Phần I : Đặt vấn đề
Giải toán là một nghệ thuật thực hành . Vì vậy để có kỹ năng giải bài tập Toán
và tìm ra được quy luật bài toán phải qua quá trình luyện tập . Tuy rằng không
phải cứ giải bài tập là có kỹ năng hay tìm ra được quy luật. Việc luyện tập sẽ có
hiệu quả , nếu như biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loại bài tập
tương tự , nhằm vận dụng một tính chất nào đó hay khái quát được cách giải
chocho loại bài tập cùng dạng hoặc có dạng tương tự. Thực tế cho thấy học sinh
học Toán thường không chú ý đến đặc điểm bài toán, phương pháp giải nên khi
gặp bài toán có sử dụng phương pháp giải tương tự còn gặp nhiều khó khăn
,lúng túng,thậm chí không biết cách giải như thế nào.Điều đó càng khẳng định
rằng “không thầy đố mày làm nên”.Nếu như không có sự hướng dẫn của giáo
viên thì người học không có được một phương pháp hay một kết quả tốt.Chứng
tỏ phương pháp học đóng một vai trò cực kỳ quan trọng trong học tập.
Chính vì vậy để nâng cao chất lượng bộ môn toán và lôi cuốn được niềm đam
mê,sự yêu thích dành cho bộ môn Toán tôi đã tiến hành soạn ra đề tài : “Khai
thác các ứng dụng từ một bài toán có quy luật ở THCS”.

Phần II. Giải quyết vấn đề
1. Cơ sở lý luận của đề tài :
Giải bài tập toán là một quá trình suy luận ,nhằm khám phá ra các quá trình
logic giữa cái đã cho (giả thiết) với cái phải tìm (kết luận) .Nhưng các quy tắc
suy luận cũng như các chứng minh chưa được tường minh .Do đó , học sinh
thường gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập . Thực tiễn dạy học cũng cho thấy :
học sinh khá giỏi thường đúc kết những tri thức ,phương pháp cần thiết cho
mình bằng con đường kinh nghiệmvà từ đó có thể tìm ra được quy luật cho bài
toán. ; còn học sinh trung bình, yếu , kém gặp nhiều lúng túng . Để có kỹ năng
giải bài tập phải qua quá trình rèn luyện. Tuy rằng ,không phải cứ giải nhiều bài
tập là học sinh nào cũng có thể tìm ra được quy luật của bài toán .

1


2


khác ,để từ đó có phương pháp giải hợp lý nhất hay vận dụng phương pháp từ
bài toán này sang bài toán khác có dạng tương tự,khai thác từ bài toán này sang
bài toán khác,vận dụng kết quả từ bài toán này sang bài toán khác ,….Vì
vậy,qua kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy tôi thấy để học sinh đạt được kết quả
học tập tốt thì các em phải có phương pháp giải toán tốt .Đó là biêt quan sát, biêt
dụng ,biêt khai thác bài toán có dạng tương tự,từ đó tìm ra quy luật chung.
Do đó,khi chưa hướng dẫn học sinh khai thác ứng dụng từ một bài toán có
quy luật ở THCS mà chỉ hướng dẫn một bài cụ thể.Đa số các em khi gặp loại
toán tương tự không biết cách áp dụng mà loai hoay không biết cách giải,kêt quả
cụ thể :
Lớp

TS

6A
8A

15
15

Giỏi
SL
%
0
0
0
0

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy để học sinh có được phương pháp
giải toán tốt người giáo viên cần phải giúp các em có thói quen quan sát đặc
điểm bài toán trước khi giải và có ý thức liên hệ ,vận dụng,khai thác từ bài toán
này sang bài toán khác.
b)Biện pháp thực hiện :
Qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy dạng bài tập có nhiều ứng dụng trong giải
các dạng toán như :
-Ứng dụng trong dạng tính toán ,toán rút gọn,toán chứng minh đẳng thức .
-Ứng dụng trong dạng toán chứng minh bât đăng thức.
-Ứng dụng trong dạng toán giải phương trình,bât phương trình....
Vì thế tôi chọn dạng bài tập có quy luật để khai thác các ứng dụng để hướng
dẫn học sinh để tìm ra quy luật.
Xét bài toán sau:
1

1

1

a) Chứng tỏ rằng với n ∈ N,n ≠ 0: n(n + 1) = n − n + 1
b) Áp dụng kết quả trên để tính được tổng sau:

(1)

1
1
1
1
1
1

1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 6
= − + − + − + − + − + − =1 − =
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7
7 7

Cách phát biểu khác của bài toán:
1

a) Viết phân thức n(n + 1) thành hiệu của hai phân thức có tử bằng một
b) Vận dụng kết quả câu a hãy rút gọn biểu thức sau:
1
1
1
1
1
1
+

1 1 1 1 1 1 1
1
1
+
+
+
+
+ ... +
= + − + − + − + ... −
2 2.3 3.4 4.5 5.6
99.100 2 2 3 3 4 4 5
99 100
1
99
=1 =
100
100

Từ đó có bài toán tổng quát :
1

1

1

1

1

1


a)

*Hướng dẫn:
a) Viết mỗi hạng tử dưới dạng hiệu hai phân thức:

4


1 1 1 1 1
1 1 1
= ( − );
= ( − )
1.3 2 1 3 5.7 2 5 7
1
1 1 1 1
1 1 1
1
1 1
1
= ( − );
= ( − );...;
= (
−
)
3.5 2 3 5 7.9 2 7 9
2005.2007 2 2005 2007
1
1
1

1

1

Xét hạng tử tổng quát: (3n + 2)(3n + 5) = 3 ( 3n + 2 − 3n + 5 )
1

1

1

1

1

nên ,ta có 2.5 + 5.8 + 8.11 + 11.14 + ... + (3n + 2)(3n + 5)
1 1
1
n +1
1 1 1 1 1 1 1
1
1
)=
+ ... +
−
)= ( −
3 2 3n + 5 2(3n + 5)
3 2 5 5 8 8 11
3n + 2 3n + 5



a)

với a2 - a1= a3 – a2 = a4 – a3 = …= ak+1- ak = b
Hướng dẫn :Phương pháp làm :Viết các hạng tử trong tổng dưới dạng hiệu
5
5 1 1
5
5 1 1
= ( − )
= ( − )
;
2.4 2 2 4
4.6 2 4 6
5
5 1 1
5
5 1 1
5
5 1
1
= ( − );
= ( − ); … ;
= ( −
)
6.8 2 6 8
8.10 2 8 10
98.100 2 98 100
5
5

= −
a1a2 a1 a2
n
1 1
= −
a2 a3 a2 a3

5


………………………….
n
1
1
= −
ak ak +1 ak ak +1
n
n
n
n
n
1
1
Cộng vế với vế ta có : a a + a a + a a + a a + ... + a a = = a − a
1 2
2 3
3 4
4 5
k k +1
1

b a1 ak +1

Nếu mẫu là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp cách đều nhau thì sao ? Từ đó ta có
bài toán khó hơn:
Bài 3: Tính tổng :
1

1

1

1

1

1

1

1

1

A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + ... + (n − 1).n.(n + 1) với n ≥ 1,n∈ N
1

B = 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + 7.9.11 + ... + (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) với n ≥ 2,n∈ N
*Hướng dẫn: Phương pháp giải tương tự như các bài toán trên:viết các hạng tử
dưới dạng hiệu
2

B= ( 1.3 − 3.5 + 5.7 − 7.9 + 9.11 − 11.13 + ... + (2n − 1).(2n + 1) − (2n + 1)(2n + 3) )
4
1 1
1
= 4 ( 3 − (2n + 1)(2n + 3) )
1 1 b−a
*) Từ (1) ta có đẳng thức tổng quát hơn: a − b = ab với a ≠ 0 ; b ≠ 0 thì việc áp

A=

dụng công thức trên trong thực tế được sử dụng rất nhiều . Chẳng hạn với bài
toán sau:
Bài 4: Cho biết a,b,c là các số thực khác nhau. Chứng minh :
b−c
c−a
a −b
2
2
2
+
+
=
+
+
(a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a )(c − b) a − b b − c c − a

*Hướng dẫn: Đối với bài này nếu dùng cách hòa đồng mẫu số vế trái để chứng
minh thì quá trình tính phức tạp .Có cách gì tính ngắn gọn không ? Quan sát các
số hạng ở vế trái tử số vừa đúng bằng hiệu hai thừa số ở mẫu số :
6

−
+
−
(a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a )(c − b) a − b a − c b − c b − a c − a c − b
1
1
1
1
1
1
−
+
−
+
−
=
a −b a −c b −c b −a c −a c −b
2
2
2
+
+
=
(đpcm)
a −b b−c c−a

* Chú ý đến mẫu :nếu ta thay x(x+1) = x2 + x; (x+1)(x+2)= x2 + 3x +2;…
Ta sẽ có các bài toán luyện cho học sinh kỹ năng phân tích đa thức thành nhân
tử:
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau :

1

1

1

1

1

M= x( x + 1) + ( x + 1)( x + 2) + ( x + 2)( x + 3) + ( x + 3)( x + 4) + ( x + 4)( x + 5)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
+
−
+
−
+
−
+
−

−
+
−
x −2 x −3 x −3 x −4 x − 4 x −5 x −5 x −6
1
1
−4
= x − 2 − x − 6 = ( x − 2)( x − 6)

=

Bài 6: Rút gọn :
a
a
a
a
1
+ 2
+ 2
+ 2
+
2
2
2
x + ax x + 3a.x + 2a
x + 5.a.x + 6a
x + 7.a.x + 12a
x + 4a
a
a


a

1

a) A= x( x + a) + ( x + a)( x + 2a) + ( x + 2a)( x + 3a) + ( x + 3a)( x + 4a) + x + 4a
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
+
−
+
−
+
−
+
=
a x + a x + a x + 2a x + 2a x + 3a x + 3a x + 4a x + 4a
x
a
a
a

2x +1

5

A = (1.2)2 + (2.3) 2 + ... + x( x + 1) 2
[
]

Bài 7: Rút gọn biểu thức sau:
2x +1

1

1

Hướng dẫn: Nhận xét: x 2 ( x + 1)2 = x 2 − ( x + 1)2 nên ta có :
1

1

1

1

1

1

1



1

1

1

1

1

1

1

b) 32 + 52 + 7 2 + 92 + ... + (2n + 1)2 < 4
1

a) Nhận xét : (2n) 2 = 4 . (n − 1).n mà (n − 1).n = n − 1 − n nên ta có :
1

1

1

1

1

1 1 1 1 1 1 1

(1 + 1 − )
4
n hay A〈 − hayA〈
2 4n
2

(đpcm)

1
1
1
1 1
1 
〈
⇔
〈  −
÷ nên ta có :
2
2
2
(2n + 1) (2n + 1) − 1
(2n + 1) 2  2n 2n + 2 
1
1
1
1
1
B < 32 − 1 + 52 − 1 + 7 2 − 1 + 92 − 1 + ... + (2n + 1) 2 − 1 hay
1
1

(đpcm)

Bài 9: Chứng minh với n nguyên ,n lớn hơn 1:
A=

1 1 1 1
1
1
+ 2 + 2 + 2 + ... + 2 〈 2 −
2
1 2 3 4
n
n

Hướng dẫn:Để áp dụng (1)cần sử dụng phương pháp làm trội,tương tự như bài 9
1

1

1

1

1

Nhận xét với k = 2;3;4;…; n,ta có : k 2 〈 (k − 1).k hay k 2 〈 k − 1 − k (2)
Lần lượt cho :k = 2;3;4;…; n trong (2) rồi cộng lại vế theo vế ta được:
A=

1 1 1 1

n

1
1
hay B< 1hay B < 1 (đpcm)
n
n
Bài 11: Chứng minh với mọi số tự nhiên n,n ≥ 2 thì:
1 1 1 1
1
2
C = 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2

*Hướng dẫn: Để áp dụng (1) cần sử dụng phương pháp làm trội.Vậy sử dụng
như thế nào ? hãy xem nhận xét sau:
1
1
1
1
1 1
1
1
〈 3
hay 3 〈
hay 3 〈 (
−
) .Do đó ta có:
3
k k −k
k (k − 1)(k + 1)
k 2 (k − 1).k (k + 1).k
1
1
1
D < 3 + 3 + ... + 3
2 −2 3 −3
n −n
1 1
1
1
1
1
1

1
1
〈 3
hay 3 〈
hay 3 〈 (
−
) .Do đó :
3
n n −n
n (n − 1).n.(n + 1)
n 2 (n − 1).n (n + 1).n
1 1
1
1
1
1
1
E < 2 ( 2.3 − 3.4 + 3.4 − 4.5 + ... + (n − 1).n − n.(n + 1) ) hay
1 1
1
1
E < 2 ( 2.3 − n.(n + 1) ) hay E

trình:
Bài 15: Giải phương trình :
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
)x = +
+
+ ... +
1.101 2.102 3.103
10.110
11 2.12 3.13
100.110
1
1
1
1
148
98
)( x − 2) + x =
x−
b) ( + + + ... +
1.3 3.5 5.7

101 2 102
10 110
1
1 1
1 1
1
1
(1 + + + ... + −
− ... −
)
=
100
2 3
10 101 102
110
1
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
+
+ ... +
−
)
Xét +
= ( − + − + ... +
11 2.12 3.13
100.110 10 1 11 2 12

1
1
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
+
+
+ ... +
b)Xét :
= (1 − + − + − + ... + − )
1.3 3.5 5.7
97.99 2
3 3 5 5 7
97 99
1
1
49
= (1 − ) = . Khi đó ta có :
2
99 99

a) (

10


49

1
2007
⇔ 2( − + − + − + ... + −
)=
2 3 3 4 4 5
x x + 1 2009
1
1
2007
2
2007
2
2
⇔ 2( −
⇔ 1−
⇔
⇔ x = 2008
)=
=
=
2 x + 1 2009
x + 1 2009
x + 1 2009
(thỏa mãn x ≠ 0 ; x ≠ - 1 )

Bài 16: Giải phương trình :
1
1
1
1

50.60

a) (

*Hướng dẫn:
1
1
1
1
1
9
+
+
+ ... +
)( x − 1) + x = x −
1.2 2.3 3.4
9.10
10
10
1 1 1 1 1
1 1
1
9
⇔ (1 − + − + − + ... + − )( x − 1) + x = x −
2 2 3 3 4
9 10
10
10
9
1

1 1
1 1 1 1 1
1
1
⇔
(1 − + − + − + ... + − ) x = ( − + − + ... + − )
50
51 2 52 3 53
10 60
10 1 11 2 12
50 60
1
1 1
1
1 1
1
1
1 1
1 1 1
1
⇔
(1 + + + ... + − − ... − ) x =
(1 + + + ... +
- − − ... − )
50
2 3
10 51 52
60
10
2 3

Bài 17: Giải phương trình sau:

1
1
1
1
1
1
−6
+ 2
=
+ 2
+ 2
=
b) 2
x + 4 x + 3 x + 8 x + 15 6
x − 5 x + 6 x − 8 x + 15 x − 13 x + 40 5
1
1
1
+
=
c) 2
x + 9 x + 20 x 2 + 13 x + 42 18
1
1
1
1
1
+ 2

1
1
(
−
+
−
)= ⇔
2 x +1 x + 3 x + 3 x + 5 6

1 1
1
1
(
−
)=
2 x +1 x + 5 6
⇒ 3(x+ 5 – x -1) = (x + 5)(x + 1) ⇔ (x+3)2 = 42 ⇔ x+ 3 = 4 hoặc x + 3 = - 4
⇔ x = 1 hoặc x = - 7 ( thỏa mãn ĐKXĐ)

• ) Các câu b;c;d phương pháp làm hoàn toàn như câu a
Bài18:Giảiphươngtrình
(

1
1
1
1
1
1
1

Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
SL %
SL %
SL %
SL %
SL %
6A
15
1
6,67 4
26,67 5
33,33 3
20
2
13,33
8A
15
1
6,67 4
26,67 4
26,67 4
26,67 2
13,33

Phần 3 : Kết luận và đề xuất
a) Kết luận:

Thanh Hóa ,ngày 10 tháng 4 năm 2014
Cam kết không copy
Tác giả

Lê Thị Hương

\

Tài liệu tham khảo
1.
2.
3.
4.

Bài tập toán 8 tập 1.
Nâng cao và phát triển toán 8 tập 1.
Phát triển toán 8.
Bồi dưỡng toán 8.
13


5. Bài tập toán 6 tập 2.
6. Nâng cao và phát triển toán 6 tập 2.
7. Một số tài liệu tham khảo khác.

Phụ lục
Phần I : Đặt vấn đề.
…………………………………
Phần II: Giải quyết vấn đề.
………………………………….