Chương 8: BÁN KÍNH QUÁN TÍNH
Bán kính quán tính cũng là một đại lượng có ý nghĩa và
th
ường được sử dụng trong tính toán kết cấu, cũng như các đại
l
ượng cơ học khác nó được ký hiệu và định
ngh
ĩa theo biểu
thức:
J
x
r
x


F
J
y
và
r
y

F
Trong
đó: r
x
, r
y
là bán kính quán tính theo phương x và
ph
ương y. Tương tự đối

y
C
3/5a
a
4a
a
I
o
x
o
Ví dụ 4: Xác định mô men quán tính chính, trọng tâm của mặt
cắt như hình 4.20.
Bài giải: Trước tiên ta phân
tích m
ặt cắt thành 3 hình chữ nhật
và được đánh dấu I, II, III (xem
hình 4.20).
V
ới các trọng tâm từng hình
là O
1
, O
2
, O
3
và kính th
ước được
xác định.
1. Xác định trọng tâm C của
toàn hình: Chúng ta biết vì trục y

C
III
O
3
x
o
6a
y
c

Sx
o
F
Trong
đó: Sx
o
- Mô men tĩnh
toàn hình l
ấy đối với trục x
o
; F-
Di
ện tích toàn hình :
F = F
1
+ F
2
+ F
3
= 2a

II

0
1
0
3
 2a
2

5a  10a
3
3
S
 F
2

0
2
0
3
 a

4a

2,5a  10a
III
x
o
 F
3

x
y
c


J
o
3
y
3
4

 
20a
 
5
a
F
V
ậy trọng tâm C đã được
xác định.
12a
2
3
Chú ý : Trục x
o
ban đầu chọn ở đâu cũng được nhưng tất
nhiên chọn qua trọng tâm một hình nào đó thì đơn giản hơn.
2. Mô men quán tính chính trung tâm.
a) Tính J

y
III
 

12 3
a(6a)
3
J
y


12
18a
x
x
x
x
J

a
x
y
o
J
y
J
;
J
4
4

 (2a

a)

5a

5
a



403a
x
12
3

3

18
2
 
J
II

a(4a)
 (4a

a)

2,5a


4 4

309
a
4
18
4
4
V
ậ
y
J

403a
x
18

146a
1
8

309a
1
8

858a
1
8


;
J
( I )
 186cm
4
0
1
x
1
y
1
Vì h
ệ trục trung tâm (x
1
, y
1
) của thép chữ có trục đối
x
ứng, nên J
(1)
 0
1 1
-
Đối với thép góc đều cạnh 100

100

10
(đánh dấu là hình 2):
b

)
m
in
 74,1cm
4
x
y
1
J
y
1
J
J
x
y
x
y
Gọi C
2
là trọng tâm của thép góc đều cạnh và hệ trục (x
2
,
y
2
) là h
ệ trục trung tâm song song với các cạnh. Hệ trục này
không ph
ải là hệ trục chính trung tâm của thép góc
đều cạnh nên ta phải tính mô men quán
tính ly tâm J

( 2)
  45
0
nên:
tg(
45
0
) 

(
2
)
x
2
y
2
179 
284
Rút
ra:
(
2)
x
2
y
2
  1

(179  284)  105cm
4

(max)

max
min
2

284

74,1
2
 105cm
4
S
y
y
y
J
x
c
2
Sau khi đã có đủ số liệu, ta sẽ tiến hành tính toán theo trình tự sau:
1. Xác
định trọng tâm của mặt cắt ngang ghép (hình 4.18a)
cho h
ệ trục ban đầu là hệ trục trung tâm (x
1
, y
1
) của hình 1. Như
vậy mô men tĩnh của thép chữ đối với các

3
S
x

S
x
 F
2
. y
1
(c
2
)
 F
2



z
0, 2


19,2 



2,83


157cm

2,47

2,83
 102cm
Di
ện tích của mặt cắt ngang:
F = F
1
+ F
2
= 28,6 + 19,2 = 47,8m
2
Tr
ọng tâm của mặt cắt ngang đối với hệ trục x
1
, y
1
được tính theo
công th
ức (4-3)
:
S
y
x (c)

1
1
F

102

c
1
 
2,13cm ;
y
c
1
  3,28cm
(1)
x
 J
(1)
1
 y
2
1
F
1
 2320 
(3,28)
y
1(c)
. 28,6  2628cm
4
J
(1)
 J
(1)
 x
2

x
1(c)
z
0
2
J
m
in
y
2
J
uv
(cm
4
)
1
2
min

2
x
2
C
2
x
C

1
100
0

1000 2000
3000
J
min
=550cm
2
J
ma
x
=3400
cm
4
max
a)
b)
c
2
Hình 4.21: Xác định trọng tâm và mô men quán tính chính của
hình ghép
- Đối với thép góc đều cạnh (hình 4.22)
x
 z
01
 z
02
 x
1

C


4
x x
22
c
2
2
J
( 2)

J
( 2)
 x
y
F  105  (3,17)  (4,89) 19,2  402,5cm
4
xy x
2
y
2
c
2
c
2
2
s
ẽ là
:
Như vậy mô men quán tính của mặt cắt ngang ghép đối với hệ
trục trung tâm (x,y)
J

đo được (tỷ
lệ xích 2cm ứng với 1000cm
4
):
J
max
= 3.400cm
4
;
J
min
=550cm
4
;

1
= -12
0
;

2
=
78
0
- Bằng giải tích:
Theo công th
ức (4-10) và (4-11)
C
z
0

2
 3407,5cm
4
2 2
J
min
=
3268
 687

1
2 2
(3268  687)
2
 4  (602,5)
2
 547,5cm
4
tg

1
=
J
xy
J
y

J
mx
