Đề tài nghiệp vụ s phạm - Môn Toán - Năm học: 2008-2009
Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên
A.Đặt vấn đề
I, Lý DO CHọN Đề TàI
Chúng ta đều biết rằng toán học là cơ sở của mọi ngành khoa
học, vì thế môn toán đóng một vai trò quan trọng trong nhà trờng.
Thông qua môn toán, học sinh nắm vững các kiến thức toán học, từ
đó dễ dàng học tập các môn học khác để ứng dụng những kiến thức
đã học vào các ngành khoa học kĩ thuật, ứng dụng trong lao động,
trong quản lý kinh tế, trong việc tự học, tự nghiên cứu khoa học
Để giúp HS học tốt môn toán đòi hỏi ngời thầy giáo phải có sự lao
động sáng tạo nghiêm túc.
Học sinh học toán,một khoa học rất sáng tạo và hấp dẫn đòi
hỏi HS phải tích cực chủ động tiếp cận kiến thức mới dới sự hớng
dẫn của GV. Chính vì vậy trong quá trình dạy tôi đã cố gắng dạy
cho HS cách định hớng phơng pháp giải bài tập trớc mỗi dạng bài.
Là một giáo viên dạy toán THCS, trong những năm qua tôi
đã đặt ra cho mình một nhiệm vụ là phải nghiên cứu tìm ra
những phơng pháp thích hợp cho giảng dạy , những vấn đề
cụ thể phù hợp với đối tợng thực tế. Một trong những
chuyên đề mà tôi tâm đắc nhất là
" M ộ t s ố p h ơ n g p h á p t ìm chữ số tận cùng của một
số tự nhiên " .
Tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên là dạng toán hay và
khó. Đa số các tài liệu về dạng toán này đều sử dụng khái niệm
đồng d, một khái niêm trừu tợng và không có trong chơng trình. Vì
thề có không ít học sinh, đăc biệt là các bạn lớp 6và lớp7 khó có
thể hiểu và tiếp thu đợc.
Qua đề tài này, tôi xin trình bày với các bạn thêm một số tính
chất và phơng pháp giải bài toán tìm chữ số tận cùng, chỉ sử
dụng kiến thức THCS.

hơn.
- Nghiên cứu về bài toán tôi đa ra đợc các phơng pháp giải bài tập
khác nhau để các em giải bài tập cụ thể một cách dễ ràng hơn. Khi
đó học sinh sẽ có đợc phơng pháp phân tích t duy tổng hợp toán
học, nâng cao năng lực giải toán và có nghị lực vợt khó để giải bài
toán.
- Qua thực tế giảng dạy học sinh giỏi, tôi nhận thấy học sinh còn
lúng túng trong cách tìm chữ số tận cùng. Từ đó tôi đã tìm hiểu các
Ng ời thực hiện: Nguyễn Văn Tú - Giáo viên Tr ờng THCS Thanh Mỹ-Thanh
Ch ơng- Nghệ An
Trang số 2
Đề tài nghiệp vụ s phạm - Môn Toán - Năm học: 2008-2009
Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên
tài liệu để phân dạng cho học sinh các cách làm dễ hơn. Mỗi dạng
tôi đa ra cơ sở lý thuyết và một số bài tập cụ thể để các em nắm
chắc hơn các dạng toán và các cách làm đối với những dạng Toán
đó.
- Khi nghiên cứu về dạng toán tìm chữ số tận cùng để tôi
nâng cao năng lực chuyên môn và làm t liệu dạy học sinh giỏi.
III, Đối tợng nghiên cứu
Đề tài Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự
nhiên áp dụng chủ yếu cho học sinh lớp 6 và có thể cho học sinh
các lớp 7,8,9.Mục đích bồi dỡng học sinh khá giỏi, phục vụ cho các
kỳ thi cuối kỳ , cuối năm , thi học sinh giỏi, thi giải toán qua mạng
Internet (Violympic Toán),
IV, Phạm vi và thời gian thực hiện đề tài
Thực hiện đối với học sinh lớp 6A trờng THCS Thanh Mỹ-
Thanh Chơng- Nghệ An.
Thực hiện từ đầu học kỳ I đến cuối năm học 2008-2009.
V, Quá trình thực hiện đề tài


4,5 5

6,5 7

8,5 9

10 %Trên trung bình
8 12 17 3 0 50%
Lời giải còn mang tính chất suy đoán, dài dòng, một số cha làm đợc bài nào .

B.Nội dung
Phần I.Kiến thức cơ bản
Ng ời thực hiện: Nguyễn Văn Tú - Giáo viên Tr ờng THCS Thanh Mỹ-Thanh
Ch ơng- Nghệ An
Trang số 4
Đề tài nghiệp vụ s phạm - Môn Toán - Năm học: 2008-2009
Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên
Phần i.I: Phơng pháp tìm chữ số tận cùng hoặc
một số cuối cùng của một số tự nhiên.
Phơng pháp 1: Dùng cấu tạo số:
I. Cơ sở lý thuyết:
Xem số tự nhiên: A = n
k
với n, k

N.
1. Muốn tìm chữ số tận cùng của A chỉ cần biểu diễn A dới
dạng:
A = 10a + b =

bcd
=
abcd
thì
bcd
là ba chữ số cuối cùng của
A.
- Nếu A = 10
m
.a
m
+
01
aa
m
=
01
aaa
m
thì
01
aa
m
là m chữ số cuối
cùng của A.
2. Vận dụng nghị thức Newtơn:
(a + b)
n
=
ac

Xem số M = 9
k
; k

N
- Nếu k chẵn

k = 2m ta có:
M = 9
2m
= 81
m
= (80 + 1)
m
=(10q + 1)
m
= 10 t + 1 (với m, q, t

N)
Vậy: M có chữ số cuối cùng là 1 nếu k chẵn.
- Nếu k lẻ

k = 2m + 1 ta có:
M = 9
2m+1
= 9
2m
.9 = (10t + 1).9
= 10q + 9 (với m, t, q


)
3
.2
2
= 10q + (10q + 2)
3
. 2
2
= 10t + 2
5
= 10t + 2
Vậy B có chữ số cuối cùng là 2.

Phơng pháp 2: Nhận xét về lũy thừa.
I. Cơ sở lý thuyết: Nhận xét về lũy thừa.
Ng ời thực hiện: Nguyễn Văn Tú - Giáo viên Tr ờng THCS Thanh Mỹ-Thanh
Ch ơng- Nghệ An
Trang số 6
Đề tài nghiệp vụ s phạm - Môn Toán - Năm học: 2008-2009
Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên
- a
n
là một lũy thừa
Các trờng hợp đặc biệt:
1. Các số có dạng:
+ (
0a
)
n
tận cùng bằng 0.

; (
4a
)
4
; (
8a
)
4
tận cùng bằng 6.
2. Các số 3
20
, 81
5
, 7
4
, 51
2
, 99
2
tận cùng 01
26
4
, 6
5
, 18
4
, 24
2
, 68
4

tận cùng là 1
9
2m+1
tận cùng là 9
Suy ra: 9
9
tận cùng là 9, (9 là số lẻ.)
Vậy A = 9
9
9
tận cùng là 9.
Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của: C = 6
2002
, D = 2
2001
.
Giải:
Ta có: 6
1
tận cùng là 6
Ng ời thực hiện: Nguyễn Văn Tú - Giáo viên Tr ờng THCS Thanh Mỹ-Thanh
Ch ơng- Nghệ An
Trang số 7
Đề tài nghiệp vụ s phạm - Môn Toán - Năm học: 2008-2009
Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên
6
2
tận cùng là 6
6
3

1999
; G = 18
177
Giải
*Ta có 7
4
= 2401 tận cùng là 1
M = 7
1999
= (7
4
) = (
1n
).343
=
3c


tận cùng là 3
Vậy M = 7
1999
tận cùng là 3
*Ta có 18
4
=
6n
tận cùng là 6
Suy ra: G = 18
177
= (18


a (mod m)
2. a

b (mod m); b

c (mod m) Suy ra: a

c (mod m)
3.
{
)(mod
)(mod
mba
mdc


suy ra:
)mod(,
)(mod
mdba
mbdac


Hệ quả: a+c

b (mod m)
cba

(mod m)

ƯC (a,b,m) thì: a

b (mod m) suy ra
d
b
d
a
=
(mod
d
m
)
7. Nếu a

b (mod m
1
) và a

b (mod m
2
) suy ra a

b (mod m)
m = BCNN (m
1
, m
2
)
Hệ quả: (m
1

và 2
1000
Giải:
Ng ời thực hiện: Nguyễn Văn Tú - Giáo viên Tr ờng THCS Thanh Mỹ-Thanh
Ch ơng- Nghệ An
Trang số 9
Đề tài nghiệp vụ s phạm - Môn Toán - Năm học: 2008-2009
Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên
Tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên N có nghĩa là phải
tìm số d trong phép chia số N cho 10, tức là tìm số tự nhiên nhỏ
hơn 10 đồng d với N theo mod 10
* Ta có: 6
2
= 36

6 mod 10 suy ra 6
n


6 mod 10
Với N là số tự nhiên khác o
Suy ra: 6
195+

6 (mod 10) Vậy chữ số tận cùng của 6
195
là 6.
* Ta có: 2
1000
= 2


6
250


6 (mod 10)
Nghĩa là chữ số tận cùng của 2
1000
là 6.
Vậy ta vận dụng đồng d vào tìm chữ số tận cùng có nghĩa là tìm
chữ số tận cùng của số N với:
Một chữ số tận cùng là N

a (mod 10) suy ra tận cùng là a:
a < 10
Hai chữ số tận cùng là N

b (mod 100) suy ra tận cùng là b:
b <100
Ba chữ số tận cùng là N

c (mod 1000) suy ra tận cùng là c:c
<1000

m chữ số tận cùng là N

K (mod 10 0) suy
ra tận cùng là K:K <10 0
Ng ời thực hiện: Nguyễn Văn Tú - Giáo viên Tr ờng THCS Thanh Mỹ-Thanh
Ch ơng- Nghệ An

a
r
với r=0,1,2,3
nên từ tính chất 1c suy ra chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận
cùng của a
r
.
Nếu chữ số tận cùng của a là 2,4,8 cũng nh trờng hợp trên từ
tính chất suy ra chữ số tân cùng của x chính là chữ số tận cùng của
6.a
r.
Bài 1 Tìm chữ số tận cùng của 187
324
Giải:
Ng ời thực hiện: Nguyễn Văn Tú - Giáo viên Tr ờng THCS Thanh Mỹ-Thanh
Ch ơng- Nghệ An
Trang số 11
Đề tài nghiệp vụ s phạm - Môn Toán - Năm học: 2008-2009
Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên
Ta thấy các số có tận cùng bằng 7 nâng lên luỹ thừa bậc 4 thì đ-
ợc số có tận cùng bằng 1.Các số có tận cùng bằng 1 nâng lên luỹ
thừa nào (khác 0 ) cũng tận cùng bằng 1. Do đó
187
324
= (187
4
)
81
=( .1)
81

.2
2
=16
25
.4 =( 6).4 = 4
Vậy 8
102
-2
102
tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10
2.Tính chất 2:
Một số tự nhiên bất kì khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n +1(n

N)Thì
chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.
Chữ số tận cùng của một tổng các luỹ thừa đợc xác định bằngcách
tính tổng các chữ số tận cùng của các luỹ thừa trong tổng.
Bài toán 1
Tìm chữ số tận cùng của tổng S=2
1
+3
5
+4
9
+ +2004
8009
Lời giải
Nhận xét : Mọi luỹ thừa trong S đếu có số mũ khi chia cho 4 thì d 1
( các luỹ thừa đều có dạng n
4(n-2)+1

+ +2004
8011
Lời giải :
Nhận xét: Mọi luỹ thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì d 3
(các luỹ thừa đều có dạng n
4(n-2)+3
n

}2,3, ,2004})
Theo tính chất 3 thì 2
3
có chữ số tận cùng là 8 ;3
7
có chữ số tận
cùng là 7 ;4
11
có chữ số tận cùng là 4
Nh vậy , tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng
(8+7+4+5+6+3+2+9)+199.(1+8+7+4+5+6+3+2+9)+1+8+7+4
=200(1+8+7+4+5+6+3+2+9)+8+7+4
=9019
Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9.
Trong một bài toán khác ,việc tìm chữ số tận cùng dẫn đến lời giải
khá độc đáo
Bài toán 2 Tồn tại hay không một số tự nhiên sao cho n
2+
n+1 chia
hết cho 1995
2000
Lời giải : 1995

Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên
Bài toán 3
Chứng minh rằng các tổng sau không thể lá các số chính phơng :
a,)M=19
k
+5
k
+1995
k
+1996
k
(với k chẵn )
b)N=2004
2004k
+2003
Sử dụng tính chất một số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể tận cùng
bằng các chữ số 1;3;7;9; ta tiếp tục giải đợc bài toán :
Bài toán 4
cho p là số nguyên tố lớn hơn 5,
Chứngminh rằng : p
8n
3.p
4n
-4

5
Phần ii.I: Phơng pháp tìm hai chữ số tận cùng hoặc
hai số cuối cùng của một số tự nhiên.
Ph ơng pháp 1 : Nếu x


q

4 ta có :
x = a
m
= a
q
(a
pn
-1) + a
q
Vì a
n-1


25
Mặt khác do (4, 25 ) =1 nên a
q
(a
pn -1
)

100
Vậy hai chữ số tận cùng của a
m
cũng chính là hai chữ số tận cùng
của a
q
Tiếp theo ta tìm chữ số tận cùng của a
q

chữ số tận cùng của a
v
. Tiếp theo ta tìm hai chữ số tận cùng của a
v
Khoảng trong hai trờng hợp trên chìa khóa để giải đợc bài toán này
là chúng ta phải tìm đợc số tự nhiên n. Nếu n càng nhỏ thì q và v
càng nhỏ nên sẽ dễ dàng tìm hai chữ số nên sẽ dễ dàng tìm hai chữ
số tận cùng của a
q
và a
v
Ph ơng pháp 2:
Để tìm hai chữ số tận cùng của một luỹ thừa ,cần chú ý đến những
số đặc biệt:
-Các số có tận cùng bằng 01 ,25 ,76 nâng lên luỹ thừa nào (khác
0)cũng tận cùng bằng 01 ,25 ,76
-Các số 3
20
( hoặc 81
5
) ,7
4
,51
2
,99
2
có tận cùng bằng 01
-Các số 2
20
,6

.343 =( 01)
497
.343
=( .01).343 = .43
Vậy 7
1991
có hai chữ số tân cùng bằng 43
Ng ời thực hiện: Nguyễn Văn Tú - Giáo viên Tr ờng THCS Thanh Mỹ-Thanh
Ch ơng- Nghệ An
Trang số 15
Đề tài nghiệp vụ s phạm - Môn Toán - Năm học: 2008-2009
Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên
Bài 2:Tìm hai chữ số tận cùng của 2
100
Giải:
Chú ý rằng :2
10
=1024 , bình phơng của số có tận cùng bằng 24
thì tận cùng bằng 76, số có tận cùng bằng 76 nâng lên luỹ thừa nào
(khác 0) cũng tận cùng bằng 76. Do đó:
( 2)
100
=(2
10
)
10
=(1024)
10
=(1024
2

(với y,n,q

N)
Vậy C = 2
999
có 2 chữ số tận cùng là 88
* Ta có: 3D = 3
1000
= (3
20
)
50
= (
01k
)
50
=
01z
.
Nên 3D tận cùng là 01 , mà 3.3
999


3

Chữ số hàng trăm của 3
1000

là 2


= (
01a
)
2241
.49 =
01c
.49 =
49n

(với a,c,n

N)
Suy ra M = 7
8966
có hai chữ số tận cùng là 49
b,Ta có 24
2
tận cùng là 76
Suy ra N = 24
7561
= (24
2
)
3765
.24 = (
76m
)
3765
.24 =
76k

có hai chữ số tận cùng là 81.
Bài 5: Tìm hai chữ số tận cùng của số
a, Z = 26
854
b, C = 68
194
Giải
a, Ta có 26
4
có hai chữ số tận cùng là 76

Z = 26
854
= (26
4
)
213
.26
2
= (
76n
)
213
.676 =
76k
.676 =
76c
( Với n, k, c

N )

Vậy C = 68
194
có hai chữ số tận cùng là 24.
Bài 6 Tìm hai chữ số tận cùng của
a. D = 2
999
b. G = 3
999
Giải:
a. Ta có: 2
999
= 2
1000
: 2
Ta có: 2
20
= 1048576

1 (mod 25)
Suy ra: (2
20
)
50


1
50
(mod 25)
2
1000


61.9

49 (mod 100) suy ra 3
100


49
2


1 (mod 100)
Suy ra: 3
1000


01 (mod 100)
Nghĩa là hai chữ số tận cùng của 3
1000
là 01
Số 3
1000


3 nên chữ số hàng trăm của nó khi chia cho 3 phải d 2
(chia tiếp thì số 201 : 3 nếu số d là 0,1 thì 001; 101 không chia hết
cho 3)
Vậy 3
999
= 3



1.9

9 (mod 10) suy ra 9
9


10k + 9 (k
N

)
9
4
= 6561

61 (mod 100)
9
8


61
2


21 (mod 100)
9
100



9
= 29
3


89 (mod 100)
Vậy 9
9
9
có hai chữ số cuối cùng là 89
Bài 8: Tìm chữ số tận cùng của số 1991
1997
; 1997
1996
Giải
a. Ta có: 1991

1 (mod 10) suy ra 1991
1997


1 (mod 10)
Vậy 1991
1997
có chữ số tận cùng là 1
b. Ta có: 1997

7 (mod 10) suy ra 1997
2


Giải:
Ta có : 2
10
+ 1 = 1024 + 1 = 1025 : 25 suy ra 2
10
1

25
Ta lại có 2
1000
1 = ( 2
20
)
50
1

2
20
1 suy ra 2
1000
- 1

25
Do đó 2
1000
chữ số tận cùng là 26 ; 51 ; 76 nhng 2
1000

4
suy ra 2

+ 1 = 10( 9
4
9
3
+ 9
2
9 +1 )
Số : 9
4
+ 9
2
+1 tận cùng là 3
9
3
+ 9 tận cùng là 8
suy ra ( 9
4
9
3
+ 9
2
9 +1) tận cùng là 5

9
4
9
3
+ 9
2
9

3
1000
tận cùng là 01 . Mặt khác 3
1000


3
Suy ra chữ số hàng trăm của 3
1000
phải là 2 ( để 201 chia hết cho 3 )

3
1000
chữ số tận cùng là 201
Ng ời thực hiện: Nguyễn Văn Tú - Giáo viên Tr ờng THCS Thanh Mỹ-Thanh
Ch ơng- Nghệ An
Trang số 20
Đề tài nghiệp vụ s phạm - Môn Toán - Năm học: 2008-2009
Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên
Do đó 3
999
tận cùng là 67.
Bài 11 : Tìm hai chữ số tận cùng của số A = 9
9
9

Giải
A = 9
9
9

n
n
= 10n 1 Số n = 9
9
tận cùng là 9
Suy ra 10n tận cùng là 90

a = 10n 1 tận cùng là 89
Vậy số A = 9
9
9
có hai chữ số cuối cùng là 89.
Bài 12: Tìm hai chữ số tận cùng của số: B = 9
9
9
9
Giải
B = 9
9
9
9
= (10-1) với m = 9
9
9
=
m
m
m
m
m

Phần iii.I: Phơng pháp tìm ba chữ số tận cùng hoặc ba
số cuối cùng của một số tự nhiêntrở lên.
Ng ời thực hiện: Nguyễn Văn Tú - Giáo viên Tr ờng THCS Thanh Mỹ-Thanh
Ch ơng- Nghệ An
Trang số 21
Đề tài nghiệp vụ s phạm - Môn Toán - Năm học: 2008-2009
Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên

Ph ơng pháp 1 . Để tìm ba chữ số tận cùng trở lên của một
luỹ thừa ,cần chú ý rằng:
-Các số có tận cùng bằng 001 ,376 ,625 nâng lên luỹ thừa nào
(khác 0) cũng tận cùng bằng 001 ,376 ,625
-Các số có tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0)
cũng tận cùng bằng 0625.
Bài 1: Tìm bốn chữ số tận cùng của 5
1992
Giải:
5
1992
=(5
4
)
498
=625
498
=0625
498
=( 0625)
Vậy bốn chữ số tận cùng của 5
1992

Ta có: 5
4
= 0625 tận cùng là 0625
5
5
tận cùng là 3125
5
6
tận cùng là 5625
Ng ời thực hiện: Nguyễn Văn Tú - Giáo viên Tr ờng THCS Thanh Mỹ-Thanh
Ch ơng- Nghệ An
Trang số 22
Đề tài nghiệp vụ s phạm - Môn Toán - Năm học: 2008-2009
Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên
5
7
tận cùng 8125
5
8
tận cùng là 0625
5
9
tận cùng là 3125
5
10
tận cùng là 5625
5
11
tận cùng là 8125
5


8 (mod 1000); 2
13


192 (mod 100)
Vậy ba chữ số cuối cùng của 2
13
là 192.
Phần II: Các bài toán ứng dụng
Có thể dùng bài toán tìm chữ số tận cùng để chứng minh chia
hết, nhận xét số có phải là số chính phơng hay không, tìm số d
trong phép chia.
Ng ời thực hiện: Nguyễn Văn Tú - Giáo viên Tr ờng THCS Thanh Mỹ-Thanh
Ch ơng- Nghệ An
Trang số 23
Đề tài nghiệp vụ s phạm - Môn Toán - Năm học: 2008-2009
Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên
Bài 1: Chứng minh rằng tồn tại m

N để số 3
m
tận cùng là
001
Giải
Ta chứng minh tồn tại n

N để 3
n
1


N, 1

i < j

10
3
suy ra: 3
j
3
i


10
3
3
i
(3
j-i
1)

10
3
mà (3
i
,10) =1
(3
i
, 10
3

Xét dãy gồm 1000000 số hạng 3; 3
2
; 3
3
; ; 3
10
6
(*)
Ng ời thực hiện: Nguyễn Văn Tú - Giáo viên Tr ờng THCS Thanh Mỹ-Thanh
Ch ơng- Nghệ An
Trang số 24
Đề tài nghiệp vụ s phạm - Môn Toán - Năm học: 2008-2009
Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên
Chia các số hạng của dãy (*) cho 10
6
thì số d của các phép chia có
thể là
1; 2; 3;; 99999 (Vì 3
n
không chia hết cho 10
6
với mọi n thuộc N)
mà có 1000000 phép chia nên ít nhất có 2 số có cùng số d khi chia
cho 10
6
( Nguyên lý Dirichle)
Gọi 2 số đó là 3
i
và 3
j

6
) = 1

3
j-i
1

10
6
Vậy tồn tại n

N cho 3
n
tận cùng bằng 000001.
Bài 3. Chứng minh rằng 26
1570
chia hết cho 8
Giải:
Ta thấy :26
5
= 11881376 ,số có tận cùng bằng 376 nâng lên luỹ thừa
nào(khác 0) cũng có tận cùng bằng 376.Do đó:
26
1570
=(26
5
)
314
=( 376)
314