HƯỚNG DẪN HỌC SINH TIẾP CẬN CÁCH KHAI THÁC CÁC ỨNG DỤNG
TỪ MỘT BÀI TOÁN
- 1 -
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Học sinh thường có cách học giải toán chứ không lưu ý đến phương pháp giải
do đó chóng quên, thường giải bài nào biết bài đó nên nếu như đề bị biến tấu thì
không nhận ra. Do đó đáp ứng đổi mới phương pháp dạy họccũng nên đổi mới
phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi. Tôi xin mở rộng bài toán cụ thể bài 71 trang
14 (sách bài tập toán 9 tập 1). Tôi thấy bài tập này có nhiều ứng dụng, tôi xin đưa
ra một số cách khai thác để giúp học sinh nhớ bài lâu hơn , vận dụng tốt hơn vào
giải bài toán khác.
II. NỘI DUNG :
Nội dung gồm 3 phần chính:
A.Khai thác ứng dụng bài 71 trong tính toán.
B.khai thác các ứng dụng bài 71 trong chứng minh bất đẳng thức.
C. Khai thác các ứng dưng bài 71 trong giải phương trình.
Bài 71 trang 14 (Sách bài tập tóan 9 tập I ) chứng minh rằng

nn
nn
++
=−+
1
1
1
với n là số tự nhiên.
Chứng minh : (
nnnn ++−+ 1)(1
)
11
=−+=

1

34
1
23
1
12
1
+
++
+
+
+
+
+

b.
1
1

34
1
23
1
12
1
−+
++
+
+

34
1
23
1
12
1
−+
++
+
+
+
+
+ nn
với n
≥
1
=
11 342312 −=−−++−+−+− nnn

Bài 2 : Tính
a. A =
200620005
1

43
1
32
1
21
1

+
−
=−
hay
1
1
1
++
−
=+−
nn
nn
Giải :
a. A =
200620005
1

43
1
32
1
21
1
−
++
−
+
−
−
−

=
122 433221 ++++−−++−− kk

=
)112( −+k
ở Bài 71, thay 1 = x
∈
N ta có bài toán 3
Bài 3 Chứng minh: Với x>0,n
0≥
Ta có:
nxn
x
nxn
++
=−+

Bài4: Tính
a. C =
1316
3

710
3
47
3
14
3
+
++

2
-
2
1
= 3 , ở đây x = 3
Ta có:
- 4 -
C =
+
+ 14
3
+
+ 47
3
+
+ 710
3
… +
1316
3
+
=
1316 7104714 −++−+−+−

=
314116 =−=−
b. áp dụng bài3vào bài bài 4b (
3
)
2

+
++
+
+
+
Định hướng :
nnnn )1(1
1
+++
= ?

nnnn )1(1
1
+++
=
1
1
+nn
.
1
1n n+ +
=
1.
1
+
−+
nn
nn
=
1

3 3 3
.
5 2 2 5 8 5 5 8 2006 2003 2003 2006
b P = + + +
+ + +

Ta có
3
5 2 2 5+
3(5 2 2 5)
(5 2 2 5)(5 2 2 5)
−
=
+ −
3(5 2 2 5)
30
−
=
=
5 2 2 5
10
−
=
5 2 2 5
10 10
−
=
1 1
2 5
−

20052007 >

⇒

2007 2006 2006 2005− < −
Bài 7 : Tổng quát từ bài 6 ta có :
- 6 -

11 −−<−+ nnnn
với n
≥
1
áp dụng bài 71 (bài tập toán 9 tập I) ta có điều phải chứng minh.
Bài 8 : Thay 1 = x ở bài 7 ta có : Với
n x≥
>1
A =
nxn −+

B =
xnn −−
ta có : A < B
từ bài toán 6 ta có bài toán sau:
Bài 9 : So sánh C và D
C =
mpm −+

D =
npn −+
Với m > n > 0 ,p > 0


11 −−<−+⇔ nnnn
Bất đẳng thức này đã chứng minh ở bài 7
b.
nxnxn 2<−++

xnnnxn −−<−+⇔
Đã chứng minh ở bài 8
Bài 11 : Chứng minh :
122222 +<++ mmm
với m
≥
-1
Chứng minh: Với n = 2 m +1, thay vào bài 10a thì ta được :
122222 +<++ mmm

Bài 12:Không dùng máy tính và bảng số hãy chứng tỏ
1,099101 >−
Giải

99101
2
99101
+
=−

Vì 0 <
100299101 <+
( Suy ra từ bài 10a )
⇔

n
−+<
+
1
12
1
⇔
nnn ++
<
+ 1
1
12
1
( Áp dụng bài 71 trang 14 )
⇔
2
1+n
>
1+n
+
n
(hiển nhiên đúng )
b.
)1(2
1
)1(2 −−<<−+ nn
n
nn

* Chứng minh : 2 (

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng
* Chứng minh

n
1

2( 1)n n< − −

⇔
0 <
n2
1
<
1
1
−+ nn

⇔
2
n
>
n
+
1−n
⇔

n
>
1−n


1
< 2 (
12 −
)
2 (
34 −
) <
3
1
< 2 (
23 −
)
2 (
5 4) 2( 4 3)− < −
……………………….
2(
99100(2
100
1
)100101 −<<−
)
Cộng vế với vế ta có
1 + 2 (
100101 3423 −++−+−
)< S < 1 + 2(
12 −
+
23 −
+
34 −


3242 <+
……………
……………
……………

2007220082006 <+

Cộng vế với vế ta có:
2007 31(22008)2006 42(2 +++<++++⇒
)
⇒
A < B
Bài 16 : Chứng minh rằng :
1+
100
2500
1

4
1
3
1
2
1
<++++

Chứng minh : Từ bài 13 b ta cũng có :
)1(2
1

1
2
1
−+−+−+<++++
25002
2500
1

4
1
3
1
2
1
1 <+++++⇔
100
2500
1

4
1
3
1
2
1
1 <+++++⇔
( Điều phải chứng minh )
C. KHAI THÁC ỨNG DỤNG CỦA BÀI 71 TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bài 17 : Giải phương trình


+++ xxxxxx
1)1()12()23( =−+++−+++−+⇔ xxxxxx

- 12 -
)13( =−+⇔ xx
1)323( =+−++⇔ xxxx
xxx 3222
2
+=+⇔
xxx 31
2
+=+⇔
1312
22
=⇔+=++⇔ xxxxx
Bài 18: Giải phương trình :
2
2
2
+
+
+
x
x
x
= 9 ( 18 )

x
x
++

=⇔
=+⇔
=+⇔
=−+⇔
x
x
x
x
Bài 19 : Giải phương trình :
- 13 -
(
4)32()32 =−++
xx
( 19 )
Giải :
Đặt y = (
y
xx
1
)32()32 =−⇒+

Phương trình (19)
014
4
1
2
=+−⇔
=+⇔
yy
y

+=+
−
x
x
x
x
x
x
x
Vậy phương trìmh đã cho có nghiệm
x = ± 2
Bài 20 :Giải phương trình

(9 4 5 ) ( 9 4 5 ) 18
x x
− + + =
(20)
Giải:
Đặt y =
x
)549( +

- 14 -
=>
y
x
1
)549( =−
Phương trình (20)


x
)549( +
=
2
)549( +
Nếu y = 9 -
54
=> x=-2
Vậy phương trình có hai nghiệm: x = ± 2
*.Bài tập :
Bài 1: Tính

2 2 2 2 2
.
3 7 7 11 11 15 15 19 2003 2007
a A = − + − + +
− − − − −
4 4 4 4
.
9 13 13 17 17 21 221 225
b B = + + + +
+ + + +
1 1 1
.
6 1 1 6 11 6 6 11 2006 2001 2001 2006
c C = + + +
+ + +
- 15 -
Bài2:Chứng minh S = 1+
+++