Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 0 Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 1
PHẦN MỞ ĐẦU
I.BỐI CẢNH CỦA ĐỀ TÀI
Kể từ năm học 2008 – 2009, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chính thức đưa nội dung
“ Số phức” vào chương trình lớp 12 cho học sinh dạng đại trà. Đây là vấn đề khá
mới lạ đối với khơng ít giáo viên và học sinh bậc THPT (do thời lượng chương trình và
tài liệu nghiên cứu khơng nhiều), mặc dù nội dung này chiếm một tỉ lệ nhất định trong
các đề thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học – Cao đẳng. Vì thế, việc dạy và học
nội dung “ Số phức” có hiệu quả thật sự là vấn đề cần nghiên cứu. Qua q trình giảng

* Minh họa một số đề bài tốn được biên soạn bởi sự hỗ trợ phần mềm Maple.
IV. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Bản thân nghiên cứu đề tài này nhằm mục tiêu:
Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang
2
* Cùng chia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh kinh nghiệm về phương pháp
giải một số dạng bài tập về số phức.
* Bản thân rèn luyện chun mơn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm.
* Ứng dụng CNTT trong việc đổi mới phương pháp dạy và học ở trường phổ thơng.
* Hưởng ứng phong trào viết SKKN của trường THPT chun Bến Tre và của Cơng
Đồn ngành Giáo dục phát động.
V. ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
* SKKN này đã hệ thống tóm tắt những nội dung chính và những vấn đề cần lưu ý
khi nghiên cứu chương số phức.
* Qua SKKN nầy, học sinh được nắm được phương pháp giải một số dạng tốn về
số phức và các kỹ thuật tính tốn đại số.Cụ thể là:
+ Dạng 1: Các phép tính về số phức và các bài tốn định tính.
+ Dạng 2: Biểu diễn hình học của số phức.
+ Dạng 3: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai.
+ Dạng 4: Phương trình quy về bậc hai.
+ Dạng 5: Dạng lượng giác của số phức.
+ Dạng 6: Nhị thức Niu-tơn và số phức.
* SKKN này còn khai thác ý nghĩa hình học về các phép tốn cộng, trừ của số phức
và ứng dụng dạng lượng giác của số phức.
* SKKN này đưa ra nhiều bài tốn mẫu và các bài tập tương tự nhằm mục tiêu giúp
học sinh rèn luyện kỹ năng tính tốn và phát triển tư duy trước mỗi dạng bài.
* Qua SKKN này, học sinh sẽ tích lũy thành kinh nghiệm cho bản thân để có thể
sáng tạo giải quyết các bài tốn nâng cao và tổng hợp khác.

lưu ý khi nghiên cứu chương số phức.
Phần 1:
SỐ PHỨC
2
Mỗi là một biểu thức dạng với
, và 1. Kí hiệu số phức đó là z và viết .
được gọi là đơn vò ảo, được gọi là phần thực và được
Đònh nghóa 1:
số phưc
g
ù +
∈=− =+
i

abi
ab i z a bi
ia b
ọi là phần ảo
của số phức .
Tập hợp các số phức được kí hiệu là .
=+

zabi

Đònh nghóa 2: , Suy ra 0 0.
aa
abi a bi abi ab
bb
′
=

ϕ+ ϕ ⇒ = ϕ− ϕ ϕ + ϕ ϕ
∗
i
nn
nz i
ziz i
3
3
3
sin ); (2)
cos3 4cos 3cos .
Từ (1) và (2) ta được:
sin3 3sin 4sin .
−ϕ
⎧
ϕ= ϕ− ϕ
⎪
⎨
ϕ= ϕ− ϕ
⎪
⎩
i
i

′
′
′′
≥
∗
≤

Ox Oy

Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang
4

Cho có vectơ biểu diễ
của ca
n là ( ; )
có vectơ biểu d
ùc phép toán cộng, trừ s
iễn là ( ; )
ố phư :
ù
c
=+
′′′ ′′′
=+


zabi uab
zabi ua b
∗ Y Ù nghóa hình học

biểu diễn cho .
Khi đo:
biểu diễn cho - .
⎧
′′


"
∗Khái niệm số phức liên hợp và môđun số phức.

22
Phép chia số phức:
Số phức liên hợp của là - .
Mun của số phức z là
Phép chia cho số phức khác kh
= .
Số nghòch đảo của số phức khác
Đònh nghóa:
ông:

∗
=+ =
+
i
i
i
zabizabi
âzab
z
1
2
0 là số
1
= .
−
zz


−
−
⎫
⎪
∗=+ ⇒
⎪
′′
⎪
′
∗=+ ⇒ + ⇒ = ≠
⎬
⎪
⎪
∗≠⇒
⎪
⎭
22 1
2
1
2
= -
=.=
1
Cho 0 =
z a bi z a bi
zzz
zabi z a b zz z
z
z

đối nhau (kh
sau
a
:
ù
c0)
wzzw
z
∗
+
Không được dùng kí hiệu để chỉ căn bậc hai của một số phức
( không được viết )abi
: Chú ý
∗=+
=+
=⇔ − + =+
⎧
−=
∗
⎨
=
⎩
i
i
222
22
Chú ý phương pháp tìm căn bậc hai của số phức :
Giả sử là căn bậc hai của .
Vậy ta có: ( ) 2
Giải hệ phương trình
∗ Phương trình bậc hai:

++= ≠
2
0; 0 (1)Az Bz C AΔ= −
∗Δ≠
−+δ −−δ
==
δΔ
∗Δ =
2
12
Xét biệt thức 4 .
Nếu 0 thì pt (1) có 2 nghiệm phân biệt:
,
22
trong đó là một căn bậc hai của .
0 thì pt (1) có nghiệm kép:

BAC
BB
zz
AA
==−
12


22
PP tìm dạng lượng giác của số phức
Đònh nghóa dạng lượng giác của số phức:

khác 0
Bước 1:Tìm = (mun cu
(; ) cho trươ
ûa so

c:
ù
.zr i r
zabi
rab
ab
ϕϕ∈ϕϕi
á phức).
Bước 2:Tìm (là một acgumen của ); sao cho cos = ; sin = .
ab
z
rr∗Đònh lý nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác:
=i Đặc biệt khi 1:

r
∗
+ϕ
i[ (cos sin )] (cos sin );
Công th
(
ức Moa-vrơ
cos sin ) cos si

n
:
nn
n
rirninn
inin
tích môđun và tổng acguNhân:
Ch
men.
thương môđun và hi

∗
=ϕ+ϕ>
ϕϕ
ϕϕ ϕ ϕ
⎛⎞
−=π+π
⎜⎟
⎝⎠

Dạng 1:
CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ PHỨC VÀ CÁC BÀI TỐN ĐỊNH TÍNH
u cầu cần đạt:
- Nắm vững các khái niệm và rèn luyện kỹ năng tính tốn.
- Biết sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả.
Một số bài tốn minh họa

()( )
+−=+++
2
Tìm phần thực và phần ảo của số phức biết:
1.2 8(12)(CĐ A,B, D - 20 ) 09
z
iiziiz

(
)
(
)
()( )
()
()( )
+−=+++
⎡⎤
⇔+ −−+ =+
⎣⎦
⇔−−−=+

)
(
)
2
1/ Cho số phức thỏa điều kiện: 2 3 4 (1 3 )
Tìm phần thực và phần ảo của số phư (C
Đ-A,B,D-2010)

ùc .
2/ Tìm ph
−++=−+
z


i
z
−
.Tìm mo
1
(ĐH -A- 0201 )
zziz
i
Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương T Trang 8hò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre

Trong m
=
2
Tìm số phức thỏa mãn ø là số thuần ảo.
( ĐH -D- 2010)
zzz2 va

ột số trường hợp, thực chất u cầu của bài tốn là thực hiện các phép

213
1) 2-i 4 0. 2) .
12
3) (KT giữa HKI 2010-2011-ch BT
sau:
Tìm số phức
234.
thỏa:

12
83
4
1
8
)
ii
zz
ii
zz
z
zi
z
z
z
i
∗ Giải các phương trình
5
()()()()
⎪
⎪

2) Tìm điểm (tập hợp điểm) biểu diễn số phức z thỏa một hoặc vài điều kiện cho tr

ột số bài tốn minh họa M

()( )
+

⎩

1
1 . 1 2 3 (3;1)
26
2(0;2)
3
Từ đó: 10; 10 và . 0.

Vậy tam giác vuông cân tại B.
i
iiiB
i
iC
i
BC BA BC BA
BC BA
BC BA
ABC
=
4
1) Ta có: 2 2 (2; 2)
i
iA
2) Từ kq câu 1) ta có:
⇔=
=− =−
⎧⎧
⇔⇔
⎨⎨

1
() ()
() ()
=+ ∈
+=−⇔ + + =+ −
⇔++=+−⇔++=
i
i
i
22
22
) Gọi biểu diễn số phức ; , .
Ta có 2 2 1
2 1 4 2 3 0 ( )
Vậy tập hợp điểm cần tìm là đường thẳng ( )
M
zxyixy
zizx yixyi
x
yxy xy d
Md

M
dAB
dxy
2) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa:
4 4 1 (Thi thử Đ0. H -D- ch BT-2010)
M
z
zz−++=
Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 11

Tìm tập hợp các điểm trong mặt pha
ú
Dạng 3: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬ

z
zi zz i−=−+
2

Tập hợp các điểm cần tìm là parabol (
Kết
):
quả:
.4

x
MPy=
() ( )
2
Giải phương trình sau trên tập số phức:
121240. iz iz−−+−=
Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 12
Vậy pt có hai nghiệm 1 và .
23 1313
ii i
i
z
zi
i
−+−+−=
−
===+
−Dạng 4:
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI

Những dạng phương trình quy về bậc hai thường gặp:
- Phương trình có ẩn ở mẫu
- Phương trình bậc cao.

ột số bài tốn minh họa M
()
2
()

−
=
−−
13 1 2 13
+
22
+−−+
i
( )
Giải phương trình sau trên tập số phức:
23 3 1 0. i z i−+−+−=
)(
2
4iz
Giải phương trình trên tập số phư
(CĐ-A,B-2009)
ù
c:
437
2.
zi
zi
zi
−−
=−
−
Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang 13



()()
2
22
Giải phương trình trên tập số phức:
4120.zz zz++ +−=
2
2
2
2
Đ
ặt , phương trình trở thành:
6
4120
2
Phương trình đã cho tương đương với
123
2

⎣
i
i
i trên.
123

2
20
i
z
zz
++=
⎢
−+
⇔
=
⎢
⎢
+−=
⎣
⎢
Vậy phương trình đã
()( )
()()
2
22
Điều kiện:
437
2437 .2
34 417 34

⎧
⎨
=−
⎧
−=
⎩
⇔
⎨
=−
=−
⎩
i
i
()
2
3
(1) thỏa điều kiện
12
Vậy pt (1) có hai nghiệm: 3 và 1 2 .
zi
zi
ziz i⇔− + ++=
xyixyδ= + ∈
i

1y
z
iz i
⎡
⎢

b
x
h

GV: Dương Thò Xuân An – Trường T PT Chuyên Bến Tre Trang 14
Dạng 5:
DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

u cầu bài tốn thường cho

zz
−+ + + =
⎛⎞
zz
zz
=
⎛⎞
⇔− −−+=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
2
13
5
2
0
z
i
t
tt
+
⎡
=
⎢
⇔−+=⇔
⎢
1
2)Đặt ,(1) trở thành:
13
2
2

⎡
⎢
⇔
⎢
=− −
⎣
Va
()
2
13 1 13
3)Với , ta có
22
2 1 2 0 (2)
13 3
1
4
8 6 ,(2)
13 3 1 1
422
ii
tz
z
ziz
ii
zi
i
ii
+
3
z

Để giải được dạng bài tập trên, ngồi việc nắm vững định nghĩa dạng lượng giác
ức, h c giá trị lượng giác của các góc
ối liên quan đặc biệt.
của số ph ọc sinh còn phải biết vận dụng cơng thứ
(cung) có m ()
()
Viết các số phức sau dưới dạng lươ
ï
ng giác:

π⎤
⎞
⎟
⎥
ππ
⎛⎞
+= +
⎜⎟
⎝⎠
i
⎡
ππ⎤
⎛⎞ ⎛⎞
−+= −+−
⎜⎟ ⎜⎟
⎢
⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎣
⎦
i
b) sin cos
z
i=ϕ+ ϕ
=cos sin .
22
i
π
⎛⎞ ⎛⎞
−ϕ + −ϕ

⎛⎞ ⎛⎞
=− −ϕ+ −ϕ
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
πϕ πϕ πϕ
⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞
=−+ − −
⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠
πϕ πϕ πϕ
⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞
2sin sin cos
42 42 42
i=− −+−
⎜⎟⎜⎟ ⎜
⎝⎠⎝⎠ ⎝
2sin
⎟
⎢⎥
⎠
⎣⎦
πϕ⎡ πϕ πϕ⎤
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
=−
⎜
cos sin . (1)
42 42 42
Do 0 nên 0 0 2sin 0.
22442242
Vậy (1) chính là dạng lượng giác của số phức trên.


Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn z, giải pt điều kiện tìm z
Bước 2: Áp dụng cơng thức Moa-vrơ để tìm w
Bước 3: Kết luận phần thực và phần ảo của w.
( KQ: Phần thực của w bằng -1, phần ảo của w bằng 0.) Trong bài tập trên có thể thay số mũ 2008 bởi số khác sẽ được bài tương tự. Khi đó
có th vận dụng cơng thức cung liên kết của lượng giác để hỗ trợ tính tốn.

Dạng 6:
đ
ể
NHỊ HỨC NIU-TƠN VÀ SỐ PHỨC

T
u cầu bài tốn thường cho
dưới dạng:
1) Tính tổng.
2) Chứng minh đẳ
minh
ng thức phụ thuộc số tự nhiên.
B

ài tốn họa
)
2008

z
i=+
z
1
()( )
22
24 135
1 .
n
nn nnn
Mặt khác: =
n
n
iCiCC CCCi
=
=+ = =− + − + − + −
∑
)
2
2 (đpcm).
n
=

zCC CCC
⇒= −+− + −+−

zz
. Suy ra:
()(
2


2
Tìm số phức biết: 0; , và K .Q:+= = = =−0
z
zz z zizi
()()
22
Tìm tập hợp các điểm trong mặt pha
ú
ng phức biểu diễn
số p (ĐH-D-2009)
KQ:
hức thỏa: (3 4 ) 2.
Đường tròn 3 4 4.
−− =
−++=
M
zzi
xy
3
( ĐH-B-2009)
KQ:
a) Cho số phức thỏa: (2 ) 10 và . 25. Hãy tìm .
34 và 5.

12
12
33
Giải các hpt sau
4
1)
52
;3;12 và ;12;3
3(1 )
2)
9( 1 )
;2;12 và ;12;
KQ:
KQ: 2
zz
zz i
zz i i z i
zw i
zw i
(
12
z
trên tập số phức:
i
z
wiizw ii
+=+
⎧
⎨
+=−

z
−
−
z
022436
1325
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có các hệ thức:
3 3 3 2 cos
3

2
3 3 sin .
3
3
n
nn n n
n
nn n
n
CC C C
n
CC C
π
⎧
−+ − =
⎪
⎪
⎨
π
⎪

Tìm phần thực và phần ảo của số phức biết:
1.2 8(12)(CĐ A,B, D - 20 ) 09
z
iiziiz

• Sau đó dùng lệnh giải phương trình:

• Hoặc thay cả hai lệnh trên bởi lệnh: • Từ đó dễ dàng kiểm tra phần thực và phần ảo của z.

Chú ý:

Họ
trê hác thì có ngay
i và đáp số tương ứng.
í dụ 2:
c sinh có thể dùng MTCT để tính ở bước cuối rồi kết luận ( tr 7). Với cú pháp
n, GV nhanh chóng tìm được đáp số. Ngồi ra có thể thay bởi số k
một đề mớ
V
3/ Tìm phần thực và phần ảo của so
á
phức biết:
55 20
z

Ví dụ 4:
• Học sinh dùng cơng thức tính tổng CSN, GV kiểm tra KQ bằng lệnh:

Chú ý:
Có thể dùng phím tính tổng trong Maple.
b) Dạng : Phương trình và hệ phương trình
• Dùng Maple, GV dễ dàng kiểm tra nghiệm của pt bậc hai với h ố phức hoặc hệ ệ s
phương trình bằng lệnh solve như sau:
Ví dụ 5:

()()()()()()
2345
11 3+1 3+1 3
Tính tổng:
+1 3 +1 3 +1 3 =+ − − − − − −
∗
Siiiii
6
i
=
+
−
3
1- 3

Giải phươ

• Tương tự VD5: Ví dụ 7: • Dùng lệnh solve như sau:

Chú ý:
Trong các bài tốn trên, nếu thay đổi số liệu ta dễ dàng có đề bài và
đáp số tương ứng. Ngồi ra, có thể dùng lệnh expand để lập phương trình bậc
hai nếu biết hai nghiệm (có thể phức) của nó. Chẳng hạn thực hiện các bước:
- Lập pt bậc hai biết hai nghiệm là 1+2i và 3-4i:

- Thu gọn pt bằng lệnh sort(collect( , )); z

Giải phương trình trên tập s á phư
(CĐ-A,B-2009)
o

⎩
zw i
zw i
Sáng kiến kinh nghiệm Tháng 2 năm 2011

GV: Dương Thò Xuân An – Trường THPT Chuyên Bến Tre Trang
2
1

c) Dạng : Khai triển hàm lượng giác
Ví dụ 8:
Biểu diễn sin6x và cos6x lần lượt theo sinx và cosx.

Nhận xét:

Ví dụ trên minh họa cho việc ứng dụng Maple để chứng minh cơng thức
dạng biểu diễn lần lượt sinnx, cosnx theo sinx, cosx. Đồng thời thể hiện quan
thực” trong tốn học.

BÀI HỌC KINH NGHIỆM I.
Với sáng kiến kinh nghiệm trên đây, bản thân rút ra được bài học kinh nghiệm trong
cơng tác chun mơn là: Để học sinh nắm vững phương pháp giải các dạng bài tập về
số phức, giáo viên cần phải có sự gia cơng hệ thống các k n thức trọng tâm và phương
p n phải chuẩn bị hệ thống bài
p
p về số phức. Đồng thời, SKKN
này
n
phương pháp thích hợp và i bài tốn. Chun đề “Kinh
nghiệm soạn đề và phương i tập về số phức” có thể dùng
viên dạy tốn THPT bổ sung kinh nghiệm ra đề và
giảThành phố Bến Tre, ngày 25 tháng 2 năm 2011. iế
háp giải một số dạng bài về số phức. Đồng thời, giáo viê
tậ đa dạng minh họa cho từng dạng bài nhờ sự hỗ trợ của phần mềm Maple. Đặc biệt,

3

MỤC LỤC

2) Một số dạng bài tập về số phức 6
3) Minh họa ứng dụng Maple biên soạn các đề tốn về số phức 18
Phần kết luận 22

TÀI LIỆU THAM KHẢO
ương trình nâng cao
) Các tài liệu tập huấn ứng dụng CNTT trong dạy học và tài liệu
BDT
) Các phương pháp cơ bản tính ngun hàm, tích phân và số
Phần mở đầu Trang 1
Phần nội dung 2

1) Tóm tắt giáo khoa 3
17 Bài tập củng cố 1) Sách giáo khoa lớp 12 ch