TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(33).2009

96

HÌNH THÀNH MỘT SỐ KHÁI NIỆM, CÔNG THỨC HÀM NHIỀU BIẾN
TỪ NỀN TẢNG TOÁN PHỔ THÔNG
FORMATION OF SOME CONCEPTS AND FORMULAS CONCERNING
FUNCTIONS OF MANY VARIABLES BASED ON GENERAL MATHEMATICS

Hoàng Nam Hải
Trường Cao Đẳng GTVT II Đà Nẵng

TÓM TẮT
Trong những nghiên cứu gần đây, các nhà giáo dục đã chỉ ra rằng lý thuyết kiến tạo,
với những dạng khác nhau của nó, đều dựa trên một quan điểm rằng người học phải tự kiến
tạo tri thức cho bản thân từ những kiến thức đã có sẵn. Trong nghiên cứu của mình, tác giả xin
đề xuất một số giải pháp để hình thành khái niệm, đạo hàm riêng, vi phân riêng, cực trị tự do,
cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến từ cốt liệu hàm một biến. Giải pháp này sẽ giúp sinh
viên tự kiến tạo tri thức, khắc phục tính bị động và cũng nhằm nâng cao chất lượng dạy và học
Toán cao cấp trong các trường cao đẳng, đại học hiện nay.

ABSTRACT
In recent studies, educationalists have proved that the theory of formation, with its
various forms, is based on the conception that learners themselves have to gain knowledge
from many available sources of knowledge. In this study, we present some solutions to the
formation of concepts, partial derivative, partial differentiation, free extremum, conditional
extremum of functions of many variables based on the functions of one variable. These
solutions will help students make their own knowledge and overcome their passive attitudes.
Besides, it enhances the quality of teaching and learning of advanced maths in colleges and
universities today.


đứng lớp phải gieo vào lòng các em một niềm đam mê mãnh liệt, một sự khát khao cháy
bỏng khám phá khoa học, một sự bồi đắp kiến thức, có như vậy mỗi sinh viên mới hăng
say học tập, mới biết được kiến thức sắp tiếp thu phục vụ cho mục đích gì, phải học tập
nghiên cứu ra sao. Chẳng hạn khi mở đầu chương Hàm nhiều biến, chúng ta phải đặt ra
một số vấn đề thực tế: Sản lượng thông thường phụ thuộc vào những yếu tố nào? Qua
tranh luận chúng ta sẽ hướng cho các em thấy sản lượng thông thường phụ thuộc vào
hai yếu tố: vốn và lao động; Khi mua hai loại hàng hoá với khối lượng x, y ta có một giá
trị sử dụng u, u phụ thuộc vào x, y; Chất lượng sản phẩm phụ thuộc vào rất nhiều yếu
tố: chất liệu cấu tạo nên sản phẩm, quy trình công nghệ, tay nghề công nhân, máy móc
thiết bị,… Trừu tượng hoá những vấn đề đang xét như trên ta đi đến khái niệm hàm
nhiều biến. Như vậy các em sẽ thấy việc lĩnh hội kiến thức hàm nhiều biến là một lẽ tất
nhiên là một mở rộng của hàm một biến.
b. Hình thành khái niệm hàm hai biến z = f(x,y) từ khái niệm hàm một biến
Khái niệm hàm hai biến hay n biến, n ≥ 3, khá trừu tượng đối với các tân sinh
viên. Nếu chỉ bằng phương pháp thuyết trình, giảng viên trình bày tuần tự khái niệm,
định nghĩa, các công thức thì rõ ràng sinh viên sẽ tiếp thu một cách thụ động, kém hiệu
quả. Chúng ta có thể tổ chức theo nhóm hoặc bằng sự trợ giúp của công nghệ thông tin
ôn tập lại khái niệm hàm một biến (Đại số 10, trang 35):
Cho tập khác rỗng D
⊂
R. Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương
ứng mỗi số x
∈
D với một và chỉ một số, kí hiệu f(x).
Hàm số f được viết là y = f(x) hay f : D
→
R
x

y = f(x).

n

→
R
(x
1
, x
2
,…, x
n

) f(x
1
, x
2
,…, x
n
2.2 Hình thành khái niệm giới hạn, liên tục của hàm hai biến
)
Từ định nghĩa giới hạn của hàm một biến tại một điểm x
0
Giả sử x
(Đại số và Giải tích
11, trang 146):
0
∈
(a,b), f xác định trên (a,b)\{x
0
}. Hàm số f có giới hạn L khi x dần tới
x

0
Giả sử z = f(x,y) xác định trong U(M
:
0
) (không cần xác định tại M
0
). Số L được
gọi là giới hạn của f(x,y) khi điểm M(x,y) dần đến điểm M
0
nếu với mọi dãy điểm
(M
n
(x
n
,y
n
))
⊂
U(M
0
), M
n

≠
M
0
, M
n
dần tới M
0

điểm x
0
y’(x
:
0
x
0x0
0Δ
x
y
0Δ
Δ
)f(x)Δf(x
lim
Δ
Δ
lim
xx
−+
=
→→
) =
Từ đó ta sẽ nêu vấn đề đạo hàm của z = f(x,y) thì sao? Bằng con đường suy diễn, kết
hợp với con đường kiến thiết: Nếu cố định y tức là y = y
0
thì z = f(x,y
0
) là hàm một
biến theo x, khi đó sinh viên có thể tương tự chỉ ra được đạo hàm nếu có của z = f(x,y
0

=
→→
) = .
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(33).2009

99

Tương tự

'
y
z
(x
0
,y
0,
y
00y00
0Δ
y
y
0Δ
Δ
)y,f(x)y,f(x
lim
Δ
zΔ
lim
yy
−∆+

+
, ta có:

x
z
∂
∂
=
( )
'
x
yx
22
e
+
=
( )
'
x
22
yx +
22
yx
e
+
= 2x
22
yx
e
+

22
yx
e
+
có dạng (e
u
)’ = u
’
e
u
Công thức đạo hàm của hàm hợp z = f(u,v), u = u(x,y), v = v(x,y):
.

x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂

g
x
’ = f
u
’. u
x
2.4 Hình thành khái niệm vi phân riêng của hàm hai biến từ khái niệm vi phân của
hàm một biến
’.
Từ khái niệm vi phân của hàm một biến y = f(x), bằng phương pháp tương tự kết
hợp so sánh và suy diễn ta sẽ từng bước giúp sinh viên kiến tạo, xây dựng nên định
nghĩa vi phân riêng của hàm hai biến z = f(x, y):
Định nghĩa vi phân riêng Định nghĩa vi phân hàm
hàm hai biến z = f(x,y) một biến y = f(x)
Cho hàm z = f(x,y) xác định trong U(M
0
) Cho hàm y = f(x) xác định trong U(x
0
Nếu tồn tại A, B (chỉ phụ thuộc x
)
0
, y
0
) sao Nếu tồn tại A (chỉ phụ thuộc x
0
cho
∆
) sao
x
z = A

y
trong đó(x
)
0
+
∆
x
, y
0
+
∆
y
)
∈
U(M
0
),
α
(
∆
x
),
β
(
∆
y
) trong đó x
0
+
∆

0

x
z(M
0
) = A
∆
x
kí hiệu là df(x
0
) = A
∆
x
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(33).2009

100

d
y
z(M
0
) = B
∆
y
Bảng so sánh trên cho ta thấy định nghĩa vi phân riêng hàm hai biến là mở rộng của
định nghĩa vi phân hàm một biến.

Bằng câu hỏi nêu vấn đề: Nếu ta cộng A∆
x
+ B∆

} Nếu f(x) < f(x
0
)
∀
x
∈
(a,b)\{x
0
thì ta nói f(x,y) đạt cực đại tại M
}
0
. thì ta nói f(x) đạt cực đại tại x
0
Nếu f(x,y) > f(x
.
0
,y
0
)
∀
(x,y)
∈
U(M
0
)\{M
0
} Nếu f(x) > f(x
0
)
∀

) = 0.
Giả sử f(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một
đến cấp 2 trong U(M
0
). Xét trên (a,b) chứa x
0
, f’(x
0
d
) = 0 và f có
2
f(M
0
++ dxdyMzdxMz
xy
x
)(2)(
0
"2
0
"
2
)= đạo hàm cấp hai khác không tại x
0
2
0
"
)(
2
dyMz

trình tìm cực trị hàm một biến, bao gồm những bước sau:
 Đầu tiên tính các đạo hàm riêng
x
z
∂
∂
,
y
z
∂
∂

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(33).2009

101

 Bước thứ hai giải hệ







=
∂
∂
=
∂
∂


Tính B
2
B
– AC, căn cứ bảng sau để kết luận:
2
A - AC Kết luận về điểm M
i

- - CĐ
- + CT
+ Không phải điểm cực trị
0 Nghi ngờ có cực trị
- Cách 2 (Thường dùng cho hàm ba biến; cách này tương tự phương pháp dùng
đạo hàm cấp hai tìm cực trị của hàm một biến)
Tính d
2
dydz2fdxdz2fdxdy2fdzfdyfdxf
"
yz
"
xz
"
xy
2"
z
2"
y
2"
x

.







=
∂
∂
=
∂
∂
0
y
z
0
x
z
ta có chín điểm dừng M
0
(0,0), M
1
(0,1), M
2
(0,-1), M
3
2
1

= 0.
1
, M
2
, M
3
, M
4
ta có B
2
Tại M
– AC > 0, suy ra hàm không đạt cực trị.
5
, M
6
, M
7
, M
8
ta có B
2
– AC < 0, A > 0, suy ra hàm đạt cực tiểu, z
CT
8
9
= - .
Ví dụ 2 Tìm cực trị của hàm f(x,y,z) = x
2
+ y
2

(2, -3, 1).
2
f(M
0
) = 2dx
2
+ 2dy
2
+ 2dz
2
> 0, suy ra f(x,y) đạt cực tiểu tại M
0
và z
CT
2.6 Hình thành khái niệm cực trị có điều kiện của hàm hai biến
= - 14.
Từ cực trị tự do nêu trên, ta có thể phát vấn sinh viên: Hàm z = f(x,y) đạt cực trị
tại M0 thì các biến x, y biến thiên như thế nào trong U(M0) ? Từ đó đẫn đến vấn đề nếu
hàm số z = f(x,y) đạt cực trị tại M0 mà x, y không biến thiên độc lập, bị ràng buộc bởi
một điều kiện nào đó chẳng hạn ϕ(x, y) = 0 thì sao? Từ đó hình thành nên khái niệm
cực trị có điều kiện hay cực trị ràng buộc:
Những cực trị của hàm z = f(x,y) trong đó x, y bị ràng buộc bởi điều kiện
ϕ
(x,y)
= 0 là cực trị có điều kiện hay cực trị ràng buộc.
2.7 Củng cố khái niệm, công thức đạt được
Rõ ràng sau khi đã hình thành khái niệm, công thức mới phục vụ cho bài giảng,
một khâu rất quan trọng không thể thiếu là củng cố lại các khái niệm đã học cho sinh
viên, thông qua hoạt động ngôn ngữ, qua ví dụ, phản ví dụ minh hoạ. Hoạt động này sẽ
rất hiệu quả nếu chúng ta hệ thống lại các khái niệm hàm hai biến so sánh với hàm một