Chương 2: Đại Lượng Ngẫu Nhiên Rời Rạc PGS-TS. Lê Anh Vũ

Tài Liệu Xác Suất Thống Kê
II.1
CHƯƠNG 2
ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN VÀ
QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Nội dung

Đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) và phân loại cácĐLNN. Quy luật phân phối xác suất
(PPXS) của ĐLNN.

Bảng PPXS của ĐLNN rời rạc. Hàm PPXS của ĐLNN ( rời rạc hay liên tục). Hàm
mật độ xác suất của ĐLNN liên tục.

Các phép tốn trên các ĐLNN. Hàm của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

Các đặc trưng số cơ bản của ĐLNN.

Các phân phối thơng dụng: Nhị thức, Siêu bội, Poisson, Chuẩn.

Phương pháp tính xấp xỉ giữa các phân phối xác suất.
1. ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN - QUYLUẬT PHÂN PHỐI
XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN
Ví dụ 2.1.
Bảng dưới đây ghi kết quả khảo sát số xe máy hiện có ở 6.487 hộ gia đình tại Tp.
Hồ Chí Minh năm 2003.
Số xe máy (X) Số hộ (ni) Tần suất
0 27 0,004
1 1422 0,219
2 2865 0,442

Trong ví dụ 2.1, đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị một cách ngẫu nhiên thuộc
tập {0, 1, 2, 3, 4, 5}, ta viết X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Khả năng (xác suất) để X nhận giá trị 3
là 27,7%. Trong ví dụ 2.2, đại lượng ngẫu nhiên K nhận giá trị một cách ngẫu nhiên
thuộc tập [0, 50cm]. Căn cứ vào tập giá trị của ĐLNN, ta phân chúng thành hai loại: rời
rạc và liên tục. Cụ thể, ta có phân loại dưới đây.

Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: Đó là ĐLNN mà tập các giá trị có thể có
của nó là một tập rời rạc, tức là có thể đánh số thành một dãy (hữu hạn hay
vơ hạn).

Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: Đó là ĐLNN mà tập các giá trị có thể có
của nó là một đoạn hay khoảng (hữu hạn hay vơ hạn).
Nhận xét quan trọng
Cần phân biệt ĐLNN với BCNN. ĐLNN thì nhận giá trị này khác một cách ngẫu nhiên
nhưng khơng có xác suất, BCNN là một sự kiện có thể xẩy ra sau khi thực hiện phép thử
với xác suất xác định nhưng BCNN khơng có giá trị.
Tuy nhiên ĐLNN và BCNN có mối quan hệ khăng khít với nhau. Cụ thể, khi gán cho
mỗi ĐLNN một giá trị cụ thể hoặc một ràng buộc nào đó về giá trị, ta sẽ nhận được một
BCNN với xác suất xác định. Về mặt hình thức, có thể hình dung ĐLNN như là hàm của
BCNN trên khơng gian các biến cố sơ cấp
Trở lại ví dụ 2.1. Ta có (X=3) là một BCNN với P(X=3) = 0,277. Tương tự (X<3),
(X>3), (X≤3), (X≥3) cũng là những BCNN mà có thể dễ dàng tính xác suất của chúng
theo bảng số liệu đã cho.
Một cách tổng qt, với mỗi ĐLNN X tùy ý và x, y là hai số thực bất kỳ (x<y), (X<x),
(X=x), (X>x), (X≤x), (X≥x), (x<X<y), ... đều là các BC mà nói chung là ngẫu nhiên. Qua
xác suất của các BC này, ta sẽ biết được những giá trị nào hoặc những khoảng giá trị nào
X dễ nhận, những giá trị nào hay những khoảng giá trị nào X ít nhận hay khơng thể nhận.
Nói một cách khác, xác suất của những BC đó (khi cho x, y chạy khắp tập số thực) phản
ánh quy luật phân phối xác suất của X.
1.2. B


Tính chất đặc trưng: Các xác suất tương ứng p
i
trong bảng PPXS có hai
tính chất đặc trưng sau đây.
(i) 0 ≤ p
i
≤1;
(ii)
1p
.
n
1i
i
=
∑
=


Các tính chất khác
(i) P(a ≤ X < b) =
i
i
ax b
p
≤<
∑
;
(ii) P(a < X < b) =
i

P(A) = 0,8 không đổi ở mỗi lần bắn nên đây là một dãy 3 phép thử Bernoulli với p = 0,8 ;
q = 1 – p = 0,2. Áp dụng công thức Bernoulli, ta được
P(X = 0) = P
3
(0 ; 0,8) = 0,8
0
.0,2
3
= 0,008 ;
0
3
C
P(X = 1) = P
3
(1 ; 0,8) = 0,8
1
.0,2
2
= 0,96 ;
1
3
C
P(X = 2) = P
3
(2 ; 0,8) = 0,8
2
.0,2
1
= 0,384 ;
2

(1) F(x) là hàm khơng giảm và liên tục trái;
(2) 0 ≤ F(x) ≤ 1, ∀ x ∈ ;

(3)
0)(lim =
−∞→
xF
x
(4) ;
1)(lim =
+∞→
xF
x
(5) P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a), với mọi a, b ∈ , a < b.

(6) F(x) đặc trưng cho loại của ĐLNN X theo nghĩa sau
* F(x) gián đoạn khi và chỉ khi X rời rạc;
* F(x) liên tục trên

khi và chỉ khi X liên tục.

Chú ý: Ba tính chất đầu đặc trưng cho hàm PPXS theo nghĩa sau đây: nếu F(x) là hàm số
xác định trên và có các tính chất (1), (2), (3) thì F(x) là hàm phân phối xác suất của
một đại lượng ngẫu nhiên nào đó. Hàm PPXS còn gọi là
hàm tích lũy xác suất
.

Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc hữu hạn có bảng phân phối xác suất như sau
X x
1

nn
n
n
xx
x xx
p
Fx
x xx
pp p
xx
−
−
≤
⎧
⎪
<≤
⎪
⎪
=
⎨
⎪
< ≤
+++
⎪
>
⎪
⎩
,nếu
,nếu
.............

lim
x
Px x X x
x
Δ→+
− Δ≤ ≤
Δ
;
Tất nhiên là trong giả thiết rằng cả hai giới hạn đó tồn tại hữu hạn. Nếu đại lượng
ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất F(x) khả vi thì hàm mật độ XS chính là
đạo hàm của hàm PPXS: f(x) = F’(x), x∈ .


Tính chất
: Hàm mật độ xác suất có các tính chất sau

(1) f(x) ≥ 0, x ∈

;
(2)
∫
;
+∞
∞−
= 1)( dxxf
Ngược lại , một hàm số f(x) có các tính chất (1), (2) phải là hàm mật độ xác suất
của một đại lượng ngẫu nhiên nào đó.
(3) P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) = ;
∫
a

m

P p
1
p
2
… p
m Y y
1
y
2
… y
n

P p’
1
p’
2
… p’
nKhi đó X + Y là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất là

X + Y z
1
z

z
+=

.
Cũn XY l i lng ngu nhiờn ri rc cú bng phõn phi xỏc sut l
X Y z
1
z
2
zs
P p
1
p
2
P
sTrong ú z
k
l cỏc giỏ tr khỏc nhau ca cỏc tớch x
i
y
j
v p
k
=
,
ij k
ij


P
n
Khi ú, , ta xỏc nh cỏc giỏ tr y
i
ca Y=(X) bi
nixy
ii
,1),( ==


Y
(x
1
) (x
2
)

(x
j
)

(x
n
)
P(Y = y
i
) p
1
p

a) Trng hp X+Y

X
Y
0 1 2 X
Y
0,2 0,3 0,5
-1 -1 0 1 0,4 0,008 0,12 0,20
1 1 2 3 0,3 0,06 0,09 0,15
2 2 3 4 0,3 0,06 0,09 0,15
Bng 1 Bng 2
Ti Liu Xỏc Sut Thng Kờ

II.6
Chương 2: Đại Lượng Ngẫu Nhiên Rời Rạc PGS-TS. Lê Anh Vũ

Tài Liệu Xác Suất Thống Kê

II.7
1 và Bảng 2 suy ra
}
0,09 = 0,24 ,
(X+Y = 4) = 0,15.
Vậy, bảng i xá của X+Y là

Từ Bảng
X+Y =
{
,2,1,0,1− ,4,3Từ Bảng 3 và B
XY =
{
,0,1,2 −− ,4,2,1

P (XY = -2) = 0,20 ,
P (XY = -1) = 0,12 ,
P (XY = 0) = 0,08 +
P (XY = 1) = 0,09 ,
P (XY = 2) = 0,15 +
P (XY = 4) = 0,15.
V
XY -2 -1 0 1 2 3
P 0,20 0,12 0,20 0,09 0,24 0,15