TN.THPT.2010 54 GV:
GV: GV:
GV: D
DD
Dng Phc Sang
ng Phc Sangng Phc Sang
ng Phc Sang
Bài 18 : Cho A(1; –1; 3), B(3; 0; 1), C(0; 4; 0)
a.Chứng minh tam giác ABC vuông và tính diện tích của nó.
b.Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
c.Tính khoảng cách từ điểm D(1;1;1) đến mặt phẳng (ABC), từ đó
suy ra thể tích của tứ diện ABCD.
Bài 19
: Cho A(1;–1; 3), B(3;0;1), C(0;4;5)
a.Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua C và vuông góc với AB.
b.Viết PTTS của đường thẳng đi qua C và vuông góc với (α).
Bài 20
: Cho A(1; –1; 3), B(3; 0; 1), C(0; 4; 5)
a.Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với BC.
b.Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (α)
IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN TẠI NHÀ
Bài 21 : Cho (α): 3x – 2y – z + 5 = 0 và ∆:
1 7 3
2 1 4
x y z
− − −
= =
a.Chứng tỏ rằng ∆ song song với (α).
b.Tính khoảng cách giữa ∆ và (α).
Bài 22 :Viết PTTS của đường thẳng
a.Đi qua M(5; 4; 1) và có vectơ chỉ phương

: Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng ∆:
2
1 2
x t
y t
z t


= +



= +



=




a.Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên đthẳng ∆.
b.Tìm tọa độ
A
′
đối xứng với A qua đường thẳng ∆
c.Viết phương trình mặt phẳng chứa A và
∆

Bài 24 : Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z – 1 = 0.

+
∫
h.
0
( cos )
x
x e x dx
π
+
∫
i.
2
2
0
( )
x
x x e dx
+
∫

Bài 14 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây
a.
3
3 2
y x x
= − +
và trục hoành.
b.
2
2

e.
1
1 ( ), 1
y C x
x
= + =
và tiếp tuyến với
( )
C
tại điểm
3
2;
2
 








 
.
f.
3 1
, , 0
1
x
y Ox x

2 4
2 , , 1, 2
y x x Ox x x
= − = − =

b.
2
, 0,
2
y y
x
= =
−
0, 1
x x
= =

c.
2
2 , 1
y x y
= − =

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
TN.THPT.2010 36 GV:
GV: GV:
GV: D
DD
Dng Phc Sang

= +
☺
☺☺
☺
z a bi
= −

1 2
.
z a bi z c di
= + = +
i
Cho vaø Khi ñoù,

☺
☺☺
☺
1 2
a c
z z
b d


=


= ⇔


=

☺
1 1 2 1 2
2
2 2 2
2
.
z z z z z
z z z
z
= =

0
a a
∈ <
i »
Cho vaø
. Khi đó, a có 2 căn bậc hai phức là:
.
a i
±

2. Giải phương trình bậc hai hệ số thực (với
∆
< 0) trên tập số phức
Cho phương trình bậc hai
2
0 ( , , 0)
az bz c a b c a
+ + = ∈ ≠
»

+ Trường hợp
0
∆ ≥
ta giải pt bậc hai trên tập số thực (như trước).
+ Khi giải pttrùng phương trên C, ta đặt
2
t z
=
(không cần ĐK cho t)
II. BÀI TẬP MINH HOẠ

Bài 1 : Thực hiện các phép tính
a.
(2 4 )(3 5 ) 7(4 3 )
i i i
+ − + −
b.
2
(3 4 )
i
−
c.
2
3 2
i
i
+
+

GV:

b.Viết phương trình mặt cầu
2
( )
S
có tâm B và đi qua điểm A.
c.Viết PTTS của đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt
phẳng (β). Từ đó, tìm toạ độ giao điểm của d và (β).
Bài 12 : Viết PTTS của đường thẳng d:
a.Đi qua A(–2;3;1) và có vtcp
(2;0; 3)
a
=


b.Đi qua A(4;3;1) và song song với đường thẳng
1 2
: 3
3 2
x t
y t
z t


= +



∆ = −



phẳng (α). Xác định toạ độ tiếp điểm của (S) và (β)
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
TN.THPT.2010 52 GV:
GV: GV:
GV: D
DD
Dng Phc Sang
ng Phc Sangng Phc Sang
ng Phc Sang
Bài 8 :Xét vị trí tương đối của đường thẳng
1 3
:
1 1 3
x y z
d
+ −
= =
−
với
a.
:
1
1 2
2
3 6
x t
y t
z t




= +



c.
: 4
3
1 2
1 3
x t
y t
z t


= − −



∆ = +



= − +




Bài giải

−
nên
,
u u
′
 
cùng phương với nhau.
 Hơn nữa thay toạ độ điểm M
0
vào pt
∆
1
ta thấy không thoả mãn.
 Kết luận
0 1
M
∉ ∆
và d ||
∆
1
Câu b: d đi qua điểm
0
( 1;3; 0)
M
−
, có vtcp
(1; 1;3)
u
= −


2 4 4 1 1 2
u u
 
− −




′
= = − −




− −



 
 

vaø caét nhau
0 0
0 0 2
(3;5;1)
[ , ]. 2.3 1.5 1.1 0
M M
u u M M d
′
=

= −


 Vì
1 1
2 1
−
≠
−
nên
,
u u
′
 
không cùng phương với nhau.
 1 3 3 1 1 1
[ , ] ; ; ( 6; 9; 1)
1 3 3 2 2 1
u u
 
− −




′
= = − − −

Dng Phc SangDng Phc Sang
Dng Phc Sang

37

TN.THPT.2010
TN.THPT.2010TN.THPT.2010
TN.THPT.2010
Bài giải
Câu a:
2
(2 4 )(3 5 ) 7(4 3 ) 6 10 12 20 28 21
i i i i i i i
+ − + − = − + − + −
6 10 12 20 28 21 54 19
i i i i
= − + + + − = −
Câu b:
2 2
(3 4 ) 9 24 16 9 24 16 7 24
i i i i i
− = − + = − − = − −

Câu c

+ −

Bài giải
Câu a:
2
3 2 (1 ) 3 2 3 2
2
1 2 1 2 1
z i i i i i i i
= + + + = + + + + = + + + −2 2 2 2
3 4 3 4 5
z i z a b
⇒ = + ⇒ = + = + =

Câu b:
2
3 3 3 3
1
(1 )(2 ) 2 2 1 3
2 2
i i i i
z
i i i i i
i i i
+ + + +
= = = = =
+ − − + + +

⇔ = = = =
− + − + − +
− −

Bài 4 : Giải các phương trình sau đây trên tập số phức:
a.
2
3 2
0
z z
+ + =
b.
4 2
2 3
– 0
z z
+ =

c.
3
1 0
z
− =
d.
2
2 0
z z
− + − =

Bài giải

TN.THPT.2010 38 GV:
GV: GV:
GV: D
DD
Dng Phc Sang
ng Phc Sangng Phc Sang
ng Phc Sang
Câu b:
4 2
2 3
– 0
z z
+ =
(2)
Đặt
2
t z
=
, phương trình (2) trở thành:
2 3
2
2
2
1
1 1
– 0
3
3.
3
z

= ±
và
3.
z i
= ±

Câu c:
3
(3)
2
2 (*)
1
1 0 ( 1)( 1) 0
1 0
z
z z z z
z z

= −

+ = ⇔ + − + = ⇔

− + =



Giải
(*)
, ta có
2 2

z i
= + và
1 3
2 2
z i
= −
Câu d:
2
2 0
z z
− + − =
(4)
Ta có,
2 2
1 4.( 1)( 2) 7 0 ( 7. )
i
∆ = − − − = − < ⇒ ∆ =

Vậy, phương trình (4) có 2 nghiệm phức phân biệt
1 7 1 7
2 2 2
i
z i
−
= = − +
−
và
1 7 1 7
2 2 2
i

⇔ + + − + = ⇔ = − − ⇔ = = +
   
 
 
 
⇒ = + = + =
 
 
 
 
   

GV:
GV: GV:
GV: Dng Phc Sang
Dng Phc SangDng Phc Sang
Dng Phc Sang

51

TN.THPT.2010
TN.THPT.2010TN.THPT.2010
TN.THPT.2010  Điểm:
(1;1;1)
A

 PTTQ:

( ) ( ) ( ) 0
A x x B y y C z z
− + − + − =

6( 1) 2( 2) 4( 3) 0
6 6 2 4 4 12 0
6 2 4 14 0
3 2 7 0
x y z
x y z
x y z
x y z
⇔ − + − − + − =
⇔ − − − + + − =
⇔ − − + − =
⇔ + − + =

Bài 7 :Cho
(0;1;2), ( 3;1;4), (1; 2; 1)
A B C
− − −
. Viết PTTS của đ.thẳng d:
a.d đi qua điểm A và trung điểm I của đoạn thẳng BC
b.d đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng (ABC)
Bài giải
Câu a: Trung điểm đoạn BC:
1 3
( 1; ; )
2 2
I − −







= + ⇔ = − ∈
 
 
 
= +
 
= −





»

Câu b
: Hai véctơ:
( 3; 0;2), (4; 3; 5)
AB BC
= − = − −
 

 vtpt của mặt phẳng (ABC):
 PTTS của d:
0
0
0
1 6
2 7 ( )
1 9
x x at x t
y y bt y t t
z z ct z t
 
 
= + = +
 
 
 
= + ⇔ = − − ∈
 
 
 
= + = − +
 
 
 
»

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
TN.THPT.2010 50 GV:
GV: GV:

(0; 4; 3)
n AM
= = −



 Điểm:
(1;1;1)
M

 PTTQ:
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0
A x x B y y C z z
− + − + − =

0 4( 1) 3( 1) 0
4 4 3 3 0
4 3 1 0
x y z
y z
y z
⇔ + − − − =
⇔ − − + =
⇔ − − =

Bài 6 : Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau đây:
a.(α) đi qua 3 điểm
(0;1;2), ( 3;1; 4), (1; 2; 1)
A K D

3 5 5 4 4 3
n AK KD
 
− −




= = = −




− − − −



 
 


 Điểm:
(0;1;2)
A

 PTTQ:
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0
A x x B y y C z z
− + − + − =





= = = −




− − − −



 
 


GV:
GV: GV:
GV: Dng Phc Sang
Dng Phc SangDng Phc Sang
Dng Phc Sang

39

TN.THPT.2010
TN.THPT.2010TN.THPT.2010
TN.THPT.2010
 
f.
2
( 2 3)
i
−

g.
2010
(1 )
i
+
h.
2010
(1 )
i
−

i.
(3 2 )(1 3 )
(2 )
1 3
i i
i
i
+ −
+ −
+
j.
(2 ) (1 )(4 3 )

z i i
= +
3
4 3 (1 )

c.
3
(1 )(2 )
i
z
i i
+
=
+ −
d.
2 2
2 2
(1 2 ) (1 )
(3 2 ) (2 )
i i
z
i i
+ − −
=
+ − +

e.
1
1
i

+ = +
b.
(3 4 ) (1 2 )(4 )
i z i i
+ = + +

c.
( 2 3) 2 3 2 2
i z i i
− + = +
d.
2 1 3
1 2
i i
z
i i
+ − +
=
− +

e.
3 (2 3 )(1 2 ) 5 4
z i i i
+ + − = +
f.
2
(1 – ) (2 – ) 2 3
i z i i
+ = +


1 3
( )
2 2
z i= − +
và
3
2
1 3
( )
2 2
z i= +
. Tính z
1
.z
2

Bài 12 : Tìm số phức z có phần thực và phần ảo bằng nhau và
2 2
z
=

Bài 13 : Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a.
0
z z
+ + =
2
3 2
b.
– 0

TN.THPT.2010 40 GV:
GV: GV:
GV: D
DD
Dng Phc Sang
ng Phc Sangng Phc Sang
ng Phc Sang
g.
2
2 17 0
z z
+ + =
h.
2
3 3 0
z z
+ + =

i.
2
1 0
z z
− + =
j.
0
z
+ =
3
8


, , , , ,
z z z z z z
trên mặt phẳng phức.
IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN TẠI NHÀ

Bài 16 : Thực hiện các phép tính
a.
(1 4 )(2 3 ) 5( 1 3 )
i i i
− + − − −
b.
2
(2 3 ) (1 3 )(5 2 )
i i i
− − − +

c.
2
(2 4 )
i i
− +
d.
3
(2 )
i
−

e.
3
(5 ) (2 7 )

(3 4 )(1 2 )
4 3
1 2
i i
i
i
− +
+ −
−
j.
2 2
(1 3 ) (1 3 )
i i
+ − −

Bài 17 : Tính
z z
+
, biết
a.
2
(1 )
1 3 2
z i i
= − + −
b.
3
3 (1 )
2
(2 – ) –

i
−
=
+
f.
6
1
1
i
z
i
 
+



=





−
 

Bài 18
: Giải phương trình sau trên tập số phức
a.
2 . 1 5. 2
i z z i

Bài 19 : Tính Cho
2
(1 2. ) 3
z i i
= − +
.Tính
z

Bài 20 : Cho
3
4
(1 )
(1 )
i
z
i
−
=
+
. Tính
1
z

Bài 21 : Cho
3
1
1 3
( )
2 2
z i= − +

Câu b: Tâm:
1 2
3
( ; ; )
2
I
−
là trung điểm đoạn thẳng BC.
 Bán kính:
69
2 2
BC
R = =
(
2 2 2
(0 2) (2 1) ( 6 2) 69
BC = − + − + − − = )
 Phương trình mặt cầu:

2 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
3 69
( 1) ( ) ( 2)
2 4
x a y b z c R
x y z
− + − + − =
⇔ − + − + + =


(0; 3;2), (1; 1; 1)
A B
− −

a.Xác định toạ độ tâm I và bán kính R của mặt cầu.
b.Viết phương trình mp(α) đi qua cạnh AB và tâm I của m.cầu.
c.Viết phương trình mp(β) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm
(1;1;1)
M

Bài giải
Câu a
: Ta có
2 2 1
2 6 3
2 8 4
1 1
a a
b b
c c
d d
 
 
− = − =
 
 
 
− = = −
 
 

BI
= −


 vtpt:

4 3 3 1 1 4
[ , ] ; ; ( 26; 5; 2)
2 5 5 0 0 2
n AB BI
 
− − − −




= = = − − −




− −



 
 


www.VNMATH.com

và
( ) : 3 4 6 0
x y z
α
+ − − =

b.
1 4
:
1 1 3
x y z
d
+ −
= =
−
và
( ) : 3 2 2 0
x y z
α
− − − =

Bài giải
Câu a:  Thay x,y,z từ PTTS của d vào PTTQ của
( )
α
ta được

3(1 ) 4(2 ) (2 ) 6 0
3 3 8 4 2 6 0
5 0 5

( 4;7;10)
H
−

Câu b: Dạng PTTS của d:
1
( )
4 3
x t
y t
z t


= − +



= − ∗



= +




 Thay x,y,z từ
( )
∗
vào PTTQ của

 Bán kính:
2 2 2
(2 1) (1 3) (2 1) 6
R AB= = − + − + − =
 Phương trình mặt cầu:

2 2 2 2
( ) ( ) ( )
x a y b z c R
− + − + − =

2 2 2
( 2) ( 1) ( 2) 6
x y z
⇔ − + − + − =

GV:
GV: GV:
GV: Dng Phc Sang
Dng Phc SangDng Phc Sang
Dng Phc Sang

41

TN.THPT.2010
TN.THPT.2010TN.THPT.2010
TN.THPT.2010 Bài 23 : Giải các phương trình sau trên tập số phức:

z z
− + − =

g.
2
3 6 17 0
z z
+ + =
h.
2
3 3 0
z z
− + =

i.
3
27 0
z
− =
j.
3 2
8 8 0
z z z
+ + + =

k.
4 2
– 12 0
z z
− =

TRONG KHÔNG GIAN
TRONG KHÔNG GIANTRONG KHÔNG GIAN
TRONG KHÔNG GIAN
I. TÓM TẮT CÔNG THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Tọa độ của véctơ và tọa độ của điểm trong không gian



1 2 3 1 2 3
( ; ; )
a a a a a a i a j a k
= ⇔ = + +
    




( ; ; )
M x y z OM xi y j zk
= ⇔ = + +
   




( ; ; )
B A B A B A


=





+


=




+

=





3
3
3
A B C
G
A B C
G





2. Tích vô hướng và tích có hướng
Cho 2 véctơ
( ; ; ) ( ; ; )
a x y z b x y z
′ ′ ′
= =
 
;


 Tích vô hướng:
.
a b xx yy zz
′ ′ ′
= + +
 



 Tích có hướng: , ; ;
y z z x x y
n a b
y z z x x y
 





2 2 2 2 2 2
.
cos( , )
.
.
a b xx yy zz
a b
a b
x y z x y z
′ ′ ′
+ +
= =
′ ′ ′
+ + + +







3. Một số tính chất và ứng dụng



. 0
a b a b
⊥ ⇔ =


, ,
a b c
 

đồng phẳng
[ , ]. 0
a b c
⇔ =
 
GV:
GV: GV:
GV: Dng Phc Sang
Dng Phc SangDng Phc Sang
Dng Phc Sang

47

TN.THPT.2010
TN.THPT.2010TN.THPT.2010
TN.THPT.2010 Bài giải
Câu a: CMR, ∆ABC vuông, tính diện tích của nó

2 2 2

−

 vtcp:
3
2
( 1; 2; )
u AM
= = − −



 PTTS của trung tuyến AM:
0
0
3
0
2
1
3 2 ( )
2
x x at x t
y y bt y t t
z z ct
z t
 
 
= + = −
 
 


 vtpt:2 4 4 2 2 2
[ , ] ; ; (10; 2; 4)
2 1 1 0 0 2
n AB AC
 
− − − −




= = = −




− − − −



 
 


 Điểm:
(1;3; –2)
A

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
TN.THPT.2010 46 GV:
GV: GV:
GV: D
DD
Dng Phc Sang
ng Phc Sangng Phc Sang
ng Phc Sang
11. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho
:
0
0
0
( )
x x at
d y y bt
z z ct


= +



= + ∗



. Kết luận d và (P)
cắt nhau tại điểm
0 0 0 0
( ; ; )
M x y zII. BÀI TẬP MINH HOẠ

Bài 1 : Cho
3 , 2 ,
OA i j k OB i j k OC j
= + + = + + =
  
 
    a.CMR, ∆ABC cân. b.Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành
Bài giải
Câu a: Từ giả thiết ta suy ra
(1;3;1), (1;1;2), (0;1; 0)
A B C


2 2 2
(0; 2;1) 0 ( 2) 1 5
AB AB= − ⇒ = + − + =



− = − =
 
 
 
⇔ = ⇔ − = ⇔ =
 
 
 
− = − = −
 
 
 
 

 Vậy,
(0; 3; 1)
D
−

Bài 2 : Cho A(1;3;–2), B(–1;1;2), C(1;1;–3)
a.CMR, ABC là tam giác vuông. Tính diện tích tam giác ABC.
b.Viết PTTS của đường trung tuyến AM của tam giác ABC.
c.Viết PTTQ của mặt phẳng (P) đi qua 3 đỉnh của tam giác ABC.
d.Tính khoảng cách từ điểm M(2;1;2) đến mặt phẳng (ABC)

GV:
GV: GV:
GV: Dng Phc Sang
Dng Phc SangDng Phc Sang
Dng Phc Sang


Lưu ý:
+ M.phẳng α tiếp xúc với mặt cầu (S) thì (S) có bán kính
( , )
R d I
α
=

5. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Nếu (P) đi qua
0 0 0 0
( ; ; )
M x y z
, có vtpt
( ; ; )
n A B C
=

thì (P) có PTTQ
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0
A x x B y y C z z
− + − + − =

Lưu ý (về việc xác định vtpt của mp) ☺
☺☺
☺

thì
( )
P
nhận
d
u

làm vtpt.
a. Cách xác định vtpt của (P) khi biết 2 véctơ có giá song song (hoặc
chứa trong) (P)
Nếu
( ; ; ) , ( ; ; )
a x y z b x y z
′ ′ ′
= =
 
có giá song song (chứa trong (P)) thì
(P) có vtpt:
, ; ;
y z z x x y
n a b
y z z x x y
 




= =




thì
AB

có giá song song
( )
P

☺
☺☺
☺
( )
P
chứa M,N thì
MN

có giá song song
☺
☺☺
☺
( )
P d

thì
d
u

có giá song song
( )
P

(0; ; 0), (0;0; )
B b C c
có
PTTQ (P):
1
x y z
a b c
+ + =

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
TN.THPT.2010 44 GV:
GV: GV:
GV: D
DD
Dng Phc Sang
ng Phc Sangng Phc Sang
ng Phc Sang
6. Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng
Cho
( ) : 0
P Ax By Cz D
+ + + =
có vtpt
( ; ; )
n A B C
=


và




 

(Đặc biệt: nếu
, , ,
A B C D
′ ′ ′ ′
đều khác 0 thì
A B C D
A B C D
= = ≠
′ ′ ′ ′
)
b. Hai mặt phẳng trùng nhau

.
( ) ( )
.
n k n
P Q
D k D

′

=


≡ ⇔


( ) ( )
P Q n n
′
⊥ ⇔ ⊥
 
(Hay:
. 0
n n
′
=
 
)
7. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng
Cho
0 0 0 0
( ; ; )
M x y z
và
( ) : 0
P Ax By Cz D
+ + + =
. Khi đó,
0 0 0
0
2 2 2
( ,( ))
Ax By Cz D
d M P
A B C



= +



» Lưu ý: Nếu
( ; ; ) , ( ; ; )
a x y z b x y z
′ ′ ′
= =



là 2 véctơ có giá vuông góc với
d thì vtcp của d cũng được tìm bằng công thức:
,
u a b
=

 
[ ]

9. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Đường thẳng d đi qua
0 0 0 0
( ; ; )

☺☺
☺ d đi qua 2 điểm A,B (cho trước toạ độ) thì d có vtcp
AB
 ☺
☺☺
☺ d || ∆ (cho trước PT) thì d có vtcp
u u
∆
=
 
☺
☺☺
☺ d ⊥(P) (cho trước PT) thì d có vtcp
P
u n
=
  ☺
☺☺

nên d có vtcp

,
P
u n u
∆
=
  
[ ]

10. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
Cho đường thẳng d qua
0 0 0 0
( ; ; ),
M x y z
có vtcp
( ; ; )
u a b c
=


và đường thẳng
d
′
qua
0 0 0 0
( ; ; ),
M x y z
′ ′ ′ ′
có vtcp


∉







caét
.
0 0
0
0
n
d d
n M M


≠


′
⇔


′
=



cheùo
.
0 0
0
0
n
d d
n M M


≠


′
⇔


′
≠






www.VNMATH.com
www.VNMATH.com