Bài giảng: Sức bền vật liệu
Chơng 3
Trạng thái ứng suất và thuyết bền
Bài 1 Bài 2 Bài 3 Bài 4 Bài5 Bài6 Bài 7
3.1. Khái niệm chung
3.1.1 Khái niệm.
Trong chơng kéo nén, ta đã biết: Qua 1 điểm, nếu dùng mặt cắt ngang cắt qua
điểm đó thì xuất hiện 1 thành phần ứng suất pháp, nếu dùng mặt cắt song song
với trục thanh thì không có ứng suất, dùng mắt cắt xiên bất kỳ thì xuất hiện cả
ứng suất pháp và tiếp. Điều đó chứng tỏ, ứng suất tại 1 điểm phụ thuộc vào vị trí
mặt cắt đi qua 1 điểm.Xét một vật thể chịu lực bất kỳ. Dới tác dụng của ngoại lực, qua một điểm K bất
kỳ trên vật thể, nếu ta dùng các mặt cắt khác nhau đi qua điểm này thì ta sẽ thu
đợc các giá trị ứng suất pháp và tiếp khác nhau. Điều đó chứng tỏ ứng suất
không những phụ thuộc vào vị trí của một điểm mà còn phụ thuộc vào vị trí của
mặt cắt ngang đi qua điểm đó. Vậy ta có định nghĩa:
Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp tất cả các ứng suất pháp và ứng
suất tiếp trên các mặt cắt khác nhau đi qua điểm đó.
3.1. 2. Trạng thái ứng suất của một phân tố.
Để nghiên cứu trạng thái ứng suất tại một điểm A nào đó bên trong vật thể,
ta tởng tợng xung quanh điểm A ta tách ra một phân tố hình hộp vô cùng bé có
kích thớc là: dx, dy, dz. Vì các cạnh của phân tố là vô cùng bé nên ta có thể coi
phân tố là điểm đang xét và ứng suất trên các mặt của phân tố đợc xem nh ứng
suất trên các mặt cắt đi qua điểm đó.
Trong trờng hợp tổng quát, trên các mặt của phân tố sẽ có 3 thành phần ứng
suất. Vậy trên toàn bộ phân tố có 9 thành phần ứng suất (vì phân tố là vô cùng bé
nên ứng suất pháp trên các mặt song song ta coi là nh nhau). Lý thuyết đàn hồi
đã chứng minh đợc rằng ứng suất tiếp trên hai mặt cắt vuông góc với nhau có
cùng chỉ số thì có giá trị bằng nhau(

= 0). Phân tố đó đợc gọi là phân tố chính, các mặt của
phân tố chính đợc gọi là các mặt chính, phơng pháp tuyến của mặt chính đợc gọi
là phơng chính và các ứng suất pháp trên các mặt chính đợc gọi là ứng suất
chính. Ký hiệu của các ứng suất chính là

1
,

2
,

3
. Quy ớc tên gọi theo quy luật
nh sau:

1
>

2
>

3
về mặt trị đại số (có kể cả dấu).
3.1.4. Phân loại trạng thái ứng suất: Trong thực tế tuỳ theo lực tác dụng và dạng
vật thể mà trên phân tố chính có thể có cả 3 hoặc 2 hoặc 1 ứng suất chính. Tuỳ
theo tồn tại số lợng các ứng suất chính mà ta phân 3 loại trạng thái ứng suất:
- Trạng thái ứng suất khối (không gian) là trạng thái ứng suất có đủ cả 3 ứng
suất chính

1


zy

xz

xy
x
A
z
y
Bài giảng: Sức bền vật liệu

Vấn đề chủ yếu ở đây là ta phải xác định đợc phơng chính (mặt chính) và ứng
suất chính. ở đây ta chỉ xét trạng thái ứng suất phẳng và từ đó ta có thể suy ra
trạng thái ứng suất đơn. Ngoài ra ta sẽ nghiên cứu một số trờng hợp đặc biệt của
trạng thái ứng suất khối.
3.2. Trạng thái ứng suất phẳng.
3.2.1. ứng suất trên mặt cắt xiên.
Xét phân tố có các ứng suất trên hình vẽ, phân tố này có các mặt song song
với mặt phẳng toạ độ, trên mặt vuông góc với trục z không có ứng suất, còn trên
các mặt còn lại tồn tại cả ứng suất pháp và tiếp.
Trạng thái ứng suất mà ta biểu diễn trên hình vẽ là trạng thái ứng suất phẳng.
Ta xét ứng suất trên một mặt cắt xiên có pháp tuyến tạo với trục x một góc

.
Tởng tợng dùng một mặt cắt xiên song song với trục z và có phơng pháp
tuyến ngoài của mặt cắt tạo với chiều dơng của trục x một góc

để cắt phân tố.
Xét một phần ta thấy trên mặt cắt xiên xuất hiện ứng suất pháp và ứng suất tiếp

=
3
= 0

y

y

x

x

yx

yx

xy

xy
x
z
y
x

z
y
x




yxxy
yx
Ta đã biết:
2
2cos1
cos
2
2cos1
sin
2
2




+
=

=
Thay vào biểu thức trên và biến đổi, thay
xy
=
yx
ta đợc:




2sin2cos
22

x

y

xy

yx

x


y

xy

yx





x

y

xy

yx

dF

(*)'2cos2sin
2
(*)2sin2cos
22
xy
yx
xy
yxyx








Đây là công thức xác định ứng suất trên mặt cắt xiên.
* Luật bất biến của ứng suất pháp và luật đối ứng ứng suất tiếp.
Ta khảo sát ứng suất trên mặt cắt vuông góc với mặt cắt xiên, khi đó góc xiên
là + 90
0
. Ta có:




2sin2cos
22
90
xy

+
2cos2sin
2
xy
yx
90
o
Ta có luật đối ứng của ứng suất tiếp: ứng suất tiếp trên 2 mặt vuông góc với
nhau thì có giá trị bằng nhau và có chiều cùng hớng vào cạnh chung hoặc cùng
hớng ra xa cạnh chung.
Đối với trạng thái ứng suất đơn có

y
=

xy
= 0 nên ta có:






2sin.
2
cos.
2
x
x
=


tgtg
yx
xy
xy
yx
=

=
=+

=

40
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Giải ra ta có:
2
0


k=
Trong đó k là một số nguyên dơng.
Từ biểu thức trên ta thấy rằng

luôn có 2 nghiệm chênh nhau một góc 90
0
(ứng với k = 0 và k = 1), tức là ta luôn tìm đợc 2 phơng vuông góc với nhau, đó
là 2 phơng chính cần tìm. Nh vậy, ta luôn tìm đợc 2 phơng chính của hai mặt
chính vuông góc với nhau và với mặt chính không có ứng suất tạo nên 1 phân tố
chính. Thay các giá trị nghiệm









+

=
2
2
02cos.2sin.
2
2
Thay (**) vào (*) và chú ý một số biến đổi lợng giác:






21
1
2cos;
21
2
2sin
22

=
3.2. 3. ứng suất tiếp cực trị và phơng của mặt chứa nó.
Đạo hàm bậc nhất của ứng suất tiếp


trong công thức
( )
'*
theo và cho
bằng 0, ta có:
02sin.2cos.
2
2 =










=





xy

suất tiếp cực trị.
Tơng tự ta có thể tìm đợc ứng suất tiếp cực trị nh sau:
2
2
2
min
max
xy
yx



+









=
3.2. 4. Vòng tròn Mo ứng suất.

41
Bài giảng: Sức bền vật liệu
a. Phơng trình và cách vẽ.
Mọi trạng thái ứng suất phẳng cũng nh trạng thái ứng suất khối đều có
thể biểu diễn bằng đồ thị theo nhiều cách khác nhau, mà một trong những cách

yx
xy
yxyx
Bình phơng 2 vế (sau khi đã biến đổi phơng trình đầu) ta có:
















+

=








yx
xy
yxyx
Cộng vế với vế 2 phơng trình trên có:

2
2
2
2
22
xy
yxyx






+









=+


và có bán kính là:

2
2
2
xy
yx
R


+









=
Đó chính là vòng tròn Mo ứng suất. Mỗi một điểm trên vòng tròn tơng ứng
với một mặt cắt xiên và tọa độ của điểm đó chính là giá trị của ứng suất trên mặt
cắt xiên đó.
* Ta tiến hành dựng vòng tròn Mo nh sau:
- Lập hệ trục tọa độ

-

trong đó trục


tại C.
- Vẽ vòng tròn tâm C bán kính CD ta đợc vòng tròn Mo ứng suất.
b. Công dụng của vòng tròn Mo.
Trên vòng tròn Mo ta xác định một điểm P(

y
,

xy
) gọi là điểm cực của
vòng tròn Mo. Trên vòng tròn Mo ta có thể:
* Xác định đ ợc ứng suất trên mặt cắt xiên.
Từ điểm cực P kẻ tia song song với phơng pháp tuyến của mặt cắt xiên, tia
này cắt vòng tròn Mo tại điểm K. Tọa độ của điểm K chính là


và


.
Chứng minh:
Trên hình vẽ ta có:
OG = OC + CG =
( )


22cos
2
1

2
2cos
Vậy có:



=

+
+
= 2sin2cos
22
xy
yxyx
OG
Tơng tự có:
( )

22sin
1
+= RGK

43





x







1

B
A

P
0
2
2
1
Bài giảng: Sức bền vật liệu






=

+=
+=
2sin
2
2cos
2sin2cos2cos2sin


3
= 0.
* Xác định ứng suất tiếp cực trị và ph ơng của mặt chứa nó.
Qua tâm C của vòng tròn, kẻ một tia song song với trục

cắt vòng tròn tại 2
điểm I và J. Hai điểm này thể hiện các mặt cắt có ứng suất tiếp cực đại và cực
tiểu. Nối PI và PJ ta đợc phơng của mặt có ứng suất tiếp cực trị. Rõ ràng là các
mặt này nghiêng so với mặt chính một góc 45
0
.
Phân tố chính và ứng suất chính là duy nhất không phụ thuộc vào cách chọn
hệ trục tọa độ. Tức là nếu ta xoay hệ trục tọa độ đi một góc 90
0
, nghĩa là ta chọn
trục

// y và trục

// x thì điểm cực P phải lấy tọa độ là (

y
,

yx
).
3.3 Một số trạng thái ứng suất đặc biệt
3.3.1 Trạng thái ứng suất trợt thuần tuý
Nếu trên mặt cắt của phân tố chỉ tồn tại các ứng suất tiếp còn ứng suất pháp

1

xy

yx

1

xy

yx

3

3
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Trên hình vẽ ta thấy các phơng chính tạo với trục x các góc 45
0
và 135
0
.
Phân tố chính đợc biểu diễn trên hình vẽ.
Các ứng suất chính có giá trị:
0
2
31
=
==




và


trong đó thành phần


nằm trong mặt phẳng
vuông góc với phơng chính thứ 3.

45

1

3

2

1

3

2



3

2


và


theo công thức:






=

+
+
=








2sin
2
2cos
22
(*)
21
2121

(hình vẽ).
Với những mặt cắt song song với phơng thứ 2 thì ứng suất trên mặt cắt xiên
vẫn áp dụng theo công thức (*) nhng thay

2
bằng


3
. ứng suất tiếp cực đại trong
trờng hợp này là:
2
31
13



=
Vòng tròn Mo ứng suất sẽ đi qua các điểm có tọa độ là

1
và


3
.

46

1

O



3

1
P
J
I

1

3

2

1

3

2

13
Bài giảng: Sức bền vật liệu

Việc khảo sát các mặt cắt xiên vuông góc với phơng chính thứ nhất cũng tơng
tự, tơng ứng với các mặt cắt xiên ta vẽ đợc các vòng tròn Mo ứng suất.

Lý thuyết dàn hồi đã chứng minh rằng tọa độ của một điểm nằm trong vùng giới


2

1

3

2

23



1

3

2

1

3

2


C
1

13

Trong đó
à
là hệ số poátxông (hằng số của vật liệu), nó là đại lợng không có
thứ nguyên.
5.00
à

Ta có thể tính đợc biến dạng theo 3 phơng đối với phân tố ở trạng thái ứng
suất đơn một cách dễ dàng.
Trong trờng hợp tổng quát đối với phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp, tồn
tại cả 3 ứng suất chính là

1
,

2

và


3
ta có thể thiết lập đợc công thức tính nh
sau:
Gọi biến dạng theo phơng 1 do

1
,

2


áp dụng nguyên lý độc lập cộng tác dụng ta có biến dạng theo phơng 1 do

1
,

2

và


3
gây ra là:

1
=

11
+

12
+

13

( )
[ ]
3211
1
à
+=

Các biểu thức liên hệ giữa ứng suất và biến dạng nh trên đợc gọi là biểu thức
của định luật Húc tổng quát (viết cho phân tố chính).
Trong trờng hợp phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp bất kỳ (tồn tại cả ứng
suất pháp và tiếp), thì biểu thức trên vẫn đúng bởi vì lý thuyết đàn hồi đã chứng
minh đợc rằng ứng suất tiếp chỉ gây nên biến dạng góc, ảnh hởng không đáng kể
đến biến dạng dài. Do vậy ta có thể viết:
( )
[ ]
yxzxzyzyxzyx ,,,,,,,,
E
1
à
+=
Đây là biểu thức của định luật Húc tổng quát viết cho phân tố bất kỳ.
3.5.2. Định luật Húc trợt (biến dạng góc).
Trong phạm vi giới hạn đàn hồi, tơng quan giữa góc trợt

và ứng suất tiếp

là tơng quan bậc nhất.
( )
*.

G=
Trong đó G là hệ số tỷ lệ gọi là môđun đàn hồi khi trợt (G đợc xác định từ
thực nghiệm), nó có thứ nguyên là N/mm
2
.
Xét biến dạng của một phân tố. Dới tác dụng của ứng suất tiếp


S
a
S
l
l
AC
2
45cos.
45cos.
0
0

=

=

=

Mặt khác do nhỏ nên ta có:
a
S
tg

=

Vậy ta có:
2


=

, còn ứng suất chính

2
= 0.
áp dụng định luật Húc tổng quát, viết cho phơng AC ta có:
( )
[ ]
( )
à
à
+=
+=
E
E
1
1
3211
Vậy ta có:
( )
à

+= 1
2 E

( )

à

.
12 +

Biến dạng thể tích tỷ đối:

( )
zyxzyx
EV
VV

à

++

=++=

=
21
0
01
Đặt tổng ứng suất pháp:

zyx

++=
Ta có:


à
21
=
E
Đây là biểu thức định luật Húc khối, biểu diễn mối quan hệ bậc nhất giữa tổng

và

3
đã tính đợc (phần 2a) vào biểu thức trên ta có:

50
Bài giảng: Sức bền vật liệu
( )
[ ]
133221
2
3
2
2
2
1
2
2
1
à
++++=
E
U
(*)
Vật thể vừa bị thay đổi về thể tích vừa bị thay đổi về hình dáng, nên thế năng
biến dạng đàn hồi U gồm 2 thành phần, đó là thế năng biến đổi hình dáng và thế
năng biến đổi thể tích:
U = U
hd
+ U

( )
2
321
6
21

à
++

=
E
U
tt
Trong phần trên để tính đợc thành phần thế năng biến đổi thể tích thì ta làm
nh sau:
Thay

1
,

2
,

3
bằng
3
321


++


=
đợc xác định bằng các thí nghiệm kéo nén, phá hỏng mẫu.
Trong trờng hợp chịu lực phức tạp, không phải chỉ có một thành phần ứng
suất mà có 2, 3 thành phần ứng suất chính. Ta không thể lấy bất cứ thành phần
nào để so sánh với ứng suất cho phép vì thực tế cho thấy nhiều khi các thành
phần ứng suất vuông góc với nó có thể làm tăng hoặc giảm độ bền.
Nh vậy là ta phải chọn cả 3 thành phần ứng suất chính, nhng việc xác định
ứng suất cho phép là rất khó khăn (vì sự phá huỷ vật liệu xảy ra dới tác dụng
tổng hợp của các ứng suất theo mọi phơng). Ta phải làm thí nghiệm kéo nén theo
3 phơng với các tỷ lệ khác nhau. Điều này không thể làm đợc trong điều kiện
thực tế.

51
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Do những lý do nêu trên, ta thấy để kiểm tra bền cho trạng thái ứng suất
phẳng hoặc khối thì ta phải dựa vào các giả thuyết về sự phá hỏng để có thể
chuyển trạng thái ứng suất phức tạp trở về trạng thái ứng suất đơn tơng đơng để
có thể sử dụng đợc kết quả của ứng suất cho phép khi kéo nén. Vậy:
Thuyết bền là các giả thuyết về các nguyên nhân cơ bản về sự phá hỏng của
vật liệu ở trạng thái ứng suất phức tạp, cho phép ta đánh giá đợc độ bền của
phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp khi biết độ bền của phân tố ở trạng thái
ứng suất đơn.
Dựa vào thuyết bền ta có thể chuyển trạng thái ứng suất phức tạp về trạng thái
ứng suất đơn tơng đơng. Có nghĩa là độ bền của 2 phân tố ứng với 2 trạng thái
ứng suất phức tạp và đơn là tơng đơng nhau. Ta có định nghĩa trạng thái ứng suất
tơng đơng:

Hai trạng thái ứng suất phức tạp và đơn gọi là tơng đơng nếu độ bền của
chúng là nh nhau không phụ thuộc vào tính chất tác dụng của ngoại lực.

3
. Ta đã biết trong phần trạng thái ứng suất khối có:
2
'
'
3
'
1
max



=

52

tđ
Thuyết bền

2

3

1

2

1

3

td

=
31
3.7.3. Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng cực đại.
Thuyết bền này do Huybe đa ra năm 1904. Thuyết bền này cho rằng nguyên
nhân phá hỏng của vật liệu ở trạng thái ứng suất phức tạp là do thế năng biến đổi
hình dáng cực đại của phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp đạt đến thế năng
biến đổi hình dáng nguy hiểm của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn.
Ta không chú ý đến thế năng biến đổi thể tích vì nhiều loại vật liệu có áp lực
tác dụng rất lớn nhng thể tích của chúng hầu nh không thay đổi.
Gọi u
hd
là thế năng biến đổi hình dáng của trạng thái ứng suất phức tạp ở trạng
thái nguy hiểm.Ta có:
( )
[ ]
133221
2
3
2
2
2
1
'''''''''.
3
1
'

à

3
2
2
2
1td

3.7.4. Thuyết bền Mo.
Thuyết bền Mo đa ra lần đầu tiên vào năm 1882 và sau đó phát triển chi tiết
vào năm 1900. Thuyết bền này còn đợc gọi là thuyết bền về trạng thái ứng suất
giới hạn, nó dựa vào việc khảo sát trạng thái ứng suất bên trong vật liệu, khi vật
liệu làm việc ở trạng thái giới hạn. Để xây dựng biểu thức

tđ
theo thuyết bền
Mo, ta phải dựa vào vòng tròn Mo giới hạn.

53
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Ta đã biết rằng ứng với mỗi mối quan hệ của ứng suất chính ta sẽ vẽ đợc một
vòng tròn Mo ứng suất và trạng thái ứng suất khối đợc biểu diễn bằng 3 vòng
tròn Mo. Khi vật thể làm việc trong trạng thái giới hạn thì các vòng tròn Mo đợc
gọi là các vòng tròn giới hạn. Trong đó vòng tròn lớn nhất

1
-

3
có bán kính là

13

31
Trong đó:
[ ]
[ ]
n
k
n
b
k
b





==
Đối với vật liệu dẻo thì

= 1 Trở về thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất. Đối
với vật liệu dòn

< 1.
3.7.5. Ưu nhợc điểm và phạm vi sử dụng 3 thuyết bền.

54
Đờng nội tại


Bài giảng: Sức bền vật liệu
a. Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất.

a. Phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt.
Hình vẽ biểu diễn phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt. Trên hình vẽ
ta có:



=
=
=
xy
y
x
0

55






OF



3

1
B
A


+=
=
++=
(*)
Ta cũng có thể xác định đợc ứng suất chính bằng công thức.
Thay các giá trị trong biểu thức (*) vào các biểu thức
tđ
của 3 thuyết bền, ta
có:
* Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất.

tđ
=
[ ]

+=
22
31
4
* Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng cực đại.

tđ
=
[ ]

+=++
22
133221
2

Phân tố ở trạng thái ứng suất trợt thuần tuý
nh hình vẽ. Phân tố có:

x
=
y
= 0 ;
xy
=
Ta có:



==
=
==
min3
2
max1
0
* Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất.

tđ
=
[ ]
[ ]
[ ]




3
* Theo thuyÕt bÒn Mo.
σ
t®
=
( )
[ ]
[ ]
[ ]
τ
α
σ
τστα
=
+
≤⇒≤+
1
1
k
k

57