Chơng 9.
sự ổn định của hệ đn hồi
I. Khái niệm
Thực tế có nhiều trờng hợp nếu chỉ tính độ bền v độ cứng
vẫn cha đủ đảm bảo an ton cho kết cấu, vì nó có thể bị phá
hỏng do
sự mất ổn định
cần phải chú ý đến
sự ổn định
.
Khái niệm về ổn định của hệ đn hồi: Ví dụ, một vật nặng
hình cầu đặc trên một mặt lõm (hình 9.1a), quả cầu ở
trạng thái
cân bằng ổn định
. Nếu ta đặt quả cầu trên một mặt lồi (hình
9.1b), quả cầu ở
trạng thái cân bằng không ổn định (mất ổn định) Xét một thanh thẳng mảnh chịu lực nh hình 9.2a. Khi lực
P
r
còn nhỏ. Nếu ta dùng một lực ngang rất nhỏ
K
r
đẩy thanh
chệch khỏi vị trí cân bằng, thanh trở lại vị
trí thẳng đứng ban đầu sau khi bỏ

P
P
n

, n
ôđ
hệ số an ton về ổn định.
Ví dụ một thanh ngm di có mặt cắt ngang chữ nhật hẹp
(hình 9.3a) bị uốn phẳng bởi lực
r
P
song song với chiều di của
a
)

b
)
Hình 9.
1
Hình 9.2
a
)

b
)
mặt cắt, khi
P
r
lớn hơn lực tới hạn
th

hạn P
th
thanh sẽ bị uốn cong trong mặt
phẳng m thanh có độ cứng nhỏ nhất
(hình 9.4).

Giả thiết
: ứng suất trong thanh do
P
th
gây ra cha vợt giới hạn tỉ lệ (
đn
hồi tuyến tính)
. Dới tác dụng của P
th

trục của thanh bị cong với chuyển vị
(độ võng) tại mặt cắt có tọa độ z l y(z)
rất bé. Mômen uốn trên mặt cắt đó l:
M(z) = P
th
. y(z) (a)
Hình 9.4

Do các giả thiết trên ta có thể dùng công thức tính mômen
uốn theo phơng trình vi phân gần đúng đờng đn hồi:

()
2
2

= 0. Từ (e) ta có:
y(l) = C
1
sinl = 0 (9.2)
Nh vậy hoặc C
1
= 0 hoặc sinl = 0. Tuy nhiên vì C
2
= 0, nên
nếu C
1
= 0 thì y(z) = 0, khi đó thanh cha bị uốn cong hay cha
mất ổn định. Vậy chỉ còn lại điều kiện
sinl= 0 l = n (n = 1, 2, )

=
n
l
(n = 1, 2, ) (f)
Thay giá trị của vo (c) ta có giá trị lực tới hạn:


=
22
th
2
nEJ
P
l
(n = 1, 2, 3 ) (g)

2
EJ
Pm
l
hay
()

=

2
min
th
2
EJ
P
l
(9.4)
trong đó v m =

1
l các hệ
số phụ thuộc vo dạng liên kết
ở hai mút thanh (hình 9.5).
Có thể thấy m bằng số nửa
bớc sóng hình sin của đờng
đn hồi của thanh sau khi
thanh bị mất ổn định.
2. ứng suất tới hạn
ứng suất tới hạn trong
thanh chịu nén đúng tâm bởi

2
min
min
J
i
F
l bán kính quán tính cực tiểu của MCN.
Đặt:

=
min
i
l
- đợc gọi l
độ mảnh
của thanh (9.5)
Công thức tính ứng suất tới hạn sẽ có dạng:
2
th
2
E
=

(9.6)
3. Giới hạn áp dụng của công thức Ơle
Các công thức Ơle đợc thnh lập với
giả thiết vật liệu đn
hồi tuyến tính
chúng chỉ dùng khi ứng suất trong thanh nhỏ
hơn giới hạn tỉ lệ


(9.8)
Với thép, E 2.10
5
N/mm
2
,
tl
= 200N/mm
2


=
25
0
.2.10
100
200

Với gỗ
0
70, với gang
0
80.
H
ình 9.5
Những thanh có độ
mảnh >
0
đợc gọi l những

2
, b = 0,194 MN/m
2
.
Đối với thanh có độ mảnh bé quá (0
1
) khi chịu nén thanh
không thể bị cong, sự mất ổn định của thanh thực tế không xẩy
ra, khi đó trạng thái tới hạn của thanh cũng l trạng thái phá
hoại của vật liệu:
th
=
0
(9.10)
với
=
0ch
đối với vật liệu dẻo,

=
0B
đối với vật liệu giòn.
III. Phơng pháp thực hnh để tính ổn định
Nh đã biết, điều kiện bền của thanh bị nén đúng tâm l:

[]

= =
0
n


= =


ôđ th
ôđ 0
n
n
n
(9.12)
đợc gọi l
hệ số giảm ứng suất cho phép
hay
hệ số uốn dọc
,
1 vì thông thờng []
ôđ
[]
n
. Hệ số phụ thuộc vo vật liệu, độ
mảnh của thanh v các hệ số an ton về bền v ổn định. Bằng

th

1

tl

0


Thực nghiệm cho thấy những lỗ khuyết trên
mặt cắt ngang (nh lỗ đinh, rãnh chêm, v.v ) ảnh hởng rất ít
đến độ ổn định của thanh, nên khi kiểm tra ổn định theo công
thức (9.32) vẫn dùng
diện tích nguyên
của mặt cắt. Hình 9.7 mô tả
một MCN bị giảm yếu cục bộ, khi đó F
th
= F
1
+ F
2
, còn F
ng
l diện
tích của hình tròn.
Từ công thức cơ bản trên, có thể xác định
lực nén cho phép
:

[
]
[
]


ng
n
PF
(9.14)


==
22
7
FDd
44
(cm
2
)
Bán kính quán tính của mặt cắt (i
min
= i
max
= i)


== =

J175.45
i
F 64.7 4
(cm)
Hệ số liên kết
= 0,7, do đó độ mảnh của thanh l:
Hìn
h
9.
8
P
l

>
0
, nên ta áp dụng công thức Ơle để tính lực tới hạn

()

== =

2
3
th
2
EJ
P 85,3.10 N 85,3kN
l

ứng suất tới hạn:

()

= = = =

2
62 2
th
th
2
P
EJ
155.10 N /m 155MN / m

0
, do đó ta có thể
sử dụng công thức Ơle.
ứng suất tới hạn:


= =

2
2
th
2
E
14,3kN / cm

Lực tới hạn của thanh l:
P
th
=
th
.F = 14,3.32,4 = 463,32 kN
Hìn
h
9.
9

P

l
b) Khi cột cao 3m độ mảnh của cột l:

,
P=400kN, l=2 m. Xác định số hiệu mặt cắt ngang?
Giải
Ta giải bi toán theo phơng pháp đúng dần.
a) Chọn lần thứ nhất
Chọn

0
=0,60
Khi đó [
]
ôđ
= .[] = 0,6.16 = 9,6 kN/cm
2
.
Diện tích MCN:
[]
==

2
od
P 400
F41,7kN/cm
9,6

Tra bảng thép chữ I thấy có loại thép I N
0
27 có
F= 40,2 cm
3

Ta lấy:
679,0
2
10
2
=
+
=
;
Khi đó: []
ôđ
= .[] = 0,679.16 = 10,86 kN/cm
2
Diện tích MCN:
2
cm8,36
86,10
400
F ==

Tra bảng ta chọn thép chữ I N
0
24 có diện tích gần nhất F =
34,8 cm
3
; i
min
=2,37cm.
Độ mảnh của cột:
min

2
ứng suất thực tế trong cột:

[]
2
od
2
cm/kN57,11cm/kN5,11
8,34
400
F
P
====

ứng suất ít hơn l:

[
]
[
]
[]

==

ôd
ôd
0,07
.100% .100% 0,8%
11,57