Chương 8
Thanh Chịu lực phức tạp
8.1. KHÁI NIỆM
8.1.1. Thanh chịu lực đơn giản:
Các dạng chịu lực của thanh mà ta nghiên cứu ở các chương trước như: kéo,
nén đúng tâm, uốn thuần tuý, uốn ngang phẳng và xoắn thuần tuý là những
trường hợp chịu lực đơn giản.
Khi đó tải trọng được đặt chỉ nằm trên một mặt phẳng của hệ trục toạ độ:
- Kéo nén đúng tâm: tải trọng được đặt quy đổi về lực đặt trên trục z.
- Uốn phẳng:
+ Trục thanh bị cong theo mặt phẳng thẳng đứng, tải trọng được đặt trong
mặt phẳng yoz là mặt phẳng quán tính chính trung tâm, phát sinh nội lực M
x
,
Q
y.

+ Trục thanh bị cong theo mặt phẳng nằm ngang, tải trọng được đặt trong
mặt phẳng xoz là mặt phẳng quán tính chính trung tâm, phát sinh nội lực M
y
,
Q
x.
- Xoắn: Tải trọng là mô men hoặc ngẫu lực nằm trong mặt phẳng xoy, phát
sinh nội lực M
z
.
8.1.2. Thanh chịu lực phức tạp.
Tổ hợp các trường hợp tải trọng ta được trường hợp chịu lực phức tạp, khi đó
nội lực xuất hiện cả 6 thành phần: M
x

J
M
x
x
M
z
x
=
σ
là ứng suất pháp do mô men uốn M
x
gây nên phân bố
bậc nhất theo y.
x
J
M
y
y
M
z
y
=
σ
là ứng suất pháp do mô men uốn M
y
gây nên phân bố bậc nhất theo
x.
F
N
z

( ) ( )
( )
yxz
QQM
ττττ
rrr
++=
Trong đó:
( )
c
x
c
xy
Q
bJ
SQ
y
.
=
τ
là ứng suất tiếp do lực cắt Q
y
gây nên có phương chiều
trùng với Q
y
.

( )
c
y

dài:
2
max
ab
M
z
α
τ
=
trong đó a là cạnh dài, b là cạnh ngắn.
Giá trị lớn thứ 2 trên giưã cạnh ngắn
max1
γττ
=
8.2 UỐN XIÊN
8.2.1 Định nghĩa
Một thanh được gọi là chịu uốn xiên khi trên mọi mặt cắt ngang của thanh
chỉ có 2 thành phần nội lực là mômen uốn M
x
và M
y
nằm trong các mặt phẳng
quán tính chính trung tâm của mặt cắt.
Ta có thể biểu diễn các mômen uốn M
x
và M
y
bằng các véctơ mômen
x
M

M
§êng t¶i träng
MÆt ph¼ng t¶i träng
y
M
u
M
V
α
Ta thấy rằng đường tải trọng luôn vuông góc với phương của véctơ mômen
tổng
u
M

. Do đó ta có một định nghĩa khác về uốn xiên như sau:
Một thanh được gọi là chịu uốn xiên khi trên mọi mặt cắt ngang của nó chỉ
có một thành phần nội lực là mômen uốn nằm trong mặt phẳng chứa trục z
nhưng không trùng với bất cứ mặt phẳng quán tính chính trung tâm nào.
Định nghĩa này giúp ta có thể giải thích được tại sao các thanh có mặt cắt là
hình tròn không chịu uốn xiên.
8.2.2 ứng suất pháp trên mặt cắt ngang.
Gọi là góc hợp bởi trục x và đường tải trọng và nếu biểu diễn mômen uốn M
x
và M
y
là véctơ mômen thì ta có:



=

M
x
gây nên ứng suất pháp phân bố bậc nhất theo y và có giá trị:
y
J
M
x
x
M
z
x
.=
σ
M
y
gây nên ứng suất pháp phân bố bậc nhất theo x và có giá trị:
x
J
M
y
y
M
z
y
=
σ

Theo nguyên lý độc lập cộng tác dụng, ta có:
x
J

σ
(7-4)
3
Trong công thức này các giá trị đều lấy giá trị tuyệt đối, còn trước mỗi số
hạng lấy dấu dương hay âm tuỳ thuộc vào tác dụng của mômen uốn M
x
và M
y
gây nên ứng suất kéo hay nén ở điểm đang xét.
8.2.3 Đường trung hoà và biểu đồ ứng suất.
Đường thẳng mà mọi điểm trên đó có ứng suất bằng 0 gọi là đường trung
hoà, phương trình của nó là:
0=+ x
J
M
y
J
M
y
y
x
x
(7-5)
Hay là:
0 =−= x
J
J
M
M
y

thuận chiều kim đồng hồ, trong trường hợp ngược lại thì lấy dấu âm.
4
x
y
z
0
Từ công thức (7-8) ta có một số nhận xét sau:
- Đường trung hoà là đường thẳng đi qua trọng tâm của mặt cắt ngang.
- Góc α và β luôn trái dấu nhau, cho nên dấu của tgα và dấu của tgβ luôn
ngược dấu nhau (do J
x
và J
y
là những giá trị luôn dương). Do đó đường tải trọng
và đường trung hoà không bao giờ cùng nằm trong một góc phần tư.
- Trong trường hợp tổng quát đường trung hoà và đường tải trọng không
vuông góc với nhau. Thực vậy, ta có:
y
x
J
J
tgtg −=
βα
.
(7-9)
Trong đó tỷ số
1≠
y
x
J

§êng t¶i träng
§êng trung hoµ
0
β
y
x
0
+
-
A
C
σ
max
σ
min
N
σ
n
được các điểm nguy hiểm trong vùng chịu kéo và chịu nén, những điển này là
những điểm nằm xa đường trung hoà nhất.
8.2.4 Điều kiện bền của dầm chịu uốn xiên.
Trên thanh chịu uốn xiên điểm nguy hiểm là những điểm có ứng suất pháp
cực đại và cực tiểu. Để thiết lập được điều kiện bền ta phải tìm được điểm nguy
hiểm (thuộc mặt cắt nguy hiểm) và tính được ứng suất tại những điểm nguy
hiểm đó. Muốn vậy ta phải dựa vào biểu đồ M
x
và M
y
. Vì trên mỗi mặt cắt
thường thì M

x
x
x
J
M
y
J
M
+=
max
σN
y
y
N
x
x
x
J
M
y
J
M
−−=
min
σ

Vì

min
b. Mặt cắt có 2 trục đối xứng: Mặt cắt chữ nhật, chữ I…
Trên mặt cắt nguy hiểm, điểm ứng suất cực trị tại các góc.Ta thấy:
nk
yy
maxmax
=
và
nk
xx
maxmax
=
cho nên:

y
y
x
x
W
M
W
M
+==
minmax
σσ
Theo nguyên tắc chung ta thấy cả vật liệu dẻo và dòn, ta có điều kiện bền
sau:

[ ]
k

k
Từ điều kiện bền trên ta có 3 bài toán tính bền như sau:
- Bài toán kiểm tra bền.
- Bài toán xác định tải trọng cho phép.
- Bài toán xác định tải trọng cho phép.
Ta thấy rằng đối với bài toán xác định kích thước cho phép ta gặp 2 ẩn số là
W
x
và W
y
. Để giải quyết bài toán này ta dùng phương pháp gần đúng bằng cách
biến đổi công thức kiểm tra bền, ta có:
[ ]
σ
≤






+
y
y
x
x
x
M
W
W

- Đối với mặt cắt chữ I chọn:
108
÷=
y
x
W
W
c. Mặt cắt tròn
Với mặt cắt ngang là hình tròn thì trục nào đi qua tâm mặt cắt cũng là trục
quán tính chính trung tâm cho nên thanh có mặt cắt hình tròn không chịu uốn
xiên.Vì điểm chịu kéo lớn nhất và chịu nén lơn nhất đều cách đương trung hoà
D/2
Cho nên:
x
yx
u
u
W
MM
W
M
22
minmax
+
===
σσ
Ta cũng có điều kiện bền:
[ ]
k
x

x
và f
y
được xác định như trong phần uốn ngang phẳng. Từ công
thức này ta có thể xác định được đường đàn hồi của dầm. Nếu đường đàn hồi
nằm trong một mặt phẳng thì có uốn xiên phẳng, nếu là đường cong không gian
thì có uốn xiên không gian.
8.3 UỐN XIÊN+ KÉO (NÉN)
8.3.1 Định nghĩa
Một thanh được gọi là chịu uốn xiên và kéo (nén) đồng thời là thanh chịu lực
sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó có các thành phần nội lực là mômen uốn
M
x
, M
y
và lực dọc N
z
.
Ví dụ như cột điện vừa chịu nén do trọng lượng bản thân và vừa chịu uốn do
tải trọng gió. Cột chống của cầu treo khi chịu sức căng của dây cáp treo không
vuông góc với cột thì thành phần lực dọc theo thân cột gây ra nén còn thành
phần vuông góc với cột gây ra uốn.
8.3.2 ứng suất pháp trên mặt cắt ngang.
Giả sử trên mặt cắt ngang nào đó của thanh chịu uốn đồng thời với kéo (nén)
có thành phần nội lực là M
x
, M
y
, N
z

N
x
J
M
y
J
M
z
y
y
x
x
K
z
±±±=
σ
(7-18)
Việc chọn dấu trong công thức này tương tự như uốn xiên, tức là việc lấy dấu
dương (+) hay âm (-) trước mỗi số hạng phụ thuộc vào các thành phần nội lực
gây ra kéo hay nén tại điểm đang xét.
Trường hợp đặc biệt của bài toán uốn + kéo (nén) đúng tâm là bài toán kéo
(nén) lệch tâm.
Cho ứng suất bằng 0 ta xác định được đường trung hoà:
F
J
M
N
x
J
J

thời. Thực vậy, ta có thể dời lực N về trọng tâm của mặt cắt ta sẽ được một
9
y
z
M
y
M
x
N
z
K
x
k
y
k
x
thành phần lực dọc N
z
= N và 2 thành phần mômen uốn là M
x
= N.y
k
và M
y
=
N.x
k
. Thay các trị số vừa tính được vào biểu thức (7-17) ta được:
F
N

y
=
2
, thì ta có:
F
N
x
J
xN
y
J
yN
z
y
k
x
k
z
++= .
.
.
.
σ








Trong trường hợp tổng quát ta phải xác định được vị trí của đường trung hòa để
từ đó xác định được vị trí của các điểm nguy hiểm, sau đó ta sẽ xác định các trị
số σ
max
và σ
min
theo (7-17).
Trong trường hợp trên mặt cắt ngang của thanh có lực cắt, nếu bỏ qua ảnh
hưởng của ứng suất tiếp thì điều kiện bền nói chung đối với bài toán uốn + kéo
(nén) là:
- Đối với vật liệu dẻo:
{ }
[ ]
σσσ
≤
minmax
,max
(7-20)
- Đối với vật liệu dòn:
[ ]
k
σσ
≤
max
(7-21)
[ ]
n
σσ
≤
min

xz
W
M
W
M
F
N
++±=
max
σ
(7-22)
y
y
x
xz
W
M
W
M
F
N
−−±=
min
σ
(7-22')
Trong các biểu thức trên, chúng lấy dấu (+) khi N
z
gây ra kéo và lấy dấu (-)
khi N
z

(7-24)
8.4 UỐN XIÊN + XOẮN
8.4.1 Định nghĩa
Một thanh được gọi là chịu uốn và xoắn đồng thời khi trên mặt cắt ngang
của thanh xuất hiện các thành phần nội lực là mômen uốn M
x
, M
y
và mômen
xoắn M
z
.
Trong thực tế ta thường rất hay gặp dạng bài toán này, còn những bài toán
xoắn thuần tuý như chúng ta đã biết thường rất ít khi gặp, ví dụ như đối với một
trục truyền chịu lực như hình vẽ, ngoài mômen xoắn, trục còn phải chịu mômen
uốn gây ra do trọng lượng bản thân, trọng lượng puly và lực căng của các dây
đai…
ở đây đối với bài toán uốn và xoắn đồng thời ta chỉ xét thanh có mặt cắt
ngang là hình tròn và hình chữ nhật.
8.4.2 Uốn và xoắn đối với thanh mặt cắt tròn
11
T
2T
Ta đã biết rằng, sự uốn đối với thanh tròn bao giờ cũng là uốn đơn, vì nếu
trên mặt cắt có 2 thành phần mômen uốn M
x
và M
y
thì bao giờ ta cũng có thể
biến đổi thành một thành phần M

= W
y
là mômen chống uốn của mặt cắt đối với đường
trung hoà.
Khi thanh chịu uốn và xoắn đồng thời thì ngoài ứng suất pháp do M
u
gây ra
còn có ứng suất tiếp do M
z
gây ra trên mặt cắt ngang. Những điểm nằm trên chu
vi của mặt cắt ngang là những điểm có ứng suất tiếp lớn nhất và có giá trị là:
x
z
p
z
W
M
W
M
2
max
==
τ
(7-26)
12
z
x
M
x
M

td
Thay các biểu thức (7-24), (7-25) và (7-26) vào biểu thức trên có:
[ ]
σσ
≤++=
222
1
zyx
x
td
MMM
W
(7-27)
- Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng cực đại:
[ ]
στσσ
≤+=
22
3
td
Tương tự thay các biểu thức (7-24), (7-25) và (7-26) vào biểu thức trên có:
[ ]
σσ
≤++=
222
75,0
1
zyx
x
td





++
+
++
−
=
22222
2
1
2
11
zyxyx
x
td
MMMMM
W
(7-29)
8.4.3 Uốn xiên + xoắn đối với thanh mặt cắt ngang hình chữ nhật.
Xét một mặt cắt ngang hình chữ nhật chịu
lực như trên hình vẽ. Giả sử trên mặt cắt
ngang của thanh chịu uốn và xoắn đồng thời
có các thành phần mômen là M
x
, M
y
và M
z

B
D
b
C
A
h
x
M
y
M
x
M
z
0
A và C là điểm có ứng suất pháp cực trị. Trị số của chúng được tính theo công
thức:
y
y
x
x
C
y
y
x
x
A
W
M
W
M

2
max
γτγττ
α
ττ
===
===
(7-31)
Trong 3 điểm A, E và F ta chưa thể biết được điểm nào là điểm nguy hiểm,
do vậy mà khi kiểm tra bền ta cần phải tính cho cả 3 điểm A, E và F. Xét trạng
thái ứng suất tại 3 điểm A, E, và F. Tại các điểm A, E và F nói trên ta tách ra các
phân tố và khảo sát, ta thấy trạng thái ứng suất tại A là trạng thái ứng suất đơn
còn trạng thái ứng suất tại E và F là trạng thái ứng suất phẳng, các phân tố được
biểu diễn như trên hình vẽ.
- Đối với phân tố ở điểm A: Vì trạng thái ứng suất ở điểm A là trạng thái ứng
suất đơn nên ta có:
14
y
z
B
D
b
C
A
h
x
M
y
M
x

A
W
M
W
M
max
(7-32)
Nếu vật liệu là dòn thì ta cần phải kiểm tra bền cho cả phân tố ở điểm C với
điều kiện bền là
[ ]
n
C
σσ
≤
min
- Đối với phân tố ở điểm E: Vì trạng thái ứng suất ở điểm E là trạng thái ứng
suất suất phẳng nên ta có:
+ Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:
[ ]
στσσ
≤+=
22
4
td
Hay:
[ ]
σσ
≤



[ ]
στσσ
≤+=
22
3
td
Hay:
[ ]
σσ
≤








+








=
2
2

Hay:
[ ]
σ
αα
σ
≤








+








+
+
−
=
2
2
4

σγσ
≤








+








=
2
2
.4
xo¾n
W
M
W
M
z
x



=
2
2
.3
xo¾n
W
M
W
M
z
x
x
td
(7-37)
+ Theo thuyết bền Mo:
[ ]
στσ
α
σ
α
σ
≤+
+
+
−
=
22
4

−
=
2
2
.4
2
1
.
2
1
xo¾n
W
M
W
M
W
M
z
x
x
x
x
td
(7-38)
8.5 CHỊU LỰC TỔNG QUÁT
Thanh chịu lực tổng quát là trường hợp trên mặt cắt ngang của thanh có đủ cả
6 thành phần nội lực. Tuy vậy như ta đã biết ảnh hưởng của lực cắt bé hơn rất
nhiều so với ảnh hưởng của các thành phần nội lực khác, vì vậy trong quá trình
tính toán ta thường bỏ qua ảnh hưởng của các thành phần lực cắt đó. Như vậy
trên mặt cắt ngang của thanh chịu lực tổng quát bao gồm các thành phần nội lực

u
±−=
±=
min
max
σ
σ
(7-39)
16
y
N
z
x
M
z
M
u
α
A
B
z
z
x
M
x
M
y
M
z
N

τ
(7-40)
Tại 2 điểm A và B ta tách ra các phân tố hình vô cùng bé, ta thấy chúng ở
trạnh thái ứng suất phẳng như hình vẽ. Tuỳ theo các thuyết bền ta sử dụng mà ta
viết điều kiện cho các phân tố ở 2 điểm A và B.
8.5.2 Thanh mặt cắt ngang hình chữ nhật
Giả sử thanh có mặt cắt ngang chịu lực
như hình vẽ. Ta thấy rằng nếu lực dọc N
z
là kéo thì ứng suất pháp tại A sẽ là ứng
suất có trị tuyệt đối lớn nhất so với các
điểm khác trên mặt cắt. Ngược lại, nếu
N
z
là nén thì trị tuyệt đối của ứng suất pháp tại điểm C là lớn nhất, khi đó
những điểm cần xét lại là những điểm E' và F'. Trong trường hợp bài toán ta
đang xét thì các điểm nguy hiểm vẫn là các điểm A, E và F. Trạng thái ứng suất
tại điểm A là trạng thái ứng suất đơn, trị số ứng suất tại A được tính theo công
thức:
F
N
W
M
W
M
z
y
y
x
x

2
max
.hb
M
W
M
zz
E
α
ττ
===
xo¾n
(7-43)
17
y
z
B
D
b
C
A
h
x
M
y
M
x
M
z
0