SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT 4 THỌ XUÂN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG SƠ ĐỒ TƯ DUY TRONG DẠY VÀ
HỌC BỘ MÔN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11
Người thực hiện: Hà Thị Thu Hồng
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán
THANH HÓA NĂM 2013
2
A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
1. Lời nói đầu:
Sơ đồ tư duy là một công cụ tổ chức tư duy, là con đường dễ nhất để
chuyển tải thông tin vào bộ não rồi đưa thông tin ra ngoài bộ não. Đồng thời là
một phương tiện ghi chép đầy sáng tạo và rất hiệu quả theo đúng nghĩa của nó:
“Sắp xếp” ý nghĩ. Sử dụng sơ đồ tư duy trong dạy và học mang lại hiệu quả cao,
phát triển tư duy logic, khả năng phân tích tổng hợp, học sinh hiểu bài, nhớ lâu,
thay cho ghi nhớ dưới dạng thuộc lòng, học vẹt. Phù hợp với tâm sinh lí học
sinh, đơn giản dễ hiểu thay cho việc ghi nhớ lí thuyết bằng ghi nhớ dưới dạng sơ
đồ hóa kiến thức.
Trong chương trình toán THPT, “Hình học không gian” được giới thiệu
trong SGK lớp 9 và được giải quyết hoàn thiện trong chương trình SGK hình
học 11. Môn học này là một trong những môn học khó nhất đối với học sinh
THPT bởi tính trừu tượng của nó.
Với mong muốn giúp các em học sinh THPT tiếp thu tốt các kiến thức cơ
bản của bộ môn hình học không gian đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt
kiến thức đó để giải toán và áp dụng trong thực tiễn, tôi đã chọn đề tài “Phương
pháp sử dụng sơ đồ tư duy trong dạy và học bộ môn hình học không gian lớp
11”.
2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:
“Hình học không gian” là một môn học được SGK hình học 11 giới thiệu

•Thực nghiệm sử dụng lí thuyết để giải toán.
•Từ các bài toán đưa ra mối liên hệ của các hình trong thực tiễn.
PHẦN I: PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH NẮM VỮNG CÁC KIẾN
THỨC MỞ ĐẦU VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.
1. Nắm vững các đối tượng cơ bản của hình không gian:
Đối tượng nghiên cứu cơ bản của hình không gian là điểm, đường thẳng
và mặt phẳng.
2. Nắm vững quy tắc vẽ hình không gian: (4 quy tắc)
3. Nắm vững một số hình biểu diễn của các hình trong không gian:
• Tam giác thường, tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông đều
được biểu diễn bởi một tam giác có hình dạng bất kì.

ABC
∆

ABC
∆
vuông tại A
ABC
∆
cân tại A
ABC
∆
đều
• Hình bình hành, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi đều được biểu
diễn bởi một hình bình hành.
Hình bình hành Hình vuông Hình chữ nhật Hình thoi
• Hình thang, hình thang vuông, hình thang cân đều được biểu diễn
bởi một hình thang (chú ý về tỉ lệ của hai đáy nếu có).
4

phẳng song song.
Bài toán 3: “Quan hệ vuông góc” bao gồm chứng minh và dựng hình:
hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt
phẳng vuông góc.
Bài toán 4: “Bài toán về góc” bao gồm xác định và tính: góc giữa hai
đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.
Bài toán 5: “Bài toán về khoảng cách” bao gồm xác định và tính:
khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, khoảng cách giữa
hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Trong mỗi bài toán lớn sẽ có bao gồm nhiều bài toán nhỏ, đặc điểm nữa là
nó không tập trung ở một chương, một bài, không được giải quyết đồng bộ một
lúc mà nó nằm rải rác trải dài theo các chương và các bài khác nhau. Vậy để dạy
5
tốt và học tốt thì vấn đề đặt ra là người giáo viên phải biết hướng dẫn học sinh
nắm vững được nội dung trọng tâm nhất, bài toán mấu chốt để các bài toán nhỏ
khác có thể đưa về nó. Như vậy sẽ tạo nên tính lôgic cao và có hệ thống, giảm
tải được các nội dung trong lí thuyết cơ bản, học sinh nhớ được trọng tâm của
các bài toán lớn.
Bài toán 1: “Tìm tương giao”
Trong bài toán tương giao: giao điểm của hai đường thẳng, giao điểm của
đường với mặt phẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng thì tìm giao điểm của hai
đường thẳng là mấu chốt cơ bản.
Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là chúng đồng phẳng và có một
điểm chung duy nhất.
Các tương giao khác đều có thể đưa được về tương giao cơ bản này.
• Sơ đồ tư duy để hệ thống lí thuyết:

a
∩

Tìm giao điểm của
hai đường thẳng
Tìm giao điểm của
đường thẳng và
mặt phẳng
Tìm giao tuyến
của hai mặt phẳng
a
b
O

P

b
a
O
P
Q
A
B
IM AD = K
IM (ABCD)= K
b) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:
Với giả thiết của bài toán thì dựa vào hình vẽ học sinh khó mà tìm được
đường thẳng nào trên mặt phẳng (SAC) có thể cắt được đường thẳng BM. Trong
trường hợp học sinh yếu, kém, giáo viên có thể khéo léo hướng dẫn học sinh tiếp
cận với đường thẳng SO qua việc tìm giao điểm O của AC và BD.
c) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:

Với câu c) thì học sinh cũng khó mà tìm được đường thẳng nào nằm trên

F
Trong câu d) việc chọn đường thẳng nằm trong mặt (IJM) cắt được SC
cần dựa vào điểm phụ được phát hiện trong câu c là điểm F và đường thẳng cần
tìm là FJ.
Dựa vào hệ thống sơ đồ tư duy học sinh sẽ trình bày lại lời giải chi tiết và
đầy đủ.
Ví dụ 2: (Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng)
Trong mặt phẳng (
α
) có tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E, AC
và BD cắt nhau tại F. Gọi S là một điểm nằm trên mặt phẳng (
α
). Tìm giao
tuyến của các mặt phẳng sau:
a) (SAB) và (SCD)
b) (SAC) và (SBD)
c) (SEF) và (SAD)
d) (SEF) và (SBC)
a) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:
b) Dự đoán sơ đồ tư duy của học sinh:
8
SC FJ = H
SC (IJM)= H
SA SD = S AB DC = E
(SAB) (SCD) = SE
A
S
E
D
C

và CC’, P là một điểm thuộc đoạn BB’. Tìm giao điểm Q của đường thẳng DD’
với (MNP)
Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:
Trong đó Nx phát hiện được nhờ quan hệ song song. Trong (CDD’C’) kẻ
Nx // MP.
Ví dụ 4: (Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng nhờ quan hệ song song)
9
SF SA = S EF AD = N
(SEF) (SAD) = SN
SF SB = S BC EF = M
(SEF) (SBC) = SM
Nx DD’ = Q
(MNP) DD’= Q
D’
C’
A’
A B
P
B’
M
C
N
D
Q
x
A
S
E
D
C

MN AC = O OySC = P
() (SAC) =OP
() (SAB)=MQ () (SBC)=QP () (SCD)=PN () (ABCD)=MN
Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi () là
tứ giác MNPQ
S
A
M
B
C
N
D
Q
P
x y
O
• Sơ đồ tư duy để hệ thống lí thuyết:
( )
( ) / /
a
b a b
a b
α
α
⊂


⊂ ⇒





∩ =






( ) / / ( )P Q
⇒
Để chứng minh đường thẳng a//b ta có thể sử dụng bốn cách chủ yếu sau:
Cách 1: Tìm được một mặt phẳng chứa hai đường thẳng a và b. Sau đó áp
dụng phương pháp chứng minh song song của hình học phẳng như tính chất
đường trung bình trong tam giác, định lí ta lét đảo, …
Cách 2: Sử dụng tính chất bắc cầu:
( )
/ /
/ /
/ /
a c
a b a b
b c

⇒ ≡



Cách 3: Sử dụng tính chất giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt:
( ) ( )

c Q
b a
a c
P Q b
⊂


⊂

⇒



∩ =

(hoặc
b a≡
)
• Sơ đồ tư duy trong thực hành giải toán:
Ví dụ 1: (Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng)
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, G lần lượt là trọng tâm
của các tam giác ABC và ACC’. Chứng minh đường thẳng IG song song với
mặt phẳng (BB’C’C)
11
Chứng minh hai
đường thẳng song
song
Chứng minh đường
thẳng song song với
mặt phẳng

Bài toán 3: “Quan hệ vuông góc”
Trong bài toán “quan hệ vuông góc” tập trung vào bài toán chứng minh
về các quan hệ vuông góc trong đó chứng minh hai đường thẳng vuông góc là
12
IG //MN
IG // (BCC’B’)
A
B
C
A
’
B
’
C
’
M
N
I
G
AF // BE AD // BC
AF // (BCE)
AD // (BCE)
(ADF) // (BCE)
C
A
B
D
E
F
M

( )
a P
P Q
a Q
⊂

⇒ ⊥

⊥


Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, chúng ta có thể sử dụng các
cách sau:
Cách 1: Đưa hai đường thẳng về cùng mặt phẳng và chứng minh hai
đường thẳng vuông góc theo phương pháp trong hình học phẳng.
Cách 2:
( )
( )
a P
a b
b P
⊥

⇒ ⊥

⊂

Cách 3: Dùng phương pháp véc tơ.
• Sơ đồ tư duy trong thực hành giải toán:
Ví dụ 1: (Chứng minh hai đường thẳng vuông góc)

O
C
B
A
H
Ví dụ 2: (Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng)
Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình vuông, SA
⊥
(ABCD). Gọi
M, N lần lượt là hình chiếu của A lên SA, SD. Chứng minh SC
⊥
(ANM)
Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:
Ví dụ 3: (Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh
(AB’C’D)
⊥
(BCD’A’).
Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:
14
SC (AMN)
SC AM SC AN
AM (SCB)
AN (SCD)
AM SB AM CB AN SD AN CD
CBAB CBSA CD AD CD SA
A
B
C
D

/ / '
' ' 0
a a
b b
a b




∩ =


Góc
·
·
( ,( )) ( , ')a P a a=

Trong đó a’ là hình chiếu
của a trên (P)
Góc
·
·
( ),( ) ( , )P Q a b=

Trong đó
( )
( )
a Q
b P


Góc giữa hai
đường thẳng
Góc giữa đường
thẳng với mặt
phẳng
Góc giữa hai mặt
phẳng
O
a
b
a’
b’
P
O a’
a
P
Q
a
b
A
B
C
D
O
H
S
SA (ABCD)

Học sinh thực hiện quá trình tính toán và có đáp số
·

. Học sinh thực hiện quá trình
tính toán và có đáp số
·
1
( ,( )) arcsin
14
SB SAC =
.
d) Dựng AH
⊥
SB (H
∈
SB)
Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh
Muốn tính góc
·
( , )AC HC
ta tính góc
·
ACH
. Học sinh thực hiện quá trình
tính toán và có đáp số
·
21
( ,( )) arcsin
7
AC SBC =

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn
đường kính AB = 2a.

·
DEB
. Học sinh thực hiện tính toán
và có đáp số
·
(( ),( )) arctan 7SAD SBC =
.
Bài toán 5: “Bài toán về khoảng cách”
Trong bài toán tính khoảng cách thì bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến đường thẳng là mấu chốt cơ bản nhất. Các bài toán tính khoảng cách
khác đều đưa về được bài toán cơ bản này.
• Sơ đồ tư duy để hệ thống lí thuyết:
d(M,a) = MH
H là hình chiếu vuông góc của M trên
a
Dựng mặt phẳng (Q) chứa M và
vuông góc với (P).
(Q)
∩
(P) = a
Dựng MH
⊥
a (H
∈
a)
d(M,(P)) = d(M,a) = MH
17
DB AD DB SA
DB (SAD)
DB SI SI DE

• Sơ đồ tư duy trong thực hành giải toán
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là SA = 2a. Tính khoảng cách:
a) Từ S đến mặt phẳng (ABCD)
b) Từ trung điểm I của CD đến mặt phẳng (SHC) với H là trung điểm của
AB.
Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:
18
Khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách giữa đường
thẳng và mặt phẳng song
song
Khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau

a
M
H
P
H
Q
M
a’
a
P
b
H
M

·
60
o
ACB =
. Tính khoảng cách:
a) Từ AA’ đến mặt phẳng (BCC’B’)
b) Từ B’C’ đến mặt phẳng (A’BC)
Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:
Học sinh gắn AI vào
ABC∆
và tính AI =
3
2
a

b) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:
Dựng
( )
IJ//CC' ' '
' ( ' )
J C B
JH A I H A I
∈
⊥ ∈

19
IK HC
(K HC)
IK SH
IK (SHC)

b) SC và AB
a) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:
Học sinh gắn AI vào tam giác SAB tính và có đáp số AI =
4 5
5
a

b)
Trong đó dựng AK
⊥
SD (K
∈
SD). Học sinh gắn AK vào
SAD∆
tính và
có đáp số AK =
12
5
a
.
20
AI SB
(I SB)
AD AI
d(AD,SB)= AI
A
B
C
D
I

Phần trăm
45 100% 20 44,4% 7 15,6%
Đặc điểm của lớp thực nghiệm là:
Số học sinh của lớp: 45
Kết quả học tập về môn toán năm học 2011 – 2012 là: 7 học sinh có học
lực giỏi, 13 học sinh có học lực khá, 21 học sinh có học lực trung bình
4 học sinh có học lực yếu.
Thường thì các em học sinh có học lực khá và giỏi sẽ giải quyết tương đối
tốt bài toán đặt ra, tuy nhiên lời giải còn chưa ngắn gọn, xúc tích. Dựa vào học
sinh giỏi, giáo viên có thể tổng kết thành các bước làm cụ thể. Thông qua hoạt
động nhóm các em có học lực tốt sẽ giúp đỡ các bạn có học lực yếu kém và
trung bình. Các bài toán tổng quát với sơ đồ tư duy là “ ngọn đèn dẫn lối” cho
các em tìm thấy hướng đi của mình và kết quả tương đối khả quan:
Nhận biết(nắm vững lý
thuyết)
Thông hiểu(có thể vận
dụng lý thuyết để giải
toán)
Vận dụng linh hoạt
(giải được đa số các bài
tập đưa ra)
Số
học sinh
Phần trăm Số
học sinh
Phần trăm Số
học sinh
Phần trăm
45 100% 40 88,9% 30 66,7%
II. KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT:

Bài toán 1: Tìm tương giao Trang 4
Bài toán 2: Quan hệ song song Trang 8
Bài toán 3: Quan hệ vuông góc Trang 10
Bài toán 4: Bài toán về góc Trang 13
Bài toán 5: Bài toán về khoảng cách Trang 15
C. Kết luận Trang 19
I. Kết quả nghiên cứu Trang 19
II. Kiến nghị, đề xuất Trang 19

23