

- - - - - - - - -


 !
"#$
Môn: Toán
Tác gia%&'()
*+, /0123/014
1
&'&5

Tác gia%LÝ CHÍ HƯỚNG
Chức vụ:Phó Hiệu Trưởng
Đơn vị công tác: Trường THPT Dương Quảng Hàm
Tên đề tài: !"#$
2
61766
17&'$8
Qua quá trình công tác giảng dạy ở trường THPT tôi nhận thấy việc học toán
nói chung và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi toán nói riêng, muốn học sinh rèn
luyện được tư duy sáng tạo trong việc học và giải toán thì bản thân mỗi thầy, cô
cần phải có nhiều phương pháp và nhiều cách hướng dẫn cho học sinh tiếp thu
và tiếp cận bài giải. Song đòi hỏi người thầy cần phải tìm tòi nghiên cứu tìm ra
nhiều phương pháp và cách giải qua một bài toán để từ đó rèn luyện cho học
sinh năng lực hoạt động, tư duy sáng tạo, phát triển bài toán và có thể đề xuất
hoặc tự làm các bài toán tương tự đã được nghiên cứu, bồi dưỡng.
Đào sâu suy nghĩ một bài toán là một chủ đề không có gì mới lạ. Thậm chí nó
còn cổ điển như chính lịch sử toán học vậy. Dạy cho học sinh nắm vững kiến
thức cơ bản, đảm bảo trình độ thi đỗ đại học đã là khó và rất cần thiết nhưng

6/7"
#=>?@AB17Trong đề thi Đại học khối B năm 2007 có bài toán sau.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng: d: x + y – 2 = 0;
d’: x + y – 8 = 0;
và điểm A(2;2). Tìm trên đường thẳng d diểm B và trên đường thẳng d’ điểm C
sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
Đứng trước bài toán trên học sinh thường đưa ra lời giải như sau.
&%
Cách 1:
Gọi B( b; 2 – b ); C( c; 8 – c ) lần lượt là các điểm thuộc d và d’.
Để tam giác ABC vuông cân tại A ta có hệ:
. 0
AB AC
AB AC
=



=


uuur uuur
Ta có:
( 2; )AB b b= − −
uuur
,
( 2;6 )AC c c= − −
uuur
Hệ trở thành:
2 2 2 2

1 1
4 4
b x b x
c y c y
− = = +
 
⇒
 
− = = +
 
thay vào hệ ta được:
2 2
3
2
x y
xy

− =

=

Đến đây ta được hệ đẳng cấp bậc 2 đã biết cách giải.
PQBG/%\]SBG^_I,`.7
Ta biến đổi hệ thành:
2 2
2 2
2 8 18 0
( 2 8 18) (2 8 2 4) 0
2 8 2 4 0
b c b c

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên d và d’ta dễ dàng chứng minh được
hai tam giác AHB và tam giác CKA bằng nhau khi tam giác ABC vuông cân tại
A .
Ta có hệ:
AK CH
BK AH
=


=

Để tìm H và K ta lập phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với d
(cần chú ý rằng d và d’ song song). Đường thẳng đó cắt d và d’ tại K và H.
Ta có: K(1;1), H(4;4), B(b; 2 – b ), C(c; 8 – c )

2 2 2 2 2 2
8, 2( 4) , 2, 2( 1)AH CH c AK BK b= = − = = −
Hệ trở thành:
2
2
( 4) 1
( 1) 4
c
b

− =


− =


2 2
( ; '') 2 2 4
2
c
d A d R c
− +
= ⇔ = ⇔ = ±
LPaBG,bI17
d’’ có phương trình: x – y + 4 = 0 ta có điểm B( -1;3) là giao điểm của d và d’’
Gọi C(c, 8 – c ) Ta có
( 2,6 ), (3; 1)AC c c AB= − − = −
uuur uuur
Mà tam giác ABC vuông tại A nên
0 3( 2) 1(6 ) 0 3AB AC c c c= ⇔ − − − = ⇔ =
uuuruuur
Vậy điểm C(3;5)
LPaBG,bI/7
d’’ có phương trình: x – y - 4 = 0 ta có điểm B( 3;-1) là giao điểm của d và d’’
Gọi C(c, 8 – c ) Ta có
( 2,6 ), (1; 3)AC c c AB= − − = −
uuur ur
A
C
B
K
H
7
Mà tam giác ABC vuông tại A nên
0 1( 2) 3(6 ) 0 5AB AC c c c= ⇔ − − − = ⇔ =
uuuruuur


=

Mà A(2;2), B(b; 2 – b ), C(c; 8 – c ), H(b; 2), K(c; 2)
Nên
2 2 2 2 2 2 2 2
( 2) , , ( 6) , ( 2)AK c BH b CK c AH b= − = = − = −
Hệ trở thành:
2 2
2 2
( 2)
( 6) ( 2)
c b
c b

− =


− = −



Giải hệ rất dễ dàng tuy nhiên ta phải thử lại, loại nghiệm và kết luận.
Tiếp tục đào sâu suy nghĩ tôi nhận thấy giả thiết 2 đường thẳng d và d’ song
song với nhau rất đặc biệt, gợi ý cho tôi ra được các bài toán tương tự một cách
dễ dàng và thành công ngay trong tất cả các lời giải của 4 cách làm trên.
Nhưng nếu thay đổi giả thiết cho hai đường thẳng d và d’ cắt nhau (không
vuông góc) thì Cách 1 mà đa số học sinh suy nghĩ và làm theo thì gặp rất nhiều
khó khăn trong việc giải hệ phương trình.
Và tất nhiên khi đó không thể có cách làm số 2.

Mà tam giác ABC vuông tại A nên
0 1( 2) 2 0 4AB AC c c= ⇔ − − = ⇔ =
uuuruuur
Vậy điểm C(4; 0)
LPaBG,bI/7
d’có phương trình: x = 1 ta có điểm B( 1;1) là giao điểm của d và d’
Gọi C(c; 0 ) thuộc trục Ox . Ta có
( 2, 1), ( 1;0)AC c AB= − − = −
uuur uuur
Mà tam giác ABC vuông tại A nên
0 1( 2) 0 2AB AC c c= ⇔ − − = ⇔ =
uuuruuur
Vậy điểm C(2; 0)
C
B
A
O
d
d’
10
A.,J,A.7
Qua A kẻ đường thẳng song song với trục hoành có phương trình là: y = 1
Giả sử có tam giác ABC vuông cân tại A thỏa mãn đề bài.
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B,C trên đường thẳng y = 1.
Dễ dàng chứng minh được tam giác AHB và tam giác BKA bằng nhau.
Ta có hệ:
AK BH
CK AH
=


d
y=1
11
#=>?@AB27
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng: d: x + y – 2 = 0;
d’: x + y – 8 = 0;
và điểm A(2;2). Tìm trên đường thẳng d diểm B và trên đường thẳng d’ điểm C
sao cho tam giác ABC đều.
Đứng trước bài toán trên học sinh thường đưa ra lời giải như sau.
Cách 1:
Gọi B( b; 2 – b ); C( c; 8 – c ) lần lượt là các điểm thuộc d và d’.
Để tam giác ABC đều ta có hệ:
AB AC
AB BC
=


=

Ta có:
( 2; )AB b b= − −
uuur
,
( 2;6 ), ( ;6 )AC c c BC c b c b= − − = − − +
uuur uuur
Hệ trở thành:
2 2 2 2
2 2 2 2
( 2) ( 2) (6 )
( 2) ( ) (6 )

− =


− = −


Đến đây ta được hệ đẳng cấp bậc 2 đã biết cách giải.
Phát huy cách làm về phép quay ta có cách khác như sau.
A
B
C
d
d’
d’’
12
Cách 2.
Giả sử có tam giác ABC đều thỏa mãn điều kiện bài toán
Khi đó B là ảnh của C qua phép quay tâm A góc quay
0
60±
Dựng d’’ là ảnh của d’ qua phép quay tâm A góc quay
0
60±
B là giao điểm của d và d’’. Có A, B dễ dàng tìm được C để tam giác ABC đều.
,U>?,A.,U>TPaBG?,WBG.,PUe=+?g>?,jU+YBkMlMCd?,m.TRd?g>Zn
.@BG,U>TPaBG?,WBG^@BG^@BG?,=B,,U>B,AB,.oUTp?,q,=+^_7
#=>?@AB47
Cho điểm A(2;1), tìm trên hai nhánh đồ thị hàm số
2 1
1

1
b
b
b
+
−
, C
2 1
( ; )
1
c
c
c
+
−
Hệ trở thành:
2 2
2 2
2
( 2) ( )
1
2
( 2) ( )
1
b
c
b
c
b
c

. 0
AB AC
AB AC
=



=


uuur uuur
và bế tắc không giải nổi.
Với phép quay tâm A với góc quay
0
90±
bài toán trên được giải quyết khá dễ
dàng.
&
Giả sử ta có tam giác ABC vuông cân taị A thỏa mãn đề bài, Vậy điểm B là ảnh
của điểm C qua phép quay tâm A góc quay
0
90±
.
Ta dựng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm A góc quay
0
90±
14
Giao điểm của (P) và d’ chính là điểm B. Có điểm B ta dễ dàng tìm được điểm
C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
Cụ thể:


= ⇔ = ⇔

= −

LPaBG,bI17
d’ có phương trình: x – y + 2= 0 ta có điểm B( -1;1) hoặc B(2;4) là giao điểm
của (P) và d’.
Với B(-1;1)
Gọi C(c, 2 – c ) Ta có
( 3, ), (4;1)AC c c AB= − − =
uuur uuur
Mà tam giác ABC vuông tại A nên
0 4( 3) 1( ) 0 4AB AC c c c= ⇔ − + − = ⇔ =
uuuruuur
Vậy điểm C(4 ; - 2)
Với B(2;4)
Gọi C(c, 2 – c ) Ta có
( 3, ), ( 1;2)AC c c AB= − − = −
uuur uuur
Mà tam giác ABC vuông tại A nên
0 1( 3) 2( ) 0 1AB AC c c c= ⇔ − − + − = ⇔ =
uuuruuur
Vậy điểm C(1 ; 1)
15
LPaBG,bI/7
d’ có phương trình: x – y - 4 = 0 không có giao điểm của (P) và d’
Ngoài cách làm trên tôi vẫn đề xuất một cách làm khác.
A.,J,A.7
Qua A kẻ đường thẳng y = 2 song song trục hoành.




Giải hệ rất dễ dàng tuy nhiên ta phải thử lại, loại nghiệm và kết luận.

16
,UdTv>ULUZ@eZwBG+@@?,dIFZ@e?UTPb.Z=>?@AB7
#=>@ABx7
Cho đồ thị hàm số (H)
1
1
x
y
x
+
=
−
và đường thẳng d : x + 2y – 5 = 0, điểm A(2;2)
Tìm trên đường thẳng d điểm B, trên đồ thị hàm số (H) điểm C sao cho tam giác
ABC vuông cân tại A.
Qua A kẻ đường thẳng y = 2 song song trục hoành.
Giả sử có tam giác ABC vuông cân tại A thỏa mãn đề bài.
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B,C trên đường thẳng y = 2.
Dễ dàng chứng minh được tam giác AHB và tam giác CKA bằng nhau.
Ta có hệ:
AK BH
CK AH
=



1
1
( ) ( 2)
2
c
c b
c
b
c
+

− = −


−

−

= −



Giải hệ rất dễ dàng tuy nhiên ta phải thử lại, loại nghiệm và kết luận.
17
Q>I,EIicUd?h+ MQ>GK.icUd
0
90±
Z=>?@AB?LuBTPb.G>O>icd[?J,A
]y]=BG7
&

4 2
1
( ; ')
3
5 5
c
c
d A d R
c
= −
− +

= ⇔ = ⇔

= −

LPaBG,bI17
d’ có phương trình: 2x – y – 1 = 0 ta có điểm C(0;-1) hoặc C(2;3) là giao điểm
của (H) và d’.
Với C(0;-1) Gọi B(b;
5
2
b−
)
Mà tam giác ABC vuông tại A nên
1
0 2( 2) 3( ) 0 5
2
b
AB AC b b

sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
#=>27Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng d: x + y + 1 = 0
d’: x + y + 5 = 0
và điểm A(2; 3). Tìm trên đường thẳng d điểm B, trên đường thẳng d’ điểm C
sao cho tam giác ABC đều.
#=>47Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng d: 2x + y + 1 = 0
d’: x + y + 5 = 0
và điểm A(1; 2). Tìm trên đường thẳng d điểm B, trên đường thẳng d’ điểm C
sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
#=><7Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng d: x + y + 1 = 0
d’: x – 2 y + 5 = 0
và điểm A(3; 1). Tìm trên đường thẳng d điểm B, trên đường thẳng d’ điểm C
sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
#=>x7Cho đồ thị hàm số (H)
1
1
x
y
x
−
=
+
và đường thẳng d : x + y – 5 = 0, điểm
A(2;2) Tìm trên đường thẳng d điểm B, trên đồ thị hàm số (H) điểm C sao cho
tam giác ABC vuông cân tại A.
#=>{7Cho đồ thị hàm số (H)
2 1
1
x
y

A(2;2) Tìm trên đường thẳng d điểm B, trên đồ thị hàm số (H) điểm C sao cho
tam giác ABC vuông cân tại A.
#=>107Cho đường thẳng d: 2x + y – 1 = 0 và Parabol (P):
2
y x=
, điểm A(1;2).
Tìm trên đường thẳng d điểm B, trên parabol (P) điểm C sao cho tam giác ABC
vuông cân tại A.
#=>117Cho đường thẳng d: x – y – 1 = 0 và Parabol (P):
2
y x=
, điểm A(2;2).
Tìm trên đường thẳng d điểm B, trên parabol (P) điểm C sao cho tam giác ABC
vuông cân tại A.
#=>1/7Cho đường thẳng d: x + y – 1 = 0 và Parabol (P):
2
x y=
, điểm A(1;2).
Tìm trên đường thẳng d điểm B, trên parabol (P) điểm C sao cho tam giác ABC
vuông cân tại A.
#=>127Cho điểm A(1;1), tìm trên hai nhánh đồ thị hàm số
2 1
2
x
x
+
−
các điểm B, C
sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
#=>147Cho điểm A(3;1), tìm trên hai nhánh đồ thị hàm số

#=>1{7Cho đồ thị hàm số (H)
2 1
1
x
y
x
−
=
+
và đường thẳng d : 2x + y – 5 = 0,
điểm A(2;1) Tìm trên đường thẳng d điểm B, trên đồ thị hàm số (H) điểm C sao
cho tam giác ABC vuông cân tại A.
#=>1|7Cho đồ thị hàm số (H)
2 1
1
x
y
x
+
=
−
và đường thẳng d : x – y +1 = 0, điểm
A(2;1) Tìm trên đường thẳng d điểm B, trên đồ thị hàm số (H) điểm C sao cho
tam giác ABC vuông cân tại A.
#=>1}7Cho đồ thị hàm số (H)
1
1
x
y
x

Tổng số học sinh Trước khi áp dụng SKKN Sau khi áp dụng SKKN
Yếu
kém
TB Khá Giỏi Yêú
Kém
TB Khá Giỏi
120 Số lượng 10 50 50 10 5 35 60 20
% 8,4 41,6 41,6 8,4 4,2 29,2 49,8 16,4
22
r?^_J>[BBG,qTVDcX?7
VI,~UG>A@M>uB% Tích cực trau dồi chuyên môn nghiệp vụ, trao đổi kinh
nghiệm, kiến thức, phương pháp không chỉ ở trong trường mà mở rộng ra cụm
trường trong tỉnh và các tỉnh xung quanh, càng trao đổi nhiều thì mình càng thu
được nhiều.
VI,~UeYB,Tf@B,=?LPaBG7 Tăng cường động viên, khích lệ, khen thưởng
đối với những đồng chí GV trẻ, có năng lực chuyên môn tốt tích cực viết sáng
kiến , trao đổi kinh nghiệm với các thầy cô đi trước để nhanh chóng trưởng
thành.
VI,~U•>A@]S.7Sau khi chấm sáng kiến những SKKN nào được giải A,
B, gửi về cho các trường tham khảo, học hỏi kinh nghiệm. Tổ chức cho tác giả
SKKN loại A báo cáo SKKN của mình để các tổ chuyên môn của các trường đi
dự và học tập
23
&z7
Nếu học sinh được biết một phương pháp mới có hiệu quả thì các em sẽ tự
tin hơn trong giải quyết các bài toán dạng này và dạng tương tự. Tuy nhiên mỗi
bài toán có nhiều cách giải , phương pháp giải này có thể dài hơn các phương
pháp khác nhưng nó lại có đường lối nhận biết rõ ràng dễ tiếp cận hơn các
phương pháp khác. Hoặc là tiền đề cho ta sáng tạo một dạng bài tập khác. Từ
một bài toán thi đại học tôi đã đào sâu suy nghĩ đưa ra được nhiều cách giải và