Bài giảng: Sức bền vật liệu
Chơng 7
Xoắn thuần tuý thanh thẳng
7.1 Khái niệm cơ bản
7.1.1 Định nghĩa
Một thanh chịu xoắn thuần tuý khi trên mọi mặt cắt ngang của nó chỉ có một
thành phần nội lực là mô men xoắn M
Z
.
Ví dụ trong thực tế ta thờng gặp nhiều bộ phận của chi tiết máy hay công trình
làm việc ở trạng thái chịu xoắn nh mũi khoan, trục truyền động, các thanh trong
kết cấu không gian, dây lò xo . . .
7.1.2. Mô men xoắn ngoại lực.
Ngoại lực làm cho thanh chịu xoắn có thể là những mômen tập trung hoặc
mômen phân bố tác động trong những mặt phẳng vuông góc với trục của thanh
và nó thờng đợc cho ở 2 dạng:
* Ngoại lực xoắn phân bố (ví dụ nh mũi khoan khoan vào chi tiết)
* Ngoại lực xoắn tập trung thờng cho ở các dạng sau:
- Ngẫu lực.
- Dời các lực vòng ở các bánh răng, bánh đai. . .
- Công suất truyền của động cơ N(kw) và tốc độ vòng quay của trục
n(vòng/phút). Khi đó mô men ngoại lực đợc xác định nh sau:
+ Điểm đặt các mô men tại các puli truyền lực.
+ Chiều mô men có chiều trùng với tốc độ vòng quay đối với puli chủ
động và ngợc với tốc độ vòng quay đối với puli bị động.
+ Giá trị mô men đợc xác định theo biểu thức:
( )
( )
( )
m.N
n

.
Để vẽ đợc biểu đồ nội lực M
z
ta cũng phải dùng phơng pháp mặt cắt. Trình tự
vẽ biểu đồ mômen xoắn M
z
cũng hoàn toàn tơng tự nh khi tiến hành vẽ biểu đồ
của các thành phần nội lực khác.
Ví dụ: Vẽ biểu đồ mô men xoắn nội lực M
z
cho sơ đồ chịu lực sau:
Cho: M
1
= 200 N.m ; M
3
= 800 N.m ; M
4
= 350 N.m
Giải:
Bỏ qua ma sát ở các ổ trục. Ta có phơng trình cân bằng:
M
3
- M
1
M
2
M
4
= 0.
M

M
3
A
1
2
2
3
3
D
CB
1
M
Z
(N.m)
-
450
200
350
+
-
M
1
M
Z1
A
1
1
Bài giảng: Sức bền vật liệu
M
Z1

= M
4
= 350 N.m
Nhìn vào mặt cắt ta thấy M
Z3
quay thuận chiều kim đồng hồ. Vậy ta có:
M
Z3
= +350 N.m
Biểu đồ M
Z
đợc biểu diễn trên hình vẽ.
* Nhận xét: Tại chỗ có mô men tập trung (điểm A, B, C, D) biểu đồ mô men xoắn
M
Z
có bớc nhảy. Trị số bớc nhảy chính bằng trị số các mô men xoắn tập trung.
7.2 Xoắn thuần tuý thanh mặt cắt tròn
7.2.1 Thí nghiệm và giả thuyết.
Trang: 83
D
M
4
M
Z3
3
3
M
1
M
2

Dựa vào các giả thuyết ta thấy:
- Theo giả thuyết 1 thì trên mặt cắt ngang không có thành phần ứng suất
pháp vì khoảng cách giữa các mặt cắt ngang không thay đổi. Nh vậy trên mặt cắt
ngang chỉ có thành phần ứng suất tiếp.
Trang: 84
M
M
l
Bài giảng: Sức bền vật liệu
- Theo giả thuyết 2, do các thớ dọc
không tác dụng lẫn nhau nên trên mặt cắt
song song với trục của thanh không thể có
thành phần ứng suất pháp. Vậy chứng tỏ
phân tố ở trạng thái ứng suất trợt thuần tuý.
Xét một thanh tròn chịu xoắn thuần tuý (hình vẽ).
Ta tởng tợng dùng 2 mặt cắt 1-1 và 2-2 cắt thanh và tách ra 1 phân tố vô cùng
bé có chiều dài là dz. Tại điểm A trên mặt cắt, lấy xung quanh A một phân tố
diện tích dF vô cùng bé đợc tạo bởi 2 tia hợp nhau 1 góc d và 2 vòng tròn đồng
tâm có bán kính là và - d. Phân tố có bề dày là dz (hình vẽ).
Xét 1 điểm K trên phân tố vừa tách ra ta thấy sau khi chịu xoắn thì đờng sinh
IK bị xoay đi thành I
K'
một góc


và


đợc gọi là góc trợt tơng ứng với bán
kính



- d

d
d
z
M
Z
K
dz

1


2
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Vậy có:

=
F
z
dF.M


Theo định luật Húc ta có:

.G=
Trong đó:
+ G là hằng số phụ thuộc vào vật liệu gọi là mô đun đàn hồi trợt.

z
dF
dz
d
GdF.
dz
d
.GM



Hay:
Pz
J
dz
d
.GM

=
(**)
GJ
M
dz
d
P
z
=

Trong đó d là góc xoắn tuyệt đối ứng với chiều dài dz.
Đặt:

.
J
M
P
z
=
ta thấy ứng suất tiếp
phân bố bậc nhất theo bán kính .
Ta thấy:
+ Khi = 0 (tâm mặt cắt) thì = 0.
+ Khi = R(tại chu vi vòng tròn) thì:
P
z
P
z
max
P
z
max
W
M
R
J
M
.
J
M
===

Trong đó

4
)
b. Mặt cắt hợp lý.
Trang: 87
M
Z

R

max
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Dựa vào biểu đồ phân bố ứng suất tiếp ta thấy tại chu vi mặt cắt ( =
max
) thì
vật liệu làm việc nhiều nhất (do =
max
), càng
vào trong thì chịu lực càng ít dần. Tới tâm ( =
0) thì không chịu lực.
Từ những nhận xét trên mà ngời ta có xu hớng chuyển phần vật liệu phía
trong ra ngoài để tăng cờng khả năng chịu lực. Đó là mặt cắt có dạng hình vành
khăn nh hình vẽ.
Ta có:
J
P
= 0,1D
4
(1 -
4
)


Trang: 88

max
D
d
M
Z



n




dF


Bài giảng: Sức bền vật liệu
( )




.
2
2cos1
2
2cos1

Trong đó là góc xoắn tỷ đối, đó là góc xoắn giữa 2 mặt cắt cách nhau 1 đơn
vị chiều dài.
Từ biểu thức trên có:
dz
GJ
M
d
P
z
=
Từ đó có:
Đây là công thức tổng quát xác định góc xoắn tuyệt đối của thanh có chiều
dài l.
Trong đó là góc xoắn tuyệt đối và GJ
P
gọi là độ cứng chống xoắn.
Nếu trong một đoạn thanh có chiều dài l và có M
z
= const, GJ
P
= const thì:
P
z
GJ
.M l
=


Trang: 89


2cos.=

=
l
0
P
z
dz
GJ
M

Bài giảng: Sức bền vật liệu
- Đối với vật liệu dẻo: Đờng phá hỏng là đờng trùng với mặt cắt ngang.
Giải thích:
Khi xoắn ta thấy các phân tố ở mặt ngoài của thanh là phân tố nguy hiểm
nhất. Chúng ở trạng thái ứng suất trợt thuần tuý. Bằng vòng tròn Mo ta tìm đợc
phân tố chính nghiêng một góc 45
0
và góc 135
0
so với phân tố trợt thuần tuý (hình
vẽ).
Ta có:
maxminmax

==
Bằng thực nghiệm ta có các đặc trng cơ học của vật liệu:

Đối với vật liệu dòn: Do vật liệu dòn chịu kéo là kém nhất nên khi
max
đã
đạt đến
k
b

thì lúc đó
max
vẫn cha đạt đến
b
và |
min
| cha đạt đến
n
b

. Do đó nó sẽ
bị phá hỏng do ứng suất kéo
max
=
1
. Đờng phá hỏng có phơng vuông góc với ph-
ơng của
max
tức là hợp với phơng ngang 1 góc 45
0
.
7.2.7. Điều kiện bền, điều kiện cứng.
Đối với thanh chịu xoắn thì điều kiện bền cũng quan trọng nh điều kiện cứng,

ứng suất tiếp cho phép [] đợc xác định bằng ứng suất nguy hiểm
0
chia cho
hệ số an toàn n.
[ ]
n
0


=
Trong đó ứng suất nguy hiểm
0
đợc xác định bằng các thí nghiệm xoắn phá
hỏng các loại vật liệu khác nhau.
Ta cũng có thể tính các ứng suất tiếp cho phép khác nhau tuỳ thuộc vào từng
thuyết bền.
- Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất có:
[ ]
[ ]
2


=
- Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng cực đại có:
[ ]
[ ]
3


=


max
[]
Trong đó:
+
max
là góc xoắn tỷ đối lớn nhất (có đơn vị là Rad/m).
+ [] là góc xoắn tỷ đối cho phép (có đơn vị là Rad/m).
Góc xoắn tỷ đối cho phép [] đợc xác định theo yêu cầu kỹ thuật của chi tiết
hoặc là dựa vào các bảng tra. Còn góc xoắn tỷ đối lớn nhất
max
đợc xác định nh
sau:
Trờng hợp thanh chỉ có một mô men xoắn ngoại lực và có tiết diện không đổi
thì ta có:
[ ]

=
P
Z
max
GJ
M
Trang: 91
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Trờng hợp thanh có nhiều đoạn, mỗi đoạn có M
Zi
và GJ
Pi
khác nhau thì ta phải

= 6 kw ; N
2
= 26 kw ; N
3
= 12 kw ; N
4
= 8kw. Trong đó bánh 2 là bánh
chủ động.
Giải:
* Xác định ngoại lực xoắn.
áp dụng công thức:
( )
( )
( )
m.N
n
kwN
9550M
vòng/phút
=
.
Ta có:

m.N5,286
200
6
.9550
n
N
9550M

9550M
1
4
===
Trang: 92
382
573
M
3
M
1
M
4
M
2
A
1
2
2
3
3
D
C
B
1
N
1
d
N
4

max
z
max
W
M
Ta có:
2
3
2
3
max
z
P
max
z
max
N/cm1,1392
70,2.
955.10
d0,2
M
W
M
====

Ta thấy:
[ ]
2
max
N/cm2000=<


=====

Mặt khác có:
[ ]
Rad/m107,85.
180
0,45.
/m0,45
30
==


Ta thấy:
[ ]

<
max
Vậy trục đảm bảo điều kiện cứng.
7.3 Xoắn thanh mặt cắt hình chữ nhật
Thí nghiệm cho thấy rằng khi xoắn thanh mặt cắt hình chữ nhật thì mặt cắt
ngang của thanh không còn phẳng nh khi xoắn thanh mặt cắt tròn nữa mà nó bị
vênh đi. Các giả thuyết dùng để tính cho thanh mặt cắt tròn không còn áp dụng
đợc nữa.
7.3.1.ứng suất.
Trang: 93
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Bằng lý thuyết đàn hồi ngời ta nhận thấy rằng mặt cắt ngang của thanh chỉ có
ứng suất tiếp. Luật phân bố ứng suất tiếp đợc biểu diễn trên hình vẽ. Đối với
những điểm nằm trên các trục đối xứng thì điểm nào càng xa tâm, ứng suất càng

Trong đó là hệ số phụ thuộc tỷ số
b
a
.
- ứng suất tại các điểm góc:

A
=
B
=
C
=
D
= 0
Biểu đồ phân bố ứng suất tiếp đợc biểu diễn trên hình vẽ.
7.3.2.Biến dạng.
Theo lý thuyết đàn hồi có:
Góc xoắn tỷ đối:
xoắn
GJ
M
z
=

Trang: 94
M
M
a
M
Z

3
2
2
2
1
2
2
1
à
++++=
E
u
(4-1)
Đối với phân tố trên thanh tròn chịu xoắn là phân tố ở trạng thái trợt thuần
tuý, ta có:

==
31
(4-2)
Do vậy thế năng biến dạng đàn hồi tích luỹ trong phân tố là:
( )
[ ]
222
2
2
1

à
+=
E


=
(4-6)
Từ đây ta có thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy trong một đoạn thanh có
chiều dài dz là:

==
FV
dFudzudvdU .
(4-7)
Trong đó có: dv = dF.dz và v là thể tích của đoạn dz.
Ta đã có công thức tính ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang là


.
J
M
P
z
=
Thay vào biểu thức (4-6) có:
Trang: 95
Bài giảng: Sức bền vật liệu
GJ
M
u
p
z
1


2
1
2
2
2
2
2
2

Hay ta có:
P
z
GJ
dzM
dU
.
.
2
1
2
=
Vậy thế năng của cả đoạn thanh có chiều dài l là:

=
l
P
z
GJ
dzM
U

Trờng hợp khi M
Zi
và GJ
Pi
là các hằng số trên từng đoạn chiều dài l
i
thì ta có
công thức nh sau:


==
==
n
i
Pi
izi
n
i
l
P
z
GJ
lM
GJ
dzM
U
1
2
1
0

+ Lực cắt: Q
y
= P.
Trang: 97

P
P
D
h
d
Bài giảng: Sức bền vật liệu
+ Mô men xoắn: M
xoắn
=
2
P.D
b. ứng suất trong lò xo.
Ta thấy cả lực cắt Q
y
và mô men xoắn M
xoắn

đều gây nên ứng suất tiếp.
- Lực cắt Q
y
gây nên ứng suất tiếp trong lò xo, một cách gần đúng có thể coi
nh nó phân bố đều. Tức là:

2
Q

d
2
PD



==
Trang: 98
P
Q
y
D
M
xoắn
M
max

Q
y
B
M
xoắn
A
d

Q
M
max

Bài giảng: Sức bền vật liệu

là rất nhỏ so với 1 nên có thể bỏ qua, nhng khi đó ta đã bỏ
qua ảnh hởng của lực cắt. Để kể đến ảnh hởng của lực cắt và mặt cắt không tròn,
ngời ta thêm vào công thức hệ số k.
Ta có công thức chính xác:
Trong đó
max
có đơn vị là N/cm
2
, N/m
2
và k đợc xác định bằng công thức
thực nghiệm:
1
d
D
0,25
d
D
k

+
=

7.5.3.Biến dạng của lò xo.
Gọi độ co, dãn của lò xo là . Khi lò xo chịu kéo (nén) đúng tâm bởi một lực P
nó sẽ tích luỹ một năng lợng dới dạng thế năng biến dạng đàn hồi U.
Với một thanh tròn chịu xoắn nó sẽ tích luỹ một thế năng biến dạng đàn hồi
là:
P
2

max
d
PD8
k


=
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Theo định luật bảo toàn năng lợng có: A = U
4
32
Gd
nDP4
2
.P
=

Từ đó suy ra: Đặt
nD8
Gd
C
3
4
=
gọi là độ cứng của lò xo và C có đơn vị là N/cm, N/m. . .
Ta có:
7.5.4.Điều kiện bền, điều kiện cứng.


C
P
=

Bài giảng: Sức bền vật liệu
Tơng tự nh khi kéo nén, trong thực tế ta gặp phải trờng hợp, nếu chỉ với phơng
trình cân bằng tĩnh học thì không đủ để giải. Bài toán nh vậy đợc gọi là bài toán
siêu tĩnh. Để giải đợc bài toán siêu tĩnh, ta phải lập thêm phơng trình biến dạng
dựa trên cơ sở chuyển vị tại một điểm nào đó mà theo kết cấu của nó, ta có thể
xác định đợc.
Ta hãy xét ví dụ sau:
Ví dụ: Vẽ biểu đồ mô men xoắn nội lực cho thanh tròn chịu xoắn nh hình vẽ:
Giải:
* Xác định phản lực liên kết.
Tại đầu ngàm có phản lực liên kết là M
A
và M
B
. Giả thiết chiều của chúng nh
hình vẽ.
Ta có phơng trình cân bằng:
M
A
+ M
B
M = 0 (1)
Phơng trình trên có 2 ẩn là M
A
và M

M
d
M
B
M
A

4
6
+
-
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Hay:
0
CBACABB
=+==

( )
0
GJ
a.3MM
GJ
a.2M
P
B
P
B
=