x x x

theo
t
.


- Bước 2: Giả sử ta tìm được nghiệm
3
x
π
=
. Khi đó, thử tiếp với các góc lượng giác có liên quan đặc
biệt với nó.
• Thử với góc đối:
3
x
π
= −
nếu thỏa mãn thì phương trình có nghiệm
x
sao cho
1
cos
2
x
=
hay
phương trình có một nhân tử là
2cos 1
x
−
.
•
Thử với góc bù:
2
3

Thử với góc hơn kém
π
:

4
3
x
π
=
ho
ặ
c
2
3
x
π
−
=
n
ế
u th
ỏ
a mãn ph
ươ
ng trình thì ph
ươ
ng trình có
nghi
ệ
m

ở
i
(
)
2 2
sin cos
a x x
+ r
ồ
i ti
ế
n hành
nhóm nhân t
ử
chung.
- Bước 3:
Nhóm th
ừ
a s
ố
chung theo nhân t
ử

đ
ã bi
ế
t.
- Bước 4:
Gi
ả

c n
ă
ng CALC c
ủ
a MTBT ta tìm
đượ
c
m
ộ
t nghi
ệ
m
6
x
π
=
.
•

Th
ử
v
ớ
i giá tr
ị

đố
i:
6
x

m
x
sao cho
1
sin
2
x
=

hay ph
ươ
ng trình có m
ộ
t nhân t
ử
là
2sin 1
x
−

☺
.
Giải:
Ta có
sin 2 cos2 3sin cos 1 0
x x x x
− + − − =

(
)

⇔ − + + =

Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin

7
( )
1
sin
2
sin cos 2
x
x x VN

=

⇔

+ = −


2
6
5
2
6
x k
x k
π
π
π

= +
.
Chú ý: Trong bài trên
cos2
x
có 3 công thứ
c,
ở

đ
ây ph
ươ
ng trình có nhân t
ử
là
2sin 1
x
−
nên ta áp d
ụ
ng
công th
ứ
c
đư
a v
ề

sin
, t

ử
d
ụ
ng ch
ứ
c n
ă
ng CALC c
ủ
a MTBT ta
tìm
đượ
c m
ộ
t nghi
ệ
m
2
3
x
π
=
.
•
Th
ử
v
ớ
i giá tr
ị

ộ
t nhân t
ử
là
2cos 1
x
+

☺
.
Giải:
Ta có
(
)
2 cos 3sin cos cos 3sin 1
x x x x x
+ = − +

2
2cos 2 3sin cos cos 3sin 1 0
x x x x x
⇔ + − + − =

(
)
(
)
2
2cos cos 1 3sin 2cos 1 0
x x x x

cos
2
1
sin
6 2
x
x
π
−

=


⇔
 

+ =
 

 

2
2
3
2
x k
x k
π
π
π

2
x k
π
=
.


 Ví dụ 3:

Giải phương trình
(
)
2
2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cos
x x x x x
+ + = +
(DBII – KA – 2007)

Nh
ậ
p vào MTBT
(
)
2
2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3 cos
x x x x x
+ + − +
. S
ử
d

đố
i:
2
3
x
π
−
=
không th
ỏ
a ph
ươ
ng trình.
•

Th
ử
v
ớ
i giá tr
ị
bù:
3
x
π
=
không th
ỏ
a ph
ươ

x
sao cho
tan 3
x
= −
hay ph
ươ
ng trình có m
ộ
t nhân t
ử
là
sin 3cos
x x
+

☺
.
Khi
đ
ó
để
nhóm
đượ
c nhân t
ử

sin 3cos
x x
+

x x x x x x x
⇔ + + + − + =

(
)
2 2
sin 2 3sin cos 3cos 3 sin 3cos 0
x x x x x x
⇔ + + − + =

(
)
(
)
2
sin 3cos 3 sin 3 cos 0
x x x x
⇔ + − + =

(
)
(
)
sin 3cos sin 3cos 3 0
x x x x
⇔ + + − =

( )
sin 3cos 0
sin 3cos 3



 Ví dụ 4: Giải phương trình
(
)
2
4cos sin 1 2 3cos cos2 2sin 1 0
x x x x x
+ + − − =

Nhập vào MTBT
(
)
2
4cos sin 1 2 3cos cos2 2sin 1
x x x x x
+ + − −
. Sử dụng chức năng CALC của MTBT
ta tìm được một nghiệm
2
3
x
π
=
.
• Thử với giá trị đối:
2
3
x
π

x x
+
, ta thay hệ số tự do
2 2
1 sin cos
x x
= +
.
Giải:
(
)
(
)
2 2 2 2 2
4sin cos 4cos 2 3cos 2cos 1 2sin sin cos 0
x x x x x x x x
⇔ + + − − − + =

(
)
(
)
(
)
2 3 2 2
4sin cos 4 3cos 2sin 2 3cos sin 3cos 0
x x x x x x x
⇔ + − + − − =

(

2cos2 sin 3cos
x x
x x x

+ =
⇔

= −


tan 3
5
cos2 cos
6
x
x x
π

= −

⇔
 

= −
 

 


3

6
5 2
18 3
x k
x k
x k
π
π
π
π
π π

= − +



⇔ = − +



= +


(
)
k
∈
ℤ
.
Vậy nghiệm của phương trình là

kx
hoặc
3cos
kx
thì phương
trình đó có thể đưa được về dạng
sin cos
a x b x c
+ =
☺.



 Ví dụ 1: Giải phương trình
(
)
( )( )
( )
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
I
x x
−
=
+ −
(KA – 2009)
Giải:
Điều kiện:

⇔ ≠ +
 −
≠
 


≠ +


.
Với điều kiện trên, ta có
(
)
(
)
2
cos sin2 3 1 sin 2sin
I x x x x
⇔ − = + −

(
)
cos sin 2 3 cos2 sin
x x x x
⇔ − = +

sin 2 3cos2 3sin cos
x x x x
⇔ + = − +


π π

+ = + +


⇔
 

+ = − + +
 

 

2
2
2
18 3
x k
k
x
π
π
π π

= +

⇔

−


(
)
3
sin cos sin2 3cos3 2 cos4 sin
x x x x x x
+ + = +

(
)
2
1 2sin sin cos sin2 3cos3 2cos4
x x x x x x
⇔ − + + =

sin cos2 cos sin2 3cos3 2cos4
x x x x x x
⇔ + + =

sin3 3cos3 2cos4
x x x
⇔ + =

cos 3 cos4
6
x x
π
 
⇔ − =
 
 

π π
−

= +

⇔ ∈


= +


ℤ
.
Vậy nghiệm của phương trình là
2
6
x k
π
π
−
= +
;
2
42 7
x k
π π
= +
.



cos 2 cos
3 3
x x
π π
   
⇔ − = +
   
   

( )
2
2 2 2
3 3 3
2
2 2
3 3 3
x x k x k
k
k
x x k x
π π π
π π
π π π
π
 
− = + + = +
 
⇔ ⇔ ∈
 
 

Ta có
sin3 cos2 sin 0
x x x
+ − =

3 2
3sin 4sin 1 2sin sin 0
x x x x
⇔ − + − − =

3 2
4sin 2sin 2sin 1 0
x x x
⇔ + − − =

(
)
(
)
2
2sin 1 2sin 1 0
x x
⇔ + − =

2
2sin 1 0
2sin 1 0
x
x
+ =

π
π
π
π π
−

= +



⇔ = +



= +


(
)
k
∈
ℤ
.
Vậy nghiệm của phương trình là
2
6
x k
π
π
−

4cos 3cos 2cos 1 cos 1 0
x x x x
⇔ − + − − − =

3 2
4cos 2cos 4cos 2 0
x x x
⇔ + − − =

cos 1
cos 1
1
cos
2
x
x
x


=

⇔ = −


−
=


2
2

=
;
2
2
3
x k
π
π
= ± +
.


 Ví dụ 3:

Giải phương trình
cos3 4cos2 3cos 4 0
x x x
− + − =
(KD – 2002)
Giải:

Ta có
cos3 4cos2 3cos 4 0
x x x
− + − =

(
)
3 2
4cos 3cos 4 2cos 1 3cos 4 0


(
)
k ∈
ℤ
.
V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là
2
x k
π
π
= +
.
Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin

11
C. LƯỢNG GIÁC QUA CÁC KỲ THI
Giải các phương trình sau
1.
sin 4cos 2 sin2
x x x
+ = +

1 sin cos2 sin
1
4
cos
1 tan
2
x x x
x
x
π
 
+ + +
 
 
=
+
(KA – 2010)
6.
(
)
( )( )
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x
−
=
+ −
(KA – 2009)

(KA – 2007)
9.
(
)
6 6
2 cos sin sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
+ −
=
−
(KA – 2006)
10.
2 2
cos 3 cos2 cos 0
x x x
− =
(KA – 2005)
11.
2
cos2 1
cot 1 sin sin2
1 tan 2
x
x x x
x
− = + −
+

sin5 2cos 1
x x
+ =
(KB – 2013)
15.
(
)
2 cos 3sin cos cos 3sin 1
x x x x x
+ = − +
(KB – 2012)
16.
sin2 cos sin cos cos2 sin cos
x x x x x x x
+ = + +
(KB – 2011)
17.
(
)
sin2 cos2 cos 2cos2 sin 0
x x x x x
+ + − =
(KB – 2010)
18.
(
)
3
sin cos sin 2 3cos3 2 cos4 sin
x x x x x x
+ + = +

)
2
5sin 2 3 1 sin tan
x x x
− = −
(KB – 2004)
24.
2
cot tan 4sin 2
sin2
x x x
x
− + =
(KB – 2003)
25.
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6
x x x x
− = −
(KB – 2002)
26.
sin3 cos2 sin 0
x x x
+ − =
(KD – 2013)
27.
sin3 cos3 sin cos 2cos2
x x x x x
+ − + =
(KD – 2012)

(KD – 2008)
32.
2
sin cos 3cos 2
2 2
x x
x
 
+ + =
 
 
(KD – 2007)
33.
cos3 cos2 cos 1 0
x x x
+ − − =
(KD – 2006)
34.
4 4
3
cos sin cos sin 3 0
4 4 2
x x x x
π π
   
+ + − − − =
   
   
(KD – 2005)
35.

ệ
m
đ
úng ph
ươ
ng trình
cos3 4cos2 3cos 4 0
x x x
− + − =

(KD – 2002)
38.
( )
5 3
4cos cos 2 8sin 1 cos 5
2 2
x x
x x
+ − =
(CD - KA – 2010)
39.
( )
2
1 2sin cos 1 sin cos
x x x x
+ = + +
(CĐ – KA,B,D – 2009)
40.
sin3 3cos3 2sin 2
x x x

cos 2 cos 2 sin cos2 1
4 4 4
x x x x
π π
   
+ − + + =
   
   

v
ớ
i
;
4 4
x
π π
−
 
∈
 
 

(DBII – KB – 2010)
45.
2 2
2sin 2 sin6 2cos
x x x
+ =
(DBI – KD – 2010)
46.

2
3cos3 4sin cos
3
cos
x x x
x
−
= (DB – KD – 2009)
50.
(
)
4 4
4 sin cos cos4 sin2 0
x x x x
+ + + =
(DBI – KD – 2008)
51.
2
3sin cos2 sin 2 4sin cos
2
x
x x x x+ + = (DBII – KB – 2008)
52.
1
2sin sin 2
3 6 2
x x
π π
   
+ − − =

(DBII – KD – 2007)
56.
2 2sin cos 1
12
x x
π
 
− =
 
 
(DBI – KD – 2007)
57.
sin 2 cos2
tan cot
cos sin
x x
x x
x x
+ = −
(DBII – KB – 2007)
58.
5 3
sin cos 2 cos
2 4 2 4 2
x x x
π π
   
− − − =
   
   

(
)
cos2 1 2cos sin cos 0
x x x x
+ + − =
(DBII – KB – 2006)
64.
(
)
(
)
2 2 2
2sin 1 tan 2 3 2cos 1 0
x x x
− + − =
(DBI – KB – 2006)
65.
2sin 2 4sin 1 0
6
x x
π
 
− + + =
 
 
(DBII – KA – 2006)
66.
3 3
2 3 2
cos3 .cos sin3 .sin

)
0;
π
của phương trình
2 2
3
4sin 3cos2 1 2cos
2 4
x
x x
π
 
− = + −
 
 

(DBII – KB – 2005)
70.
sin 2 cos2 3sin cos 2 0
x x x x
+ + − − =
(DBI – KB – 2005)
71.
3 sin
tan 2
2 1 cos
x
x
x
π

sin 4 sin7 cos3 cos6
x x x x
=
(DBII – KB – 2004)
76.
1 1
2 2cos
4 sin cos
x
x x
π
 
+ + =
 
 
(DBI – KB – 2004)
77.
1 sin 1 cos 1
x x
− + − =
(DBII – KA – 2004)
78.
(
)
3 3
4 sin cos cos 3sin
x x x x
+ = +
(DBI – KA – 2004)
79.

2 3 cos 2sin
2 4
1
2cos 1
x
x
x
π
 
− − −
 
 
=
−
(DBII – KB – 2003)
82.
6 2
3cos4 8cos 2cos 3 0
x x x
− + + =
(DBI – KB – 2003)
83.
(
)
3 tan tan 2sin 6cos 0
x x x x
− + + =
(DBII – KA – 2003)
84.
(

=
(DBI – KD – 2002)
87.
4 4
sin cos 1 1
cot2
5sin 2 2 8sin2
x x
x
x x
+
= − (DBII – KB – 2002)
88.
(
)
2
4
4
2 sin 2 sin3
tan 1
cos
x x
x
x
−
+ = (DBI – KB – 2002)
89.
2
tan cos cos sin 1 tan tan
2

2 2
2cos2 sin cos sin cos 2 sin cos
x x x x x x x
+ + = + (ĐHSP – ĐHL TPHCM)
92.
(
)
4 4
4 sin cos 3sin4 2
x x x
+ + =
(ĐHSP TPHCM)
93.
8 8
1
sin cos cos4 0
8
x x x
+ + =
(TT ĐTBD CBYT TPHCM)
94.
(
)
2 2
cos3 2 cos 3 2 1 sin 2
x x x
+ − = + (HVNH TPHCM)
95.
sin sin 2 sin3 0
x x x

x
x x
+
− =
−
(ĐH CT)
101.
5
sin cos sin 2
2 2
x x x
π π
   
− + = −
   
   
(ĐH AG)
102.
2sin 2 cos2 7sin 2cos 4
x x x x
− = + −
(ĐHQG HN) Nguyễn Văn Rin – Cao học Toán khóa XXII - ĐHSP Huế.
 CS1: 33/240 Lý Nam Đế - CS2: 240/57 Lý Nam Đế - CS3: 01 Nguyễn Trường Tộ.

Facebook: Nguyễn Văn Rin - SĐT: 0122.551.4638
☺
☺☺

x
π π
− +
 
   
= + − +
   
 
+
   
 
(THPT Hồng Quang)
105.
cos2 2sin 2
4
1
1 sin
x x
x
π
 
− + +
 
 
=
−
(THPT Quốc Oai)
106.
(
)

   
 
   
 
(THPT Hà Huy Tập)
110.
( )
( )
1
1 sin cos sin2
1
2
1 cot
2
1 tan
4
x x x
x
x
π
+ − +
= +
 
+ −
 
 
(THPT Hà Huy Tập)
111.
(
)

(
)
1 sin 1 sin sin 2 cos2
x x x x
+ + + =
(THPT Lương Thế Vinh)
115.
3 3 2
sin cos 3sin 4sin cos 2 0
x x x x x
− + + − + =
(THPT Chuyên Lý Tự Trọng)
116.
cos tan 1 tan sin
x x x x
+ = +
(THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu)
117.
2cos6 2cos4 3 cos2 sin2 3
x x x x+ − = +
(THPT Hùng Vương)
118.
sin 2 cos2 4 2 sin 3cos
4
1
cos 1
x x x x
x
π
 

(
)
(
)
2
tan 1 sin cos2 2 3 cos sin sin
x x x x x x
+ + + = +
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
122.
( ) ( )
2
1
cos 2 sin 12 4 cos 2013 2 0
2
x x x
π π
− + − − =
(THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu)
123.
2 3 4
2
2
3sin 7sin 2sin 1
sin3 cot
sin
x x x
x x
x
− + +

x x x x x x
− + + = +
(THPT Triệu Sơn 4)
128.
(
)
2
tan 1 sin cos2 0
x x x
+ + =
(THPT Chuyên Quốc Học – Huế)
Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác

16

129.
2 cos2
cot
sin 2 cos
x
x
x x
= −
(THPT Chuyên Quốc Học – Huế)
130.
1
2sin sin 2
2 6
x x
π

x x x x x
+ − =
(THPT Lạng Giang số 1)
135.
(
)
2
3cos 2 3 cos 1 cot
x x x
− = − (THPT Lạng Giang số 1)
136.
(
)
2 2
3cot 2 2sin 2 3 2 cos
x x x
+ = + (THPT Chuyên Hạ Long)
137.
cot cos2 sin sin 2 cos cot
x x x x x x
+ + = +
(THPT Thuận Thành số 3)
138.
(
)
2
2 3sin 2 1 cos2 4cos2 sin 3
0
2sin2 1
x x x x

x x
x
− − +
= − +
−
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
142.
5cos sin 3 2 sin 2
4
x x x
π
 
+ − = +
 
 
(THPT Đoàn Thượng)
143.
2cos5 cos3 sin cos8
x x x x
+ =
(THPT Ngô Gia Tự)
144.
(
)
(
)
cos2 5 2 2 cos sin cos
x x x x
+ = − −
(THPT Ngô Gia Tự)

4sin
1 cot2
1 cos4
x
x
x
+ =
−
(Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc)
149.
2
sin cos 2sin cos sin cos
6 cos2
sin
4
x x x x x x
x
x
π
+ + +
=
 
+
 
 
(THPT Đức Thọ)
150.
( )
2 2
7

x x x x
− = + − (THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
153.
(
)
(
)
( )
(
)
3 3
3 1 3 cos2 3 1 3 sin2 8 sin cos 3sin cos 3 3 3
x x x x x x− + + = + + − −
(THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
154.
2sin 2 2sin 1
4
x x
π
 
− = −
 
 
(THPT ĐặngThúc Hứa)
Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin

17
155.
2 2
4 sin

158.
cos2 cos cos sin 2 sin
x x x x x
+ =
(THPT Quế Võ 1)
159.
2sin cos3 sin2 1 sin 4
x x x x
+ + = +
(THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu)
160.
2 2
sin sin5 2cos 2cos 2
4 4
x x x x
π π
   
+ = − − +
   
   
(THPT Chuyên Quốc Học – Huế)
161.
2
sin 2 cos2
cot 1
cos sin
x x
x
x x
+ = −

1 sin sin3 cos cos3
5cos2 1
sin
x x x x
x
x
− −
= +
(THPT Chuyên Lý Tự Trọng)
165.
(
)
(
)
2
3 2cos cos 2 sin 3 2cos 0
x x x x
+ − + − =
(THPT Chuyên Lý Tự Trọng)
166.
( )
1 cos cos2 cos3 2
3 3sin
cos cos2 3
x x x
x
x x
+ + +
= −
+

   
(THPT Chuyên Trần Phú)
169.
2
1
8cos 2cos 6 2 3sin 0
cos
x x x
x
− − − + =
(THPT Nam Sách)
170.
2 cos 2cos sin 2 1 sin2
4
x x x x
π
 
− + = −
 
 
(Nguoithay.vn)
171.
(
)
sin cos2 2cos cos2 cos 1
x x x x x
− = −
(Đại học Vinh)
172.
(

sin3 sin sin4 cos cos
2 4 4
0
2sin 1
x x x x x
x
π π
   
+ + − +
   
   
=
−
(THPT Nguyễn Huệ - Huế)
176.
3 1 2 2 3
1 cos2 sin2 cot 3
x x x
+ = +
+
(VNMATH.COM)

Nguyễn Văn Rin – Cao học Toán khóa XXII - ĐHSP Huế.
 CS1: 33/240 Lý Nam Đế - CS2: 240/57 Lý Nam Đế - CS3: 01 Nguyễn Trường Tộ.
Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác

18

ĐÁP ÁN LƯỢNG GIÁC QUA CÁC KỲ THI
1.

π π
= + = +

5.
7
2 ; 2 .
6 6
x k x k
π π
π π
−
= + = +

6.
2
.
18 3
x k
π π
−
= +

7.
5
; ; .
4 8 8
x k x k x k
π π π
π π π
− −

π
π
= +
.
12.
5
; .
3 3
x x
π π
= =

13.
3
2
4
x k
π
π
= ± +

14.
2 2
;
6 3 14 7
x k x k
π π π π
− −
= + = +
.

π π π
π
−
= + = +
.
19.
; .
4 2 3
x k x k
π π π
π
−
= + = +

20.
2 5 2
; ; .
8 4 18 3 18 3
x k x k x k
π π π π π π
= + = + = +

21.
5
;
12 12
x k x k
π π
π π
= + = +

9 2
x k x k
π π
= =

26.
7
; 2 ; 2 .
4 2 6 6
x k x k x k
π π π π
π π
−
= + = + = +

27.
7
; 2 ; 2 .
4 2 12 12
x k x k x k
π π π π
π π
−
= + = + = +

28.
2
3
x k
π

2 ; 2
2 6
x k x k
π π
π π
−
= + = +
.
33.
2
; 2 .
3
x k x k
π
π π
= = ± +

34.
4
x k
π
π
= +
.
35.
2 ;
3 4
x k x k
π π
π π

5
2 ; ; .
2 12 12
x k x k x k
π π π
π π π
−
= + = + = +

40.
4 2
2 ;
3 15 5
x k x k
π π π
π
= + = +
.
41.
2
2 ; 2 .
3
x k x k
π
π π
= = ± +

42.
2
4

π
= + = + = +

46.
2
3
x k
π
π
= +
.
47.
2
; 2 ; .
2 6 18 3
x k x k x k
π π π π
π
−
= = + = +

48.
2
2 ; 2 ; .
3 3 6
x k x k x k
π π π
π π π
−
= + = + = +

2 3
x k x k
π π
π π
= + = − +

53.
; 2 .
4 3
x k x k
π π
π π
= + = ± +

54.
; .
4 2 8 2
x k x k
π π π π
−
= + = +

55.
; .
4
x k x k
π
π π
−
= + =

π
π
= +
.
60.
4 2
x k
π π
= +
.
61.
2
2 ; 2 .
2 3
x k x k
π π
π π
−
= + = ± +

62.
; 2 ; 2 .
4 2
x k x k x k
π π
π π π
− −
= + = = +

63.

x k
π
π
−
= +
.
68.
5
2 ; 2
6 6
x k x k
π π
π π
= + = +
.
69.
5 17 5
; ;
18 18 6
x x x
π π π
= = =
.
70.
5
2 ; 2 ; 2 ; 2 .
6 6 2
x k x k x k x k
π π π
π π π π π

3
x k x k
π
π π
= = ± +

75.
;
20 10 2
x k x k
π π π
π
= + = +
.
76.
4
x k
π
π
= ± +
.
77.
; 3 .
3
x k k l
π
= ≠

78.
;

.
82.
; .
4 2
x k x k
π π
π
= + =

83.
3
x k
π
π
= ± +
.
84.
2 ; 2
3
x k x k
π
π π
= ± + =
.
85.
10
2
3
m
−

=
.
90. a.
4
x k
π
π
−
= +
b.
1
2
2
a
−
≤ ≤
.
Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác

20

91.
; 2 ; 2 .
4 2
x k x k x k
π π
π π π
− −
= + = = +


; 2 ; 2 .
2 3
x k x k x k
π π
π π π π
= + = + = ± +

97.
;
4 2 12 2
x k x k
π π π π
= + = ± +
.
98.
; 2 ; 2 .
4 2
x k x k x k
π π
π π π π
= + = − + = +

99.
4
x k
π
π
−
= +
.

x k
π
π
−
= +
;
2
x k
π π
= +

104.
8 2
k
x
π π
= +
;
2
6
x k
π
π
= +
;
5
2
6
x k
π

π π
= +
;
2
2
x k
π
π
= +
.
107.
2
6
x k
π
π
−
= +
;
7
2
6
x k
π
π
= +
.
108.
4
x k

12
x k
π
π
= +
;
17
2
12
x k
π
π
= +

111.
2
2
x k
π
π
−
= +
;
2
6
x k
π
π
= +
;

x k
π
=
;
4
x k
π
π
= − +

115.
2
x k
π
=
;
2
2
x k
π
π
= − +

116.
4
x k
π
π
= + ;
2

π π
= +
120.
4
x k
π
π
= − + ;
x k
π
=

121.
4
x k
π
π
= + ;
3
x k
π
π
= ± +
122.
4 2
k
x
π π
= + ;
2

π
= − +
;
2
4
x k
π
π
= − +
;
2
4
x k
π
π
= +5
2
12
x k
π
π
= +
.
125.
2
3
x k

4
x k
π
π
= − +
129.
2
6
x k
π
π
= + ;
5
2
6
x k
π
π
= +
130.
2
6
x k
π
π
= + ;
x k
π
=


3
x k
π
π
= ± + ;
2
x k
π π
= +

135.
2
3
x k
π
π
= ± + ;
2
arccos 2
3
x k
π
 
= ± − +
 
 

136.
2
4

π
= +

Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin

21
139.
2
2
3
x k
π
π
= ± +

140.
6
x k
π
π
= +
;
2
3
x k
π
π
= +
;
2

2
6
x k
π
π
= − +
;
7
2
6
x k
π
π
= +

144.
2
2
x k
π
π
= + ;
2
x k
π π
= +

145.
12
x k

2
x k
π
π
= + ;
2
3 3
x k
π π
= +
148.
4 2
x k
π π
= +
149.
12
x k
π
π
= +
150.
5 2
18 3
x k
π π
= +
151.
4
x k

=
;
2
2
x k
π
π
= +
155.
2
2
x k
π
π
= − +
156.
2
6
x k
π
π
= + ;
5
2
6
x k
π
π
= + ;
2

π
π
= + ;
2
3
x k
π
=
160.
3
x k
π
=
161.
2
6
x k
π
π
= +
;
5
2
6
x k
π
π
= +

162.

x k
π
π
= ± +

165.
6
x k
π
π
= − +
;
2
3
x k
π
π
= +
;
2
2
3
x k
π
π
= +

166.
2
x k

;
2
15 5
x k
π π
= +

170.
3
4
x k
π
π
= − +
;
11
2
12
x k
π
π
= − +
;

2
4
x k
π
π
= − +

x k
π
=
;
4
2
3
x k
π
π
= − +

173.
11
12
x k
π
π
= − +
;
5
12
x k
π
π
= − +2
2

13
18
x k
π
π
= − +
;
7
18
x k
π
π
= − +
;

18
x k
π
π
= − +
;
2
6
x k
π
π
= − +

176.
2

Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng
những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội – Albert Einstein.
☺
☺☺
☺
Nguyễn Văn Rin – Cao học Toán khóa XXII - ĐHSP Huế.

 CS1: 33/240 Lý Nam Đế - CS2: 240/57 Lý Nam Đế - CS3: 01 Nguyễn Trường Tộ.
 Facebook: Nguyễn Văn Rin - SĐT: 0122.551.4638
☺
☺☺
☺☺
☺☺
☺☺
☺☺
☺