Bài giảng: Sức bền vật liệu
Chơng 9
Hệ thanh siêu tĩnh
9.1 khái niệm
9.1.1 Khái niệm
Trong chơng này ta chỉ xét đến bài toán phẳng. Giả sử hệ thanh là một hệ
phẳng và lực tác dụng cũng nh chuyển vị của hệ chỉ xảy ra trong mặt phẳng của
hệ, tức là mọi di động của hệ chỉ xảy ra trong mặt phẳng chứa hệ. Nh vậy hệ có 3
bậc tự do (hai chuyển động tịnh tiến và một chuyển động quay trong mặt phẳng
của hệ). Để cố định hệ ta cần 3 liên kết đơn hợp lý. Số phơng trình cân bằng tĩnh
học là vừa đủ để xác định các phản lực trong các liên kết đó. Bài toán này gọi là
bài toán tĩnh định (Hình 8-1). Nếu số liên kết nhiều hơn số liên kết cần thiết để
giữ cho hệ cố định thì hệ đó tồn tại liên kết thừa.
Ta có định nghĩa: Hệ thanh siêu tĩnh là hệ có tồn tại liên kết thừa
Bậc siêu tĩnh của hệ là số liên kêt thừa
9.1.2 Phân loại:
- Hệ siêu tĩnh ngoại: là hệ siêu tĩnh có liên kết thừa là liên kết của hệ với mặt đất
hoặc với vật thể khác.
- Hệ siêu tĩnh nội: Là hệ siêu tĩnh có số liên kết thừa tồn tại ngay trong bản thân
hệ.
- Hệ siêu tĩnh hỗn hợp: Khi tồn tại liên kết thừa cả nội lẫn ngoại.
Ví dụ: Đối với hệ nh trên hình 8-2 để hệ cố định thì chỉ cần ngàm tại A, liên
kết kép tại B có tác dụng làm tăng độ cứng vững của hệ, song để xác định đợc
các phản lực liên kết thì cần phải có 5 phơng trình vì có 5 ẩn số là các phản lực
liên kết, mà ta chỉ có 3 phơng trình cân bằng tĩnh học. Điều này cho thấy là ta
phải tìm thêm 2 phơng trình nữa thì mới giải đợc bài toán. Không có cách nào
khác là phải dựa vào điều kiện chuyển vị và biến dạng của hệ để thiết lập thêm
các phơng trình này.
Số liên kết thừa chính là số bậc siêu tĩnh của hệ và ta thấy rằng có bao nhiêu
liên kết thêm thì cần phải có bấy nhiêu phơng trình để giải hệ. Xét ví dụ trên
hình 8-2 ta thấy hệ có 2 bậc siêu tĩnh.

(A) ở C, nh vậy khớp cầu tại C tơng đơng với 2 liên kết đơn (do nó hạn chế đợc 2
bậc tự do của hệ, để (B) cố định với (A) thì ta cần phải đặt thêm một liên kết đơn
tại D (Hình 8-3,4,5).
Vậy số liên kết để gắn phần này với phần kia của một hệ cũng là 3 liên kết
đơn hợp lý (không cùng song song). Ta cũng có thể gắn (B) vào (A) bằng một
mối hàn tại C (Hình 8-6) vì một mối hàn tơng đơng với 3 liên kết đơn.
Tại D nếu ta thêm một mối hàn hay một khớp cầu thì hệ sẽ thừa 3 hoặc 2 liên
kết, tức là hệ sẽ trở thành siêu tĩnh bậc 3 hoặc 2. Những liên kết giữa các phần
của một hệ gọi là siêu tĩnh nội
Nhận xét :
- Một chu vi khép kín có ba bậc siêu tĩnh.
- Nếu trong chu vi đặt một khớp nối đơn nối hai thanh (H 8-8) thì bậc siêu
tĩnh giảm đi một.
- Nếu ta đặt 3 khớp đơn thì giảm hết bậc siêu tĩnh (3 khớp đơn không
thẳng hàng).
- Một hệ có thể vừa siêu tĩnh nội vừa siêu tĩnh ngoại và số bậc siêu tĩnh
bằng tổng số bậc siêu tĩnh nội và ngoại (H 8-9).
8.1.3 Ưu nhợc điểm của hệ siêu tĩnh.
Để thấy rõ u nhợc điểm, ngời ta thờng hay so sánh với hệ tĩnh định.
- Hệ siêu tĩnh thờng có biểu đồ nội lực phân bố về 2 phía và có giá trị lớn
nhất nhỏ hơn so với tĩnh định. Do vậy chúng có độ bền, độ cứng cao hơn
so với tĩnh định.
- Hệ siêu tĩnh có nhợc điểm là dễ gây biến dạng, ứng suất d khi lắp ráp và
nhiệt độ thay đổi. Khi chế tạo yêu cầu độ chính xác rất cao
- Do các u nhợc điểm trên, cho nên hệ siêu tĩnh đợc phổ biến trong ngành
xây dựng. còn trong ngành cơ khí, chúng chỉ đợc sử dụng đối với chi tiết
yêu cầu độ bền độ cứng cao nh: trục chính
Trang: 17
Hình 8-6
(B)

Hệ d ta đã bỏ 2 liên kết tại A.
Hệ e ta đã bỏ 2 liên kết nội tại A và C.
Trang: 18
Hình 8-11
C
A
B
a)
C
A
B
b)
B
C
A
c)
B
C
A
d)
C
A
B
e)
Hình8-10
C
A
B
q
Bài giảng: Sức bền vật liệu

Hình - 13
C
A
B
a)
X
1
X
2
C
A
B
b)
X
1
X
2
B
C
A
c)
X
1
X
2
X
2
B
C
A

, X
2
sẽ gây nên các chuyển vị theo phơng thẳng đứng
và phơng ngang của điểm B. Để hệ này tơng đơng với hệ siêu tĩnh thì ta phải xác
định đợc trị số của X
1
, X
2
sao cho các chuyển vị đó là bằng không (Gối tựa cố
định tại B của hệ siêu tĩnh không cho phép khung có chuyển vị theo phơng
ngang và phơng thẳng đứng).
Sau khi đã xác định đợc trị số của X
1
, X
2
thì ta đã có đợc một hệ tĩnh định t-
ơng đơng và bài toán đợc giải nh bài toán tĩnh định bình thờng.
9.2.3.Hệ phơng trình chính tắc.
Xét hệ siêu tĩnh bậc n, sau khi bỏ n liên kết thừa ta đợc hệ cơ bản. Đặt tải trọng
và n phản lực liên kết, ta đợc hệ tĩnh định tơng đơng với điều kiện là chuyển vị
theo phơng của x
i
(
ni =1
) do tất cả phản lực x
i
và tải trọng gây nên phải bằng
0. Xét chuyển vị theo phơng của lực x
i
là

0
2211
=++++=
iPniniii
xxx


Khai triển ra, ta đợc hệ phơng trình chính tắc

0X XX

0X XX
0X XX
nPnnn22n11n
P2nn2222121
P1nn1212111
=++++
=++++
=++++
Các hệ số
ii
đợc gọi là hệ số chính. Các hệ số
ik
đợc gọi là hệ số phụ và
ip
gọi là các số hạng tự do. Trong đó các hệ số đợc xác định:
Trang: 20
C
A
B

( )
( )
ipiP
MM .=
. Trong đó M
P
là biểu đồ mô men do tải trọng đặt lên hệ cơ bản
gây nên.
Sau khi tính đợc các hệ số, thay vào hệ phơng trình chính tắc, giải ra ta tìm đợc
các phản lực x
i
.
9.2.4.Vẽ biểu đồ nội lực cho hệ siêu tĩnh và kiểm tra
a. Vẽ biểu đồ: 2 cách:
- Thay các giá trị phản lực đã tính đợc vào hệ tĩnh định tơng đơng và coi đó là tải
trọng ta vẽ đợc biểu đồ nội lực cho hệ tĩnh định tơng đơng.
- Vẽ biểu đồ nội lực theo nguyên lý độc lập tác dụng. Chẳng hạn biểu đồ mô
men:
nnPst
xMxMxMMM
2211
++++=
b. Kiểm tra biểu đồ:
Muốn biết đợc biểu đồ vẽ trên hệ tĩnh định tơng đơng trên có đúng là biểu đồ
siêu tĩnh không, ta phải kiểm tra theo các bớc sau:
- Kiểm tra theo liên hệ vi phân giữa nội lực và ngoại lực.
- Tách nút kiểm tra biểu đồ đối với khung.
- Kiểm tra chuyển vị tại chỗ giải phóng liên kết thừa:
( )
isti

=++
Biểu đồ mômen uốn do các phản lực đơn vị và tải trọng nh hình vẽ (Hình 8-
15c,d,e).
Trang: 21
B
A
C
a
Hình 8-15a
q
a
X
1
X
2
Hình 8-15b
q
X
1
Hình 8-15c
a
1
M
B
A
C
z
qa
28
3

a.aa
3
2
.
2
a
EJ
1

3
2
2
11
=






+=

3
2112
a.
EJ2
1
2
a
.a.a

EJ8
qa5
a.a.
2
qa
a
4
3
.a.
2
qa
.
3
1
EJ
1

42
P2
422
P1
==
=






+=

3
X
21
==
Sau khi đã xác định đợc các giá trị X
1
và X
2
ta đi vẽ biểu đồ M, N, Q cho hệ
TĐTĐ (hệ siêu tĩnh), để vẽ đợc các biểu đồ nội lực thì ta đặt các lực X
1
và X
2
vào
hệ cơ bản và chú ý rằng lực X
1
có chiều ngợc lại vì kết quả tính mang dấu âm
(Hình 8-15g)
* Vẽ biểu đồ nội lực:
+ Đoạn AB (A B): Dùng mặt cắt 1-1 cắt khung và giữ phần bên dới để
khảo sát. Ta có: z = 0 ữ a
Trang: 22
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Giả thiết Q
1
dơng, N
1
dơng và M
1
căng thớ phải. Ta có phơng trình cân

7
4
Q
1
=
(âm)
+
2
1
z
2
q
qaz
7
3
M0 ==

M
Khi z = 0 M
1
= 0
z = a
2
2
1
qa
14
1
2
qa

2
1
.a
7
3
qa.
7
3
M ==
(phải)
* Đoạn BC (B C): Dùng mặt cắt 2-2 cắt khung và xét phần bên trái. Ta có z
= 0 ữ a.
Trang: 23
M
1
A
qa
28
3
q
qa
7
3
z
11
Q
1
N
1
Bài giảng: Sức bền vật liệu

+
22
2
qa
2
1
qa
7
3
qa.z
28
3
M0M +==

Tại z = 0
2
2
qa
14
1
M =
(trên)
Tại z = a
2222
2
qa
28
1
qa
2

7
4qa
-
-
28
3qa
Q
-
+
+
28
3qa
7
4qa
7
3qa
M
98
9qa
2
7
3a
14
qa
2
28
qa
2
Hình 8-16
B

trên hình (H 8-17c) là hệ chịu tải trọng phản đối xứng.
Tơng tự, nếu ta xét các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang nào đó thì ta
cũng có thể chia các thành phần nội lực thành các thành phần đối xứng và phản
đối xứng.

Trên hình vẽ (H 8-18), ta có lực dọc, mômen uốn M
x
, M
y
là các thành phần
nội lực đối xứng còn lực cắt và mômen xoắn là các thành phần nội lực phản đối
xứng.
Hệ quả:
Nếu một hệ đối xứng chịu tác dụng của tải trọng đối xứng thì nội lực phản
đối xứng trên mặt cắt trong mặt phẳng đối xứng của hệ là bằng không. Ngợc lại
nếu tải trọng là phản đối xứng thì nội lực đối xứng phải bằng không.

Ví dụ : Vẽ biểu đồ mômen nội lực của khung siêu tĩnh chịu lực nh hình vẽ
(H 8-21):
Bài giải:
Trang: 25
Hình 8-17
a)
b)
P P
M
M
c)
P P
M

z
Hình 8-18
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Khung có trục đối xứng CD và chịu tác dụng của tải trọng đối xứng nên
thành phần lực cắt trên mặt cắt qua trục CD bằng không.
Ta cắt đôi khung và xét một nửa khung (H 8-21b), vì tính chất đối xứng nên
momen uốn và lực dọc trên hai mặt cắt ở các điểm D và C phải bằng nhau. Từ
điều kiện cân bằng ta có :
2
P
NN
21
==
Vậy ta chỉ còn phải tìm trị số mômen uốn X
1
.Từ điều kiện chuyển vị tơng đối
giữa các mặt cắt tại C và D phải bằng 0 ta thiết lập đợc phơng trình chính tắc.
0X
P1111
=+
Biểu đồ đơn vị
n
M
và tải trọng
P
M
đợc biểu diễn nh hình 8- 19c,d.
Hệ số phụ và số hạng tự do đợc tính nh sau:



ds
EJ
MM

2
P1
P1
P1
11
Vậy ta có:
Pa0.11


X
11
P1
1
==
Biểu đồ mômen uốn của hệ đợc biểu diễn nh trên hình 8-22.
Trang: 26
a
a)
2a
P
P
a
C
D
Hình 8-21
b)

các gối tựa và nối chúng lại bởi các khớp đặt trên mỗi gối tựa để chia dầm thành
nhiều dầm đơn (Hình 8-24).

Trang: 27
q
P
Hình 8-23
q
P
Hình 8-24
x
1
x
1
x
2
x
2
x
3
x
3
Hình 8-25
i-1
l
i
M
i-1
q
q

Và giả thiết trên hai nhịp đang xét có tải trọng bất kỳ. Phơng trình chính tắc
viết cho gối thứ i sẽ có dạng nh sau:
( ) ( )
0.MMM
P11112211
=++++++++=
++ ininiiiiiiiiiiii
MMM


Ta nhận thấy
ik

(với k <i-1 và k >i+1) luôn bằng 0, ta có:
( ) ( )
( )
a0MMM
P1111n
=+++=
++ iiiiiiiiii
Các biểu đồ mômen đơn vị và biểu đồ mômen do tải trọng gây nên trên 2
nhịp đang xét đợc biểu diễn trên hình 8-26.
Nếu dầm có độ cứng EJ không đổi trên suốt chiều dài của dầm thì với phép
nhân biểu đồ Veresaghin, ta có các hệ số phụ và các số hạng tự do nh sau:
( )
xx
l
0
x
1

=+==
1
x
1
x
1
x
l
0
x
EJ3
ll
EJ
1
.
3
2
.
2
l
EJ
1
.
3
2
.
2
l
ds
EJ


1
+
+
+
+
===

+
i
i
ii
ii
n


+
=
+
+
+








+==

+ l
i
và l
i+1
là độ dài của nhịp thứ i và i + 1.
+
i
và
i+1
là diện tích của biểu đồ mômen do tải trọng gây nên trên 2
nhịp thứ i và i + 1.
+ a
i
và b
i+1
là khoảng cách từ trọng tâm của các diện tích đó đến gối tựa
thứ i -1 và i + 1.
Ta mang thay các giá trị vừa tính đợc vào phơng trình (a) và giản ớc cho EJ
x
ta
có:
( )
0
l
b
l
a
6
MlMll2Ml
1

i
a
i+1
b
i
b
i+1

i
C C

i+1
M
P
i-1
l
i
M
i-1
q
q
M
i
M
i+1
l
i+1
i
i+1
M

đoạn để đảm bảo tính liên tục.
Ví dụ 1: Vẽ biểu đồ mômen uốn của dầm liên tục chịu lực nh hình 8-27.
Bài giải:
Biểu đồ mômen uốn M
P
của tải trọng đặt lên hệ cơ bản đợc biểu diễn trên
hình 8-28. Đánh số thứ tự của các gối tựa nh hình vẽ.
Chú ý rằng M
0
= M
3
= 0. Ta có phơng trình chính tắc nh sau:
( )
( )







=






+


2
6lMMll2lM
0
2
1
.
8
ql
.
3
2
6lMMll2lM
22
321
2
210
Hay:







=++
=++
0
8
ql5
M4M

l
l
l/2
M
1
= 0,025ql
2
M
2
= 0,15ql
2
a)
Hình 8-29
0,175ql
2
0,15ql
2
b)
0,025ql
2
Bài giảng: Sức bền vật liệu
2
2
2
2
2
1
ql0,15
20
ql3

2
ql
2


Hệ phơng trình chính tắc đợc viết nh sau:
Trang: 31
Hình8 -30
a
P
M
4
= -Pa
M
4
M
2
M
1
M
3
l
0
=0
Bài giảng: Sức bền vật liệu
( )
( )
( )



.
3
ql
.
3
2
6lMMll2lM
0
2
1
.
1
l
.
2
ql
.
3
2
6lMMll2Ml
432
2
321
2
21101
Hay rút gọn lại, với chú ý l
1
= 0 và
2
ql

32
2
321
2
21
Giải hệ thống phơng trình trên ta đợc:
2
3
2
2
2
1
ql06730,M
ql1920,0M
ql24040,M
=
=
=
Biểu đồ mômen đợc biểu diễn nh trên hình 8-32.

Trang: 32
Hình 8-31
P=ql
l
l/2
q
ll
a)
2
ql

ll
0,5ql
2
0,0673ql
2
0,2404ql
2
0,0192ql
2
Bµi gi¶ng: Søc bÒn vËt liÖu
Trang: 33