GIỚI HẠN
A: Giới hạn dãy số:
Kiến thức cần nhớ:
Đònh lý1: (Điều kiện cần để dãy số có giới hạn)
Nếu một dãy số có giới hạn thì nó bò chặn.
Đònh lý2: (Tính duy nhất của giới hạn)
Nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Đònh lý3: (Điều kiện đủ để dãy số có giới hạn) (Đònh lý Vaiơstrat).
Một dãy số tăng và bò chặn trên thì có giới hạn.
Một dãy số giảm và bò chặn dưới thì có giới hạn.
Đònh lý4: (Giới hạn của một dãy số kẹp giữa hai dãy số dần tới cùng một giới hạn)
Cho ba dãy số (u
n
), (v
n
), (w
n
).
Nếu
*
Nn ∈∀
ta có
nnn
wuv ≤≤
và lim v
n
= lim w
n
= A thì lim u
n
= A.

nnnn
∈∀≥=
≠=
=
±=±

Đònh lý6: Nếu
thìq `1<0lim =
n
q
Tổng của cấp số nhân vô hạn có công bội q với
1<q
là:
S=u
1
+u
2
+ +u
n
+ =
q
u
−1
1

)1( <q
.

.0
1
lim =
n
u
B. Giới hạn của hàm số:

Kiến thức cần nhớ:
1/ Một số đònh lý về giới hạn của hàm số:
Đònh lý1: (Tính duy nhất của giới hạn)
Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới a thì giới hạn đó là duy nhất.
Đònh lý2: (Các phép toán trên các giới hạn của hàm số).
Nếu các hàm số f(x) và g(x) đều có giới hạn khi
ax →
thì:
1

[ ]
[ ]
)0)((,)(lim)(lim
)0lim(,
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
)(lim).(lim)().(lim
)(lim)(lim)()(lim
≥=
≠=

axax
==
→→
thì
Lxf
ax
=
→
)(lim
Đònh lý4: Nếu khi
ax →
, hàm số f(x) có giới hạn L và nếu với mọi giá trò x đủ gần a mà f(x) > 0 (hoặc
f(x) < 0) thì
0≥L
(hoặc
0≤L
).
Đònh lý5: Nếu
0lim =
→ax
(và
0)( ≠xf
với mọi x đủ gần a) thì
∞=
→
)(
1
lim
xf
ax

=
+
→
lim
(hoặc
Lxf
ax
=
−
→
)(lim
).
Đònh lý: Điều kiện ắc có và đủ để
Lxf
ax
=
→
)(lim
là
)(lim),(lim xfxf
axax
−+
→→
đều tồn tại và bằng L.

3/ Các dạng vô đònh:
Khi tìm giới hạn của hàm số, ta có thể gặp một số trường hợp sau đây. Ta cần tìm:
1/
)(
)(

xv
xu
x
xx
∞→
→
mà
∞==
∞→
→
∞→
→
)(lim)(lim
)()(
00
xvxu
x
xx
x
xx
.
3/
[ ]
)().(lim
)(
0
xvxu
x
xx
∞→

−
∞→
→
mà
+∞==
∞→
→
∞→
→
)(lim)(lim
)()(
00
xvxu
x
xx
x
xx
hoặc
−∞==
∞→
→
∞→
→
)(lim)(lim
)()(
00
xvxu
x
xx
x

n
n

nnn
nn
−+
++
2
2
2
32
lim/4

1
32
lim/5
2
++
+
nn
nn

)3)(23(
)12)(1(
lim/6
++
−+
nn
nn


lim/1
2
2
+
−
n
n

2
52
lim/2
2
+−
+
nn
n

23
2
lim/3
2
3
−+
−
nn
nn

(
)
nnn +−

+

4
32
)1(
)2()1(
lim/2
−
++
nn
nn

(
)
1lim/3
22
+−+ nnn

3
32
3lim(/4 nnn −+
)
2
1112
lim/5
2
3
−
+−
n

2
1
+−
++
→
xx
xx
x1
21
lim/4
3
+
+−
−→
x
xx
x

)2(lim/5
3
1
xx
x
++
−→

2

−
−+
→
→
xxx
xx
x
xx
x
x

8
4
lim/5
20
16
lim/2
3
2
2
2
2
4
+
−
−+
−
−→
→
x


x
x
x
xx
x
x
x
x
x
2
121
lim/7
4
23
lim/4
2
121
lim/1
0
2
2
0
−+
−
−−
−+
→
→
→

x

25
32
lim/9
34
472
lim/6
32
372
lim/3
2
3
5
3
1
1
−
+−
+−
−++
+−
−+
→
→
→
x
x
xx
xx

−→
→
→
xxx
xx
xx
x
x
x
x
x
x

33
3 2
0
1
2
23
1
232
11
lim/8
45
32
lim/5
43
42
lim/2
+−+

2
0
−+
+−
+−
−−−−
++−+
→
→
→
x
xx
xx
xxx
x
xxx
x
x
x
Bài tập 5: Tính các giới hạn:
3

x
x
xx
xx
xxx
xx
x
xx

34
lim/2
11
lim/1
4
2
2
2
23
2
3
2
3
3
0

23
1
lim/10
3
11
lim/9
2
321
lim/8
1
12
lim/7
23
1

x
x
x
x
x
xxx
x
x
x
x
x
x
x
• Tính các giới hạn bằng cách thêm, bớt lượng liên hợp.
Bài tập 6: Tính các giới hạn:3
51
lim/3
11
lim/2
23
7118
lim/1
3
3
3
0
2

1
2
3
2
3
1
−−
−−+
−+
++−
−
++−
−→
−→
→
xx
xx
xx
xx
x
xx
x
x
x

Dạng
∞
∞
Bài tập 7: Tính các giới hạn:


++−
+
+
∞→
∞→
∞→
+∞→
−∞→
x
xxx
xx
xx
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x

12
32
lim/10
13
14
lim/9

∞→
∞→
∞→
∞→
xx
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
x
x
x
x

ĐS:
27
8
/5
3
2
/4
/3
/2
2

2

1
12419
lim/2
22
−
++−++
∞→
x
xxxx
x

ĐS:



−
5
1
/1




−1
1
/2

Dạng

lim/4
)(lim/3
)34412(lim/2
)(lim/1
x
x
xxx
xxx
xxx
x
x
x
x







+−
+
+−
++−+−
+−
−+
→
−∞→
+∞→
∞→

1
/1
−



∞−

2/8
1/7
0/6
1/5
−
Dạng : Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác:
Cho biết :
1
sin
lim
0
=
→
x
x
x

Bài tập 10: Tính giới hạn các hàm số lượng giác sau:

2
0
0

→
→
→

2
0
0
2
2
0
3
0
6cos1
lim/8
2
3
lim/7
3
sin
lim/6
sin
lim/5
x
x
x
xtg
x
x
x
xtgx

cos12
lim/10
5cos1
3cos1
lim/9
3
2
2
0
2
0
0
−






−
−+
+−
−
−
→
→
→
→
π
π

Hết
5
HÀM SỐ LIÊN TỤC

Kiến thức cần nhớ:
1. Hàm số liên tục tại một điểm:
Đònh nghóa: Cho hàm số f(x) xác đònh trên khoảng (a; b). Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm
∈
0
x
(a; b) nếu:
)()(lim
0
0
xfxf
xx
=
→
.
Nếu tại điểm x
o
hàm số f(x) không liên tục, thì nó được gọi là gián đoạn tại x
o
và điểm x
o
được gọi là
điểm gián đoạn của hàm số f(x).
Theo đònh nghóa trên hàm số f(x) xác đònh trên khoảng (a; b) là liên tục tại điểm
∈
0

),()(lim afxf
ax
=
+
→

)()(lim bfxf
ax
=
−
→
.
Lưu ý: Đồ thò của một hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.
b. Một số đònh lý về tính liên tục:
Đònh lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương ( vớid mẫu khác 0) của những hàm số liên tục tại một điểm là liên
tục tại điểm đó.
Đònh lý 2: Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác là liên tục trên tập xá đònh của nó.
Đònh lý 3: Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b], thì nó đạt được giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất
và mọi giá trò trung gian giữa giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất trên đoạn đó.
Hệ quả. Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c
∈
(a; b) sao cho f(c) = 0.
Nói cách khác: Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) =
0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a; b).
MỘT SỐ DẠNG TOÁN

Dạng 1: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số:
Bài tập: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau:

.


Bài tập 1: Cho hàm số:








−
+−
−
=
1
23
2
)(
2
2
x
xx
x
xf

)1(
)1(
≥
<
x

x
x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x
0
= 2.
Bài tập 3: Cho hàm số:








−+
−+
=
11
11
2
3
)(
3
x
x
xf

)0(
)0(
>

x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x
0
= 1.
Bài tập 5: Cho hàm số:






−
−
+
=
1
1
2
)(
3
x
x
ax
xf

)1(
)1(
<
≥
x

= 2.
Bài tập 7: Cho hàm số:








+−−
+
−
+
=
x
xx
x
x
a
xf
11
2
4
)(

)0(
)0(
<
≥

)2(
>
≤
x
x
7
Đònh a để hàm số f(x) liên tục trên R.
Bài tập 9: Cho hàm số:








+−
−
+
=
23
24
3
2
)(
2
3
2
xx
x

=
x
x
Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số.
Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm:

Bài tập 1: CMR các phương trình sau đây có nghiệm:

010010/
01096/
013/
35
23
4
=+−
=−+−
=+−
xxc
xxxb
xxa
Bài tập 2: CMR phương trình
0162
3
=+− xx
có 3 nghiệm trong khoảng (-2 ; 2).
Bài tập 3: CMR phương trình
013
3
=+− xx
có 3 nghiệm phân biệt.

u
1
, u
2
, , u
n
,
2. Số hạng tổng quát
Đònh lí: Số hạng tổng quát u
n
của một cấp số cộng có số hạng đầu u
1
và công sai d được cho bởi công
thức:
u
n
= u
1
+ (n - 1)d
3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng
Đònh lí: trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai ( và trừ số hạng cuối cùng đối với
cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề bên nó, tức là

2
11 +−
+
=
kk
k
uu


)(
2
1 nn
uu
n
S +=
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài tập 1: Xác đònh số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây:

, 8,5,2/÷a
tìm u
15
.

, 32,4,32/ −+÷b
tìmu
20
.
ĐS:
31840/
44/
20
15
−=
=
ub
ua
Bài tập 2: Xác đònh cấp số cộng có công sai là3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng 30.
Giải:

=
=
⇔=+−⇔
5
4
060273
2
n
n
nn
Với
3:4
1
== un
ta có cấp số cộng
12,9,6,3÷
Với
0:5
1
== un
ta có cấp số cộng
12,9,6,3,0÷
Bài tập 3: Cho cấp số cộng:




=+
=−+
26

10
1
11
111
64
352
d
u
dudu
dududu
uu
uuu
Bài tập 4: Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương của chúng là 165.
Giải:
Gọi cấp số cộng là:
÷
u
3
- 3d, u
3
- d, u
3
, u
3
+ d, u
3
+ 2d
Theo giả thiết ta có:



duduududu

Với d = 2 ta có
9,7,5,3,1÷

Với d = -2 ta có
1,3,5,7,9÷
Bài tập 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chúng là 1140.
Giải:
Xét cấp số cộng
dd 25,5,5 ++÷

Theo bài ra ta có:
1140)25)(5(5 =++ dd
9





−=
=
⇔=−+⇔
2
29
7
0203152
2
d
d

+−+=++⇔
100
)(0
0100
6255062550
2
222
x
loaix
xx
xxxxx
Với x=100 ta có cấp số cộng tương ứng 3 cạnh là: 75,100,125
Bài tập 7: Cho cấp số cộng
÷
u
1
, u
2
, u
3
,
Biết u
1
+ u
4
+ u
7
+ u
10
+ u

1
+ u
16
) + (u
4
+ u
13
) + (u
7
+ u
10
)

= 147

⇔
(2u
1
+ 15d) + (2u
1
+ 15d) + (2u
1
+ 15d) = 147

⇔
3(2u
1
+ 15d) = 147

⇔

6
+ u
11
+ u
16
= 98.
Bài tập 8: Một cấp số cộng (a
n
) có a
3
+ a
13
= 80.
Tìm tổng S
15
của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
Giải:
Ta có: S
15
=
2
15
(u
1
+ u
15
).
Mặt khác ta có: u
3
+ u

Giải:
Ta có: S
11
= 176 =
2
11
(u
1
+ u
11
)

2
11
⇔
(2u
1
+ 10d) = 176 (1)
và u
11
- u
1
= 30

⇔
(u
1
+ 10d) - u
1
= 30





=
=



=
=+
35
19
/2
129
14
/1
9
5
13
53
u
u
S
uu




=−

38
; 2/ u
1
= 3 và d = 4.
3/ u
1
= 0 và d =
2
3
; 4/ u
1
= và d = .
Bài tập 12: Cho cấp số cộng (u
n
) có u
3
= -15, u
14
= 18.
Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên.
Giải:
Theo giả thiết ta có:




−=
=
⇒


20
và S
20.

ĐS: u
20
= 74, S
20
= 910
Bài tập 14: Cho cấp số cộng (u
n
) có a
10
= 10, d = -4.
Tính u
1
và S
10
.
ĐS: u
1
= 46, S
10
= 280
Bài tập 15: Cho cấp số cộng (u
n
) có u
6
= 17 và u
11

u
n+1
=u
n
.q (n = 1, 2, ).
Đặc biệt:
Khi q = 0 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u
1
, 0, 0, , 0,
Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u
1
, u
1
, , u
1
,
Nếu u
1
= 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0, ,
Để chỉ dãy số (u
n
) là một cấp số nhân ta thường dùng kí hiệu
u
1
, u
2
, , u

u
1
, u
2
, ,u
n
,
Đònh lí: Ta có:

1
1
1
−
−
=
q
q
uS
n
n
(q
≠
1)
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài tập 1: Tìm các số hạng của cấp số nhân biết:
1/ Cấp số nhân có 6 số hạng mà u
1
= 243 vàu
6
= 1

4
1
1
4
1
1
2730
1
1
11
6
1
6
16
=⇔=⇔
−






−
=⇔
−
−
= uuu
q
q
uS



=−
=
⇔





=
=
5
1
2
1
5
16
2
13
.486
.18
.
.
qu
qu
quu
quu

)2(






=−
=−
⇔





=−
=−
144)1(
72)1(
144
72
22
1
2
1
2
1
4
1
1
3
1



=
=
⇔



=
=
48
12
48
12
4
1
2
1
5
3
qu
qu
u
u

)2(
)1(
q = 0, u = 0 không là nghiệm của hệ
Chia (2) cho (1) vế theo vế ta được:




=++
=++
⇔





=++
=++
⇔



=++
=++
351)1(
13)1(
351
13
351
13
23
1
2
1
5
1

Bài tập 6: Tìm cấp số nhân (u
n
) biết cấp số đó có 4 số hạng có tổng bằng 360 và số hạng cuối gấp 9
lần số hạng thứ hai.
Giải:
Theo bài ra ta có:






=
=+++
⇔



=
=+++
ququ
quququu
uu
uuuu
1
3
1
3
1
2

Giải:
Gọi u
1
, u
2
, u
3
là ba số hạng của cấp số cộng công sai d
Theo bài ra u
1
, u
2
-1, u
3
+1 lập thành cấp số nhân
Ta có:



+=−
=++
)1()1(
21
31
2
2
321
uuu
uuu


⇔



++=−+
=++++
⇔
5
4
7
020
7
)8)(7(36
7
86
7
)12()1(
21)2()(
1
2
1
1
1
2
1
11
2
1
111
d