Chơng 6: Tính chuyển vị
Bài 1 Bài 2 Bài 3 Bài 4
6.1 Khái niệm chung
Trong chơng kéo nén thế năng biến dạng đàn hồi đối với thanh
chịu kéo nén đợc xác định bởi công thức:

=
l
z
EF
dzN
U
0
2
2
1
Còn đối với dầm chịu uốn thì thế năng biến dạng đàn hồi đợc xác
định theo công thức:


=
l
x
x
dz
EJ
M
U
0
2
2

N
dz
GJ
M
dz
EJ
M
dz
EJ
M
U
0 0 0 0
2
22
2
0
2
22222

+


l
y
dz
GF
Q
0
2
2

. Công
của vi phân lực dP
K
trên đoạn chuyển vị đợc xác định nh sau:
81
k
P
U
K


=
P
i
k
P
k
2
dk

1
P
i
k
P
k
+ dP
k
Ta thấy lực dP
K

K
.K
Mặt khác khi cha có lực dP
K
tác dụng thì dầm có đờng biến dạng 1
và tích luỹ 1 thế năng biến dạng đàn hồi là U. Khi có thêm lực dP
K
thì
dầm có đờng biến dạng 2, nên trong dầm có thêm 1 thế năng biến
dạng đàn hồi dU. Do dU là vi phân riêng phần của U khi riêng lực P
K
thay đổi 1 lợng dP
K
nên ta có:
k
k
dP.
P
U
dU


=
Theo định lý bảo toàn năng lợng có dA = dU.
Vậy cuối cùng có:
k
P
U
K


+ Nếu muốn tìm chuyển vị thẳng ta đạo hàm riêng U theo lực tập
trung. Nếu muốn tìm góc xoay thì đạo hàm riêng U theo mô men tập
trung.
+ Nếu cần tìm chuyển vị tại một điểm hoặc một mặt cắt nào đó
mà tại đó không có lực thì ta đặt thêm vào tại đó 1 lực giả. Sau đó viết
phơng trình nội lực và tính thế năng U. Cuối cùng khi đạo hàm riêng
U theo lực giả thì cho lực giả bằng 0.
6.3. Công thức tích phân Mo.
82
Xét một hệ đàn hồi chịu các lực P
i
(i = 1 ữ n). Giả sử ta cần phải
tìm chuyển vị theo một phơng K bất kỳ nào đó.
Theo phơng K ta đặt thêm vào hệ đã cho 1 lực giả P
k
(hình vẽ). Ta
coi P
k
cũng giống nh P
i
.
Tại mặt cắt 1-1 có mô men uốn nội lực là: M
x
= M
P
+M
PK
Trong đó:
+ M
P

.






++=






l
0
KP
l
0
2
l
0
2
P
x
dzMM2dzMdzM
EJ2
1
U
PPK

0
2
kK
l
0
2
P
x
dzM.P.M2dzP.MdzM
EJ2
1
U
Theo Catxtigliano thì chuyển vị theo phơng K là:


=


=
=
dz
EJ
M.M
P
U
K
l
0
x
PK

x
= f
1
(z)
+ Đặt lực đơn vị P
k
= 1 (hoặc mô men đơn vị M
k
= 1) vào điểm
(hoặc mặt cắt) cần tính chuyển vị (hoặc góc xoay). Sau đó viết phơng
trình nội lực đơn vị do lực đơn vị gây ra:
(z)fM
2K
=
+ Thay M
P
và
K
M
vào công thức Mo để tính chuyển vị K hoặc
góc xoay
6.4. Phép nhân biểu đồ Veresaghin.
a. Phép nhân biểu đồ:
Từ công thức tích phân Mor,
nếu EJ=const ta có:

===
l l
kP
kP

=
l
0
dzg(z).f(z).I
Vì: g(z) = kz + b nên có:

+=
l
0
l
0
dzf(z)bdzf(z).zkI

Ta thấy

l
0
dzf(z)
là diện tích của f(z) trong [0 , l].
Tức là:
dzf(z)
l
0
=

84
z
f(z)
f(z)


biểu diễn mô men tĩnh của diện tích đối với trục
y
c

y
z.zdS ==

Vậy ta có:

ccc
.b)(kz.bz..kI =+=+=
Từ công thức (*) và công thức Mo có:
Từ công thức trên ta có phép nhân biểu đồ Vêrêsaghin:
Lấy diện tích của biểu đồ M
P
là

nhân với tung độ ứng với trọng tâm
của biểu đồ M
P
lấy trên biểu đồ M
K
là
c

b. Trình tự tính chuyển vị theo phép nhân biểu đồ
+ Vẽ biểu đồ do tải trọng thật gây ra.
+ Đặt vào điểm cần tính chuyển vị một lực đơn vị P
k
= 1. Vẽ biểu

P
o
o
o
lzhl
c
8
3
;
3
2
==
C
z
c
l
h
C
z
c
z
c
2
;
12
3
l
z
ql
c

men đơn vị M
k1
=1 rồi vẽ biểu đồ mô men đơn vị.
- Muốn tính chuyển vị tơng đối ( hoặc góc xoay tơng đối) giữa 2
điểm( hoặc 2 mặt cắt) ngời ta đặt 2 lực đơn vị ( hoặc 2 mô men đơn
vị) ngợc chiều nhau, rồi vẽ biểu đồ mô men đơn vị.
- Phép nhân biểu đồ có thể ứng dụng cho tính chuyển vị khi kéo nén.
86
K
M
M
P
M
P
M
P
K
M