Sáng kiến kinh nghiêm
KHAI THÁC TỪ MỘT BÀI TOÁN SỐ HỌC LỚP 6
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
"KHAI THÁC TỪ MỘT BÀI TOÁN SỐ HỌC LỚP 6"
Phần I: MỞ ĐẦU
A. Sự cần thiết và tính khả thi của đề tài:
Toán học có vai trò và vị trí đặc biệt quan trọng trong khoa học kĩ thuật và
đời sống, giúp con người tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học khác có
hiệu quả. Thông qua việc học toán, người học có thể nắm vững được nội dung
toán học và phương pháp giải toán, từ đó vận dụng vào các môn học khác nhất là
các môn khoa học tự nhiên, kỹ thuật. Hơn nữa Toán học còn là cơ sở của mọi
ngành khoa học khác, chính vì thế môn toán có vai trò đặc biệt quan trọng trong
trường phổ thông.
Giải toán là một nghệ thuật thực hành, cũng giống như bơi lội , chơi đàn, …
Vì vậy để có kỹ năng giải bài tập toán phải qua quá trình luyện tập. Tuy rằng
không phải cứ giải bài tập là có kỹ năng. Việc luyện tập có hiệu quả nếu như khéo
léo khai thác một bài toán sang một loạt bài toán tương tự nhằm vận dụng một tính
chất nào đó. Thực tiển cho thấy học sinh học toán thường không chú ý đến phương
pháp trên nên khi gặp những bài toán tương tự người làm thường hay lúng túng.
Vậy với sự đam mê học toán và sự tâm huyết với nghề tôi đã tích lũy và
soạn ra đề tài này.
B. Nhiệm vụ:
Thông qua đề tài này, nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng linh hoạt khi
phân tích và đưa ra hướng giải một bài toán. Giúp các em biết cách làm các bài
toán liên quan đến bài toán đã học không chỉ riêng đối với bài toán trong đề tài này
mà còn cho tất cả các bài toán khác trong chương trình học. Đề tài còn là tài liệu
cho giáo viên tham khảo và bồi duỡng học sinh giỏi.
- Cơ sở lý luận của đề tài:
Việc khai thác một bài tập toán có ý nghĩa hay không.
- Vận dụng lý luận vào thực tiễn:
Giáo viên

Xét bài toán mở đầu:
Chứng minh rằng:
1 1 1
1 ( 1)n n n n
− =
+ +
(1)
Giáo viên
: TRẦN MINH HÙNG-TRƯỜNG THCS TAM QUAN
Trang
2
Sáng kiến kinh nghiêm
KHAI THÁC TỪ MỘT BÀI TOÁN SỐ HỌC LỚP 6
Hướng dẫn:
Ta có:
1 1 1 1 1
1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
n n n n
n n n n n n n n n n
+ + −
− = − = =
+ + + + +
(đpcm).
* Nhận xét 1:
Đặc điểm của đẳng thức (1). Vế trái là hiệu của hai phân số có tử là 1, còn
mẫu số hơn kém nhau 1 đơn vị thì bằng phân số có tử là 1, còn mẫu là tích hai mẫu
số của hai phân số đã cho.
* Nhận xét 2:
Đẳng thức (1) chẳng những đúng cho n
∈

Áp dụng hệ thức:
1 1 1
1 ( 1)x x x x
− =
+ +
Khi đó ta có:
1 1 1 1 1 1
( 1) ( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 4)( 5) 5x x x x x x x x x x x
+ + + + +
+ + + + + + + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5x x x x x x x x x x x x
= − + − + − + − + − + =
+ + + + + + + + + +
* Chú ý: Các dạng mở rộng của công thức (1) là:
1)
1 1 1
1 ( 1)x x x x
− =
+ +
(2)
Giáo viên
: TRẦN MINH HÙNG-TRƯỜNG THCS TAM QUAN
Trang
3
Sáng kiến kinh nghiêm
KHAI THÁC TỪ MỘT BÀI TOÁN SỐ HỌC LỚP 6
2)
1 1 1 1
( )x x a a x x a

1 1 1

1.2 2.3 2009.2010
A = + + +
b)
1 1 1

1.2 2.3 ( 1)
B
n n
= + + +
+
(với n
≥
1).
Hướng dẫn:
a)
1 1 1 1 1 1 1 2009
1
1 2 2 3 2009 2010 2010 2010
A = − + − + + − = − =
b) Nhận xét thấy bài toán ở câu b) là một bài toán tổng quát của bài toán ở
câu a).
Với n
≥
1 ta có:
1 1 1 1 1 1 1
1
1 2 2 3 1 1 1
n

n n n
C
a a a a a a
+
= + + +
( Với a
i
- a
i+1
= b, i =
1,k
)
Hướng dẫn:
Giáo viên
: TRẦN MINH HÙNG-TRƯỜNG THCS TAM QUAN
Trang
4
Sáng kiến kinh nghiêm
KHAI THÁC TỪ MỘT BÀI TOÁN SỐ HỌC LỚP 6
a) Áp dụng công thức (2). Viết mỗi hạng tử trong tổng dưới dạng:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
; ; ;
1.3 2 1 3 3.5 2 3 5 2009.2011 2 2009 2011
     
 ÷  ÷  ÷
     
= − = − = −
Do đó:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1005
+ 1

1
1 1 1

. . .
k k
C n
a a a a a a
+
 
 ÷
 ÷
 
= + + +
.
Rồi áp dụng kết quả
1 1
1 1 1 1
.
i i
i i
a a b a a
+ +
 
 ÷
 
= −
, ( Với a
i
- a
i+1

a) Xét số hạng tổng quát ta có:
1 1 1 1
( )
( 1) ( 1) 2 ( 1) ( 1)k k k k k k k
= −
− + − +
( với k > 1)
Do đó:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1.2 2.3 2.3 3.4 ( 1) ( 1) 2 2 ( 1)
A
n n n n n n
   
 ÷  ÷
   
= − + − + + − = −
− + +
b) Tương tự xét số hạng tổng quát ta có:
1 1 1 1
(2 1)(2 1)(2 3) 4 (2 1)(2 1) (2 1)(2 3)k k k k k k k
 
 ÷
 
= −
− + + − + + +
,
Do đó:
1 1 1 1 1 1 1


a, b
≠
0). Khi đó việc áp dụng công thức trên trong thực tế rất nhiều. Chẳng hạn bài
toán sau.
Bài 4: Cho biết a, b, c là các số khác 0. Chứng minh rằng:

2 2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
a b b c c a
c a c b a b a c b c b a a b b c c a
− − −
+ + = + +
− − − − − − − − −
Hướng dẫn:
Đối với bài toán này ta quy đồng mẫu số thì quá trình thực hiện rất phức tạp.
Quan sát các số hạn ở vế trái ta thấy các tử số vừa đúng bằng hiệu của các mẫu số.
Điếu đó gợi cho ta áp dụng đẳng thức:
1 1b a
ab a b
−
= −
.
Tức là:
1 1
( )( )
a b
c a c b c a c b
−
= −
− − − −

Hướng dẫn:
a) Với k > 1, ta có:
1 1 1
( 1) 1k k k k
= −
− −
.
Giáo viên
: TRẦN MINH HÙNG-TRƯỜNG THCS TAM QUAN
Trang
6
Sáng kiến kinh nghiêm
KHAI THÁC TỪ MỘT BÀI TOÁN SỐ HỌC LỚP 6
Từ đó suy ra:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
1.2 2.3 ( 1) 2 2 3 1n n n n n
+ + + = − + − + + − = − <
− −
(đpcm)
b) Để áp dụng kết quả (1) cần sử dụng phương pháp làm trội. Vậy sử dụng
như thế nào? Hãy xem nhận xét sau.
Với k > 1, ta có:
2
1 1
( 1)k k k
<
−
hay
2

4
VT
n n n n n n
VP
   
< + − + − + + − = + − < +
 ÷  ÷
− + +
   
= =
Vậy:
3 3 3 3
1 1 1 1 5

1 2 3 4n
+ + + + <
, với n > 1 (đpcm).
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 ta có:
1 2 3 1
1
2! 3! 4! !
n
n
−
+ + + + <
Hướng dẫn:
Với k > 1 ta có:
1 1 1
! ( 1)! !
k

2 4 6 (2 ) 2n
+ + + + <
b)
2 2 2 2
1 1 1 1 1

3 5 7 (2 1) 4n
+ + + + <
+
Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
a)
2 2
3 5 7 2 1
1
4 36 144 ( 1)
n
n n
+
+ + + + <
+
b)
2 2
1 1 1 1 9

5 13 25 ( 1) 20n n
+ + + + <
+ +
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 ta có:
2
1 5 11 1

0. 0
x x x x x x
x x R
⇔ − + = − ⇔ − + = −
⇔ = ⇔ ∈

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = R.
Bài 2: Giải phương trình sau:
2 2 2
2 1 1
( 1)( 1) 1 3 5x x x x
= −
− + − +
Hướng dẫn:
Đây là phương trình chứa ẩn ở mẫu, nếu ta quy đồng, khử mẫu và đi không
đúng hướng thì ra phương trình bậc 4 rất phức tạp. Nhưng áp dụng kết quả của bài
toán mở đầu ta biến đổi đưa về một phương trình đơn giảng hơn rất nhiều.
Giáo viên
: TRẦN MINH HÙNG-TRƯỜNG THCS TAM QUAN
Trang
8
Sáng kiến kinh nghiêm
KHAI THÁC TỪ MỘT BÀI TOÁN SỐ HỌC LỚP 6
Chú ý rằng:
2 2 2 2
2 1 1
( 1)( 1) 1 1x x x x
= −
− + − +
Do đó, với điều kiện

a)
2 2 2
1 1 1 3
3 2 5 6 4x x x x x x
+ + =
+ + + + +
b)
2 2
1 1 1
4 3 8 15 6x x x x
+ =
+ + + +
c)
2 2 2
1 2 3 6
5 6 8 15 13 40 5x x x x x x
+ + = −
− + − + − +
Hướng dẫn:
a) Dễ nhận thấy các mẫu thức của các phân thức ở vế trái có dạng tích của
hai biểu thức hơn kém nhau 1 đơn vị, cụ thể:
x
2
+ x = x(x + 1); x
2
+ 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) và x
2
+ 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Do đó: Phương trình xá định khi x
≠

2
+ 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)
x
2
+8x + 15 = (x + 3)(x + 5)
ĐKXĐ: x
≠
- 1; - 3; - 5.
Giáo viên
: TRẦN MINH HÙNG-TRƯỜNG THCS TAM QUAN
Trang
9
Sáng kiến kinh nghiêm
KHAI THÁC TỪ MỘT BÀI TOÁN SỐ HỌC LỚP 6
2 2
1 1 1 1
( ) ( 3) 4
2 1 5 6
b x
x x
 
⇔ − = ⇔ + =
 ÷
+ +
 
3 4 7
3 4 1
x x
x x
+ = − = −

1.2 2.3 99.100 2 50 200
x x x
  
+ + + − + = −
 ÷ ÷
  
b)
1 1 1 1 1 1
.
1.101 2.102 10.110 1.11 2.12 100.110
x
 
+ + + = + + +
 ÷
 
c)
2 2
1 1 1
9 20 13 42 18x x x x
+ =
+ + + +
d)
2 2 2
1 1 1
( 1) 3 5x x x x
= −
+ +
Phần III: KẾT KUẬN
A. Khái quát các kết luận:
Phương pháp giải bài toán có hệ thống và logic là một yếu tố cơ bản giúp