PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài:
Trong cuộc sống việc vận dụng các yếu tố có liên quan đến toán
học là một vấn đề không thể thiếu, không thể không đề cập tới. Vậy có
thể khẳng định rằng: “ Toán học có một tầm quan trọng rất lớn và chiếm
một vị trí hết sức đặc biệt trong đời sống thực tế của con người ”.
Chính vì thế mà trong chương trình giáo dục phổ thông, Toán học
luôn luôn được chú trọng và được dành một thời lượng rất lớn cho
chương trình dạy - học môn toán ở trong các nhà trường.
Với vai trò là những người giáo viên, người làm công tác giáo dục
thì việc thấm nhuần và thực hiện tốt phương châm giáo dục của Đảng là
hết sức cần thiết “ Đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài ”. Nên việc nêu
lên những định hướng và giải pháp phù hợp với yêu cầu giáo dục ở phổ
thông nói chung và ở Tiểu học nói riêng, nhằm giúp học sinh hình thành,
1
rèn luyện những kĩ năng cần thiết và phát triển năng lực tư duy toán học
là một công việc thường xuyên, cập nhật và luôn phải được coi trọng
không thể xem nhẹ được.
Hiện nay trong các cấp học phổ thông nói chung và cấp Tiểu học
nói riêng, việc dạy - học môn toán đã có nhiều tiến bộ, đã có nhiều đổi
mới theo hướng tích cực hơn. Hoạt động giảng dạy của giáo viên hay
hoạt động học tập của học sinh đều được chú trọng và đạt hiệu quả khá
tốt. Việc áp dụng phương pháp dạy học mới nhằm phát huy tối ưu tính
tích cực, sáng tạo của học sinh, dạy - học lấy học sinh làm nhân vật trung
tâm đã được nhiều đồng chí giáo viên khai thác, áp dụng hết sức thành
công.
Song bên cạnh đó cũng còn không ít tồn tại, thiếu sót, việc dạy -
học thụ động, đối phó vẫn còn xảy ra. Việc chú trọng tìm ra cách dạy –
cách học hợp lý nhằm để phát triển đúng năng lực tư duy học toán cho
học sinh và điều đặc biệt hơn việc xác định rõ vai trò thiết yếu, tầm quan
trọng đặc biệt của mỗi dạng toán lại chưa được giáo viên chú trọng, ngay

nhiên một cách chính xác nhất đó là: tìm được các cặp thừa số 2 x 5 để
khẳng định số chữ số 0 tận cùng trong tích đó.
4
4. Đối tượng, nội dung nghiên cứu:
Nghiên cứu "Cách tìm số chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự
nhiên"
5. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp vấn đáp
- Phương pháp thực hành
- Phương pháp quan sát
- Phương pháp điều tra, thống kê.
6. Khách thể nghiên cứu:
Học sinh khá, giỏi khối 4+5 trường tiểu học Cẩm Long 1, xã Cẩm
Long, huyện Cẩm Thủy, tỉnh Thanh Hóa.
5
7. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu:
Do thời gian và năng lực có hạn nên bản thân chỉ nghiên cứu về
cách tìm số chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự nhiên trong thời
gian từ tháng 8 năm 2012 đến hết tháng 3 năm 2013.
Kế hoạch cụ thể:
- Từ 15/08/2012 đến 05/09/2012 tìm nội dung nghiên cứu.
- Từ 06/09/2012 đến 30/09/2012 điều tra thực trạng giáo viên và
học sinh.
- Từ 01/10/2012 đến 15/11/2012 nghiên cứu tìm ra phương pháp,
hướng dẫn học sinh thực hành theo phương pháp mới. Đánh giá và so
sánh kết quả trước và sau khi thực hiện phương pháp mới.
- Từ 16/11/2012 đến 15/03/2013 hoàn thành sáng kiến kinh
nghiệm.
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN

Bên cạnh đó có nhiều giáo viên chưa nắm vững cách tìm số chữ số
0 tận cùng trong một tích các số tự nhiên với lý do: Nhầm lẫn khi chỉ xét
số các thừa số 5 hoặc số các thừa số 2 trong 1 tích để đưa ra kết quả số
chữ số 0 tận cùng trong tích mà không xét đến số cặp thừa số (2 x 5)
trong tích đó. Vì vậy kết quả của bài toán không chính xác. Để tìm được
số chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự nhiên thật chính xác chúng
ta cần phải phân tích và tìm được tất cả các cặp thừa số 2 x 5 trong tích
đó.
Cụ thể như các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho tích : 1 x 8 x 7 x 5 x 10 x 15 x 25 x 27 x 29 x 31 x 33
x 37.
Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số
nào ?
Nếu không chú ý đến số thừa số 2 mà chỉ dựa vào số thừa số là 5
thì bài toán này sẽ tính được 5 chữ số tận cùng của tích giống nhau và
9
đều là chữ số 0 (trường hợp này sai với kết quả thực của tích ). Vì số
thừa số 5 nhiều hơn số thừa số 2 sau khi phân tích.
Kết quả đúng phải là:
Giải :
Ta thấy tích trên có thể viết :
1 x 8 x 7 x 5 x 10 x 15 x 25 x 37 x 99 x 41 x 43 x 47
= 8 x 5 x 10 x 15 x 25 x (1 x 7 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47 )
= 2 x 2 x 2 x 5 x 2 x 5 x 3 x 5 x 5 x 5 x ( 1 x 7 x 37 x 39 x 41 x 43 x
47).
Như vậy căn cứ vào số thừa số là số chẵn và số thừa số là 5 ( có 4
thừa số là 2 và 5 thừa số là 5 ). Vậy tích trên có 4 chữ số tận cùng giống
nhau và đều bằng 0.
Bài này số lượng các thừa số là 5( bằng 5 ) nhiều hơn số thừa số là
2 (bằng 4 ) nên có 4 chữ số tận cùng giống nhau và đều là chữ số 0.

12
Dạng toán : Tìm số chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự
nhiên cũng không phải là trường hợp ngoại lệ, trong cách trình bày còn
có rất nhiều hạn chế, cách viết còn phiến diện, chung chung, không cụ
thể. Các bài tập đưa ra phương pháp giải chưa gãy gọn, mới xét đến
trường hợp số thừa số là 5 ít hơn số thừa số là 2 có trong tích để tìm số
chữ số tận cùng bằng 0, chứ chưa chú trọng hết tất cả các trường hợp
có thể xảy ra trong dạng toán này liên quan đến kết quả của tích.
(Chẳng hạn : Nhiều bài tập cụ thể ở dạng toán này thì không chỉ căn
cứ vào số thừa số 5 trong tích để xét số chữ số 0 tận cùng là được như
tài liệu đề cập, mà phải xét đến số thừa số là 2 tham gia trong tích
khi trường hợp số thừa số chẵn là 2 ít hơn số thừa số là 5 ).
Để kiểm chứng tính thuyết phục và triết lí đưa ra của sáng kiến,
trước khi triển khai thực nghiệm, bản thân tôi đã tổ chức khảo sát chất
lượng học sinh khá giỏi ở khối 4 + 5 của nhà trường
* KẾT QUẢ KIỂM TRA HỌC SINH ĐẦU NĂM :
13
T
T
KHỐI
LỚP
SỐ
LƯỢN
G HS
KHÁ
GIỎI
KẾT QUẢ
G K TB Y
SL TL SL TL SL TL SL TL
1 Khối 4 15 0 0 2

1. Cung cấp cho học sinh một số kiến thức có liên quan đến
dạng toán.
- Tích một số chẵn với một số có tận cùng là 5 thì kết quả của tích
có tận cùng là chữ số 0.
- Tích các thừa số trong đó có ít nhất một thừa số có tận cùng bằng
0 thì tích đó có tận cùng là chữ số 0.
- Một số tự nhiên có tận cùng bằng 5 thì số đó chia hết cho 5.
- Một số tự nhiên có tận cùng bằng 0 thì số đó chia hết cho 2 và 5.
- Một số chẵn có thể phân tích thành tích của một hay nhiều thừa số
2 với thừa số khác.
15
- Trong một tích có chứa thừa số 2 và có chứa thừa số 5, thì cứ một
cặp thừa số ( 2 x 5 ) cho ta một chữ số 0 tận cùng.
2. Xác định rõ từng dạng bài cụ thể trong dạng toán tìm số chữ
số 0 tận cùng trong một tích các số tự nhiên.
Đối với dạng toán này chúng ta cần xác định được từng dạng bài
như sau:
a. Dạng bài thứ nhất: Tích chứa các thừa số đều là số lẻ trong đó
có chứa thừa số là 5 hoặc không có chứa thừa số 5.
Ví dụ : Tích: 1 x 3 x 5 x 7 x 11 x 15 x 19 x 21 x 99.
hoặc 3 x 7 x 9 x 11 x 13 x 17 x 33 x 39 x 41 x 49
b. Dạng bài thứ hai: Tích có chứa các thừa số chẵn và các thừa số
lẻ nhưng không chứa thừa số là 5 hoặc khi phân tích các thừa số khác
trong tích cũng không có thừa số là 5.
Ví dụ: 2 x 4 x 7 x 12 x 13 x 17 x 22 x 23 x 24 x 26 x 27 x 29
16
c. Dạng bài thứ ba: Tích có các thừa số chẵn và các thừa số là lẻ,
trong đó có chứa thừa số 5 ( hoặc khi khai triển có chứa thừa số là 5 ) .
Ví dụ: Tích: 1 x 16 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47.
hoặc ( 4 x 6 x 8 x 12 ) x ( 5 x 15 x 25 x 35 x 45 x 55 x 65 )

c. Dạng bài thứ ba: Tích có các thừa số chẵn và các thừa số là lẻ,
trong đó có chứa thừa số 5 ( hoặc khi khai triển có chứa thừa số là 5 ).
Đối với dạng bài này chúng ta cần xét ba trường hợp:
* Trường hợp 1: Số các thừa số 2 và các thừa số 5 trong một tích
sau khi phân tích mà bằng nhau thì số chữ số 0 tận cùng bằng chính số
lượng của các thừa số 2 hoặc thừa số 5 trong tích đó.
Ví dụ 1: Cho tích:
A = 1 x 16 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47.
Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số
nào?
19
Chúng ta phân tích như sau:
- Trong tích A có bao nhiêu thừa số chẵn? ( 2 thừa số là 16 và 10 ).
- Trong tích A có bao nhiêu thừa số có tận cùng bằng 5 ? ( 3 thừa
số là 5; 15; 25 ).
- Tìm cách phân tích các thừa số chẵn thành tích các thừa số chẵn
khác 0 nhỏ nhất ( bằng 2 ) và các thừa số khác; phân tích các thừa số có
tận cùng bằng 5 thành tích các thừa số 5 và các thừa số lẻ khác.
- Đếm các thừa số là 2 hoặc các thừa số là 5 để tìm số chữ số tận
cùng giống nhau và là chữ số nào.
Giải :
Ta thấy tích trên có thể viết :
A = 1 x 16 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47
A = 16 x 5 x 10 x 15 x 25 x (1 x 3 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47 )
A = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 2 x 5 x 3 x 5 x 5 x 5 x (1 x 3 x 37 x 39 x 41 x 43
x 47).
Như vậy căn cứ vào số thừa số là số là 2 hoặc số thừa số là 5 (có 5
thừa số là số 2 và 5 thừa số là 5 ). Vậy tích trên có 5 chữ số tận cùng
giống nhau và đều là chữ số 0.
20

nào ?
Giải :
Ta thấy tích trên có thể viết :
22
C = 1 x 4 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47
C = 4 x 5 x 10 x 15 x 25 x ( 1 x 3 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47 )
C = 2 x 2 x 5 x 2 x 5 x 3 x 5 x 5 x 5 x ( 1 x 3 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47).
Như vậy căn cứ vào số thừa số là 2 ( có 3 thừa số là 2 ). Vậy tích
trên có 3 chữ số tận cùng giống nhau và đều là chữ số 0.
Bài này phải căn cứ vào số lượng các thừa số là số chẵn chứ
không căn cứ theo các thừa số là 5 được, vì thừa số chẵn ít hơn thừa số
5.
* Trường hợp 3: Nếu số thừa số 5 tham gia trong tích ít hơn số
thừa số 2 (sau khi phân tích) thì số chữ số 0 tận cùng của tích chính bằng
số thừa số 5 tham gia trong tích
Ví dụ: Cho tích P = 2000 x 2001 x 2002 x … x 2008 x 2009.
Hỏi P có bao nhiêu chữ số 0 tận cùng bên phải ?
Giải
Ta thấy tích P có thể viết :
23
P = 2000 x 2001 x 2002 x … x 2008 x 2009
P = 2000 x 2002 x2004 x 2005 x 2006 x 2008 x 2001 x 2003 x 2007 x
2009
P = 16 x 5 x 5 x 5 x 2002 x 2004 x 401 x 5 x 2006 x 2008 x 2001 x 2003
x 2007
x 2009.
Ta thấy tích này có số thừa số 2 nhiều hơn số thừa số 5 (sau khi
phân tích) nên số chữ số 0 tận cùng của tích phụ thuộc vào số thừa số 5
tham gia trong tích. (Tích có 4 thừa số là 5) vậy tích trên có 4 chữ số 0
tận cùng.