CHƯƠNG III: ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM
PHÂN PHỐI
§ 1.ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
1.Định nghĩa: Một phép thử,  là không gian sự kiện sơ
cấp liên kết với phép thử, một ánh xạ X: R được gọi là
đại lượng ngẫu nhiên liên kết với phép thử.
Nói cách khác đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu
nhiên là một đại lượng có thể nhận giá trị này hay giá trị
khác lệ thuộc vào phép thử.
Ví dụ 1:Gieo 2 đồng xu cân đối, đồng chất. X là số lần
xuất hiện mặt sấp. X là biến ngẫu nhiên, nhận các giá trị
(0, 1,2).

Kí hiệu :
+Các đại lượng ngẫu nhiên được ký hiệu các bằng các chữ X,
Y,Z,…
+Các giá trị mà các đại lượng đó nhận được kí hiệu x,y,z,…
Ví dụ 1:Gieo 2 đồng xu cân đối, đồng chất. Gọi X là số lần xuất
hiện mặt sấp. X là đại lượng ngẫu nhiên, nhận các giá trị (0, 1,2).
Hay người ta còn nói miền giá trị của X là D = ( 0,1,2)
Ví dụ 2 : Một hộp bị đồng chất có 10 viên trong đó có 6 viên đỏ
và 4 viên xanh. Bốc ngẫu nhiên 5 viên. X là số bi đỏ có trong 5
viên lấy ra, Y là số bi xanh trong 5 viên lấy ra .
X là đại lượng ngẫu nhiên, nhận các giá trị D=( 0,1,2,3,4,5)
Y là đại lượng ngẫu nhiên, nhận các giá trị D=( 0,1,2,3,4)

2. Hàm phân phối
a) X là đại lượng ngẫu nhiên. Ta gọi hàm phân phối của đại
lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu F(x), được xác định như sau :
F(x) = P(X<x), R

,x
2
,…,x
n
}. P
1
=P(x
1
), P
2
=P(x
2
),…,P
n
=P(x
n
). Ta có
bảng phân phối xác suất sau đây:X x
1
… x
n
P(X) p
1
… P
n

Pi = 1, pi > 0,  x  X

10
3
6
===
===
C
CC
P
C
C
P
30
1
120
4
)3(
10
3
120
36
)2(
3
10
3
4
3
10
1
6
2

+
-

b)Tính chất của hàm mật độ:
1.0 f(x)  x R
2. f(x) dx = 1
3.  <  thì P(  X < ) = F()-F()= f(x) dx
4 Hàm phân phối F(x) của đại lượng ngẫu nhiên liên tục
X là liên tục

-
+




§ 2.CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI
LƯỢNG NGẪU NHIÊN
1.Kỳ vọng toán: X là là đại lượng ngẫu nhiên(ĐLNN).
E(X) ta gọi kỳ vọng toán của X:
Nếu X là (ĐLNN)rời rạc thì E(X)=

Nếu X là (ĐLNN) liên tục E(X) =
∑
=
n
i
Pixi
1
.

1
2
XEaaxi
n
i
=−
∑
=X -1 0 1 2
P 0,1 0,2 0,3 0,4
Ví dụ 5 : Giả sử X là (ĐLNN) rời rạc có bảng phân phối
xác suất
E(X)= -1.0,1 + 0.0,2 + 1.0,3+2.0,4 = 1
D(X) = E(X
2
) – (E(X))
2
= 2-1 = 1
Ý nghĩa của phương sai là độ phân tán của xác suất
Tìm D(X) 3.Median( Trung vị):
X là đại lượng ngẫu nhiên(ĐLNN), là giá trị tại đó F(xi)≤
½. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì F(xi)= ½
Ký hiệu Med[X]
THUỘC
a.Định nghĩa :Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc được gọi là
phân phối nhị thức với tham số n, P(0<p<1) nếu các giá
trị có thể nhận là 0,1,2,…,n với xác suất
p(X=k)=
mnmm
n
ppC
−
−
)1(
b. Các tham số số đặc trưng :
a. Kỳ vọng : n.p
b.Phương saiD(X)=np
c. Mod[X] =k
0
=[np+p-1]+1( Khả năng xẩy ra nhiều nhất
trong phân phối Bernoulli Ví dụ 6 :Một xạ thủ bắn 20 phát, xác suất trúng đích là
0,8
1.Tìm xác suất để 18 phát trúng bia
2.Tìm số phát trúng trung bình khi bắn
3.Tìm xác suất để ít nhất 18 phát trúng
4. Tìm số phát trúng có khả năng xẩy ra nhất Giải :Gọi X là số phát bắn trúng bia trong 20 phát, X là
ĐLNN có phân phối nhị thức n=20, p= 0,8

−
k
k
k
λ
λ

b. Các tham số đặc trưng
E(X) = 
D(X) =  và  -1 Mod[X] ≤  +1
Ví dụ 7: Gieo 1000 hạt thóc biết tỷ lệ không nẩy
mầm là 0,005. Tìm xác suất để có 10 hạt không nẩy
mầm.
Giải: X là số hạt giống không nẩy mầm, X là ĐLNN
rời rạc có phân phối Bernoulli thỏa mãn các điều kiện
Poisson vậy  = n .p = 1000 . 0,005 = 5

P(X=10) 
!10
5.
105
−
e

3.Phân phối chuẩn ( Normal Distribution)
a.Định nghĩa : Đại lượng ngẫu nhiên liên tục gọi là phân
phối chuẩn với các tham số a, (  >0), ký hiệu N(a,)

D(X) =
Khi N( 0,1)( phân phối chuẩn hóa) thì hàm mật độ
2
σ
2
2
.
2
1
)(
x
exf
−
=
π
Nên
∫
+∞
∞−
=
1)( pxxf