Người soạn: Hồ thị Thanh Hằng

( ) ( )
− + −
2 2
B A B A
x x y y
AB =
2
2
A B
I
A B
I
x x
x
y y
y


+
=
+

=




Cho A(x

Trên mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C) có tâm
I(x
0
; y
0
), bán kính R.
2 2
0 0
(x - x ) + (y - y ) = R
⇔
2 2 2
0 0
(x - x ) + (y - y ) = R .
⇔
Ta gọi phương trình (1) là
phương trình đường tròn tâm
I(x
0
; y
0
) bán kính R.
Ta có M(x; y) ∈ (C)
a
b
I
R
O x
y
M(x; y)
(1)

2
= 4
2
⇔ x
2
+ (y – 5)
2
= 16
2 2 2
0 0
(x - x ) + (y - y ) = R
tâm I(x
0
; y
0
), bán kính R.

Ví dụ 2: Cho hai điểm A(-2; 3) và B(2; -3).
a)Hãy viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B.
b) Viết phương trình đường tròn đường kính AB.
Hướng dẫn: để viết phương trình đường tròn ta cần
xác định tâm và bán kính.
A
B
A
B
Đường tròn có: tâm
A(-2; 3), bán kính R = AB.
Đường tròn có: tâm I là
trung điểm AB



+ −

= =


IA
uur
2 2
( 2) 3 13
− + =
Giải
a) Đường tròn có tâm A(-2 ; 3), bán kính R = AB =
b) Gọi I(x ; y) là tâm của đường tròn.
Ta có: I là trung điểm AB.
Suy ra I(0; 0).
Suy ra: bán kính R = IA =
Vậy phương trình đường tròn là x
2
+ y
2
= 13.
có phương trình là (x + 2)
2
+ (y – 3)
2
= 52.
Suy ra
= (-2 ; 3)

(1) ⇔ x
2
– 2x
0
x +
2.NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
+ y
2
– 2y
0
y +
2
0
x
2
0
y
+
2
0
y
Biến đổi phương trình (1)
⇔ x
2
+ y
2
– 2x
0
x – 2y
0

2
+ 2ax + 2by + c = 0, với
điều kiện a
2
+ b
2
– c > 0 là phương trình của
đường tròn tâm I (-a; -b) bán kính R=
Ngược lại:
Mỗi phương trình có dạng
x
2
+ y
2
+ 2ax +2by + c = 0
với a, b, c tùy ý có là
phương trình đường tròn
không? Vì sao?
x
2
+ y
2

+ 2ax + 2by + c = 0
⇔ ( x
2
+ 2ax + a
2
) + ( y
2

2
– c = 0.
Ta có: (2) ⇔ (x + a)
2
+ ( y + b)
2
= 0

x = -a
y = -b

⇔


Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn phương trình (2)
là M( -a ; -b) .
* Khi a
2
+ b
2
– c <0, không tồn tại x, y
thỏa mãn phương trình (2). Vậy tập hợp các
điểm M thỏa mãn phương trình (2) là tập rỗng.

Ví dụ 3:
Trong các phương trình sau, phương trình nào
là phương trình đường tròn, hãy xác định tâm
và bán kính của đường tròn đó.
a) x
2

+1
2
–7 = 10 > 0
Vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn có
tâm I( 4; -1), bán kính R =
b) Chia hai vế phương trình cho 3, ta được:
x
2
+ y
2
+ 2x - 4y= 0.
8
22
7
2a
b
c
=−


⇒ =


=

4
1
7
a
b

=

Ta có: a
2
+ b
2
– c = 1
2
+ (-2)
2
– 0 = 5 >0
Vậy phương trình đã cho là phương trình
đường tròn.
Đường tròn có tâm I(-1; 2), bán kính R =
5

1
3
103
a
b
c
= −


= −


=


b
=
Phương trình đường tròn có dạng x
2
+ y
2
+ 2ax + 2by + c

= 0
Do M, N, P thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình với
ba ẩn số a, b, c:
Lấy (2
’
) – (1
’
) ta được
24 + 8a = 0 ⇔ a = -3
Lấy (1
’
) – (3
’
) ta được
Thay a và b vừa tìm vào (1
’
) ta có c = -5 + 6 – 2 = - 1.
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là
x
2
+ y
2

-2x +1- 4y + 4 = -2x +1+ 6y + 9



Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm
M(1 ; 2), N(5 ; 2) và P(1 ; -3).
Giải
Gọi I(x ; y) là tâm và R là bán kính của đường tròn đi
qua ba điểm M, N, P.
⇔.
2 2
2 2
IM = IN
IM = IP



⇔
⇔
⇔
Ta có:

8x = 24
-10y = 5

⇔


2
2
1 25
(x -3) + y + =
2 4
 
 ÷
 
Vậy
Suy ra
Khi đó R
2
= IM
2
=

Phương trình đường tròn cần tìm là
.