Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
2
MỤC LỤC Trang
Lời nói đầu
3
Chương I. Khái niệm mở đầu
4
A. Cơ sở lí thuyết
4
B. Phƣơng pháp giải toán
4
Vấn đề 1: Dùng Qui tắc nhân
4
Vấn đề 2: Dùng Qui tắc cộng
4
Chương II. Chỉnh hợp – Hoán vị
6
A. Cơ sở lí thuyết
6
B. Phƣơng pháp giải toán
7
Vấn đề 1: Nhận diện bản chất của vấn đề là chỉnh hợp khi yếu tố thứ tự là cốt lõi
7
Vấn đề 2: Xếp dặt n phần tử của một hoán vị
9
Vấn đề 3: Chứng minh một tính chất liên quan đến A và P

41
r
n
k
n
C
k
n
C
k
n
C
k
n
C
k
n
C

Học sinh lớp 11 và 12 khi học về phần đại số tổ hợp, cách tính đạo hàm và tích phân của
hàm số (tùy mức độ nhận thức của học sinh).

3. Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu lý luận: SGK và các tài liệu tham khảo liên quan đến đại số tổ hợp.

4. Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm:
Mở đầu
Chƣơng I: Khái niệm mở đầu.
Chƣơng II: Chỉnh hợp – hoán vị.
Chƣơng III: Tổ hợp – Nhị thức Newton
Kết luận sáng kiến kinh nghiệm Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
4
Chương I. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
I. BỘ SẮP THỨ TỰ GỒM n PHẦN TỬ
Một dãy số hữu hạn gồm n phần tử viết dƣới dạng (a
1
, a
2
,…, a
k
,…, a
n

B. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn đề 1:
Dùng Qui tắc nhân
Để tính số cách xảy ra của một hành động phức tạp ta phân tích hành động đó thành các giai
đoạn đơn giản và áp dụng qui tắc nhân của phép đếm.
Ví dụ 1. Trong vòng đấu loại của một cuộc thi cờ vua có 2n ngƣời tham dự. Mỗi ngƣời
chơi đúng một bàn với ngƣời khác. Chứng minh rằng có 1.3.5…(2n -1) cách sắp đặt.
GIẢI
Xét n đấu thủ (cầm quân trắng chẳng hạn)
• Với ngƣời chơi thứ nhất, có 2n – 1 cách chọn đấu thủ của anh. Còn lại 2n – 2 ngƣời chƣa
đấu, nên
• Với ngƣời chơi thứ hai, có 2n – 3 cách chọn đấu thủ của anh. Còn lại 2n – 4 ngƣời chƣa
đấu
• Với ngƣời chơi thứ ba, có 2n – 5 cách chọn đấu thủ của anh
………………
• Với ngƣời thứ n chỉ có 1 cách chọn đối thủ duy nhất còn lại
Vậy có 1.3.5… (2n – 1 ) cách sắp đặt cuộc thi.

Vấn đề 2:
Dùng Qui tắc cộng

Nếu công việc thứ nhất có thể thực hiện theo m cách , công việc thứ hai có thể thực hiẹn theo
n cách và hai công việc này không thể đồng thời thực hiện thỉ có m + n cách để thực hiện một
trong hai công việc.
Ví dụ 1. Nếu thƣ viện có 85 quyển sách Toán và 63 quyển sách Lí thì một học sinh có
85 + 63 = 148
cách để mƣợn một quyển Toán hoặc Lí từ thƣ viện.
m n p
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

1.4 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 2 chữ số khác nhau đƣợc thành lập từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Hướng dẫn: Gọi số cần tìm có dạng . Xét các trƣờng hợp của b ta có 13 số.
1. 5 Có tất cả bao nhiêu số có thể thành lập từ các chữ số 2,4,6,8 nếu
a) Số đó nằm từ 200 đến 600
b) Số đó gồm 3 chữ số
c) Số đó gồm 3 chữ số khác nhau.
ĐS : a) 32 b) 64 c) 24.
1.6 Có bao nhiêu số khác nhau nhỏ hơn 2.10 chia hết cho 3 có thể viết bởi các chữ số 0, 1, 2.
ĐS : 4373.
12
2006
n
ppp , ,,
21
12
12
.
n

3. Số chỉnh hợp chập r của n phần tử là
A = n(n – 1)(n – 2) (n – r + 1)
bằng tích của r số nguyên dƣơng liên tiếp
III. HOÁN VỊ
1. Định nghĩa
Một hoán vị của n phần tử khác nhau là một cách xếp đặt thứ tự n phần tử đó (nghĩa là một
chỉnh hợp n chập n ).
2. Số cách hoán vị n phần tử là P
n
= n! (nghĩa là bằng tích của n số dƣơng đầu tiên )

,1nn
! 1.2 nn
! ( 1)!.n n n
!
( 1)( 2)
!
( )
n
k k n n k
k

A + A + A = 3 + 3.2 + 3.2.1 = 15 số .
Ví dụ 3. Trong một trƣờng đại học, ngoài các môn học bắt buộc, có 3 môn tự chọn, sinh
viên phải chọn ra 2 trong 3 môn đó, một môn chính và một môn phụ. Hỏi có mấy cách chọn?
GIẢI
Số cách chọn là chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử.Vậy có :
A = 3.2 = 6 cách chon.
Ví dụ 4. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập đƣợc bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5
chữ số khác nhau.
GIẢI
- Ta sẽ chọn đƣợc một số nhƣ vậy bằng cách chọn một trong 3 chữ số chẵn 0, 2, 4 làm chữ số
hàng đơn vị rổi ghép với một chỉnh hợp chập 4 của 5 chữ số chƣa dùng đến có 3.A số nhƣ
vậy.
- Nhƣng ta phải loại các số bắt đầu bằng 0, số nhƣ vậy đƣợc lập bằng cách chọn một trong hai
số chẵn 2, 4 làm đơn vị rồi ghép thêm một chỉnh hợp chập 3 của 4 số khác 0 chƣa dùng đến, và
cuối cùng đặt số 0 trƣớc 4 số đó có 2.A số nhƣ vậy.
- Vậy có 3.A – 2.A = 5.4.3
2
.2 – 4.3.2
2
= 312 số.
Ví dụ 5. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đƣợc bao nhiêu số, mỗi số gồm 5 chữ
số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5,
GIẢI
- Ta sẽ đƣợc một số nhƣ vậy bằng cách lấy một chỉnh hợp chập 4 của 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 6
rồi thêm chữ số 5 vào một vị trí bất kì Có 5A số nhƣ vậy.
- Nhƣng ta phải loại các số bắt đầu bằng 0, một số nhƣ vậy đƣợc thành lập bằng cách lấy một
chỉnh hợp chập 3 của 5 chữ số 1, 2, 3, 4,6 rổi xen chữ số 5 vào một vị trí bất kì và cuối cùng đặt
chữ số 0 trƣớc 4 chữ số đó Có 4A số nhƣ vậy.
- Vậy ta có 5A – 4A = 6.5
2

3
4
4
6
3
5
4
6
3
5
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
8
BÀI TẬP

2.1 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập đƣợc bao nhiêu số có 4 chữ số trong đó
a) Có một chữ số 1.
b) Có chữ số 1 và các chữ số dều khác nhau.
HD & ĐS :
a) Có cả thảy 4.7
3
= 1372 số trong đó có 3.7
2
= 147 số bắt đầu bằng 0. Còn lại
1372 – 147 = 1225 số.
b) Có tất cả 4A = 840 số trong đó có 3A = 90 số bắt đầu bằng 0. Còn lại 840 – 90 = 750 số.
2.2 Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau.
HD & ĐS : A – A = 4536.
2.3 Từ sáu chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 9

4
10
3
9
3
6
2
5
2
5
2
5
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
9
Vấn đề 2:
Xếp dặt n phần tử của một hoán vị

Ví dụ 1. Từ 3 chữ số 1, 2, 3 có thể tạo dƣợc bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau ?
GIẢI
Mỗi số gồm 3 chữ số khác nhau tạo ra từ 1, 2, 3 là một hoán vị của 3 phần tử. Vậy có :
P
3

a) Vị trí tƣơng đối giữa các đại biểu hoàn toàn không đổi nếu ta hoán vị vòng họ theo một
chiều nhất định (nghĩa là trong hoán vị vòng không có phần tử nào là phần tử cuối cùng, hoặc
phần tử đầu tiên). Vậy số cách sắp xếp là = ( – 1)!.
Ta có định lí : ''Số hoán vị vòng của n phần tử là P
n – 1
= ( – 1)! ''.
n
n!
n
n
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
10
b) Với cách xâu nhất định, khi ta lật xâu chuỗi sang bề khác (lật ngửa) ta lại đƣợc một cách
hoán vị khác mỗi cách xâu ứng với hai hoán vị vòng và có tất cả P
n - 1
= cách xâu.
c) Ta có thể hoán vị vòng các đỉnh theo cả hai chiều theo cả 2n cách khác nhau mà đa giác
vẫn không thay đổi số đa giác là .

BÀI TẬP

2.9 Có bao nhiếu số gồm đủ 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5
HD : Có 6! số trong đó 5! số bắt đầu bằng số 0. Vậy có 6! – 5! = 720 số.
2.10 Có bao nhiêu cách xếp 7 học sinh đứng thành hàng ngang để chụp ảnh lƣu niệm, biết rằng
trong đó có 3 em không đứng xa nhau.
HD : Coi 3 bạn không đứng xa nhau lập thành một nhóm thì có 5! cách xếp đặt. Với mỗi cách
trên thì có 3! cách xếp nữa nếu hoán vị 3 bạn đó. Vậy có 5!.3! = 720
2.11 Trong phòng có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Ngƣời ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh

2

2
1
2
!1n
2
!1n
r
n
54321
aaaaa
5
6
!1
!6
6
720
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
11
tổng các chữ số hàng ngàn là: 3360.10
3

tổng các chữ số hàng vạn là: 3360.10
4
.
Do đó S = 3360(1 + 10 + 10
2

) = 840.11111 = 9 333 240.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng tích = (n + 1)(n + 2) …(2n) chia hết cho tích = 1.3.5…(2n
–1). Tính thƣơng số.
GIẢI
Ta có (n!) = (2n)! = [1.3.5…(2n – 1)][2.4…(2n)]
= .2
n
.n! = 2
n
.
Ví dụ 4. GiảI bất phƣơng trình : A + 5A 21x
GIẢI
Điều kiện x N và x 3.
A + 5A 21x
+ 5 21x
x(x -1)(x – 2) + 5x(x – 1) 21x
(x -1)(x – 2) + 5(x – 1) 21 (do x 3 )
x
2
+ 2x – 24 0
–6 x 4.
Do x N và x 3 nên x = 3, x = 4 là nghiệm.
Ví dụ 5. Chứng minh rằng với n N và n 2 thì 54321
aaaaa
5
120
P

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
12
GIẢI
Ta có :
Cộng vế theo vế n – 1 đẳng thức trên ta đƣợc :

Ví dụ 6. Giải phƣơng trình : với x N
*
GIẢI

Vậy nghiện của phƣơng trình là : x = 2 và x = 3.
Ví dụ 7. Giải bất phƣơng trình : ( )
GIẢI
Điều kiện : n N và n 2. Ta có :

Do điều kiện n N và n 2 nên n {3, 4, 5}.
Ví dụ 8. Giải phƣơng trình P .A + 72 = 6(A + P ).
1
2
2
3
2
4
2
11
2
1 1! 1 1 1
2! 3.2 2 3
1 2! 1 1 1
4! 4.3 3 4

6 1 1
2
5 6 0
3
xx
x x x
x
x x x x
x x x x x
x x x
x
xx
x
1
22
15
.
n
n n n
P
P P P
2
2
4!
15
! 2 ! 1 !
4 3 2 !
15
1 ! 2 ! 1 !
43

– x – 12)x! = 6(x
2
– x – 12)
(x
2
– x – 12)(x! – 6) = 0

: loại

Ví dụ 9. Gọi P
n
là số hoán vị của n phần tử. Chứng minh :
a) P
n
– P
n-1
= (n – 1)P
n-1
.
b) 1 + P
1
+ 2P
2
+ 3P
3
+ … + (n – 1)P
n-1
= P
n
.

2
+ 3P
3
+ … + (n-1)P
n-1.

x
2
x
2
x
x
!2
!
x
x
!2
!2
!
x
x
x
06!
012
2
x
xx

2
, …, x
n
với x
n
=
với P
n
là số hoán vị của n phần tử
GIẢI
Điều kiện n N \ {0}
Ta có x
n
=
Vậy x
n
< 0 ( do )

Do n = 1, 2, 3, … nên n = 1, n = 2.
Vậy 2 số cần tìm là x
1
=
x
1
=
Ví dụ 11. Chứng minh với mọi n N :
GIẢI
Theo bất đẳng thức Cauchy :
1 + 2 + 3 + … + n
Mà 1, 2, 3, …, n là một cấp số cộng nên

!
2 ! 4 ! ! 4 !
n
nn
n
n n n n
143
4 3 0
4
nn
!0n
2
19 5
4 28 95 0
20 2
n n n
5.4 143 63
1 4 4
6.5 143 143 23
15 .
2 4.2 8 8
1
!.
2
n
n
n
1.2
n
n

2.20 Tìm số nguyên dƣơng n thoả mãn hệ thức
a)
b)
c)
d)
2.21 Gọi P
n
là số cách hoán vị n vật khác nhau.
a) Tìm hệ thức giữa P
n
và P
n– 1

b) Tính P
1
và suy ra biểu thức của P
n
c) Chứng minh định lí : "Số song ánh giữa hai tập X, Y cùng có n phần tử là P
n
= n!".
HD : a) P
n
= n P
n– 1
( Có n cách xen một phần tử thứ n vào n – 1 phần tử đã xếp thứ tự sẵn)
b) P
1
= 1, P
n
= n!.

số
– Tổng cộng có 72 + 96 = 168 số 11
1
1
1
rr
n m n
AA
r
3
1 1 1 1
.
2 1 2 2
n
A n n n
3
1
nk
A
1 1 1 1 1
.
2 1 1 2n m n m n n
1
11

1 2 3nn
T P P P P
1 2 3
2 3 4 1
n
P P P n P
2 3 1nn
P P P P
11
1 ! 1
nn
S P P n
3
4
A
3
4
3. 72A
5! 4! 96
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
16
Chƣơng III. TỔ HỢP – NHỊ THỨC NEWTON

A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I. TỔ HỢP
1. Định nghĩa
Cho n phần tử khác nhau. Một tổ hợp chập k của n phần tử là một tập con chứa k phần tử.
1 2 1
!
1.2.3 ! !
k
n
n n n n k
n
C
k k n k
k n k
nn
CC
0 1 1
1,
nn
n n n n
C C C C n
1
11
k k k
n n n
C C C
1
1
kk
nn
nk
CC

n n n n
x C C x C x C x
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
17
B.PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề 1:

Ví dụ 1. Đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, học sinh cần chọn trả lời 8 câu.
a) Hỏi có mấy cách chọn tùy ý ?
b) Hỏi có mấy cách chọn nếu 3 câu đầu là bắt buộc?
c) Hỏi có mấy cách chọn 4 trong 5 câu đầu và 4 trong 5 câu sau?
GIẢI
a) Chọn tùy ý 8 trong 10 câu đầu là tổ hợp chập 8 của 10 phần tử, có :
cách.
b) Vì có 3 câu bắt buộc nên phải chọn thêm 5 câu trong 7 câu còn lại đây là tổ hợp chập 5
của 7 phần tử, có :
cách.
c) Chọn 4 trong 5 câu đầu, có cách. Tiếp theo, Chọn 4 trong 5 câu sau, có cách.Vậy
theo quy tắc nhân có :
cách.
Ví dụ 2. Từ 7 nam và 4 nữ ƣu tú, có bao nhieu cách thành lập một ban cán sự 6 ngƣời trong
đó:
a) Có đúng 2 nữ.
b) Có ít nhất 2 nữ.
c) Bạn A và bạn B không thể rời nhau
d) Bạn X và bạn Y không thể làm việc chung với nhau.

4
5
C
2
44
55
5!
. 25
4!.1!
CC
2
4
C
4
7
C
24
47
. 6.35 210CC
24
47
.CC
33
47
.CC
42
47
.CC
2 4 3 3 4 2
4 7 4 7 4 7

Lập luận tƣơng tự nếu 3 khách ở toa II hoặc III cũng là 8 cách.
Vậy số cách thoả mãn yêu cầu bài toán là : 8 + 8 + 8 = 24 cách.
Ví dụ 4. Có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó. 10 câu trung bình và 15 câu dễ. Từ 30
câu đó có thể lập bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu khác nhau, sao cho mỗi đề phải có 3
loại (khó, trung bình, dễ) và số câu dễ không ít hơn 2?
GIẢI
Số đề thi gồm 2 câu dễ 2 câu trung bình và 1 câu khó :

Số đề thi gồm 2 câu dễ 1 câu trung bình và 2 câu khó :

Số đề thi gồm 3 câu dễ 1 câu trung bình và 1 câu khó :

Vì các cách chọn đôi một khác nhau, nên số đề kiểm tra là :
23625 + 10500 + 22750 = 56 875.
Ví dụ 5. Một đội văn nghệ có 10 ngƣời trong đó có 6 nữ và 4 nam . Có bao nhiêu cách chia
đôi văn nghệ :
a) Thành 2 nhóm có số ngƣời bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ bằng nhau.
b) Có bao nhiêu cách chọn 5 ngƣời trong đó không quá 1 nam.
GIẢI
a) Do mỗi nhóm có số ngƣời bằng nhau nên mỗi nhóm phai có 5 ngƣời.
Do số nữ bằng nhau nên mỗi nhóm phải có 2 nữ.
Vậy mỗi nhóm phải có 3 nữ 2 nam.
Số cách chọn là :
b) Số cách chọn 5 ngƣời toàn nữ là :
Số cách chọn 5 nữ và 1 nam là :
Vậy số cách chọn 5 ngƣời trong đó không quá 1 nam là : 6 + 60 = 66.
Ví dụ 6. Có 16 học sinh gồm 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số
học sinh thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 ngƣời, đều có 2 học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá
GIẢI
Vì mỗi tổ đều có học sinh giỏi nên số học sinh giỏi mỗi tổ là 1 hoặc 2

. .5 120.
3!.3!2!.2!
CC
5
6
6C
4
6
6!
4 60
4!2!
C
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
19
Tƣơng ứng 4 trƣờng hợp đó đối với tổ 2 là (2, 3, 3), (2, 2, 4), (1, 3, 3), (1, 2, 5).
Ta tháy 2 trƣờng hợp bị trùng.Vậy chỉ có 2 trƣờng hợp là :
Trường hợp 1 :
Số cách chọn một tổ nào đó có 1 giỏi, 2 khá, 5 trung bình là :
Vậy tổ còn lại có 2 giỏi, 3 khá, 3 trung bình thoả mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp 2 :
Số cách chọn một tổ nào đó có 1 giỏi, 3 khá, 4 trung bình là :
Vậy tổ còn lại có 2 giỏi, 2 khá, 4 trung bình thoả mãn yêu cầu bài toán.
Do đó số cách chia học sinh thành 2 tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là :

Ví dụ 7. Có 9 bi xanh, 5 bi đỏ, 4 bi vàng có kích thƣớc đôi một khác nhau. Có bao nhiêu
cách chỏn ra :
a) 6 viên bi trong đó có đúng 2 viên bi đỏ
b) 6 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ.

2 5 3 4
5 8 5 8
5! 8! 5! 8!
3. . 3. . 3 3780.
2!3!5!3! 3!2!4!4!
C C C C
2
5
C
4
13
C
23
5 13
5! 13!
. 7150.
2!3!4!9!
CC
222
9 5 4
9! 5! 4!
. . 2160.
2!7!2!3!2!2!
CCC
33
95
9! 5!
. 840.
3!6!3!2!
CC

c) Có bao nhiêu cách nếu phải trả lời 1 trong hai câu đầu?
d) Có bao nhiêu cách nếu phải trả lời đúng 3 trong 5 câu đầu?
e) Có bao nhiêu cách nếu phải trả lời ít nhất 3 trong 5 câu đầu?
ĐS : a) b) c) d)
e) .
3.3 Có 12 học sinh ƣu tú. Cần chọn ra 4 học sinh để đi dự đại hội học sinh ƣu tú toàn quốc. Có
mấy cách chọn :
a) Tùy ý?
b) Sao cho 2 học sinh A và B không cùng đi?
c) Sao cho 2 học sinh A và B cùng đi hoặc cùng không đi?
ĐS : a) 495 cách b) 450 cách c) 225 cách.
3.4 Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam. Muốn lập 1 đoàn công tác có
3 ngƣời gồm cả nam lẫn nữ, cần có cả nhà toán học lẫn vật lí. Có bao nhiêu cách chọn.
ĐS : 90 cách
3.5 Có 5 tem thƣ khác nhau và 6 bì thƣ cũng khác nhau. Ngƣời ta muốn chọn ra 3 tem thƣ, 3 bì
thƣ và dán 3 tem thƣ đó lên 3 bì thƣ đã chọn. Mỗi bì thƣ chỉ có một tem thƣ. Hỏi có bao nhiêu
cách làm nhƣ vậy. ĐS : 1200 cách.
3.6 Một bộ bài 52 lá ; có 4 loại : cơ, rô, chuồn, bích mỗi loại 13 lá. Muốn lấy ra 8 lá trong đó
phải có đúng 1 lá cơ, đúng 3 lá rô và không quá 2 lá bích. Hỏi có bao cách?
ĐS : 39 102 206 cách.
3.7 Cho tập con gồm 10 phần tử khác nhau. Tìm số tập con khác rỗng chứa 1 số chẵn các phần
tử.
ĐS : 511.
3.8 Một hộp có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6,
5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5,
4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4.
a) Hỏi có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu cùng mầu. 3 quả cầu cùng số.
b) Hỏi có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu khác mầu, 3 quả cầu khác mầu và khác số.
ĐS : a) Có 34 cách lấy 3 quả cầu cùng mầu ; Có 4 cách lấy 3 quả cầu cùng số
b) Có 120 cách lấy 3 quả cầu khác mầu ; Có 64 cách lấy 3 quả cầu khác mầu và khác số.

21
3.11 Số 210 có bao nhieu ƣớc số.
ĐS : 16 số.
3.12 Một trăm số đƣợc đánh số 1, 2, …, 100 đƣợc bán cho 100 ngƣời. Có 4 giải thƣởng trong đó
có một giải độc đắc
a) Có bao nhiêu cách tặng giải?
b) Có bao nhiêu cách tặng giải nếu vé số 47 trúng giải độc đắc.
c) Có bao nhiêu cách tặng giải nếu vé số 47 là một trong các giải trúng .
d) Có bao nhiêu cách tặng giải nếu vé số 47 không trúng giải .
e) Có bao nhiêu cách tặng giải nếu vé số 47 và 19 đều trúng giải.
f) Nếu các vé số 19, 47 và 73 đều trúng giải.
g) Nếu các vé số 19, 47,73 và 97 đều trúng giải.
h) Nếu các vé số 19, 47,73 và 97 đều không trúng giải.
i) Nếu giải độc đắc rơi vao một trong các vé số 19, 47,73 và 97.
j) Nếu các vé số 19, 47 trúng giải còn các vé số 73 và 97 không trúng giải.
ĐS : a) 94 109 400 b) 941 094 c) 3 764 376 d) 90 345 024 e) 114 072
f) 2384 g) 24 h) 79 727 040 i) 3 764 376 j0 109 440.
3.13 Bảng chữ cái có 26 kí tự trong đó có 5 nguyên âm
a) Có bao nhiêu chữ gồm 5 kí tự trong đó có 3 phụ âm khác nhau và 2 nguyên âm khác nhau?
ĐS : 1 596 000
b) Trong đó có bao nhiêu chữ chƣá b? ĐS: 228 000
c) Trong đó có bao nhiêu chữ chƣá b và c? ĐS: 22 800
d) Trong đó có bao nhiêu chữ bắt đầu bằng b và chứa c? ĐS: 4560
e) Trong đó có bao nhiêu chữ bắt đầu bằng b và kết thúc bằng c? ĐS: 1140
f) Trong đó có bao nhiêu chữ bắt đầu bằng b và chứa a? ĐS: 18 240
g) Trong đó có bao nhiêu chữ chƣá a, b, c? ĐS: 9120
3.14 Cho A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
a) Có bao nhiêu tập con của A chứa 1 mà không chứa 2.
b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau mà không bắt đầu bởi 123 lập từ A
ĐS : a) 64 b) 3348 số.

sao cho không có 3 điểm nào thẳng
hàng và nối tất cả tất cả các điểm đó lại với nhau từng cặp
a) Tính số N các đoạn thẳng có dƣợc.
b) Giả sử không có 2 đƣờng thẳng nào trong đó song song. Tính số giao điểm P khác với n
điểm trên.
c) Giả sử không có 3 đƣờng thẳng nào trong đó đồng qui tại một điểm khác với các điểm A
i
.
Tính số T các tam giác xác định bởi n đƣờng thẳng đó.
GIẢI
a) Mỗi cặp điểm không kể thứ tự trong n điểm A
i
xác định một đƣờng thẳng có N =
đƣờng thẳng.
b) Mỗi tổ hợp nối lại cho ta 3 giao điểm mới
có N =
Giao điểm khác với n điểm A
i
.
Cách 2: N = đƣờng thẳng cho giao điẻm. Nhƣng mỗi điểm A
i
có n – 1 đƣờng thẳng
đi qua nên có giao điểm trùng với A
i
Có giao điểm trùng với A
1
, A
2
, …, A
n

thành một tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh của H. Các A
1
A
2
tam giác này không trùng nhau và không có cách
nào khác để tạo tam giác có 2 cạnh là cạnh của H.
Mà H có 20 đỉnh nên có đúng 20 tam giác tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh của H
b) Xét các tam giác mà một đỉnh là A
1
. Để có đúng một cạnh là cạnh của H ta bỏ đi 4 cạnh A
1
A
2
,
A
2
A
3
, A
1
A
20
, A
20
A
19
. Vậy có đúng 16 tam giác mà đỉnh là A
1
và có đúng 1 cạnh là cạnh của H.
Mà H có 20 đỉnh, vậy số tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H là : 20.16 = 320.

3
1n
nC
3 3 3
N1
1
1 2 13 20
48
n
C nC n n n n n
3
20
20!
1140
3!17!
C
22
N1
1 2 3
8
n
n n n n
C nC
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
23
Ví dụ 3. Cho 5 điểm đồng phẳng sao cho các đƣờng thẳng nối các cặp điểm trong 5 điểm đó
không có 2 đƣờng thẳng nào song song, vuông góc, hay trùng nhau. Qua mỗi điểm ta vẽ các
đƣờng thẳng vuông góc với tất cả các đƣờng thẳng không đi qua nó. Không kể 5 điểm đã cho, số

3.19 Trong mặt phẳng cho 1 thập giác lồi. Xét các tam giác mà 3 đỉnh của nó là 3 đỉnh của thập
giác. Hỏi trong số các tam giác đó có bao nhiêu tam giác mà 3 cạnh của nó dều không phải là 3
cạnh của thập giác
ĐS : 50

3.20 Có p điểm trong mặt phẳng trong đó có q điểm thẳng hàng, số còn lại không có 3 điểm nào
thẳng hàng. Nối p điển đó lại với nhau. Hỏi :
a) Có bao nhiêu đƣờng thẳng?
b) Chúng tạo ra bao nhiêu tam giác.
ĐS : a)
b)
3.21 Cho p điểm trong không gian trong đó có q điểm đồng phẳng số còn lại không có 4 điểm
nào đồng phẳng. Dựng tất cả các mặt phẳng chứa 3 trong p điểm đó. Hỏi :
a) Có bao nhiêu mặt phẳng khác nhau
b) chúng tạo ra bao nhiêu tứ diện
ĐS : a) b)
3.22 Trong mặt phẳng cho n đƣờng thẳng đôi một cắt nhau và không có 3 đƣờng chéo nào đồng
qui. Hỏi chúng tạo thành :
2
4
6C
2
3
3C
2
5
10C
3
5
10C

a) Bao nhiêu tam giác; b) Bao nhiêu n giác; c) Bao nhiêu tứ giác
ĐS : a) b) c)
3.23 Cho một n giác lồi P sao cho không có 2 đƣờng chéo nào sông song và không có 3 đƣờng
chéo nào không xuất phát từ cùng một đỉnh lại đồng qui. Gọi P
n
là tổng số các giao điểm của các
đƣờng chéo khác với các đỉnh, P
i
là số giao điểm đó ở bên trong đa giác và P
e
là số giao điểm đó
ở bên ngoài đa giác. Tính P
n
, P
i
, P
e
theo n.
HD : a) Tính P
n
. Có N = đƣờng chéo Có giao điểm. Trong đó mỗi đỉnh có n – 3
đƣờng chéo Có giao điểm trùng với các đỉnh. Còn lại :
P
n
= giao điểm.
b) Cứ mỗi đỉnh thì có 2 đƣờng chéo cắt nhau tại một điểm bên trong đa giác Có :
P
i
= giao đỉêm bên trong đa giác.
c) P

ĐS : n = 8.
3.26 Cho một tập hợp E có n phần tử và một tập hợp F có m phần tử. Có bao tổ hợp chập k .
a) Chứa duy nhất một phần tử của F
b) Chứa ít nhất một phần tử của F
ĐS : a) m b)
3.27 Cho n số khác nhau Gọi E
p
là tổ hợp chập p của n số này.
a) có bao nhiêu tổ hợp chập p chứa phần tử a
i
cho sẵn
b) Tính tổng S
p
của tất cả các số a
i
có trong các tổ hợp của E
p
(i = 1, 2, …, n)
c) Tính S = .
ĐS ; a) b) S
p
=
c) S =
3.28 Có bao nhiêu cách để chọn từ n số 1, 2, …, n ra m số sao cho trong đó có 2 số liên tiếp.
HD & ĐS : Ta tìm số cách chọn m số sao cho trong đó không có 2 số liên tiếp.
Xét song ánh f xác định bởi
nghĩa là .
Ta có và m số không chứa 2 số liên tiếp m số
khác nhau.
Có cách chọn m số b

C nC n n n n
4
1 2 3
24
n
n n n n
C
1
345
12
n n n n
1k
nm
C
rr
n n m
CC
1 2 n
a ,a , ,a .
1 2 n
S S S
1
1
p
n
C
1
1 2 1
a a a
p

GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP

1. Không hiểu các từ dùng trong đề bài
Ví dụ ; Trong bài 3.10 có câu An và Bình không đồng thời có mặt nghĩa là loại bỏ trƣờng hợp
có An và có Bình, ta còn lại 3 trƣờng hợp : Có An không có Bình, có Bình không có An, không
có An không có Bình. Nếu đọc không kĩ, câu văn trên dễ hiểu thành "không có An không có
Bình" tức là "An và Bình đồng thời không có mặt".
2. Có những trường hợp bị trùng lặp, bị đếm 2 lần mà không biết
Ví dụ : Một lớp học có 20 học sinh gồm 14 nam, 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách thành lập một
đội gồm 4 học sinh trong đó có ít nhất một nữ?
GIẢI
Chọn một nữ trong 6 nữ, có cách
Chọn thêm 3 học sinh trong số 19 học sinh còn lại, có cách.
Vậy có : cách.
Cách giải này sai ở chỗ giữa 2 lần chọn "1 nữ rồi 3 học sinh còn lại" có thể bị trùng lặp, bị
đếm 2 lần. Ví dụ : "chọn nữ A rồi 3 học sinh B, C, D" và "chọn nữ B rồi 3 học sinh A, C, D".
3. Có những trường hợp không liệt kê đủ, đếm thiếu mà không biết
Ví dụ : 5 nam sinh và 3 nữ sinh xếp vào 8 chỗ ngổi. Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có
2 nữ sinh ngồi cạnh nhau?
GIẢI
Ta đánh số các chỗ ngồi từ 1 đến 8. Các trƣờng hợp có 2 nữ ngồi cạnh nhau ở các ghế số :
123, 234, 345, 456, 567, 678 : có 6 trƣờng hợp.
Chọn 3 ghế tuỳ ý cho 3 nữ là tổ hợp chập 3 của 8 phần tử, có cách.
Trừ các trƣờng hợp nêu trên ta còn : - 6 cách.
Xếp 3 nữ vào các ghế đã chọn, có : 3! cách.
Xếp 3 nam vào các ghế còn lại, có : 5! cách.
Vậy có : 5!3!( - 6) cách.
Cách giải này sai ở chỗ đếm thiếu các trƣờng hợp khi 2 nữ ngồi kế nhau khi 3 nữ ngồi ở các
ghế số 123, 124, 125, 126, 127, 128, 234, 235, 236, 237, 238, 345, 346, 347, 348, 456, 457, 458,
567, 568. 678 : có 21 trƣờng hợp

C
3
10
A
3
6
A
33
10 6
AA
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn
26
Khi làm cách này, sai sót dễ mắc phải là phát biểu mệnh đề không thoả tính chất p thiếu
chính xác.
Ví dụ : Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 4 cuốn văn, 4 cuốn
nhạc, 5 cuốn hoá. Thầy muốn chọn ra 6 cuốn tặng cho 6 học sinh sao cho tặng xong mỗi thể loại
còn ít nhất 1 cuốn. Hỏi có mấy cách?
Trong ví dụ này, tính chất p là "mỗi thể loại đều còn" và không thoả tích chất p là "có ít nhất
một thể loại không còn".(Ta dễ hiểu sai thành "mỗi thể loại đều không còn"). Vấn đề 3

Ví dụ 1. a) Nêu ý nghĩa tổ hợp của hệ thức
b) Từ đó suy ra biểu thức của

kC nC
k
n
C
1
1
k
n
C
1
1
k
n
C
1
1
k
n
nC
1
1
k
n
nC
k
n
C
1
1
kk

n
CC
k
n
CC
k
nk
CC
C
1 1
!
k
n
n n n k
C
k
2
1
21
1
n
kn
nn
k
k C nC
21
1 2 1
1
21
1 1 1