SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
"KHAI THÁC TỪ MỘT BÀI TOÁN SỐ HỌC LỚP 6"
1
PHẦN I. MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
Toán học có vai trò và vị trí đặc biệt quan trọng trong khoa học kĩ thuật và
đời sống, giúp con người tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học khác có
hiệu quả. Thông qua việc học toán, người học có thể nắm vững được nội dung
toán học và phương pháp giải toán, từ đó vận dụng vào các môn học khác nhất
là các môn khoa học tự nhiên, kỹ thuật. Hơn nữa Toán học còn là cơ sở của mọi
ngành khoa học khác, chính vì thế môn toán có vai trò đặc biệt quan trọng trong
trường phổ thông.
Giải toán là một nghệ thuật thực hành, cũng giống như bơi lội , chơi đàn,
… Vì vậy để có kỹ năng giải bài tập toán phải qua quá trình luyện tập. Tuy rằng
không phải cứ giải bài tập là có kỹ năng. Việc luyện tập có hiệu quả nếu như
khéo léo khai thác một bài toán sang một loạt bài toán tương tự nhằm vận dụng
một tính chất nào đó. Thực tiển cho thấy học sinh học toán thường không chú ý
đến phương pháp trên nên khi gặp những bài toán tương tự người làm thường
hay lúng túng.
Vậy với sự đam mê học toán và sự tâm huyết với nghề tôi đã tích lũy và
soạn ra đề tài này.
II. Nhiệm vụ nghiên cứu
Thông qua đề tài này, nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng linh hoạt khi
phân tích và đưa ra hướng giải một bài toán. Giúp các em biết cách làm các bài
toán liên quan đến bài toán đã học không chỉ riêng đối với bài toán trong đề tài
này mà còn cho tất cả các bài toán khác trong chương trình học. Đề tài còn là tài
liệu cho giáo viên tham khảo và bồi duỡng học sinh giỏi.
- Cơ sở lý luận của đề tài:
Việc khai thác một bài tập toán có ý nghĩa hay không.
- Vận dụng lý luận vào thực tiễn:
2

− =
+ +
(1)
Hướng dẫn:
Ta có:
1 1 1 1 1
1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
n n n n
n n n n n n n n n n
+ + −
− = − = =
+ + + + +
(đpcm).
* Nhận xét 1:
Đặc điểm của đẳng thức (1). Vế trái là hiệu của hai phân số có tử là 1, còn
mẫu số hơn kém nhau 1 đơn vị thì bằng phân số có tử là 1, còn mẫu là tích hai
mẫu số của hai phân số đã cho.
* Nhận xét 2:
Đẳng thức (1) chẳng những đúng cho n
∈
N mà còn đúng cho x
∈
R, chẳng
những đúng mẫu là tích của 2 số hơn kém 1 đơn vị mà còn đúng cho tích của 3,
4, … số cách đều. Ví dụ ở sách bài tập toán 8 có bài toán sau:
a) Chứng minh rằng:
1 1 1
1 ( 1)x x x x
− =
+ +

+ + + + +
+ + + + + + + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5x x x x x x x x x x x x
= − + − + − + − + − + =
+ + + + + + + + + +
* Chú ý: Các dạng mở rộng của công thức (1) là:
1)
1 1 1
1 ( 1)x x x x
− =
+ +
(2)
2)
1 1 1 1
( )x x a a x x a
 
 ÷
 
= −
+ +
(3)
3)
1 1 1 1
( 1)( 2) 2 ( 1) ( 1)( 2)x x x x x x x
 
 ÷
 
= −
+ + + + +

≥
1).
Hướng dẫn:
a)
1 1 1 1 1 1 1 2009
1
1 2 2 3 2009 2010 2010 2010
A = − + − + + − = − =
b) Nhận xét thấy bài toán ở câu b) là một bài toán tổng quát của bài toán ở
câu a).
Với n
≥
1 ta có:
1 1 1 1 1 1 1
1
1 2 2 3 1 1 1
n
B
n n n n
= − + − + + − = − =
+ + +
.
* Nhận xét 3: Nếu đặc điểm của mẫu các phân thức là tích của hai nhân tử cách
nhau 2, 3, … thì bài toán giải như thế nào?
Bài 2: Tính tổng
a)
1 1 1

1.3 3.5 2009.2011
A = + + +

a) Áp dụng công thức (2). Viết mỗi hạng tử trong tổng dưới dạng:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
; ; ;
1.3 2 1 3 3.5 2 3 5 2009.2011 2 2009 2011
     
 ÷  ÷  ÷
     
= − = − = −
Do đó:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1005
+ 1
2 1 3 3 5 2009 2011 2 2011 2011
A
   
 ÷  ÷
   
= − + − + − = − =
b) Phương pháp làm như câu a).
Xét hạng tử tổng quát: Với k>1 ta có
1 1 1 1
( 3) 3 3k k k k
 
 ÷
 
= −
+ +
6
Khi đó:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+

i i
i i
a a b a a
+ +
 
 ÷
 
= −
, ( Với a
i
- a
i+1
= b, i =
1,k
)
* Nhận xét 4: Còn nếu là mẫu là tích của 3, 4, … số tự nhiên cách đều thì sao?
Bài 3: Tính tổng
a)
1 1 1

1.2.3 2.3.4 ( 1) ( 1)
A
n n n
= + + +
− +
(Với n
∈
N, n >1).
b)
1 1 1

b) Tương tự xét số hạng tổng quát ta có:
1 1 1 1
(2 1)(2 1)(2 3) 4 (2 1)(2 1) (2 1)(2 3)k k k k k k k
 
 ÷
 
= −
− + + − + + +
,
Do đó:
1 1 1 1 1 1 1

4 1.3 3.5 3.5 5.7 (2 1)(2 1) (2 1)(2 3)
B
n n n n
 
 ÷
 
= − + − + + −
− + + +

1 1 1
4 3 (2 1)(2 3)n n
 
 ÷
 
= −
+ +
7
* Nhận xét 5: Từ (1) ta có đẳng thức tổng quát hơn:

1 1
( )( )
a b
c a c b c a c b
−
= −
− − − −
.
Do đó:
1 1 1 1 1 1
VT VP
c a c b a b a c b c b a
= − + − + − =
− − − − − −
(đpcm).
* Chú ý: Các dạng bài tập ở mục này áp dụng cho tất cả đối tượng là học sinh
THCS.
II. KHAI THÁC ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG
THỨC:
Bài 1: Với n là số tự nhiên lớn hơn 1, chứng minh rằng:
a)
1 1 1
1
1.2 2.3 ( 1)n n
+ + + <
−
b)
2 2 2 2
1 1 1 1 1
2

−
hay
2
1 1 1
1k k k
< −
−
.
Khi đó
1 1 1 1 1 1 1
1 2
1 2 2 3 1
VT VP
n n n
< + − + − + + − = − =
−
(đpcm)
c) Tương tự ta cũng sử dụng phương pháp làm trội.
Với k > 1, ta có:
3 3 3
1 1 1 1 1 1 1
( 1) ( 1) 2 ( 1) ( 1)k k k k k k k k k k k
 
< = ⇒ < −
 ÷
− − + − +
 
Khi đó:
3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1
! ( 1)! !
k
k k k
−
= −
−
.
Do đó:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
1! 2! 2! 3! 3! 4! ( 1)! ! !
VT VP
n n n
= − + − + − + + − = − < =
−
(đpcm).
9
* Chú ý: Các bài toán có sử dụng phương pháp làm trội chỉ áp dụng cho đối
tượng là học sinh lớp 8 và lớp 9.
CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG TRONG NỘI DUNG NÀY:
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n
≥
1 ta có:
a)
2 2 2 2
1 1 1 1 1

2 4 6 (2 ) 2n
+ + + + <

n n
n
+ −
+ + + + <
III. KHAI THÁC ỨNG DỤNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT
PHƯƠNG TRÌNH:
Bài 1: Giải các phương trình:
1 1 1 1 148 98
( 2)
1.3 3.5 5.7 97.99 99 99
x x x
 
+ + + + − + = −
 ÷
 
Hướng dẫn:
Xét
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 49
1 1
1.3 3.5 97.99 2 3 3 5 97 99 2 99 99
   
+ + + = − + − + + − = − =
 ÷  ÷
   
Khi đó (a)
49 148 98
( 2) 49( 2) 99 148 98
99 99 99
0. 0
x x x x x x

trình sau:
2
2
1
1 1
3 4 0 ( 1)( 4) 0
4
1 3 5
x
x x x x
x
x x
= −

− = − ⇔ − − = ⇔ + − = ⇔

=
+ +

Kiểm tra với ĐKXĐ, ta thấy chỉ có nghiệm x = 4 thỏa
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =
{ }
4
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a)
2 2 2
1 1 1 3
3 2 5 6 4x x x x x x
+ + =
+ + + + +

( 1) ( 1)( 2) ( 2)( 3) 4 3 4 ( 3) 4
a
x x x x x x x x x x
⇔ + + = ⇔ − = ⇔ =
+ + + + + + +
2
( 3) 4 3 4 0
1 0 1
( 1)( 4) 0
4 0 4
x x x x
x x
x x
x x
⇔ + = ⇔ + − =
− = =
 
⇔ − + = ⇔ ⇔
 
+ = = −
 
Cả hai nghiệm x = 1, x = - 4 đều thỏa ĐKXĐ.
Vậy tập nghiệm phương trình là: S =
{ }
4;1−
b) Nhận xét: x
2
+ 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)
x
2

Bài 4:Giải bất phương trình:
1 1 1 1 1 1

1.51 2.52 10.60 1.11 2.12 50.60
x
 
+ + + < + + +
 ÷
 
Hướng dẫn:
Cánh làm tương tự như bài 1 ở mục này, chỉ có chú ý dấu bất đẳng thức
thay bằng dấu đẳng thức.
Kết quả: x < 5.
12
* Chú ý: Các dạng bài tập ở mục này áp dụng nhiều cho đối tượng học sinh lớp
8 và lớp 9. Học sinh lớp 6 và lớp 7 làm được dạng bài 1 với nội dung tìm x.
CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG TRONG NỘI DUNG NÀY:
Bài 5: Giải các phương trình:
a)
1 1 1 1 149 99
2
1.2 2.3 99.100 2 50 200
x x x
  
+ + + − + = −
 ÷ ÷
  
b)
1 1 1 1 1 1
.

II. KIẾN NGHỊ
1. Với Sở GD&ĐT, Phòng GD&ĐT
- Quan tâm hơn nữa đến việc bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáo
viên dạy toán. Nên tổ chức các hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viên
trong tỉnh.
2. Với BGH nhà trường
- Hiện nay, nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên có vẻ như
chưa đầy đủ. Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm
sách tham khảo môn Toán để học sinh được tìm tòi, học tập khi giải toán để các
em có thể tránh được những sai lầm trong khi làm bài tập và nâng cao hứng thú,
kết quả học tập môn toán nói riêng, nâng cao kết quả học tập của học sinh nói
chung.
3. Với PHHS
- Quan tâm việc tự học, tự làm bài tập ở nhà của con cái. Thường xuyên
kiểm tra sách, vở và việc soạn bài trước khi đến trường của các con
14