Bài giảng: Sức bền vật liệu
Chơng 11
Tải trọng động
11.1. Khái niệm
11.1.1 Định nghĩa
Trong các bài toán đã nghiên cứu ở những phần trớc, tải trọng tác dụng lên hệ
đều là tải trọng tĩnh là tải trọng không thay đổi trong suốt quá trình làm việc; khi
đặt tải, tải trọng đợc tăng từ từ, êm ái và do đó không xuất hiện lực quán tính
trong hệ. Trong nhiều trờng hợp tải trọng tăng lên một cách đột ngột hoặc là thay
đổi theo thời gian và do đó chuyển vị và biến dạng của hệ cũng biến đổi theo
thời gian, do vậy trên hệ xuất hiện lực quán tính.
Các loại tải trọng tác dụng lên hệ đang khảo sát mà có phát sinh lực quán
tính trên hệ thì đợc gọi là tải trọng động.
Trong thực tế nhiều công trình hay chi tiết đợc tính với hệ số an toàn rất cao
đối với tải trọng tĩnh nhng lại vẫn bị phá hỏng bởi tải trọng động. Vì vậy việc
nghiên cứu phơng pháp tính toán đối với tải trọng động đóng vai trò rất quan
trọng vì nó là vấn đề rất hay gặp trong kỹ thuật.
11.1.2 Phân loại bài toán tải trọng động
Đối với bài toán tải trọng động thì những yếu tố khác nhau giữa tải trọng
động và tải trọng tĩnh thờng đợc xét đến bằng hệ số động, tức là khi tính toán ta
sẽ tính ứng suất và nội lực mà không chú ý đến tác dụng động của tải trọng, sau
đó ta mới nhân giá trị nội lực và ứng suất đó với hệ số động. Vì vậy mà ta cần
phải xác định hệ số động ứng với mỗi loại tải trọng động khác nhau. Có 3 loại
bài toán tải trọng động nh sau:
a. Bài toán chuyển động với lực quán tính không đổi.
Đây là trờng hợp hệ chuyển động tịnh tiến và hệ chuyển động quay.
b. Bài toán dao động.
Ví dụ nh một môtơ đợc đặt trên dầm, khi
làm việc, do phần rôto của môtơ có trọng lợng
lệch tâm nên sẽ gây ra lực quán tính ly tâm
biến đổi tuần hoàn theo thời gian và do đó sẽ

đổi (hình vẽ). Gọi là trọng lợng riêng và F
là diện tích mặt cắt ngang của dây cáp. Gia
tốc a đợc xem là dơng khi nó có chiều hớng
lên trên và là âm khi nó có chiều hớng
xuống dới. Xác định nội lực trong dây cáp
tại một mặt cắt cách đầu dây một đoạn là x.
Giải:
Tại điểm cách đầu mút của dây một đoạn là x ta dùng mặt cắt 1-1 cắt hệ ra
làm 2 phần và khảo sát một phần:
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 33
P
Phanh
Hạ vật
m
Đĩa TĐC
m
Hình a
Hình b Hình c
m
m
Bánh đà
Phanh
Hình d
Hình e Hình f
P
a
Kéo
l
x









+






+==
g
a
x
F
P
F
N
d
d
1.

(9-2)
Nếu ở trạng thái tĩnh thì ứng suất trên mặt cắt ngang của dây cáp là:



=
(9-4)
Trong đó : - g là gia tốc trọng trờng.
- a là gia tốc khi kéo vật.
Chú ý:
1. Sau khi tính đợc
đ
thì điều kiện bền của dây cáp giống trờng hợp tĩnh:
[ ]

=
F
N
d
d
(9-5)
2. Công thức tính hệ số động ta chỉ chú ý tới trờng hợp k
đ
> 1 tức là chú ý
tới trờng hợp gia tốc a có dấu dơng. Đó là trờng hợp kéo vật lên nhanh dần đều
hoặc hạ vật xuống chậm dần đều.
11.2.2 Bài toán hệ chuyển động quay.
- Ví dụ 1: Xác định nội lực động lớn nhất trong thanh AC khi cho hệ quay
đều quanh trục thẳng đứng với tốc độ góc . Viết điều kiện bền cho thanh quay
đó? Cho thanh có [].
Giải:
1. Xác định lực quán tính:
Do quả cầu C quay đều quanh trục 00' nên thành phần gia tốc tiếp của nó
bằng không, chỉ còn thành phần gia tốc pháp, đợc tính theo công thức:

P
qt
= P
lt
l

P
qt

P
qt
.l
C
P
k
= 1
l
C
l
3
2
K
M
M
P
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Độ võng động của điểm C khi quả cầu quay là f
c
đợc tính theo phép nhân biểu
đồ Vêrêsaghin, do dầm bị uốn quanh trục y nên có:







=
y
qt
EJ
lm
am
P
3

1

23
2


(9-10)
2. Nội lực động lớn nhất:
Đặt lực P
qt
vào dầm AC ta vẽ đợc biểu đồ mômen uốn M
P
và xác định đợc giá
trị mô men uốn nội lực lớn nhất, đó là:



=
y
y
W
M
max
max
(9-12)
Hay:
[ ]














===
y
y
y
qt

Bài giảng: Sức bền vật liệu
- Ví dụ 2:
Cho thanh AB có diện tích mặt cắt ngang là F và mô đun đàn hồi E, tại đầu B
của thanh có gắn một quả cầu khối lợng m. Xác định tốc độ góc cho phép của hệ
nếu cho thanh AB quay đều quanh trục
thẳng đứng 00'. Biết ứng suất cho phép
là [], bỏ qua trọng lợng của thanh AB.
Giải:
1. Xác định lực quán tính ly tâm:
Ta có:
( )
22
.

tqt
ammRP +==
(9-14)
Trong đó:
t
là độ dãn dài của thanh AB do lực P
qt
gây ra.
Vậy có:
EF
aP
EF
aN
l
qt
z






=
EF
am
am
P
qt
2
2

1



(9-17)
2. Nội lực động:







==
EF
am

P
qt
0
0'
Bài giảng: Sức bền vật liệu
[ ]












==
F
EF
am
am
F
P
qt
d
.

1

Sau đây ta sẽ xét một ví dụ mà lực quán tính P
qt
phân bố trên toàn bộ thanh chịu
lực.
- Ví dụ 3:
Thanh AB quay đều quanh trục thẳng đứng 00' (hình vẽ) với vận tốc góc là ,
thanh có tiết diện ngang là F và trọng lợng riêng là . Hãy vẽ biểu đồ nội lực
trong thanh và viết điều kiện bền cho thanh, biết ứng suất cho phép của thanh là
[].
Giải:
1. Tìm lực quán tính ly tâm tác dụng vào phân tố có chiều dài dx:
Xét một phân tố diện tích trên thanh AB, phân tố có chiều dài dx ứng với mặt
cắt 1-1 và có hoành độ là x. Vậy phân tố có khối lợng là:
g
dxF
dm


=
(9-21)
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 37
a

B
A
dP
qt
0
0'

Dùng mặt cắt 1-1 cắt thanh và chia thanh ra làm 2 phần. Xét phần bên phải
của mặt cắt 1-1 ta thấy lực quán tính ly tâm từ mặt cắt 1-1 đến đầu mút B của
thanh có trị số là:
( )
22
2
2
22
22

xa
g
F
x
g
F
xdx
g
F
dPP
a
x
a
x
a
x
qtqt
====



(9-25)
+ Khi x = a (ứng với điểm mút A và B) có:
( )
0
2
22
2
=== xa
g
F
PN
qtd

(9-26)
Vậy ta có thể vẽ đợc biểu đồ lực dọc Nz nh hình vẽ.
4. Điều kiện bền
Ta có:
[ ]

=
F
N
d
max
max
Hay:
[ ]




z
,
x
,
y
,
z
để xác định vị trí của hệ
trong không gian, hay nói cách khác là hệ có 6 khả năng chuyển động, đó là 3
chuyển động tịnh tiến và 3 chuyển động xoay. Vậy ta nói hệ đó có 6 bậc tự do.
Trên hình b biểu diễn vật có khối lợng m đặt trên một dầm, nếu bỏ qua trọng l-
ợng bản thân của dầm thì hệ chỉ cần có một thông số để xác định vị trí của nó
trong mặt phẳng. Ta nói hệ có một bậc tự do.
Trên hình c và để xác định đợc vị trí của hệ ta phải biết các độ võng y
1
và y
2
của các khối lợng m
1
và m
2
. Hệ trên hình e có hai thông số
1
và
2
để xác định
vị trí của nó trong không gian. Các hệ đó là các hệ có hai bậc tự do. Hệ trên hình
d có một thông số x để xác định vị trí của nó, vậy hệ đó có một bậc tự do.
Với hệ trên hình f thì tuy chỉ có một khối lợng M, nhng để xác định vị trí của
M thì ta cần phải có hai toạ độ x và y. Nếu nh mômen quán tính của M đối với

x
z
y

x

z

y
Hình a
Hình d
x

1

2
Hình e
M
Hình f
Bài giảng: Sức bền vật liệu
bậc tự do của một hệ xác định theo sơ đồ tính đã chọn, nghĩa là nó phụ thuộc vào
sự gần đúng mà ta đã chọn khi lập sơ đồ tính.
b. Dao động tự do và dao động cỡng bức
Dao động tự do của hệ đàn hồi đợc chia làm hai trờng hợp đó là: Dao động tự
do và dao động cỡng bức.
+ Dao động tự do: Là dao động chỉ có lực kích thích ở thời điểm ban đầu
sau đó hệ không chịu tác dụng của lực kích thích đó nữa mà hệ tự dao động.
Lực kích thích ban đầu thờng là một xung lực hoặc là một sự va chạm nào đó,
do vậy mà bài toán này còn đợc xét dới dạng bái toán va chạm.
+ Dao động cỡng bức: Là dao động của hệ đàn hồi khi có lực kích thích

chính là lực ly tâm lớn nhất phát sinh trong rô to của
động cơ khi nó quay. Trên hình vẽ là sơ đồ rôto động cơ, trong đó C là tâm của
rôto. Do trình độ kỹ thuật, giả sử trục của động cơ
đặt vào điểm 0 cách tâm C một khoảng e gọi là độ
lệch tâm.
Khi rôto quay quanh trục O với tốc độ góc thì tại C sẽ phát sinh lực ly tâm
P
0
đợc tính theo công thức:
P
0
= m.e.
2
(9-30)
Trong đó m là khối lợng của rôto
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 40
P
0
P
(t)

0
e
C

P
0
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Trong thực tế kỹ thuật có vô số chi tiết máy do trình độ kỹ thuật có hạn mà

?
a. Lực tác dụng vào hệ:
Khi vật m đang chuyển động thì có ba lực tác dụng vào nó, đó là:
+ Lực quán tính ngợc chiều chuyển động có giá trị:
d
d
qt
ym
dt
yd
mmaF


2
2
===
(9-31)
Trong đó: m là khối lợng của vật và
d
y

là gia tốc chuyển động của vật.
(Nếu gọi chuyển vị của khối lợng m là y
đ
có chiều dơng là chiều hớng xuống
dới thì ta thấy chuyển vị y
đ
là hàm của thời gian, do đó gia tốc và vận tốc của
khối lợng m là
d

đ
y
t
m
z
A
B
P =1

z
A
B
Bài giảng: Sức bền vật liệu
d
d
c
y
dt
dy
F



==
(9-32)
Trong đó: là hệ số tỉ lệ và
d
y

là vận tốc chuyển động của vật).

tPyyym
ddd
=++ sin
0


(9-36)
Chia hai vế của phơng trình (9-36) cho tích số m và đặt:
+


m
1
2
=
(9-37), với là tần số riêng của hệ khi không có cản.
+
m


=2
(9-38), với là hệ số cản của môi trờng.
Vậy biến đổi phơng trình (9-36) ta có:
t
m
P
yyy
ddd
=++ sin2
0

211
(9-41)
Trong đó C
1
và C
2
là các hằng số đợc xác định bằng cách thay biểu thức (9-
41) vào phơng trình (9-39) và đồng nhất 2 vế, ta có:
( )
22
2
22
22
0
1
4
.
+

=


m
P
C
(9-42)
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 42
Bài giảng: Sức bền vật liệu
( )



(9-44)

( )
22
2
22
22
4
cos
+

=



(9-45)
và thay:
2
1


m
=
thì biểu thức của y
đ1
có dạng:
( )



=A
(9-47)
Nghiệm này biểu diễn phơng trình dao động điều hoà dới tác dụng của lực
kích thích, với:
+ A
1
là biên độ của dao động điều hoà.
+ là pha ban đầu của dao động điều hoà.
* y
đ2
là nghiệm tổng quát của phơng trình vi phân thuần nhất.
( )


+=

tAey
t
d 12
sin
(9-48)
Nghiệm này biểu diễn phơng trình dao động tự do tắt dần, dao động này có
biên độ ban đầu là A. Trong đó:
+
1
là tần số riêng của hệ khi có cản:
22
1




+









== Ay
d
(9-50)
Với A
1
là biên độ của dao động diều hoà.
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 43
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Ta đã biết P
0
là biên độ của lực kích thích. Vậy tích số P
0
. có thể coi là độ
võng tại điểm có hoành độ z do biên độ lực kích thích P
0
giả thiết đặt tĩnh gây
ra. Do đó ta đặt:






=
(9-52)
Đặt:

4
22
2
2
2
4
1
1




+











=
=
(9-55)
Trong đó
đ
và
đ
là ứng suất gây ra do tải trọng động, còn
*
t

và
*
t

là ứng
suất do trị số lớn nhất của lực kích thích khi đặt tĩnh lên hệ gây ra. Nếu trên hệ
còn có tải trọng tĩnh tác dụng thì ứng suất toàn phần trên một mặt cắt nào đó là
tổng ứng suất do tải trọng tĩnh và tải trọng động gây ra.
Chú ý:
Công thức (9-54), (9-55) ta thành lập với hệ đàn
hồi chịu uốn, còn với trờng hợp hệ đàn hồi chịu lực
kéo, nén, xoắn ta cũng có tơng quan tơng tự. Ví dụ
nh hệ chịu lực nh hình vẽ có:
**
.;.
tddtdd
kk

*
t

và
*
t

(đối với thanh chịu kéo),
*
t

và
*
t

(đối với lò xo). Hình
vẽ:
b. Tính hệ số động theo công thức (9-53):
4
22
2
2
2
4
1
1





g
P
g
m
===


.
1
2
(9-58)
Trong đó: - P là trọng lợng của vật có sẵn trên dầm.
- y
t
là độ võng tĩnh do vật trọng lợng P có sẵn trên dầm gây ra.
- g là gia tốc trọng trờng.
- là chuyển vị đơn vị do lực đơn vị P
k
= 1 gây ra.
Vậy có:






=
sy
g
t

y
P
0
*
t

P
0
*
t

Bài giảng: Sức bền vật liệu
Đối với thanh chịu kéo, nén:
*
.
tdd
k =
(9-61)
Đối với lò xo:
*
.
tdd
k

=
(9-62)
d. Tính ứng suất động:
Đối với dầm và thanh:
*
.

0
+=
+=

9.3.3 Hiện tợng cộng hởng và biện pháp khắc phục:
a Hiện tợng cộng hởng:
Từ công thức (9-53):
4
22
2
2
2
4
1
1




+








=
d

y
t

t
m m

t
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Ta thấy hệ số k
đ
phụ thuộc vào 2 tỷ số là


và


2
. Do đó ngời ta có thể biểu
diễn sự phụ thuộc đó trên đồ thị sau (hình vẽ). Hình vẽ biểu diễn sự liên hệ giữa
k
đ
và


đối với mỗi giá trị của
cụ thể.
Khi tỷ số
1=



0
) và làm hệ bị phá
huỷ.
Do những lý do trên mà hầu hết các trờng hợp trong kỹ thuật ngời ta tìm mọi
biện pháp để khắc phục hiện tợng cộng hởng, chỉ có một số trờng hợp là lợi dụng
nó (ví dụ nh trong máy đầm, máy sàng ).
b. Biện pháp khắc phục hiện tợng cộng hởng:
- Thực tế thì khi tần số lực kích thích không khác nhiều so với tần số dao
động riêng của hệ thì biên độ dao động đã tăng lên rõ rệt, do đó mà nó hình
thành một miền cộng hởng. Biện pháp tích cực nhất là làm sao trong quá trình
thiết kế và sử dụng tần số kích thích khác xa so với tần số riêng . (Thờng là
7.0


và
3.1


). Để thực hiện nguyên tắc này có thể có hai cách sau:
+ Nếu tần số riêng cố định thì có thể thay đổi nhanh tần số lực kích thích
sao cho thời gian trùng của hai tần số là ngắn nhất để hiện tợng cộng hởng không
xảy ra kịp. Đó là hiện tợng tăng tốc độ nhanh qua số vòng quay nguy hiểm của
động cơ (điều này ta có thể xác định trớc đợc).
+ Nếu tần số lực kích không thể thay đổi đợc (vì do động cơ chỉ có một
cấp tốc độ) thì có thể thay đổi tần số riêng . Tức là thay đổi độ võng y
t
(có thể
thay đổi trọng lợng vật đặt tĩnh P = mg hoặc thay đổi độ cứng EJ của dầm).
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 47

Bài giảng: Sức bền vật liệu
- Biện pháp thứ hai là dùng các bộ phận giảm chấn (ví dụ nh lò xo) thay thế
các gối tựa cứng để phân tán năng lợng dao động và nâng cao hệ số tắt dần.
Ví dụ: Một động cơ có trọng lợng Q đặt giữa dầm. Xác định số vòng quay
tới hạn [n] của động cơ khi nó quay với tốc độ . Cho dầm có độ cứng EJ.
Giải:
Gọi [n] là số vòng quay tới hạn của động cơ cần phải xác định.
Khi cộng hởng thí có:

=
Tức là:
[ ]
t
y
gn
=
30

Hay:
t
y
g
n

30
][ =
Mặt khác theo phép nhân biểu đồ Vêresaghin ta có:
EJ
Ql
y

0
= 6KN. Tìm độ
võng và ứng suất pháp cực đại trong dầm (khi tính toán bỏ qua trọng lợng bản
thân dầm và lực cản của môi trờng). Biết E = 2.10
7
N/cm.
Giải:
1. Tìm độ võng và ứng suất do trọng lợng Q có sẵn trên dầm gây ra. Từ hình
vẽ và theo phép nhân biểu đồ Vêresaghin ta tính đợc:
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 48
Q
l/2
l/2
Bài giảng: Sức bền vật liệu
( )
cm
EJ
lQ
y
x
Q
t
475.0
18940.10.2.48
600.10.40
48
.
7
333

ứng suất
*
t

do nó gây ra.
Từ hình vẽ và theo phép nhân biểu đồ Vêresaghin ta tính đợc:
cm
EJ
lP
y
x
t
071.0
18940.10.2.48
600.10.6
48
.
7
33
3
0
*
=
===
( )
2
23
0max
*
95

Q/2
Q
Ql/4
P
0
/2
P
0
/2
P
0
P
0
l/4
1/2
1/2
P
k
= 1
l/4
M
Q
k
M
0
P
M
x
y
Bài giảng: Sức bền vật liệu









=

d
k
Tần số lực kích thích tuần hoàn:
s
n
1
6,57
30
550.14,3
30
.
===

Tần số riêng của hệ:
( )
s
y
g
Q
t

gây ra:
cmyky
tdd
118,0071,0.66,1.
*
===
2
*
7,15795.66,1.
cm
N
k
tdd
===

5. Tìm độ võng và ứng suất tổng cực đại.
( )
cmyyy
d
Q
t
593,0118,0475,0
max
=+=+=
( )
2
4,3157,1576,633
cm
N
d


( )
2
+== eymPy
lt

(9-66)
Suy ra:
2
2
2
2
1
.
1



=


=



m
e
m
em
y

1
=
đợc gọi là tốc độ góc tới hạn của trục quay mà ta cần tránh.
Cũng từ (9-69) ta thấy khi tần số lớn hơn rất nhiều tần số riêng (tức là trục
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 51
P
qt
y
e
C
C
m
0
0
R
P
qt
A
B



P
k
=1
Bài giảng: Sức bền vật liệu
quay với số vòng quay cực lớn) thì lúc đó y - e, tức là khi này tâm bánh xe
trùng với trục quay. Trục quay xem nh không có độ võng và chi tiết quay xem
nh không có độ lệch tâm và không có tiếng ồn. Đó chính là u việt của chi tiết

Động lợng của vật Q trớc va chạm là:
01
.V
g
Q
T =
(9-70)
Động lợng của vật Q và P sau va chạm là:
V
g
QP
T .
2
+
=
(9-71)
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 52
P
y
đ
y
t
Q
V
0
A
B
h
P

g
Q
P
VQ
V
PQ
Q
g
QP
V
g
QP
T








+
=








(9-75)
Theo định lý bảo toàn năng lợng thì năng lợng toàn phần đợc chuyển hoàn
toàn thành thế năng biến dạng đàn hồi tích luỹ trong hệ (từ lúc bắt đầu va chạm
cho tới lúc dừng). Do vậy nếu gọi thế năng biến dạng đàn hồi của dầm nhận đợc
do va chạm là U, thì thế năng biến dạng U đợc tính theo công thức:
ATU +=
(9-76)
Hay:
( )
d
yQP
g
Q
P
QV
U .
1
.
2
1
2
0
++









2
1
2
1
t
y
U =
(9-80)
Tơng tự nh trên sau khi va chạm thì dầm có chuyển vị toàn phần là
( )
td
yy +
.
Nếu giả thiết vật liệu vẫn làm việc trong giai đoạn đàn hồi thì thế năng biến dạng
đàn hồi là tích luỹ trong hệ lúc này là:
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 53
Bài giảng: Sức bền vật liệu
( )

2
2
2
1
td
yy
U
+
=

+=+=

(9-83)
Theo định luật bảo toàn năng lợng từ (9-77) và (9-83), ta có:
( )
d
d
d
yP
y
yQP
g
Q
P
QV
.
2
.
1
.
2
1
22
0
+=++






dd


(9-85)
Đặt

.
*
Qy
t
=
và đợc gọi là chuyển vị tĩnh do trọng lợng Q giả thiết đặt tĩnh
lên dầm gây ra. Thay vào biểu thức (9-85) có:
0
1
.
.2
2
0
*
*2
=









++=
1
.
2
0
*
2
**
(9-87)
Hay:
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 54
Bài giảng: Sức bền vật liệu
*
*
2
0
.
.1
11
t
t
d
y
y
Q
P
g
V
y

11
t
d
y
Q
P
g
V
k








+
++=
(9-89)
Biểu thức trên đợc gọi là biểu thức xác định hệ số động của va chạm đứng hệ
đàn hồi một bậc tự do
Từ (9-88) và (9-89) ta có:
*
.
tdd
yky =
(9-90)
Tơng tự ta có công thức tính ứng suất pháp và tiếp do tải trọng va chạm trên
dầm gây ra:

k








+
++=
(9-92)
2. Nếu vật Q rơi tự do và trên dầm không có vật P (P = 0). Từ (9-92) có:
*
2
11
t
d
y
h
k ++=
(9-93)
3. Nếu Q đặt đột ngột vào dầm( h = 0). Từ (9-92) có:
k
đ
= 2 (9-94)
Chú ý:
1. Trong thực tế ta thờng gặp và áp dụng công thức (9-93)
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 55

**
tt

và
(đối với lò xo).
2.2. Tính hệ số k
đ
theo công thức:
*
2
11
t
d
y
h
k ++=
( Đối với thanh chịu kéo, nén thay bằng
*
t

và đối với lò xo thay bằng
*
t

).
2.3. Tìm ứng suất, chuyển vị (biến dạng) động.
Đối với dầm:
**
.;.
tddtdd

7
N/cm
2
.
Nếu thay gối tựa bên phải bằng một lò xo có độ cứng C = 10KN/cm thì ứng
suất lớn nhất thay đổi nh thế nào và bằng bao nhiêu?
(khi tính toán bỏ qua trọng lợng bản thân dầm).
Giải:
Khi bỏ qua trọng lợng bản thân dầm ta thấy rằng hệ đã cho có một bậc tự do.
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 56
Q
*
t
y
Q
h
Q
*
t

Q
h
Q
h
Q
*
t