SKKN: "Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình."
MỤC LỤC

PHẦN I
PHẦN MỞ ĐẦU Trang2
1
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trang 2
2
MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Trang 3
3
PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Trang 5
4
GIỚI HẠN CỦA PHƯƠNG PHÁP
Trang 6
5
KẾ HOẠCH THỰC HIỆN
Trang 6
6
THỜI GIAN NGHIÊN CỨU
Trang 6
PHẦN II
NỘI DUNG ĐỀ TÀI Trang 7
Chương I
CƠ SỞ LÝ LUẬN
Trang 7
Chương II
THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
Trang 9

phương trình, hệ phương trình trong đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi không
phải là đơn giản cho học sinh. Mà đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng, kỹ xảo trong
thuật toán biến đổi. Một trong những kỹ năng biến đổi, giải phương trình, hệ
phương trình là ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số.
- Trong chương trình toán THPT, cụ thể là phân môn Đại số và giải tích 10,
11, 12 các em học sinh đã được tiếp cận với phương trình, hệ phương trình với
nhiều phương pháp giải.Tuy nhiên trong thực tế các bài toán giải phương trình,
hệ phương trình rất phong phú và đa dạng và đặc biệt là trong các đề thi Đại học
- Cao đẳng và trung học chuyên nghiệp, các em sẽ gặp một lớp các bài toán về
phương trình, hệ phương trình đòi hỏi sử dụng phương pháp hàm số để giải. Chỉ
có số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lúng túng chưa được
gọn gàng, sáng sủa, thậm chí còn không có hướng giải quyết. Tại sao lại như
vậy?
- Lý do chính ở đây là: Trong chương trình SGK Đại số và giải tích THPT hiện
hành. Phương trình, hệ phương trình được trình bày ở cả 3 khối. Tuy nhiên đó là
những dạng đơn giản, khác xa với đề thi Đại học, cao đẳng, đề thi học sinh giỏi.
Bài tập SGK đưa ra sau bài học cũng rất hạn chế. Mặt khác do số tiết phân phối
chương trình cho phần này ít nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên không
thể đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học
sinh. Nhưng trong thực tế, để biến đổi và giải chính xác phương trình, hệ phương
trình đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ
cao và phải có năng lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thuần thục.Ngoài ứng dụng
tính đơn điệu của hàm số để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số thì tính chất này còn
Lê Nguyên Huấn- THPT Triệu Sơn 5
2
SKKN: "Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình."
được vận dụng để giải rất nhiều dạng toán như: Chứng minh bất đẳng thức, giải
phương trình, hệ
phương trình, Những bài toán sử dụng phương pháp hàm số để giải thường có
cách giải ngắn gọn, hay và độc đáo.

3
f: đơn điệu
f(x
o
)=0
SKKN: "Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình."
sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn
diện
cũng như phương pháp giải một số các bài toán về giải phương trình, hệ
phương trình bằng sử dụng tính chất đơn điệu.
1. Cơ sở lí luận:
Để giải các dạng bài tập về giải phương trình, hệ phương trình bằng phương
pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số thường dựa trên các nguyên tắc sau:
a. Giải phương trình:
Bài toán: giải PT: “h(x) = g(x)” (1)
• Để chứng minh (1) có nghiệm duy nhất ta tiến hành như sau:
B1: Biến đổi phương trình (1) về dạng f(x) = 0 (2), với f(x) = h(x) – g(x).
B2: CM: nếu



thì : x = x
o
là nghiệm duy nhất của PT.
• Để biến đổi phương trình (1) có dạng phức tạp thành phương trình :
U(x)=V(x) có dạng đơn giản, đã có phương pháp giải, ta tiến hành như sau:
Bước 1: Biến đổi phương trình (1) về dạng:
( ) ( )
f u x f v x
   

F(x,y) = 0
G(x,y)= 0
(I)
x = y
G(x,y)= 0
(II)
u(x) = v(y)
G(x,y)= 0
(III)
SKKN: "Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình."
Chính lẽ đó mà đại đa số học sinh sử dụng phương pháp này một cách máy móc
hoặc chưa biết sử dụng.
Đối với học sinh khá giỏi việc tiếp cận phương pháp này để giải toán là một
vấn đề cần thiết giúp cho các em có kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải bài tập bằng
phương pháp hàm số đồng thời chuẩn bị cho các em một kiến thức vững vàng và
đạt kết quả cao trong các kì thi đại học, cao đẳng.
Đó là lí do tôi chọn đề tài này.
III.Phương pháp nghiên cứu:
1. Kiến thức trang bị:
* Định nghĩa: cho f(x) xác định trên K
f: đồng biến trên
)()(,
212121
xfxfxxKxxK
<⇒<∈∀⇔
f: nghịch biến trên
)()(,
212121
xfxfxxKxxK
>⇒<∈∀⇔

- Phương pháp 2: Dùng định lý
+Tính chất 1:f đồng biến trên K
⇔
,
,
( ) 0
( ) 0
f x
f x

≥


=


x K
∀ ∈
. Tại hữu hạn điểm trên K
+ Tính chất 2: f nghịch biến trên K
,
,
( ) 0
( ) 0
f x
f x

≤

⇔

học sinh lớp 11-12 khi đã học xong đạo hàm, học sinh ôn thi đại học và ôn thi
học sinh giỏi.
V. KẾ HOẠCH THỰC HIỆN:
- Giáo viên nên dạy phương pháp này vào những tiết tự chọn hoặc những tiết
bài tập chính khoá. Giáo viên có thể cho học sinh nhiều bài tập về nhà để
học sinh nghiên cứu, chuyên sâu tạo kỹ năng làm toán.
- Giáo viên có thể dạy phương pháp này cho cả 3 khối 10, 11, 12, nhưng hiệu
quả cao nhất là học sinh ở khối 12. Vì ở lớp cuối cấp học sinh được trang bị
kiến thức về hàm số một cách khá đầy đủ.
- Giáo viên dạy phương pháp này như một chuyên đề trong các lớp luyện thi
đại học và ôn thi học sinh giỏi.
VI. THỜI GIAN NGHIÊN CỨU
Trong suốt thời gian trực tiếp giảng dạy tại trường THPT Triệu Sơn 5 từ năm
2002 đến nay.
Lê Nguyên Huấn- THPT Triệu Sơn 5
6
SKKN: "Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình."
PHẦNII: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CỞ SỞ LÝ LUẬN
Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và
hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào
tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức
phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời
sống của con người. Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với
kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này.
- Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học
ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng
dạng bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải
có tư duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và
nghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ

toán.
- Không thuộc vào dạng bài tập đã được học phương pháp giải được trình bày
trong SGK phổ thông.
- Mối liên hệ hai của hai vế của một phương trình, khác biệt nhau chúng ta
không thể dùng các phép biến đổi để đưa PT về dạng quen thuộc đã có
phương pháp giải, chẳng hạn:

Khi
giải phương trình: 3
x
+4
x
=5
x
Việc biến đổi lũy thừa để đưa về cùng cơ số hay đặt ẩn phụ sẽ không thực
hiện được cho nên chúng ta phải nghĩ ngay đế việc nhẩm nghiệm và sử
dụng phương pháp hàm số để chứng minh nghiệm duy nhất.

Khi giải phương trình: 2
x
= 1-x
Ta thấy vế trái của phương trình chứa lũy thừa, vế phải của phương trình
chứa đa thức cho nên việc biến đổi thông thường để tìm ra nghiệm của bài
toán là không thực hiện được, chính lẽ đó ta phải nghĩ ngay đến tính đơn
điệu của hàm số để giải.
2. Bước 2: Thiết lập hàm số:
Thực hiện bước này khá đơn giản, nhưng yêu cầu học sinh phải biết biến
đổi phương trình, hệ phương trình về dạng thích hợp: f(x)=f(y); f(u(x))=
f(v(y))… thì quy tắc f chính là hàm số ta cần xác lập.
3. Bước 3: Chứng minh tính chất đơn điệu của hàm số

,
( ) 0
( ) 0
f x
f x

≥


=


x K
∀ ∈
. Tại hữu hạn điểm trên K
+Tính chất 2: f nghịch biến trên K
,
,
( ) 0
( ) 0
f x
f x

≤

⇔

=



rất hoang mang khi gặp những bài phương trình, hệ phương trình mà trước kia là
những bài dễ được điểm, thì bây giờ gặp không ít khó khăn vì phải sử dụng
phương pháp hàm số để giải.
- Giải bài toán bằng phương pháp hàm số đây là một phương pháp
hay, độc đáo giúp cho việc giải quyết vấn đề một cách nhanh gọn.
- Các bài tập dùng phương pháp này để giải thông thường là các bài
tập ở dạng nâng cao, khó và thuộc dạng không mẫu mực cho nên học sinh rất
khó nhận dạng và thiết lập tương quan hàm số.
- Số lượng bài tập SGK dùng phương pháp hàm số để giải quá ít.
- Phương pháp hàm số được xem là phương pháp giải toán hiện đại,
phương pháp này sử dụng rất hay nhưng không thể dạy phổ biến ở bậc THPT.
- Khả năng vận dụng phương pháp bị hạn chế ở các học sinh trung
bình và yếu, chỉ có hiệu quả cao đối với học sinh khá và giỏi.
- Ở bậc THPT, bài tập SGK còn quá ít nên học sinh được học một
cách qua loa.Trong khi đó các đề thi tuyển sinh của một số năm gần đây hay đưa
ra những bài toán phải sử dụng phương pháp này để giải.
CHƯƠNG III: CÁC BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Nhằm giúp cho học sinh có kĩ năng giải bài bằng phương pháp hàm số, giúp cho
các em có kiến thức vững vàng và có kết quả cao trong các kì thi tuyển sinh.
- Giáo viên nên mạnh dạn giới thiệu phương pháp này cho học sinh
từ năm lớp 10, 11, 12. Giáo viên phải dựa vào trình độ của khối lớp để có thể
đưa ra các dạng bài tập từ cấp độ thấp đến cấp độ cao mang tính vừa sức, giúp
cho các em quen dần với phương pháp này.
- Đối với học sinh ôn thi học sinh giỏi và ôn thi đại học cần tạo thành
chuyên đề rõ ràng, học sinh biết nhận dạng và có kỹ năng làm bài tốt.
CHƯƠNG IV: CÁC DẠNG TOÁN CỤ THỂ.
1.Phương trình:
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
Lê Nguyên Huấn- THPT Triệu Sơn 5
10

+ 4
x
= 5
x
(1)
(1)
⇔
3 4
1
5 5
x x
   
+ =
 ÷  ÷
   
Vế trái: là hàm số nghịch biến
Vế phải là hàm hằng
Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình (1)
Cách 2: (1)
⇔
3 4
1
5 5
x x
   
+ =
 ÷  ÷
   
Xét f(x) =
3 4

⇒ x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình (1).
Các ví dụ b, c giải tương tự
Ví dụ 2: (Đề ôn thi đại học của tạp chí toán học tuổi trẻ tháng 12-2012)
Giải phương trình:
2
2
3
2
1
log 3 2
2 2 3
x x
x x
x x
+ +
= − +
− +
(1)
Cách giải:
Nhận dạng: Nếu đặt
2
2
1
2 2 3
u x x
v x x

= + +



2
1u x x= + +
> 0
x
∀
2
2 2 3v x x= − +
>0
x
∀
⇒ v - u =
2
3 2x x− +
Phương trình (1)
⇔
3
log
u
v u
v
= −
= log
3
u +u = log
3
v +v (2)
Xét hàm số f(t) =
3
log t t+
, t > 0

2x 1 3
+ −
= ∈
+
+ −
¡
Cách giải:
ĐKXĐ:
x 1
x 13
≥ −


≠

Phương trình đã cho tương đương với
( )
( )
3
x 2 x 1 2 2x 1 3+ + − = + −
( )
3
x 1 x 1 x 1 2x 1 2x 1 (1)⇔ + + + + = + + +
Xét hàm số
( )
3
f t t t= +
;
( )
2

x
2

≥ −


=


≥ −

≥ −
  

=

⇔ ⇔ ⇔ ⇔
  
+

=

  
− − =
+ = +

±




( ) ( )
2 2
3x 2 3 (3x) (x 1) 2 3 (x 1)⇔ + + = + + + +
(2) Xét hàm số
2
f (t) t(2 3 t ) , t= + + ∀ ∈¡
, hàm số liên tục trên
¡

( ) ( )
2
2 2
2 2
t t
f '(t) 2 3 t t 2 3 t 0
3 t 3 t
   
= + + + = + + + >
 ÷  ÷
+ +
   
,
t∀ ∈¡
f (t)⇒
đồng biến trên
¡
. Do đó (2)
1
3x x 1 x
2

. Đặt u = 2x;
5 2v y= −
Pt (1) trở thành u(u
2
+ 1) = v(v
2
+1) ⇔ (u - v)(u
2
+ uv + v
2
+ 1) = 0 ⇔ u = v
Nghĩa là :
2
3
0
4
2 5 2
5 4
2
x
x y
x
y

≤ ≤


= − ⇔

−

−
< 0
Mặt khác :
1
7
2
f
 
=
 ÷
 
nên (*) có nghiệm duy nhất x =
1
2
và y = 2.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x =
1
2
và y = 2
Ví dụ 6: ( Đề thi HSG Tỉnh Thanh Hoá 2013)
Lê Nguyên Huấn- THPT Triệu Sơn 5
13
SKKN: "Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình."
Giải hệ phương trình
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 1 2 2 1
1 4 .5 1 2 1
ln 3 ln 3 2

   
 
 
(3).Xét hàm số
( )
1 4
5 1 2.2
5 5
t t
t
f t
 
   
= + − −
 
 ÷  ÷
   
 
 
trên
¡
ta có
( )
1 1 4 4
' 5 ln .ln 2.2 ln 2 0
5 5 5 5
t t
t
f t t
 

3 1
ln 0
2 2 4
x x
x
+ −
 
⇔ + =
 ÷
+
 
(5)
Xét hàm số
( )
3 1
ln
2 2 4
x x
g x
x
+ −
 
= +
 ÷
+
 
với
1x > −
, ta có
( )

trên
( )
1;− +∞
là:
Từ BBT, suy ra
( )
0 1g x x= ⇔ =
.
Do đó
1y =
. Vậy hệ có nghiệm
( ) ( )
; 1;1x y =
.
Ví dụ 7: ( Đề thi thử ĐH Chuyên Hà Tĩnh 2013)
Giải hệ phương trình:
2 2
3 3 (1)
12 (2)
x y
y x
x xy y

− = −


+ + =


(I)

Lê Nguyên Huấn- THPT Triệu Sơn 5
14
SKKN: "Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình."
Xét hàm số: f(t) = 3
t
+ t ⇒ f’(t) = 3
t
ln3 + 1 >0
∀
t
∈
¡
⇒ f(t) là hàm đồng biến, (3)
⇔
f(x) = f(y)
⇔
x = y
Nên (I)
⇔

2 2

12
x y
x xy y
=


+ + =


1
( 1) ( )
2
( )
1
( 1)
2
x y y y
x f y
y z z z y f z
z f x
z x x x

= + + −

=


 
= + + − ⇔ =
 
 
=


= + + −


Xét hàm số f(t) =
3 2

- 1) = 0
⇔

1
1
x y z
x y z
= = =


= − = =

Hệ có nghiệm (x,y,z)
( ) ( )
{ }
1,1,1 ; 1, 1, 1∈ − − −
Ví dụ 9: (Tạp chí toán học tuổi trẻ tháng 5- 2012)
Giải hệ
2 3 4 4 (1)
2 3 + 4 = 4 (2)
x y
y x

+ + − =


+ −


(I)

⇒ f’(t) =
1 1
0
2 3 4t t
+ >
+ −

∀
t
∈
(-
3
2
;4)
⇒ f(t) đồng biến trên (-
3
2
;4)
(3)
( ) ( )
yxyfxf
=⇔=⇔
Suy ra:
4432 =−++ xx
(pt vô tỉ dạng cơ bản)
Giải pt được 2 nghiệm : x=3, x=
9
11
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ có 2 nghiệm (3; 3),

(1)
Hướng dẫn:
+) Với
0y ≤
thì
( )
1 0VT >
,
( )
1 0VP ≤
⇒
Hệ phương trình chỉ có nghiệm
( )
,x y
với
y
0>
.
+) Vì
0y >
nên từ phương trình (2) của hệ suy ra
2x >
.
Khi đó:
( )
(
)
2 2 2 2
1 1 3 2 2 4 1 1x x y x y y⇔ + − + = + −


1
t
f t t
t
= + + + >
+
với mọi
0t
>

( )
f t⇒
là hàm đồng biến trên
( )
0;+∞
. Mà
( )
1
2f f y
x
 
=
 ÷
 
1
2y
x
⇔ =
1
2

1
, 4;
8
x y
 
=
 ÷
 
Ví dụ 11: (Đề thi ĐH khối A-A
1
năm 2012)
Giải hệ phương trình
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y

− − + = + −


+ − + =


(x, y ∈ R).
Cách giải: Hệ tương đương với
3 2 3 2
2 2


− − = + − + − +



+ =

Xét hàm f(t) =
3 2
3 45
2 4
t t t− −
có f’(t) =
2
45
3 3
4
t t− −
< 0 với mọi t thỏa t≤ 1
⇒ f(u) = f(v + 1) ⇒ u = v + 1 ⇒ (v + 1)
2
+ v
2
= 1 ⇒ v = 0 hay v = -1 ⇒
0
1
v
u
=


2
x
= x
log
2
5
b.
(
)
( )
(
)
2 2
3 9 1 2 2 4 03 2 x x x xx + + + + + =+ −
c. 2
x
=1+ 3
x/2
d. (x+3).log
2
3
(x+2) + 4(x+2).log
3
(x+2) = 16
e. 2
x+1
- 4
x
= x-1
Bài 2: Tìm nghiệm dương của phương trình:




=+
+−=−
2
222
22
yx
xyxy
yx
c)



=+−−+
−=−
0626
lnln
22
yxyx
xyyx
d)





+=+
+=+

ax b
cx d
+
+
SKKN: "Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình."
1. Kết luận:
Trên đây là những giải pháp mà tôi đúc rút được trong suốt quá trình giảng dạy
tại trường THPT Triệu Sơn 5. Phương trình, hệ phương trình là một nội dung
quan trọng trong chương trình môn toán lớp THPT nói chung. Nhưng đối với
học sinh đang ôn thi đại hoc, ôn thi HSG lại là một mảng tương đối khó, đây
cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm.
- Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy từ lớp 10
đến lớp 12, được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải
phương trình, hệ phương trình. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có
hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ
năng giải các bài tập. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt.
- Giải toán bằng “ Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương
trình, Hệ phương trình.” nói riêng và ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để
giải toán là phương pháp rất hay, độc đáo, đã được sử dụng rất lâu, nhưng do
không được phổ biến ở bậc THPT. Qua quá trình tham khảo, học hỏi ở các bậc
thầy đi trước, tôi sử dụng phương pháp này để dạy cho học sinh và nhận thấy có
hiệu quả cao đối với học sinh. Tôi xin phép được mạnh dạn đưa ra ý tưởng này
để các bạn đồng nghiệp và các em học sinh tham khảo. Sáng kiến kinh nghiệm
này chỉ giới thiệu một phần nhỏ trong ứng dụng phương pháp hàm số để giải
toán và đã được các giáo viên trong tổ toán cùng học sinh trong trường hưởng
ứng cao. Mong rằng các đồng nghiệp phát triển thêm để tính đầy đủ của chuyên
đề được cao hơn. Rất mong sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp, đọc giả để
tính khả thi cao hơn.
2. Kiến nghị và đề xuất:
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có