Bài toán liên quan khảo sát hàm số
Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013
trang 1
1. Tập xác ñịnh.
2. ðạo hàm
y
′
.
3. Tìm m sao cho tập nghiệm bất phương trình
(
)
0 0
y y
′ ′
≥ ≤
chứa tập T.
Riêng với hàm số hữu tỷ cần chú ý nghiệm của mẫu không thuộc tập T.
Bài 1 : Tìm tham số m ñể hàm số
(
)
2
y x m x m
= − −
nghịch biến trên khoảng
(
)
;0
− ∞




*)
0
m
=
:
0
y
′
=
có nghiệm kép
0
x
=

0,y x
′
≤ ∀ ∈
ℝ
⇒
hàm số nghịch biến trên
ℝ
nên nghịch biến trên
(
)
;0
− ∞
.


0
m
<

−

0 + 0
−

Vậy
(
)
0, ; 0
y x
′
≤ ∀ − ∞
0
m
⇔ >

ðS:
0
m
≥

Bài 2 : Tìm tham số m ñể hàm số
2 2
2 3
2

′
= ∀ ≠
−

2
x m
∀ ≠
dấu của
y
′
theo dấu của
(
)
2 2
4
h x x mx m
= − +
0
y
′
=
( )
2 2
2
4 0
x m
h x x mx m
≠



= + = −



Hàm số ñồng biến trên
(
)
1;
+ ∞
khi và chỉ khi
(
)
(
)
0, 1;h x x
≥ ∀ ∈ +∞
và
(
)
(
)
2 1 2 1;m m
≤ ∉ + ∞
.
x
2
x1


0 +
Vậy
(
)
(
)
0, 1;h x x
≥ ∀ ∈ +∞
2 1
1 2
0
1
0
1
m
x x
m
x x
 >



< ≤


⇔

<






− ≤




0
2 3
0
2 3
m
m
m
m
 >




≤ −



⇔

<


m
≤
hay
( )
(
; 0 0; 2 3
m

∈ −∞ ∪ −

vì
1
2 3
2
− <

Bài 3 : Tìm tham số
0
m
≠
ñể hàm số
( )
3 2
1
1 4
3
y mx m x x
= − + +
ñồng biến trên nửa khoảng
[

(
)
1;
+

b) Nghch bin trờn khong
(
)
1;3

S: a)
1
m

b)
3
mBi 5 : Cho hm s
4 2
2 3
y x mx
= +
(*)
a) Kho sỏt v v ủ th hm s (*) khi
1
m
=


1
1 4
3
y mx m x x
= + +
ủng bin trờn ủon
[
]
2;2

S:
[
)
(
]
1;0 0;1
m

HNG DN GII
Bi 3:
2
0 2,y x x
m

= = =
*
1 0
m

= =


2
x
1
x2
x0
m
>

y


+ 0


0 +
0
m
<



:
(
)
( )
0
;
;
0
0 (*)
ủoồi daỏu tửứ dửụng sang aõm khi x ủi
qua x
f x m
f x m


=






T
(
)
*

m
, kim tra vic ủi du ca
y

ủt cc tiu ti
1
3
x =( )
2
1 1 1
12 2 3 0 2
3 3 3
y m m m


= + + + = =



Vi
2
m
=
,
3 2
4 5 2
y x x x
= + +
2
12 10 2
y x x

1
2 0
3
y


= >
Bi 8 : Tỡm tham s m ủ hm s
( )
3 2 2
1
1 1
3
y x mx m m x
= + + +
ủt cc ủi ti
1
x
=
.
S:
2
m
=
.
2) Bi toỏn tỡm tham s m ủ hm s
(

. Vậy
phương trình
0
y
′
=
có nghiệm và ñổi dấu khi ñi qua các nghiệm
( )
( )
0
0
0
g x
g x
∆ >


⇔

≠


với
0
x
là nghiệm (nếu có) của
mẫu hàm số
(
)
;

P x x
=
: ta có hệ
( )
1 2
1 2
1 2
; 0
P
b
x x
a
c
x x
a
x x

+ = −


=


=



Hệ 3 ẩn
(
)

nên tương ứng có những yêu cầu như hướng 1.
Chú ý: Kỹ thuật tính giá trị cực trị của một số dạng hàm số trong những trường hợp nghiệm
1 2
,
x x
của
phương trình
0
y
′
=
quá phức tạp:
* Với hàm số có dạng phân thức hữu tỉ
( )
( )
( )
u x
y x
v x
=

Ta có
( )
(
)
(
)
(
)
(

0 0 0 0
2
0
0
u x v x v x u x
v x
′ ′
−
⇔ =
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0 0
0
u x v x v x u x
′ ′
⇒ − =
(
)
( )
(
)
( )
0 0
0 0

;
(
)
( )
2
2
2
u x
y
v x
′
=
′

* Với hàm số có dạng ña thức: Thực hiện phép chia ña thức
(
)
y x
của hàm số cho
(
)
y x
′
, ta ñược:
(
)
(
)
(
)

;
y r x y r x
= = .
Hướng 3: Liên quan giữa hai ñiểm cực trị của ñồ thị
1. Hai ñiểm cực trị nằm cùng một phía hoặc khác phía so với ñường thẳng cho trước.
2. Viết phương trình ñường thẳng qua hai ñiểm cực trị (dựa cách tính
1 2
,
y y
).
3. Hai ñiểm cực trị cùng với ñiểm
(
)
0 0 0
;
M x y
cho trước thẳng hàng.
4. Hai ñiểm cực trị nhận
(
)
0 0 0
;
M x y
làm trung ñiểm.
3) Bài toán tìm tham số m ñể hàm số
(
)
y f x; m
= có cực trị (ñiểm cực trị, giá trị cực trị)
Bài toán liên quan khảo sát hàm số

2
B
b
B y
a
 
−
 
 
 
,
;
2
C
b
C y
a
 
 
 
 
sẽ gặp một số
yêu cầu sau:
a) 3 ñiểm cực trị tạo thành tam giác vuông
b) 3 ñiểm cực trị tạo thành tam giác ñều
c) 3 ñiểm cực trị tạo thành tam giác nhận O làm trọng tâm hoặc
làm tâm ñường tròn ngoại tiếp
d) 3 ñiểm cực trị ñều nằm trên các trục tọa ñộ
e) Viết phương trình Parabol ñi qua 3 ñiểm cực trị.
-2 -1 1 2


*
( )
2
2
2 1
, 1
1
mx mx
y x
x
− −
′
= ∀ ≠
−

* Hàm số có hai cực trị
0
y
′
⇔ =
(*) có hai nghiệm phân biệt
( )
2
2 1 0
g x mx mx
⇔ = − − =
có hai nghiệm phân biệt khác 1
(
)


Hai cực trị trong miền
0
x
>
khi
(
)
0
g x
=
có hai nghiệm dương
1 2
1 2
0
. 0
S x x
P x x
= + >

⇔

= >

2 0
1
0
m
>


= − +
.
Bài 11 : Cho hàm số
(
)
3 2
2 3 3 11 3
y x m x m
= + − + − .
Tìm m ñể ñồ thị hàm số có hai ñiểm cực trị
,
M N
và ba ñiểm
(
)
, , 0; 1
M N A
−
thẳng hàng.
HD:
(
)
2
6 6 3
y x m x
′
= + −
* Hàm số có hai cực trị
3
m

= − − + −
(
)
, , 0; 1
M N A
−
thẳng hàng
A d
⇔ ∈
1 11 3
m
⇔ − = −
4
m
⇔ =
.
ðS:
4
m
=
.
Bài 12 : Cho hàm số
3 2
3
y x x mx m
= − + +
. Tìm tham số m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu và các ñiểm cực ñại,
cực tiểu ñối xứng nhau qua ñường thẳng (d):
2 5 0
x y

(
)
1
1
2 6 4
;
3
m x m
M x
 − + 
 
 
,
(
)
2
2
2 6 4
;
3
m x m
N x
 − + 
 
 
với
1 2
2
x x
+ =

+
 
 
=
(
)
1;2 2
m
−
là trung ñiểm ñoạn MN,
(
)
2;1
u =

là VTCP của (d)
0
I d m
∈ ⇔ =
(
)
(
)
1 1 2 2
; 2 , ; 2
M x x N x x
⇒ − −
(
)
(

+ + =
bằng nhau.
HD:
( )
2
2
2 2 2
1
x x m
y
x
+ + −
′
=
+0
y
′
=
( )
2
2 2 2 0
1
f x x x m
x

= + + − =





3
2
m
⇔ <

Toạ ñộ các ñiểm cực trị
(
)
(
)
1 1 2 2
;2 2 , ;2 2
M x x m N x x m
+ + với
1 2 1 2 1 2
, 2, 2 2
x x x x x x m
≠ + = − = −

Theo ñề bài ta có :
( )
1 1 2 2
3
2
2 2 2 2 2 2
*
2 2

(
)
1 2
3 4 4 0
x x m
⇔ + + + =
6 4 4 0
m
⇔ − + + =
4 2
m
⇔ =

ðS :
1
2
m
=

Bài 14 : Cho hàm số
3 2
1
1
3
y x mx x m
= − − + +
. Chứng minh rằng với mọi tham số m hàm số luôn có cực ñại,
cực tiểu. Tìm m ñể khoảng cách giữa các ñiểm cực ñại và cực tiểu là nhỏ nhất.
HD:
2

2 ; . 1
x x m x x
+ = = −( )
( )
( )
2
2 2
2 2
1 2 1 2
4
1
9
MN x x m x x
= − + + −
=
( )
( )
2
2
2
1 2
1
9 4 1
9
m x x
 
+ + −

 
+ + + ≥ + =
 
 
 

Vậy
MN
nhỏ nhất khi
2
13
3
MN =
và lúc ñó
0
m
=
.
Bài 15 : Cho hàm số
(
)
2
2 3 2
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+

 

Bài 16 : Cho hàm số
(
)
3 2
2 3 3 11 3
y x m x m
= + − + − (m là tham số ). Tìm m ñể ñồ thị hàm số có hai ñiểm cực trị
sao cho ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị vuông góc với ñường thẳng
: 2 1 0
d x y
− + =

ðS:
3 2
m = ±
Dạng 1
: Tiếp tuyến với ñường cong
(
)
(
)
:
C y f x
= tại ñiểm
(

2) Kỹ thuật tính hệ số góc của tiếp tuyến tại ñiểm có hoành ñộ
0
x
là giao ñiểm của ñồ thị hàm số
(
)
( )
u x
y
v x
= với trục hoành như sau:
* Phương trình hñộ giao ñiểm của ñồ thị với trục hoành:
(
)
( )
( )
0 0
u x
u x
v x
= ⇒ =
(*), gọi
0
x
là nghiệm của (*)
*
(
)
(
)

(
)
(
)
:
C y f x
= biết hệ số góc k của tiếp tuyến (song song, vuông góc, tạo
với ñường thẳng cho trước góc
ϕ
)
• Gọi
0
x
là hoành ñộ tiếp ñiểm
• Hệ số góc tiếp tuyến:
(
)
0
f x
′

• Giải phương trình
(
)
0
f x k
′
=
theo
0


(
)
;d d
ϕ
′
=
2 2
. 1
cos
1. 1
a a
a a
ϕ
′
+
⇔ =
′
+ +

Dạng 3
: Tiếp tuyến với ñường cong
(
)
(
)
:
C y f x
= ñi qua ñiểm
(

)
(
)
0 1 1 0 1
y f x f x x x
′
− = − ẩn là
1
x

Cách 2: * Gọi (d) là ñường thẳng ñi qua
M
có hệ số góc k, phương trình (d):
(
)
0 0
y k x x y
= − +

* (d) tiếp xúc với
(
)
C
khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
(
)
(
)
( )
0 0

}
\ 1
ℝ

( )
2
2
2
, 1
1
x x
y x
x
−
′
= ∀ ≠
−

Cách 1
:
4) Bài toán tiếp tuyến
Bài toán liên quan khảo sát hàm số
Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013
trang 7
Gọi
1
x
là hoành ñộ tiếp ñiểm
(
)

−
−

Gọi
(
)
(
)
; 1
M a a d
− ∈ . Tiếp tuyến ñi qua
M
khi và chỉ khi
(
)
( )
( )
2
2
1
1 1
1
2
1
1
2
2
1
1
1

( )
2 2 2 3 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 4 4 1 2 2
a x x x x x ax x ax x
⇔ − − + − − + − = − − +

( ) ( ) ( )
(
)
2 3 2 2 3 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 1 5 8 4 2 2
a x a x a x x x ax x ax x
⇔ − − − + − − − + − = − − +
2
1 1
2 6 3 0
x x a
⇔ − + + =
(*)
Vậy từ M có ñúng một tiếp tuyến ñến ñồ thị khi và chỉ khi phương trình (*) có ñúng một nghiệm
1
x
hay khi
3
3 2 0
2
a a
′

1
1
2
1
x
k x a a
x
x x
k
x

−
= − + −

−


−

=

−


( )( )
(
)
( ) ( ) ( )
2
2 2 2






ðS:
3 1
;
2 2
 
 
 
là tọa ñộ ñiểm cần tìm
Bài 18 : Cho hàm số
2
2
x m x m
y
x
+ +
=
+
. Tìm m ñể ñồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai ñiểm phân biệt và tiếp
tuyến tại hai ñiểm ñó vuông góc với nhau.
Giải:
{
}
\ 2
D
= −

2
0
2
x m x m
x
+ +
=
+
có hai nghiệm phân biệt
( )
2
0
f x x m x m
⇔ = + + =
(*) có hai nghiệm phân biệt khác
2
−

(
)
2
2 0
4 0
f
m m
− ≠
⇔
− >



( )( )
(
)
( )
2
1 1 1 1
1
2
1
2 2
2
x m x x mx m
y x
x
+ + − + +
′
=
+
1
1
2
2
x m
x
+
=
+
( )
2
2

trang 8
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2
2 2 2 2
x m x m x x
⇔ + + = − + +
( )( )
2
1 2 1 2
5 2 2 4 0
x x m x x m
⇔ + + + + + =

2
3 4 0
m m
⇔ − + + =
1 4
m m
⇔ = − ∨ =

ðS:
1

8
 
− − −
 
 

Bài 20 : Tìm trên trục hoành các ñiểm mà từ ñó kẻ ñược 2 tiếp tuyến ñến ñường cong
2
3 3
1
x x
y
x
+ +
=
+
và hai tiếp
tuyến ñó vuông góc với nhau.
ðS:
(
)
(
)
1 3;0 , 1 3;0
− + − −
.
BÀI TẬP

Câu 1: Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị
3

.
Câu 3: Cho ñồ thị
2
( ) :
2
x x
C y
x
+
=
−
và ñường thẳng
( )
∆
ñi qua ñiểm
(0; )
B b
ñồng thời song song với tiếp tuyến
của
( )
C
tại ñiểm
(0;0)
O . Xác ñịnh
b
ñể
( )
∆
cắt
( )

2
1
1
x x
y
x
+ −
=
−

a) Tìm trên trục tung các ñiểm từ ñó kẻ ñược hai tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số. Trong các ñiểm ñó những
ñiểm nào mà hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
b) Tìm tập hợp các ñiểm trên mặt phẳng toạ ñộ mà từ ñó kẻ ñược hai tiếp tuyến với ñồ thị và hai tiếp tuyến
này vuông góc với nhau.
ðS: a) Có 2 tiếp tuyến từ
(
)
0;
y
với
1, 2
y y
> ≠

Hai tiếp tuyến vuông góc từ
(
)
0;
y
với

0
0
0
0
0
c
cx d
ax b
≠


⇔ + =


+ ≠


* ðồ thị hàm số
2
ax bx c
y
mx n
+ +
=
+

- Nhận ñường thẳng
0
y y
=


≠

⇔ + =


+ + ≠


- Nhận ñường thẳng
y kx q
= +
làm tiệm cận xiên
2
0 0
2
0
0
,
m
ax bx c
a bm an
k q
m
m


≠



= −
làm tiệm cận
xiên.
HG:
(
)
2 2
2
3 2 2
lim lim
3
x x
mx m x
y
a m
x
x mx
→±∞ →±∞
+ − −
= = =
+[ ]
(
)
2 2
3 2 2
2 2
lim lim lim 2

)
2
2
2 2
1
m m x
y
m x
− −
=
+
nhận lần lượt các ñường thẳng
1, 1
x y
= − = −
làm
tiệm cận ñứng và tiệm cận ngang.
HG:
1
x
= −
là tiệm cận ñứng của ñồ thị
(
)
2
2
1 1
2 2
lim lim
1

2 2 0
1
1
m m
m
m
− + − ≠
⇔ ⇔ = ±
=






1
y
= −
là tiệm cận ngang của ñồ thị
(
)
2
2
2 2
2 2
2
lim lim 1 1 1
1
x x
m m x

(
)
0 0
;
I x y C
∉
:
Xét hàm số
( )
( ) ( )
2 2
2
0 0
( )
g x IM x x f x y
= = − + − . Có thể sử dụng bất ñẳng thức hoặc max, min của hàm
số.
Bài 23 : Tìm trên ñồ thị hàm số
2
2
y x x
= −
các ñiểm sao cho khoảng cách từ các ñiểm ñó ñến ñiểm
(
)
1;0
I nhỏ
nhất.
HG:
(

1 1 1
f x x x
 
= − + − −
 
( ) ( )
4 2
1 1 1
x x
= − − − +
( )
2
2
1 3
1
2 4
x
 
= − − +
 
 

(
)
f x
nhỏ nhất khi và chỉ khi
( )
2
1
1 0

,
2 2 4 2 1
;
2 2
 
+ −
 
 
 

2) Tìm
(
)
M C
∈ sao cho tam giác MAB với hai ñiểm A, B cho trước có diện tích lớn nhất:
- Viết phương trình ñường thẳng AB:
(
)
(
)
(
)
(
)
A B A A B A
x x y y y y x x
− − = − −
0
ax by c
⇔ + + =

Bài 24 : Gọi A là giao ñiểm có hoành ñộ dương của ñồ thị hàm số
3
3
y x x
= −
với trục hoành. Tìm ñiểm M trên
ñồ thị có hoành ñộ
1; 3
x
 
∈
 
sao cho tam giác OMA có diện tích lớn nhất, với O là gốc hệ trục.
HG: Gọi
(
)
(
)
3
; 3 1; 3
M x x x x
 
− ∈
 
là ñiểm cần tìm
Hoành ñộ giao ñiểm của ñồ thị với trục hoành là nghiệm pt:
(
)
3
3 0 3; 0

lớn nhất trên
1; 3
 
 2
3 3, 0 1
d x d x
′ ′
= − + = ⇔ = ±

( )
(
)
{
}
( )
max max 1 ; 3 1 2
d d d d
= = =

ðS:
(
)
1; 2
M
−

3) Tìm

±

4) Tìm ñiểm cố ñịnh của họ ñường cong
(
)
(
)
: ;
m
C y f x m
=

(
)
;
M x y
là ñiểm cố ñịnh của họ ñường cong khi và chỉ khi
6) Bài toán tìm ñiểm trong mặt phẳng tọa ñộ thoả mãn tính chất
Bài toán liên quan khảo sát hàm số
Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013
trang 11
(
)
(
)
; ,
m
M x y C m
∈ ∀
(

)
m
C
: (*) vô nghiệm.
pt
(
)
*
có dạng
0
am b
+ =

pt
(
)
*
có dạng
2
0
am bm c
+ + =

(*) có nghiệm duy nhất
0
a
⇔ ≠

(*) vô nghiệm
0 0

c
=


⇔ =


≠

hoặc
0
0
a
≠


∆ <


Bài 26 : Cho họ ñường cong
(
)
(
)
3
: 1
m
C y mx m x
= + − . Tìm trên mặt phẳng tọa ñộ các ñiểm thỏa mãn một trong
các trường hợp sau:

m
C
ñi qua
(
)
3
1
M y mx m x
⇔ = + −
(
)
3
0
x x m x y
⇔ − + − =
(*)
Có duy nhất một ñường cong ñi qua M
(
)
*
pt
⇔
có nghiệm
m
duy nhất
3
0
x x
⇔ − ≠



⇔

− =


0 1 1
x x x
y x
= ∨ = ∨ = −

⇔

=


Các ñiểm
(
)
(
)
(
)
0;0 , 1;1 , 1; 1
− −
thuộc mọi ñường cong của họ.
c) Không có ñường cong nào của họ ñi qua M
(
)
*

, trừ 3 ñiểm
(
)
(
)
(
)
0;0 , 1;1 , 1; 1
− −
, không có ñường cong nào
ñi qua.
Bài 27 : Cho họ ñường cong
( )
1
m
mx
y H
x m
−
=
−

a) Tìm các ñiểm cố ñịnh của họ ñường cong
(
)
m
H

b) Tìm trên mặt phẳng tọa ñộ các ñiểm thỏa mãn một trong các trường hợp sau:
* Có duy nhất một ñường cong của họ ñã cho ñi qua

I x y C
∉ :
- Gọi
(
)
(
)
1 1 2 2
; , ;
M x y M x y
′
là cặp ñiểm cần tìm
Bài toán liên quan khảo sát hàm số
Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013
trang 12
- Giải hệ
1 1
2 2
1 2 0
1 2 0
1 2
( )
( )
2
2
y f x
y f x
x x x
y y y
x x

 

HG: Gọi
(
)
(
)
; , ;
M x y M x y
′ ′ ′
là cặp ñiểm cần tìm, ta có:

2
2 2
1 , 1
1 1
2 2 5 1
0
1 5 5
1 1
5 1
3
0, 1
0
y y
x x
x x
x x
x x
x x y

+ =
≠ ≠ ±

≠
 

′
≠



6) Tìm ñiểm thuộc ñồ thị hàm số có toạ ñộ là các số nguyên.
Bài 29 : Tìm trên ñường cong của hàm số
3
2 1
x
y
x
−
=
−
các ñiểm có tọa ñộ là những số nguyên.
HG:
5
2 1
2 1
y
x
+ =
−

)
0 0
; , ;
M x y N x y
là cặp ñiểm cần tìm
- Ta có hệ
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0 0
0 0
0
1 1
y f x
y f x
f x f x f x f x
x x

=

=


′ ′ ′ ′

: ( )
C y f x
= và
(
)
: ( )
C y g x
′
= - Căn cứ phương trình hoành ñộ giao ñiểm ñể biện
luận số giao ñiểm (tương ứng số nghiệm).
2) Biện luận số nghiệm của phương trình
( ) 0
h x
=
: Biến ñổi phương trình ñể có một vế là hàm số ñã khảo
sát. Lúc này căn cứ vị trí tương ñối ñể kết luận số nghiệm (tương ứng số giao ñiểm).
Trường hợp phương trình hoành ñộ giao ñiểm có dạng
(
)
f x ax b
= +
mà bạn không thể biện luận ñược thì
bạn có thể xét tiếp tuyến song song với ñường thẳng
y ax b
= +
ñể biện luận.
Chú ý: Thường thì bài toán ñược kẹp vào ñiều kiện hoành ñộ giao ñiểm (nghiệm phương trình) thoả một trong
những tính chất ñã nêu ở bài toán cực trị.
*) ðồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành (hoặc ñường thẳng song song trục hoành) tại 3 ñiểm A, B, C (theo thứ
tự từ trái sang phải) sao cho

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
x
y

a) Có một điểm chung duy nhất
0(
0
. 0
không có cực trò)
y
y
CD CT
y y

′
 =




=



⇔

∆ >





=




c) Có hai điểm chung phân biệt
0
. 0
y
CD CT
y y
′

4 2
0
ax bx c
+ + =
(1)
2
0
at bt c
→ + + =
(2)
Gọi
(
)
1 2 1 2
,
t t t t
<
là hai nghiệm dương của (2), khi đó nghiệm của (1) là
2 1 1 2
, , ,
t t t t
− −

Bài 31 : Cho hàm số
3 2
3 4
y x x
= − +
. Biện luận số nghiệm phương trình:
3 2

Các tiếp tuyến với (C) có hệ số góc bằng
5
3
−
là
1
5 115
:
3 27
d y x= − +
,
2
5 83
:
3 27
d y x= − +

1)
115
m
>
hoặc
83
m
<
: d nằm ngồi
1
d
và
2

điểm phân biệt – pt có 2 nghiệm phân biệt.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y

Bài 32 : Tìm m để đồ thị hàm số
3 2
2 8
y mx x x m
= + − −
cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ lớn
hơn 0.
HD: Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị với trục hồnh:
3 2
2 8 0
mx x x m
+ − − =
(1)
( ) ( )
2
2
2 1 4 0 2
x


⇔ ∆ = + − >


+ + + ≠



2
0
12 4 1 0
1
6
m
m m
m

≠


⇔ ∆ = − + + >



≠ −


{ }
1 1
; \ 0


ðS:
1
0
6
m
− < <

ðỀ THI ðẠI HỌC
Câu 1: (2008A) Cho hàm số
(
)
2 2
3 2 2
3
mx m x
y
x m
+ − −
=
+
(1) với
m
là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi
1
m
=

2. Tìm các giá trị của

I với hệ số góc
(
)
3
k k
> −
ñều cắt ñồ thị hàm số (1) tại 3
ñiểm phân biệt I, A, B ñồng thời I là trung ñiểm của ñoạn thẳng AB.
Câu 4: (Dự bị 2008A) Cho hàm số
(
)
3 2
3 1 1
y x mx m x
= + + + +
(1) với
m
là tham số thực
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi
1
m
= −

2. Tìm các giá trị của
m
ñể tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (1) tại ñiểm có hoành ñộ
1
x
= −
ñi qua ñiểm

0
m
=
.
2. Tìm các giá trị của
m
ñể hàm số (1) có hai ñiểm cực trị cùng dấu.
Câu 7: (Dự bị 2008B) Cho hàm số
(
)
2
3 2 1 2
2
x m x m
y
x
+ − + −
=
+
(1) với
m
là tham số thực
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi
1
m
=
.
2. Tìm các giá trị của
m
ñể hàm số (1) ñồng biến trên từng khoảng xác ñịnh của nó.

4 2
2 4
y x x
= − (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1).
Bài toán liên quan khảo sát hàm số
Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013
trang 15
2. Với các giá trị nào của
m
, phương trình
2 2
2
x x m
− =
có ñúng 6 nghiệm thực phân biệt?
Câu 11: (2009B-NC) Tìm các giá trị của tham số
m
ñể ñường thẳng
y x m
= − +
cắt ñồ thị hàm số
2
1
x
y
x
−
=


= −
cắt ñồ thị
(
)
m
C
tại 4 ñiểm phân biệt ñều có hoành ñộ nhỏ hơn 2.
Câu 13: (2009D-NC) Tìm các giá trị của tham số
m
ñể ñường thẳng
2
y x m
= − +
cắt ñồ thị hàm số
2
1
x x
y
x
+ −
=
tại hai ñiểm phân biệt A, B sao cho trung ñiểm của ñoạn thẳng AB thuộc trục tung.
Câu 14: (2010A) Cho hàm số
(
)
3 2
2 1
y x x m x m
= − + − +
(1) với

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị
(
)
C
của hàm số ñã cho.
2. Tìm
m
, ñể ñường thẳng 2
y x m
= − +
cắt ñồ thị
(
)
C
tại 2 ñiểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện
tích bằng
3
(O là gốc tọa ñộ).
Câu 16: (2010D) Cho hàm số
4 2
6
y x x
= − − +

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị
(
)
C
của hàm số ñã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị

1 2
k k
+
ñạt giá trị lớn nhất.
Câu 18: (2011B) Cho hàm số
(
)
4 2
2 1
y x m x m
= − + +
(1), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi
1
m
=

2. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có ba ñiểm cực trị A, B, C sao cho
OA BC
=
; trong ñó O là gốc tọa ñộ, A là ñiểm
cực trị thuộc trục tung, B và C là hai ñiểm cực trị còn lại.
Câu 19: (2011D) Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=

m
=
.
2. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có hai ñiểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48.
Câu 22: (2012D) Cho hàm số
( )
3 2 2
2 2
2 3 1
3 3
y x mx m x
= − − − +
(1), m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi
1
m
=
.
2. Tìm m ñể hàm số (1) có hai ñiểm cực trị
1
x
và
2
x
sao cho
(
)
1 2 1 2
2 1
x x x x

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi
1
m
= −
.
2. Tìm
m
ñể ñồ thị hàm số (1) có hai ñiểm cực trị A và B sao cho ñường thẳng AB vuông góc với ñường thẳng
2
y x
= +
.
Câu 25: (2013D) Cho hàm số
(
)
3 2
2 3 1 1
y x mx m x
= − + − +
(1), m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi
1
m
=
.
2. Tìm
m
ñể ñường thẳng
1
y x

lần
lượt tại A và B. Tính diện tích tam giác OAB.
Câu 27: (2013D-NC) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
( )
2
2 3 3
1
x x
f x
x
− +
=
+
trên ñoạn
[
]
0;2
.

BÀI TẬP ðỀ XUẤT
Bài 1: Cho hàm số
(
)
3 2
2 1
y x x m x m
= − + − +
.
a) Tìm
m

c)
8
3
m
=
d)
(
)
1;0
e) ðường thẳng
1
x
=
trừ ñiểm
(
)
1;0

Bài 2: Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
.
a) Biện luận theo
m

=
:
(
)
d
tiếp xúc
(
)
C

*
3
m
>
hoặc
1
m
<
:
(
)
d
cắt
(
)
C
tại hai ñiểm phân biệt
*
1 3
m

0
m
=

b) Tìm
m
ñể tiếp tuyến với ñồ thị của hàm số (1) cắt các trục tọa ñộ tại các ñiểm phân biệt A, B sao cho diện tích
tam giác OAB bằng
3
2
.
ðS: b)
2, 4
m m
= = −

Bài 4: (Từ B2011) Cho hàm số
(
)
4 2
2 1
y x m x m
= − + +
(1), m là tham số.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi
0
m
=

Bài toán liên quan khảo sát hàm số

(
)
3 2
2 3 3 11 3
y x m x m
= + − + −
ñồng biến trên nửa ñoạn
[
)
1;
+ ∞

ðS:
2
m
≥

Bài 7: (Từ A2011) Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
− +
=
−
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số ñã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục tọa ñộ tại các ñiểm A, B và tam
giác OAB vuông cân.

= −
:
1
; 0
8
 
−
 
 

3. Các ñiểm
( ; 0)
a với
2
2
9
a
< <

Bài 9: (Từ D2011) Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
. Tìm trên trục tung những ñiểm mà từ ñó kẻ ñược duy nhất một tiếp
tuyến với ñồ thị của hàm số.

b x b x b
− + − + − =
có nghiệm duy nhất
(
)
(
)
0;1 , 0; 2

Bài 10: (Từ A2012) Cho hàm số
(
)
4 2 2
2 1
y x m x m
= − + + (1), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi
1
m
=

2. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có ba ñiểm cực trị ñều nằm trên các trục tọa ñộ
ðS:
1
2
m
= −

Bài 11: (Từ 2012B) Cho hàm số
3 2 3

.
2. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có hai ñiểm cực trị A và B sao cho ba ñiểm O, A, B lập thành một tam giác vuông
(O là gốc hệ trục).
ðS:
5
1 4
m = + . Muốn bài toán ñơn giản hơn bạn nói rõ OAB vuông tại A.
Bài 13: Cho hàm số
3 2
3 3
y x x
= − +
(1) ), m là tham số thực
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến ñó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai
ñiểm phân biệt A, B và
9.
OB OA
=

Bài toán liên quan khảo sát hàm số
Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013
trang 18
ðS:
9 8
y x
= +
,
9 24
y x

2. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành.
ðS:
{
}
0; 1;1
m∈ −

Bài 16: Cho hàm số
y x mx m
= − + +
4 2
2 1
(1), m là tham số thực
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi
1
m
=

2. Tìm m ñể ba ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số (1) tạo thành một tam giác nhận gốc tọa ñộ O làm trọng tâm.
3. Tìm m ñể ba ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số (1) tạo thành một tam giác nhận gốc tọa ñộ O làm tâm ñường tròn
ngoại tiếp.
ðS: 2.
m
+
=
3 33
4
3.
m
±