PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
A/. Đặt Vấn Đề:
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Là Giáo Viên dạy học môn toán, chúng ta mới thật sự thấy được tầm quan
trọng toán học, nó rất đa dạng và phong phú, thuộc nhiều lĩnh vực nghiên cứu
khoa học cho các ngành nghề. Bất cứ ngành nào nghề nào cũng đòi hỏi phải có
sự tính toán. Muốn tính toán giỏi ta phải học tốt môn toán, từ những con số, rồi
thực hiện các phép tính đơn giản cho đến các phép tính khó.v.v. Vì vậy ta phải
xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện. Bên
cạnh phải giáo dục cho học sinh có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để
đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay. Muốn giải quyết nhiệm vụ quan trọng này,
trước hết Thầy, Cô giáo chúng ta ai cũng phải xây dựng cho mình một phương
pháp dạy thật tốt và thường xuyên cải tiến phương pháp giảng dạy cho phù hợp
với từng nội dung, điều kiện giảng dạy vào các đối tượng tham gia học tập, nhằm
tạo tiền đề vững chắc, lâu bền trong việc tiếp nhận tri thức, nề nếp và thái độ học
tập của các em ở nhà trường.
Để giúp học sinh học tốt môn toán, ngoài việc truyền thụ kiến thức cơ bản
theo phân phối chương trình của Bộ Giáo dục & đào tạo ban hành cho các trường
học phổ thông ( Kể cả ba cấp ), giáo viên cũng như học sinh cần phải nghiên cứu
thật nhiều các tài liệu, sách báo, băng hình, có liên quan đến môn toán để bổ
sung các dạng kiến thức mới, phương pháp giải mới, Giúp học sinh học dễ hiểu,
dễ tiếp thu bài nhằm tạo được sân chơi thân thiện, từ đó các em mới tích cực tham
gia các hoạt động học tập, rồi có ý tưởng tự nghiên cứu sáng tạo cho việc học và
giải toán được thuận lợi hơn. Theo nhà khoa học Lep-Nitx đã nói: “Một phương
pháp được coi là tốt, nếu như ngay từ đầu ta có thể thấy trước và sau đó có thể
khẳng định được rằng theo phương pháp đó ta sẽ đạt tới đích”. Với mỗi bài toán
ta cũng có thể giải được, chỉ cần bắt chước theo những chuẩn mực đúng đắn và
thường xuyên thực hành.
Trang: 1
.

∈
N.
( Gọi tắt là phương pháp H )
1. Theo định nghĩa về lũy thừa ở số học lớp 6 ta được:
a
n
= a . a . . a
n thừa số
Trang: 2
.
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
Ta có nhận xét trường hợp khi a = 2
Trong dãy các lũy thừa 2
1
, 2
2
, 2
3
, . . . 2
n
luôn tồn tại bốn dãy lũy thừa. Mà
mỗi lũy thừa ở cùng một dãy có chữ số tận cùng bằng nhau.
Ta ký hiệu:
D
2-1
là tập hợp các lũy thừa có dạng 2
1
; 2
5

; 2
12
; …và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy
này có chữ số tận cùng là 6.
Vấn đề trình bày như đã nêu trên cho thấy giá trị của các lũy thừa của dãy
D
2
= 2
1
, 2
2
, 2
3
, . . . 2
n

có chữ số tận cùng được lập lại theo thứ tự mà số mũ ở
mỗi dãy là một cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) là 4.
Ta có bảng tóm tắt của các dãy và phương pháp tìm chữ số tận cùng của
dãy D
2
= 2
1
, 2
2
, 2
3
, . . . 2
n


D
2-4 =
2
4
; 2
8
; 2
12
; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 6
Những số có nhiều chữ số như 12
n
; 22
n
; 32
n
; đều áp dụng như
trên.
Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4
Nếu số dư là 1 thì thuộc D
2-1
. nên có chữ số tận cùng là 2
Nếu số dư là 2 thì thuộc D
2-2
. Nên có chữ số tận cùng là 4
Nếu số dư là 3 thì thuộc D
2-3
. Nên có chữ số tận cùng là 8
Nếu số dư là 0 thì thuộc D
2-4
. Nên có chữ số tận cùng là 6

Vậy B có chữ số tận cùng là 8.
Ví dụ 2: Tìm chữ số tận cùng của số: 32
44
; 1092
14
; 352
1001
; 122
8051
.
Giải:
1. Vì 32 = 30 + 2 nên muốn tìm chữ số tận cùng của 32
44
ta chỉ việc tìm chữ số
tận cùng của 2
44
là thỏa mãn ( do những số chẳn chục khi lũy thừa n
lên luôn có chữ số tận cùng bằng 0 ). Do đó khi ta chia 44 cho 4 thì dư bằng 0, mà
số dư vừa tìm được lại thuộc D
2-4.
Vậy Số 32
44
có chữ số tận cùng là 6.
2. Vì 1092 = 1090 + 2. cách tìm tương tự như bài toán trên.
Muốn tìm chữ số tận cùng của số 1092
14
ta đi tìm chữ số tận cùng của 2
14
Do 14 chia cho 4 còn dư là 2, mà số dư này thuộc vào D
2-2

; 2
9
; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 2
D
2-2 =
2
2
; 2
6
; 2
10
;… Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 4
D
2-3 =
2
3
; 2
7
; 2
11
; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 8
D
2-4 =
2
4
; 2
8
; 2
12
; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 6

1
, 3
2
, 3
3
, . . . 3
n
luôn tồn tại bốn dãy lũy thừa. Mà
mỗi lũy thừa ở cùng một dãy có chữ số tận cùng bằng nhau.
Ta ký hiệu:
D
3-1
là tập hợp các lũy thừa có dạng 3
1
; 3
5
; 3
9
; … và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy
này có chữ số tận cùng là 3.
D
3-2
là tập hợp các lũy thừa có dạng 3
2
; 3
6
; 3
10
;… và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy
này có chữ số tận cùng là 9.

n

có chữ số tận cùng được lập lại theo thứ tự mà số mũ ở
mỗi dãy là một cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) là 4.
Ta có bảng tóm tắt của các dãy và phương pháp tìm chữ số tận cùng của
dãy D
3
= 3
1
, 3
2
, 3
3
, . . . 3
n

như sau:
Trang: 5
.
D
3-1 =
3
1
; 3
5
; 3
9
; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 3
D
3-2 =

n
; đều áp dụng như trên.
Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4
Nếu số dư là 1 thì thuộc D
3-1
. nên có chữ số tận cùng là 3
Nếu số dư là 2 thì thuộc D
3-2
. Nên có chữ số tận cùng là 9
Nếu số dư là 3 thì thuộc D
3-3
. Nên có chữ số tận cùng là 7
Nếu số dư là 0 thì thuộc D
3-4
. Nên có chữ số tận cùng là 1
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của: 3
999
; 43
126
; 2153
5717
.
Giải:
* Ta chia số mũ 999 cho 4 ta được số dư là 3, do số dư này thuộc D
3-3.
Nên chữ số tận cùng của số 3
999
là: 7.

n
luôn tồn tại hai dãy lũy thừa. Mà
mỗi lũy thừa ở cùng một dãy có chữ số tận cùng bằng nhau.
Ta ký hiệu:
D
4-1
là tập hợp các lũy thừa có dạng 4
1
; 4
3
; 4
5
; … và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy
này có chữ số tận cùng là 4.
D
4-2
là tập hợp các lũy thừa có dạng 4
2
; 4
4
; 4
6
;… và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy
này có chữ số tận cùng là 6.
Trang: 6
.
D
3-1 =
3
1

12
; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 1
Những số có nhiều chữ số như 13
n
; 23
n
; 33
n
; đều áp dụng như trên.
Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4
Nếu số dư là 1 thì thuộc D
3-1
. nên có chữ số tận cùng là 3
Nếu số dư là 2 thì thuộc D
3-2
. Nên có chữ số tận cùng là 9
Nếu số dư là 3 thì thuộc D
3-3
. Nên có chữ số tận cùng là 7
Nếu số dư là 0 thì thuộc D
3-4
. Nên có chữ số tận cùng là 1
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
Vấn đề trình bày như đã nêu trên cho thấy giá trị của các lũy thừa của dãy
D
4
= 4
1
, 4

87
, 1894
2n
Giải: Do Lũy thừa với cơ số 4 cho ta các chữ số tận cùng hoặc 4 hoặc 6. Nếu số
mũ lẻ thì có chữ số tận cùng là 4; còn số mũ chẳn thì cóa chữ số tận cùng là 6.
Vậy:
* Số 4
18
có chữ số tận cùng là 6 ( vì số mũ là chẳn )
* Số 4
87
có chữ số tận cùng là 4 ( vì số mũ là lẻ )
Trang: 7
.
D
4-1
=

4
1
; 4
3
; 4
3
; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 4
D
4-2
=

4

2n
4
2n
có chữ số tận cùng là 6 ( do 2n là số
mũ chẳn ).
Vậy: số 1894
2n
có chữ số tận cùng là 6.
Ta có nhận xét trường hợp khi a = 5
Khi a = 5 thì 5
n
( Với n
∈
N
*
) luôn luôn có chữ số tận cùng bằng 5.
Ví dụ:
1. 5
3
có chữ số tận cùng bằng 5
2. 5
100
có chữ số rận cùng bằng 5
Ta có nhận xét trường hợp khi a = 6
Khi a = 6 Thì 6
n
( Với n
∈
N
*

7-1
là tập hợp các lũy thừa có dạng 7
1
; 7
5
; 7
9
; … và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy
này có chữ số tận cùng là 7.
D
7-2
là tập hợp các lũy thừa có dạng 7
2
; 7
6
; 7
10
;… và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy
này có chữ số tận cùng là 9.
D
7-3
là tập hợp các lũy thừa có dạng 7
3
; 7
7
; 7
11
; … và giá trị của mỗi lũy thừa ở
dãy này có chữ số tận cùng là 3.
Trang: 8

= 7
1
, 7
2
, 7
3
, . . . 7
n

như sau:
Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của 7
1234
; 7
2009
; 87
55
?
Giải:
1. Ta chia số mũ 1234 cho 4 ta được số dư bằng 2. số dư này thuộc dãy D
7-
2.
Nên số 7
1234
có chữ số tận cùng là 9.
2. Tương tự: khi ta chia số mũ 2009 cho 4 ta được số dư bằng 1, số dư này
thuộc dãy D
7-1
. Nên số 7
2009
có chữ số tận cùng là 7.

; 7
7
; 7
11
; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 3
D
7-4
=

7
4
; 7
8
; 7
12
; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 1
Những số có nhiều chữ số như 17
n
; 27
n
; 37
n
; đều áp dụng như
trên.
Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4
Nếu số dư là 1 thì thuộc D
7-1
. nên có chữ số tận cùng là 7
Nếu số dư là 2 thì thuộc D
7-2

n
luôn tồn tại bốn dãy lũy thừa. Mà
mỗi lũy thừa ở cùng một dãy có chữ số tận cùng bằng nhau.
Ta ký hiệu:
D
8-1
là tập hợp các lũy thừa có dạng 8
1
; 8
5
; 8
9
; … và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy
này có chữ số tận cùng là 8.
D
8-2
là tập hợp các lũy thừa có dạng 8
2
; 8
6
; 8
10
;… và giá trị của mỗi lũy thừa ở dãy
này có chữ số tận cùng là 4.
D
8-3
là tập hợp các lũy thừa có dạng 8
3
; 8
7

8
= 8
1
, 8
2
, 8
3
, . . . 8
n

như sau:
Trang: 10
.
D
8-1
=

8
1
; 8
5
; 8
9
; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 8
D
8-2
=

8
2

n
; 38
n
; đều áp dụng như
trên.
Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4
Nếu số dư là 1 thì thuộc D
8-1
. nên có chữ số tận cùng là 8
Nếu số dư là 2 thì thuộc D
8-2
. Nên có chữ số tận cùng là 4
Nếu số dư là 3 thì thuộc D
8-3
. Nên có chữ số tận cùng là 2
Nếu số dư là 0 thì thuộc D
8-4
. Nên có chữ số tận cùng là 6
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của các số sau
8
7
; 8
50
; 8
1101
; 518
400
Giải:

Mà khi ta chia số mũ 400 cho 4 ta được phép chia hết, nên số dư bằng 0
thuộc D
8-4 .
Do đó số 8
400
có chữ số tận cùng là 6, hay số 518
400
có chữ số tận cùng
là 6.
Ta có nhận xét trường hợp khi a = 9
Trang: 11
.
D
8-1
=

8
1
; 8
5
; 8
9
; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 8
D
8-2
=

8
2
; 8

; 38
n
; đều áp dụng như
trên.
Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4
Nếu số dư là 1 thì thuộc D
8-1
. nên có chữ số tận cùng là 8
Nếu số dư là 2 thì thuộc D
8-2
. Nên có chữ số tận cùng là 4
Nếu số dư là 3 thì thuộc D
8-3
. Nên có chữ số tận cùng là 2
Nếu số dư là 0 thì thuộc D
8-4
. Nên có chữ số tận cùng là 6
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
Trong dãy các lũy thừa 9
1
, 9
2
, 9
3
, . . . 9
n
luôn tồn tại hai dãy lũy thừa. Mà
mỗi lũy thừa ở cùng một dãy có chữ số tận cùng bằng nhau.
Ta ký hiệu:

n

có chữ số tận cùng được lập lại theo thứ tự mà số mũ ở
mỗi dãy là một cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) là 2.
Điều này cho thấy D
9
chỉ tồn tại hai dãy lũy thừa, đó là dãy lũy thừa với số
mũ lẽ và dãy lũy thừa với số mũ chẳn
Ta có bảng tóm tắt của các dãy và phương pháp tìm chữ số tận cùng của
dãy

D
9
= 9
1
, 9
2
, 9
3
, . . . 9
n

như sau:
Những số có nhiều chữ số như 19
n
; 29
n
; 39
n
; đều áp dụng như trên.

9
2
; 9
4
; 9
6
;… Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 1
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
2. Những số dạng: 1; 11; 21; 31; ……khi nâng lên lũy thừa với số mũ bất kỳ
thì luôn luôn có chữ số tận cùng bằng 1.
3. Các số có chữ số tận cùng là 0;1;5;6 khi nâng lên lũy thừa với số mũ khác 0
cũng có chữ số tận cùng bằng 0;1;5;6.
Phần 2: MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI KHÁC.
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của số A = 9
9
9
.
Giải: Cách 1: Theo phương pháp (H) số 9
9
có số mũ lẻ. Nên số này có chữ số tận
cùng là 9 cũng là số lẻ. Do đó số 9
9
9
có

chữ số tận cùng là bằng 9.
Cách 2: Đặt M = 9
k
, k

là một số lẻ. Do đó: A = 9
9
9
có chữ số tận cùng là 9.
Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của số B = 2
3
4
.
Giải:
Cách 1:
Do 2
3
4
= 2
81
. Theo phương pháp (H), Ta chia số mũ 81 cho 4 ta có số dư của
phép chia bằng 1 Thuộc D
2-1
. Nên số B = 2
3
4
có chữ số tận cùng là 2.
Cách 2:
B = 2
3
4
= 2
81
= (2
5

.
Vậy số 7
1999
có chữ số tận cùng là 3.
Cách 2: Ta có 7
4
= 2401 tận cùng là 1
Nên: 7
1999
= (7
4
)
496+3
= (2401)
496
.343 = (… 1). 343 = ( 3)
Suy ra: 7
1999
có chữ số tận cùng là 3.
* Cách 1.
Ta có: 18
177
= (10+8)
177
theo phương pháp (H) ta chỉ tìm chữ số tận cùng
của 8
177
, ( vì: 177: 4 dư 1). Nên số 8
177
có chữ số tận cùng là 8.

VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
3. Tính chất:
3.1/. a
≡
a (mod m);
3.2/. a
≡
b (mod m)
⇒
a
≡
c (mod m).
b
≡
c (mod m)
3.3/. a
≡
b (mod m) a
±
c
≡
b
±
d (mod m)
⇒

c
≡
d (mod m) a.c
≡

3.5/. a
≡
b (mod m). với k
∈
z, k > 0 suy ra: ka
≡
kb (mod m).
3.6/. d
∈
ƯC (a,b,m) thì a
≡
b (mod m) suy ra:
k
b
k
a
=
(mod
d
m
).
3.7/. a
≡
b (mod m
1
) và a
≡
b (mod m
2
) suy ra a

≡
b (mod m
1
.m
2
……m
n
).
II. Bài tập áp dụng:
Tìm chữ số tận cùng của số 1991
1997
, 6
195
, 1997
1996
Giải:
*). Ta có: 1991
≡
1 (mod 10) suy ra 1991
1997

≡
1 (mod 10)
Vậy: 1991
1997
có chữ số tận cùng là 1.
*). Ta có: 6
2
= 36
≡

4

≡
1 (mod 10) Suy ra (1997
4
)
409

≡
1 (mod 10)
Suy ra 1997
1996
≡
1 (mod 10).
Vậy: 1997
1996
có chữ số tận cùng là 1.
PHƯƠNG PHÁP TÌM HAI CHỮ SỐ TẬN CÙNG
CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN.
Phương pháp 1:
Nếu x
∈
N và x = 100 + y; trong đó k,y
∈
N thì hai chữ số tận cùng của x
cũng chính là hai chữ số tận cùng của y. Hiển nhiên là y
≤
x. Như vậy để đơn
giản hơn việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm
hai chữ số tận cùng của hai số tự nhiên y ( nhỏ hơn ).

-1) + a
q
. Vì a
n-1

25
Mặt khác: Do ƯCLN ( 4;25 ) = 1 nên a
q
( a
pn
-1 )

100
Vậy hai chữ số tận cùng của a
m
cũng chính là hai chữ số tận cùng của .
Tiếp theo ta tìm chữ số tận cùng của a
q
.
Trường hợp 2: Nếu a lẻ, gọi n là số tự nhiên sao cho a
n-1



100
Viết m = un + v ( u,v
∈
N, 0
≤
v < n ) Ta có:

và a
v
.
Phương pháp 2:
Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa, ta cần chú ý đến những số đặc
biệt sau:
- Các số có chữ số tận cùng bằng: 01; 25; 76. Khi nâng lên lũy thừa
với số mũ khác 0 cũng có hai chữ số tận cùng bằng: 01; 25; 76.
- Các số 3
20
; (hoặc 81
5
); 7
4
; 51
2
; 99
2
. Có hai chữ số tận cùng là 01.
- Các số 2
20
; 6
5
; 18
4
; 24
2
; 68
4
; 74

– 1

25.
Do đó: 2
1000
có hai chữ số tận cùng là 76, vì 2
1000


4.
Suy ra: 2
999
có hai chữ số tận cùng là 88.
Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của số 7
8966
.
Giải:
Ta có: 7
4
có hai chữ số tận cùng là 01.
Suy ra: 7
8966
= (7
4
)
2241
.7
2
= (a01)
2241

7561
có hai chữ số tận cùng bằng 24.
Bài 4: Tìm hai chữ số tận cùng của 81
6251
.
Giải:
Ta có: 81
5
có hai chữ số tận cùng là 01.
Nên: 81
6251
= ( 81
5
)
1250
. 81 = (k01)
1250
.81 = t01.81 = m81. (Với k,t,m
∈
N)
Vậy: 81
6251
có hai chữ số tận cùng là 81
Bài 5: Tìm hai chữ số tận cùng của 3
1000
.
Giải:
Ta có: 3
4


Vậy: 3
1000
có hai chữ số tận cùng là 01.
Bài 6: Tìm hai chữ số tận cùng của 2
1000
.
Giải:
Ta có: 2
10
= 1024 suy ra: (2
10
)
2
= 76.
Suy ra: 2
1000
= ( 76)
50
= 76.
Vậy : 2
1000
có hai chữ số tận cùng là 76.
Bài 7: Tìm hai chữ số tận cùng của 26
2088
.
Giải:
Ta có: 26
4
có hai chữ số tận cùng là 76.
Suy ra: 26

. 7
3
= ( 01)
497
. 343 = ( 01).343 = 43.
Vậy: 7
1991
có hai chữ số tận cùng là 43.
Bài 9: Tìm hai chữ số tận cùng của 68
194
.
Giải:
Ta có: 68
4
= 21381376. số có hai chữ số tận cùng là 76 và 68
2
= 4624 số có hai
chữ số tận cùng là 24.
Ta lại có: 68
194
= ( 68
4
)
48
. 68
2
= (n76)
48
. 4624 = k76. 4624 = t24.
Vậy: 68


Bài giải:
a) 4
10
. 8
15
= (2
2
)
10
. (2
3
)
15
= 2
20
. 2
45
= 2
65
Ta thấy: 2
65
= (2
5
)
13
= 32
13
2
65

3
)
2
. (5
2
)
3
= 2
6
. 5
6
= 10
6
Ta thấy: 10
6
= (10
2
)
3
= 100
3
10
6
= (10
3
)
2
= 1000
2
Vậy ta có 3 cách viết là:

) . ( 16a
3
x
3
y
3
)
Bài giải:
( 2a
3
.x
3
y ) . (8a
2
x
3
y
4
) . ( 16a
3
x
3
y
3
)
= (2.8.16) (a
3
. a
2
. a

2
c) 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ 4
3
Bài giải:
Trang: 20
.
PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6
a) 3
2
+ 4
2
= 9 + 16 = 25 = 5
2
b) 13
2
- 5
2
= 169 - 25 = 144 = 12
2
c) 1
3
+ 2
3

a) 4
2k
; 4
2k + 1
.
b) 9
2k
;

9
2k + 1
( k ∈ N
∗
)
Bài giải:
a) Ta có: 4
2k
= (4
2
)
k
=
( )
6 6 =
k
4
2k + 1
= (4
2
)

501
. 2 =
2 2.6
501
=

3
2006
= (3
4
)
501
. 3
2
=
9 9.)1 (
501
=
b) Ta có: 7
2007
= (7
4
)
501
. 7
3
= (
1
)
501

- 5
12
: 25
2

Bài giải:
3
3
. 9 - 3
4
. 3 + 5
8
. 5
0
- 5
12
: 25
2
= 3
5
- 3
5
+ 5
8
- 5
8
= 0
b) Sử dụng tính chất phép tính.
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức sau một cách hợp lí nhất.
A = ( 25

= 15625 + 729 - 64 = 16290
B = 9 ! -8 ! - 7! .8
2
= 8 ! ( 9-1) - 8 ! 8
= 8 ! . 8 - 8! .8 = 0
c) Biểu thức có tính quy luật.
Bài 1: Tính tổng.
A = 1 + 2 + 2
2
+ + 2
100
B = 3 - 3
2
+ 3
3
- - 3
100
Bài giải:
A = 1 + 2 + 2
2
+ + 2
100
=> 2A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ + 2
101
=> 2A - A = (2 + 2
2

B + 3B = (3 - 3
3
+ 3
3
) - 3
100
) + ( 3
2
- 2
3
+3
4
- - 3
101
)
4B = 3 - 3
101
Vậy B = ( 3- 3
101
) : 4
Bài 2: Tính tổng.
a) A = 1 + 5
2
+ 5
4
+ 5
6
+ + 5
200
b) B = 7 - 7

304
+
+
Bài 3: Tính
A =
7
1
+
2
7
1
+
3
7
1
+ +
100
7
1
B =
5
4
−
+
2
5
4
-
3
5

7
1
=> 7A - A = 1 -
100
7
1
A =






−
100
7
1
1
: 6
B =
5
4
−
+
2
5
4
-
3
5


+−
200
5
4
4
: 6
Bài 3: Tính
A =
125 252525
125 252525
2262830
4202428
+++++
+++++

Bài giải:
Biến đổi mẫu số ta có:
25
30
+ 25
28
+ 25
26
+ +25
2
+ 1
= (25
28
+ 25

24
+ 25
20
+ +1) . (1 + 25
2
)
Vậy A =
2
251
1
+
=
626
1
d) Sử dụng hệ thống ghi sổ - cơ số g.
Bài 1: Tính
A = 6 10
7
+ 5.10
5
+ 4.10
3
+2.10
B = 12. 10
8
+ 17.10
7
+ 5.10
4
+ 3

= (10+2) .10
8
+ ( 10 +7).10
7
+5.10
4
+ 3
= 10
9
+ 2.10
8
+ 10
8
+ 7.10
7
+ 5.10
4
+ 3
= 10
9
+ 3.10
8
+ 7.10
7
+ 0.10
6
+ 0.10
5
+ 5.10
4

2
)
x
= 2
x + 1
2
2x
= 2
x+ 1
2x = x +1
2x- x = 1
x = 1
b) 16 = ( x -1)
4
2
4
= (x -1)
4
2 = x - 1
X = 2+1
x = 3
Bài 2: Tìm x
∈
N biết
a) x
10
= 1
x
b) x
10

Trang: 25
.