Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp

Trang
1

LỜI MỞ ĐẦU

- Bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều là một dạng bài toán khó đối với học
sinh lớp 12 và cũng ít tài liệu hệ thống hóa một cách đầy đủ về dạng bài toán này.
- Với đề thi trắc nghiệm đại học như hiện nay, việc áp dụng trực tiếp kết quả của
bài toán cực trị sẽ làm cho học sinh không có cái nhìn tổng quan về phương pháp
giải các dạng toán này.
- Chính vì lý do đó, nay tôi viết đề tài “ CỰC TRỊ TRONG BÀI TOÁN ĐIỆN
XOAY CHIỀU “ nhằm hệ thống hóa một số dạng toán cực trị của bài toán này
phục vụ cho công tác giãng dạy của các bạn đồng nghiệp, cũng như một tài liệu để
học sinh tham khảo trong quá trỉnh học.
- Đề tài gồm bốn phần : khảo sát sự biến thiên của các đại lượng như công suất,
hiệu điện thế của các thiết bị… theo giá trị của biến trở R, theo giá trị của độ tự
cảm L, theo giá trị của điện dung C và theo giá trị của tần số góc ω.
- Vì thời gian có hạn, nên trong quá trình viết có thể có nhiều thiếu xót, mong được
sự đóng góp của quý đồng nghiệp và các em học sinh.

Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp

Trang
2

MỤC LỤC
I. Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp
1. Có hai giá trị R
1

và L
2
.
5. Giá trị Z
L
để hiệu điện thế U
LRrmax

III. Sự thay đổi C trong mạch R-L-C mắc nối tiếp.
1. Có hai giá trị C
1
≠ C
2
cho cùng giá trị công suất
2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng.
3. Giá trị Z
C
để hiệu điện thế U
Cmax

4. Có hai giá trị C
1
≠ C
2
cho cùng giá trị U
L
và giá trị Z
C
để U
Cmax

cmax

Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp

Trang
3

I. Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp:

Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định :
0
cos( )
u
u U t
ω ϕ
= +

R là một biến trở, các giá trị R
0
, L và C không đổi.
Gọi R
td
= R + R
0 1. Có hai giá trị R
1
≠
≠≠

− + − =

- Nếu có 2 giá trị của điện trở cho cùng một giá trị công suất thì phương trình bậc 2
trên có hai nghiệm phân biệt R
1
và R
2
. Theo định lý Viète (Vi-et):
2 2
1 2 1 0 2 0
2 2
1 2 1 2 0
. ( ) ( )( ) ( )
2
td td L C L C
td td
R R Z Z R R R R Z Z
U U
R R R R R
P P
 
= − + + = −
 
⇔
 
+ = + + =
 
 

- Từ đó ta thấy rằng có 2 giá trị R

2
( )
L C
td
td
Z Z
A R
R
−
= + , áp dụng bất đẳng thức Cauchy(Côsi) cho A
2 2
( ) ( )
2 2
L C L C
td td L C
td td
Z Z Z Z
A R R Z Z const
R R
− −
= + ≥ = − =
- Ta thấy rằng P
max
khi A
min
=> “ =” xảy ra. Vậy:
td L C
R Z Z
= −


- Công suất của biến trở R là
2 2
2
2 2
2 2
0
0
( ) ( )
( ) ( )
R
L C
L C
U U
P R I R
R R Z Z
R R Z Z
R
= = =
+ + −
+ + −

A
B

C
R

L,R
0


+ − + −
= + + ≥ + = + − + =

- Ta thấy rằng P
Rmax
khi A
min
nghĩa là dấu “ =” phải xảy ra, khi đó:
2 2
0
( )
L C
R R Z Z= + −- Công suất cực đại của biến trở R là:
2
max
2 2
0 0
2 ( ) 2
R
L C
U
P
R Z Z R
=
+ − +
3. Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R
- Để thấy rõ hơn sự phụ thuộc của công suất toàn mạch vào giá trị của biến trở R
người ta thường dùng phương pháp khảo sát hàm số:
- Ta có công suất toàn mạch theo biến thiên theo biến trở R cho bởi hàm số:
2
2
2 2
0
( )
td td
td L C
td
U
P R I R
R Z Z
R R R
= =
+ −
= +

- Đạo hàm P theo biến số R
td
ta có:
2 2
' 2
2 2 2
( )
( )
( ( ) )
L C td

2
max
2
L C
U
P
Z Z
=
−

2
0
2 2
0
( )
L C
U
P R
R Z Z
=
+ −
0
Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp

Trang
5

Đồ thị của P theo R
td
:

= − − >

• Trong trường hợp
0
0
L C
R Z Z R
= − − <
thì đỉnh cực đại nằm ở phần R< 0
do đó ta thấy rằng công suất của mạch sẽ lớn nhất khi R = 0.
• Nếu R
0
= 0 thì đồ thị xuất phát từ gốc tọa độ và ta luôn có giá trị R làm
cho công suất của toàn mạch cực đại là
L C
R Z Z
= −

Kết luận:
• Với phương pháp khảo sát hàm số để thu được các kết quả ở phần 1 và 2 sẽ
không hiệu quả bằng phương pháp dùng tính chất của hàm bậc 2 và bất đẳng
thức Cauchy.
• Tuy nhiên từ việc khảo sát này ta có thể biết được sự biến thiên của P theo
biến trở R nhằm định tính được giá trị của công suất sẽ tăng hay giảm khi
thay đổi điện trở.
II. Sự thay đổi L trong mạch R-L-C mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm.
Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định :
0
cos( )
u



- R
0

2
max
2
L C
U
P
Z Z
=
−

2
0
2 2
0
( )
L C
U
P R
R Z Z
=
+ −

A
B


R
=

2
2 2
C
U
P R
R Z
=
+
0

1 2
2 2
1 2
2 2 2 2
( ) ( )
L C L C
U U
P P R R
R Z Z R Z Z
= =
+ +

- Khai trin biu thc trờn ta thu c :
1 2
1 2
1 2
2 2

+
= + =

2. Kho sỏt s bin thiờn ca cụng sut theo cm khỏng Z
L

- Ta cú cụng sut ton mch l:
2
2 2
( )
L C
U
P R
R Z Z
=
+
, vi R, C l cỏc hng s, nờn
cụng sut ca mch l mt hm s theo bin s Z
L

- o hm ca P theo bin s Z
L
ta cú:
2
2 2 2
'( ) 2 '( ) 0
[ ( ) }]
c L
L L
L C

Z
L

O
P
max

Z
L
= Z
C

2
max
U
P
R
=

2
2 2
C
U
P R
R Z
=
+

Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp


L
trong một số bài toán.
3. Giá trị Z
L
để hiệu điện thế U
Lmax

- Ta có hiệu điện thế trên cuộn dây là :
2 2
( )
L L L
L C
U
U IZ Z
R Z Z
= =
+ −
, trong đó R; Z
C

và U là các hằng số không đổi. Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số này
theo biến số là Z
L
. Tuy nhiên với cách khảo sát hàm số sẽ rất phức tạp. Với phương
pháp dùng giản đồ Vecto bài toán này có thể giải dể
hơn và rút ra nhiều kết luận hơn.
- Theo giản đồ vectơ và định lý hàm số sin trong tam
giác ta có :
sin( ) sin
L

- Do cosβ và U là các giá trị không đổi nên hiệu điện thế
U
Lmax
khi
sin( ) 1
2
π
α β α β
+ = ⇒ + =

- Theo hệ thức của tam giác vuông ta có:
2
RC C L
U U U
=
, từ
đó suy ra
2 2
L C C
Z Z R Z
= +- Tóm lại:
• Khi
2 2
C
L
C
R Z

cho cùng giá trị U
L
, giá trị L để U
Lmax
tính theo L
1
và L
2
.
- Khi có hai giá trị của L cho cùng một giá trị hiệu điện thế:
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
2 2 2 2
( ) ( )
L L
L L L L
L C L C
Z Z
U U Z I Z I
R Z Z R Z Z
= ⇔ = ⇔ =
+ − + −

i
U
R
U
RC


- Theo kết quả phần trên khi hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn dây cực đại thì
2 2
L C C
Z Z R Z
= +
với giá trị Z
L
là giá trị làm cho U
Lmax
. Thay vào biểu thức trên:
1 2
1 1 2 2
2 2
2 2
2 2
L L
L C L L C L C L L C
Z Z
Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z
=
+ − + −

- Tiếp tục khai triển biểu thức trên ta thu được:
1 2 1 2 1 2
2 2
( ) 2 ( )
L L L L L L L
Z Z Z Z Z Z Z
− = −


- Khi R và L mắc nối tiếp nhau thì :
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
( ) ( )
L
LR L
L C L C
L
U R Z
U
U I R Z
R Z Z R Z Z
R Z
+
= + = =
+ − + −
+

- Đặt
2 2
2 2
( )
L C
L
R Z Z
MT
R Z

+

- Cho MT’(Z
L
) = 0 ta có :
2 2 2
0
C L C L C
Z Z Z Z Z R
− − =
. Nghiệm của phương trình bậc hai
này là:
1
2
2 2
2 2
4
0
2
4
0
2
C C
L
C C
L
Z R Z
Z
Z R Z
Z
- 0 +

MT (Z
L
)2
2 2
4
2
C C
R Z Z
R
 
+ −
 
 
 

[

Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp

Trang
9

- Từ bảng biến thiên ta thấy rằng MT đạt giá trị nhỏ nhất nên U

cos( )
u
u U t
ω ϕ
= +

R là điện trở L là một cuộn dây thuần cảm không đổi
và C có giá trị thay đổi .
Nhận xét: Vì trong công thức tổng trở
2 2 2 2
( ) ( )
L C C L
Z R Z Z R Z Z
= + − = + −
do đó ta thấy rằng
bài toán thay đổi giá trị C cũng giống như bài toán thay đổi giá trị L. Do đó khi thực hiện việc
khảo sát ta cũng thực hiện tương tự thu được các kết quả sau:
1. Có hai giá trị C
1
≠
≠≠
≠ C
2
cho cùng giá trị công suất
Với hai giá trị C
1
và C
2
cho cùng giá trị công suất ta có
1 2



Với giá trị C
0
là giá trị làm cho công suất mạch cực đại
2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng
- Bảng biến thiên:
Z
C
0 Z
C
= Z
L
+∞
P’(Z
C
) + 0 -
P(Z
C
)

2
max
U
P
R
=

2
2 2

2 2
L
C
L
R Z
Z
Z
+
=
thì :
•
2 2
ax
L
CM
U R Z
U
R
+
=
và
2 2 2 2 2 2
ax ax ax
; 0
CM R L CM L CM
U U U U U U U U
= + + − − =

• u
RL

1 1 1 1
( )
2 2
C C C
C C
C
Z Z Z
+
= + ⇒ =

5. Giá trị Z
C
để hiệu điện thế U
RCmax

- Khi
2 2
4
2
L L
C
Z R Z
Z
+ +
=
thì
ax
2 2
2 R
4

 
+ −
 
 
, từ công thức này ta thấy rằng công suất của
mạch đạt giá trị cực đại khi:
0
1 1
0L
LC
ω ω ω
ω
− = ⇒ = =
. Với
2
max
U
P
R
=

- Khi đó Z
min
= R và hiệu điện thế giửa hai đầu mạch và cường độ dòng điện qua mạch
đồng pha nhau.
2. Có hai giá trị ω
ωω
ω
1
≠


Z
L
= Z
C2
max
U
P
R
=
2
2 2
L
U
P R
R Z
=
+

Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp

Trang
11

2 2
2 2 2 2
1 2

ω ω

− = −




− = − −



- Vì ω
1
≠ ω
2
nên nghiệm (1) bị loại
- Khai triển nghiệm (2) ta thu được :
1 2
1
LC
ω ω
=

- Theo kết quả ta có :
2
0 1 2
1
LC
ω ωω
= =

C
Z
C
ω
= → ∞
làm cho P = 0
• Khi
0
1
LC
ω ω
= =
thì mạch cộng hưởng làm cho công suất trên mạch
cực đại
• Khi
ω
→ ∞
thì
L
Z L
ω
= → ∞
làm cho P = 0
- Từ những nhận xét đó ta dễ dàng thu được sự biến thiên và đồ thị : ω
0
0
1

4. Giá trị ω
ωω
ω làm cho hiệu điện thế U
Lmax

- Ta có :
. .
L L L
L
U U
U I Z Z
Z
Z
Z
= = =
, đặt
2
2
2
2
1
( )
L
R L
Z
C
A
Z L
ω
ω

L
ω
= >
khi đó
2
2
1
R x
A x
L C
 
= + −
 
 

- Lấy đạo hàm của A theo biến số x ta thu được:
2
2
'( ) 1
R x
A x
L C C
 
= − −
 
 

- Cho A’(x) = 0 ta thu được
2 2
2
A
min
0
1
LC
ω
=

ω

P
P
max
Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp

Trang
13

- Thay giá trị x vào biểu thức đã đặt ta thu được hiệu điện thế cực đại của cuộn dây là:

2
1 1
2
C
L R
C
ω
=

C
= >
nên hàm số có cực tiểu ở phần âm, do đó x = 0 làm cho A
min
trong miền xác
định của x. Khi đó ω rất lớn làm cho Z
L
rất lớn làm cho I = 0. Do đó không thể tìm giá
trị ω làm cho U
Lmax

5. Giá trị ω
ωω
ω làm cho hiệu điện thế U
cmax

- Tương tự như cách làm trên ta cũng thu được kết quả tương tự khi thay đổi giá trị ω
làm cho U
Cmax
là:

- Khi
2
1
2
L R
L C
ω
= −
thì