Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học
……………………………… 1902 2 3 1
4 3 2 6
−
 
 
 

Do cột 1 là trội hơn cột 2 nên ma trận trên ñược rút gọn về dạng

2 3 1
3 2 6
−
 
 
 

Kí hiệu véc tơ phân phối xác suất ứng với chiến lược hỗn hợp của người chơi A là x
= (x
1
, x
2
) = (x
1
, 1 − x
1
), chúng ta có các kì vọng pay − off của người chơi A khi người
chơi B chơi các chiến lược (thuần nhất) khác nhau như sau:

2
), E(X/b
3
)} tùy theo x
1
ñã chọn. Như vậy phải
chọn x
1
ứng với Max {Min {E(X/b
1
), E(X/b
2
), E(X/b
3
)}. Vậy
1
x
∗
= 0,5 như ñã chỉ ra
trên ñồ thị. Do ñó
2
x
∗
= 1 −
1
x
∗
= 0,5 và giá trị của trò chơi trên là 5/2.

1


Hình VI.5. ðồ thị các kì vọng pay
−
off E(X/b
i
)
Ðể xác ñịnh chiến lược hỗn hợp (y
1
, y
2
, y
3
) cho người chơi B, ta nhận thấy các
ba ñường kì vọng pay − off ñều ñi qua ñiểm cao nhất (1/2, 5/2) của ñường viền ñậm nét.
Ðiều này có nghĩa là B có thể xây dựng chiến lược hỗn hợp dựa trên cả b
1
, b
2
lẫn b
3
. Có
thể chứng minh ñược, hai ñường kì vọng pay − off bất kì với các hệ số góc trái dấu ñều
cho một chiến lược hỗn hợp tối ưu của B. Như vậy, chỉ cần xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Xét hai ñường E(X/b
1
) và E(X/b
2
). Ðiều này có nghĩa rằng
3

y
1
(tương tự như vẽ các ñường E(X/b
i
) ), có thể xác ñịnh ñược ñiểm Minimax (xem hình
VI.6). Có thể thấy ngay,
1
y
∗
tương ứng với ñiểm Minimax ñược xác ñịnh từ phương
trình: -
1
y
∗
+ 3 =
1
y
∗
+ 2. Vậy chiến lược hỗn hợp tối ưu của B là:
1
y
∗
= 1/2,
2
y
∗
= 1/2
và
3
y


Hình VI.6. ðồ thị các kì vọng pay
−
off E(Y/a
i
)
Trường hợp 2: Xét hai ñường E(X/b
2
) và E(X/b
3
). Tính toán tương tự ta có chiến
lược hỗn hợp tối ưu của B là:
1
y
∗
= 0,
2
y
∗
= 7/8 và
3
y
∗
= 1/8.
Ví dụ 6: Xét trò chơi hai người - tổng không với ma trận trò chơi cỡ 4×2 sau
2 4
2 3
3 2
2 6
 

1
) là phân phối xác suất của chiến lược hỗn hợp của B. Vẽ
các ñường kì vọng pay - off trên và xác ñịnh ñiểm Minimax thì sẽ tìm ñược chiến lược
hỗn hợp tối ưu của B. Sau ñó tìm ñược chiến lược hỗn hợp tối ưu của A bằng cách xác
ñịnh ñiểm Maximin.
ðáp số: Chiến lược hỗn hợp tối ưu của B là
1 2
(y , y ) (2/ 3,1/ 3)
∗ ∗
=
còn chiến lược hỗn
hợp tối ưu của A là
1 2 3 4
(x ,x , x , x ) (1/ 3,0,2/3,0)
∗ ∗ ∗ ∗
=
với giá trị của trò chơi là v* = 8/3.
5.5. Giới thiệu về trò chơi nhiều người
Trong các phần trên chúng ta ñã xem xét mô hình trò chơi hai người có tính ñối
kháng. Tuy nhiên, mô hình này lại không thể áp dụng cho các hiện tượng kinh tế − xã
hội mà trong ñó quyền lợi của rất nhiều cá nhân ñụng chạm nhau, mặc dù họ không nhất
thiết là ñối kháng nhau. Các trường hợp như vậy dẫn tới việc nghiên cứu lí thuyết trò
chơi n người. Trong khuôn khổ của giáo trình chúng ta chỉ giới thiệu về trò chơi hợp tác
n người thông qua một ví dụ ñơn giản.
Ví dụ 7: Xét trường hợp n công ti trong cùng một ngành công nghiệp ñược ñề nghị
kí kết một hợp ñồng mang lại lợi nhuận. Các công ti này ñược ñánh số theo thứ tự là 1,
2, , n. Lúc ñó, N = {1, 2, , n} là tập hợp các công ti. Giả sử giá trị lợi nhuận của hợp
ñồng là v(N) ñã biết. Các công ti cần ñàm phán ñể xem xét cách chia sẻ hợp ñồng theo
một tỉ lệ hợp lí nào ñó. Kí hiệu x
i

v(T), một khi S∩T = ∅. Tức là, khi hai liên minh không giao nhau kết hợp các nỗ lực
ñàm phán của họ lại thì họ sẽ ñạt ñược tổng lợi nhuận cao hơn. Từ ñiều kiện này suy ra:
v(N) ≥ v(S), ∀ S ⊂ N. Hàm v(.) ñược gọi là hàm ñặc trưng của trò chơi hợp tác n người.
Trò chơi hợp tác n người ñược coi là trò chơi ñối xứng nếu giá trị lợi nhuận v(S) của
liên minh S chỉ phụ thuộc vào số phần tử của tập S, ∀ S ⊂ N.
−
n
i
i 1
x v(N)
=
=
∑
và x
i
≥ v({i}), ∀ i =
1,n
. Tức là, khi tham gia vào trò chơi hợp tác n
người, mỗi công ti ñều nhận ñược phần lợi nhuận không ít hơn phần lợi nhuận nếu kí
kết hợp ñồng riêng cho mình. Véc tơ x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ñược gọi là véc tơ phân phối của
trò chơi.

Việc giải trò chơi hợp tác n người ñược hiểu là việc xác ñịnh ñược tập nghiệm S
bao gồm tất cả các véc tơ phân phối − nghiệm của trò chơi sao cho không một liên minh

.
ðịnh lí 3: ðiều kiện v(S) ≤
S
n
v(N), ∀ S ⊂ N là ñiều kiện ñủ ñể trò chơi hợp tác n
người có nghiệm (ở ñây, kí hiệu
S
ñể chỉ lực lượng của S). Trong trường hợp trò chơi hợp
tác n người là ñối xứng thì ñiều kiện trên cũng là ñiều kiện cần ñể trò chơi có nghiệm.
ðể tìm tập nghiệm R của trò chơi hợp tác n người, cần thêm một biến x
n+1
≥ 0 vào
vế trái của ràng buộc ñầu tiên trong hệ ñiều kiện ràng buộc trên ñây và ñi giải
BTQHTT: Min x
n+1
với hệ ràng buộc mới. Nên chú ý rằng ñể giải quyết vấn ñề này phải
sử dụng thuật toán ñơn hình ba pha ñể tìm tất cả các nghiệm của BTQHTT.
BÀI TẬP CHƯƠNG VI
1. Xét ma trận pay-off (lợi nhuận) sau ñây với a
i
, i =1, 2, 3, 4, là các phương án
hành ñộng, còn θ
j
, j =1, 2, 3, 4, 5, là các trạng thái có thể xảy ra. Xác suất của các trạng
thái chưa ñược biết. Hãy so sánh các lựa chọn thu ñược bằng cách áp dụng các tiêu
chuẩn: Laplace, Maximax, Minimax, Savage và Hurwicz (giả sử α = 0,5).

θ
1
θ

15 hòm
a
2
10 hòm
a
3

5 hòm
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học
……………………………… 1948 10 12
12 14 12
Nhu cầu
thị
trường
θ
1
= 5 hòm với p
θ
(θ
1
) = 0.2

θ
2
= 10 hòm với p
θ
(θ

3
, x
4
) = w(x
1
,
x
2
, x
3
) - 10
-6
x
4
, với x
1
, x
2
, x
3
là các giá trị dự toán về tổng lợi nhuận, số lượng hàng
khách và tỉ lệ % các chuyến bay bị nhỡ chuyến trong một năm, còn x
4
là chi phí mua
hợp ñồng khảo sát tư vấn (bằng 10
5
USD nếu kí hợp ñồng). Hàm w có các giá trị là
1,00, 0,34 và 0,1 nếu máy bay mua về hoạt ñộng với ñộ tin cậy rất cao, cao và trung
bình. Ngoài ra, nếu không mua máy bay thì w có giá trị là 0,17.
Theo các số liệu tổng hợp ñược, khi mua một máy bay như vậy có thể xảy ra ba

 
 
− − − −
 
 
− −
 
−
 
,
1 1 1
2 2 2
3 3 3
−
 
 
−
 
 
−
 
,
5 50 50
1 1 0,1
10 1 10
 
 
 
 
 

 
 
 
,
1 2 5
8 4 7
1 5 6
 
 
 
 
− −
 
.
7. ðạ
i tá Blotto và phía
ñố
i th
ủ

ñề
u mu
ố
n
ñ
ánh chi
ế
m hai
ñ
i


ñ
i
ñ
ánh chi
ế
m hai c
ứ
di
ể
m, còn các s
ố

ñ
ó v
ề
phía
ñố
i th
ủ
là
m
1
và m
2
. Các pay-off c
ủ
a Blotto
ñượ
c tính nh

i
ể
m. N
ề
u n
i
= m
i
thì hai phía
ñề
u nh
ậ
n 0
ñ
i
ể
m. Hãy phát bi
ể
u bài toán d
ướ
i d
ạ
ng trò ch
ơ
i hai ng
ườ
i - t
ổ
ng không và tìm chi
ế

ầ
n c
ủ
a hai công ti là
50 - 50.
ðể
c
ạ
nh tranh th
ị
tr
ườ
ng, hai công ti
ñề
u tìm cách ti
ế
n hành các chi
ế
n d
ị
ch
qu
ả
ng cáo (n
ế
u không công ti nào ti
ế
n hành chi
ế
n d

p chí và 20% qua
ñ
ài. Hãy phát bi
ể
u bài toán
d
ướ
i d
ạ
ng trò ch
ơ
i hai ng
ườ
i - t
ổ
ng không và cho bi
ế
t trò ch
ơ
i trên có
ñ
i
ể
m yên ng
ự
a
hay không. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học

1.2. Hệ thống quản lí hàng dự trữ theo phân loại giá trị ABC
Ví dụ 1: Phân tích ABC về giá trị hàng hoá.
Trong nhiều tình huống thực tế, hàng dự trữ trong kho, còn gọi là hàng lưu kho, có
thể bao gồm rất nhiều chủng loại, từ loại cấp thấp rẻ tiền, cồng kềnh tới loại hàng cao
cấp ñắt tiền nhưng có kích thước bé. Vì hàng lưu kho chính là vốn “ñọng”, nên cần

kiểm soát và quản lí thật tốt các mặt hàng cao cấp. Hệ thống quản lí hàng dự trữ theo
phân loại ABC chính là một hệ thống phân loại hàng theo các mức kiểm soát.
Bảng VII.1. Phân tích ABC theo giá trị hàng dự trữ
Phân loại hàng % số lượng hàng % giá trị hàng Mức vốn ñọng
A 20 80 nhiều
B 30 15 trung bình
C 50 5 ít
Trong bảng VII.1 và hình VII.1, loại hàng A chiếm số lượng ít trong hàng lưu
kho nhưng lại có giá trị rất cao. Bởi vậy cần kiểm soát loại hàng này một cách nghiêm
ngặt nhất (tránh hư hỏng, mất mát, tăng cường việc quay vòng vốn “ñọng” loại này).
Loại hàng B cũng cần ñược chú trọng quản lí trong khi ñó mức ưu tiên về quản lí thấp
nhất ñược dành cho loại hàng C. Hình VII.1. ðồ thị phân loại ABC hàng dự trữ
1.3. Mô hình quản lí hàng dự trữ tổng quát
Mục ñích cuối cùng của bất cứ một mô hình quản lí hàng dự trữ nào cũng nhằm trả
lời hai câu hỏi: khi vào cần ñặt mua thêm hàng dự trữ, nói vắn tắt là khi nào ñặt và mỗi

+ (Chi phí lưu kho) + (Chi phí phát sinh do nợ hàng).
Chi phí mua hàng: ðây là yếu tố quan trọng khi giá mua hàng thường phụ thuộc
vào lượng ñặt hàng. Nhiều nhà cung cấp thường có chính sách giảm giá, hoa hồng, chiết
khấu ñối với lượng ñặt hàng lớn, mua theo lô hay theo ñợt.
Chi phí ñặt hàng: Chi phí này bao gồm các chi phí văn phòng, hành chính cho việc
làm hợp ñồng mua (bàn giao) hàng, chi phí vận chuyển và xếp hàng vào kho. Thông
thường, việc tiến hành ñặt mua hàng quá thường xuyên dẫn tới chi phí ñặt hàng gia
tăng.
Chi phí lưu kho: Chi phí này bao gồm chi phí thuê ñịa ñiểm kho hàng, bảo quản,
bảo hiểm, khấu hao vốn “ñọng”, mất giá do lỗi thời tức là các chi phí phát sinh do
việc lưu giữ hàng trong kho.
Chi phí phát sinh do nợ hàng: ðây là chi phí phát sinh do lượng hàng lưu kho
không ñáp ứng ñược nhu cầu mua của khách hàng dẫn tới làm giảm doanh thu hay mất
uy tín ñối với khách hàng.
Các mô hình quản lí hàng dự trữ có thể ñơn giản hoặc phức tạp phụ thuộc chủ yếu
vào việc nhu cầu ñối với loại hàng dự trữ thuộc dạng nào: nhu cầu là tất ñịnh hay nhu
cầu ngẫu nhiên. Nhu cầu tất ñịnh là nhu cầu ñược xác ñịnh chắc chắn lại ñược chia
thành: nhu cầu tĩnh hay nhu cầu ñộng, tùy thuộc vào tốc ñộ tiêu thụ hàng là không ñổi
hay biến thiên. Còn nhu cầu ngẫu nhiên là biến nhẫu nhiên có hàm mật ñộ xác suất nhất
ñịnh: nếu hàm mật ñộ xác suất không thay ñổi theo thời gian thì ta có nhu cầu dừng, nếu
trái lại thì có nhu cầu không dừng. Theo thứ tự liệt kê trên ñây, nhu cầu tĩnh là là loại
ñơn giản nhất, còn nhu cầu không dừng là phức tạp nhất (mặc dù nó biểu diễn chính xác
nhất các nhu cầu thường xảy ra trong thực tế, nhưng ít khi ñược áp dụng trong các mô
hình quản lí hàng dự trữ).
Khi phát biểu một mô hình quản lí hàng dự trữ còn cần chú ý tới các yếu tố sau ñây:
−
Thời gian dẫn hàng: ðây là thời gian tính từ khi hợp ñồng ñặt hàng ñã ñược gửi
ñi cho tới khi hàng mới về ñược sắp xếp vào trong kho lưu giữ. Thời gian dẫn hàng
ñược coi là tức thời (nếu ñược coi là không ñáng kể) hoặc không tức thời (nếu nó là
ñáng kể). Thời gian dẫn hàng cũng có thể là tất ñịnh hoặc ngẫu nhiên.

− Thời gian dẫn hàng là một hằng số.
− Tình trạng nợ hàng (so với nhu cầu tiêu thụ hàng) không xảy ra.
Hình VII.2 minh họa sự biến thiên của mức hàng lưu kho. t
0
= y/β
Mức hàng
Thời gian
y
L
Thời ñiểm hàng vào kho
Thời ñiểm ñặt lại hàng
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học
……………………………… 200

Hình VII.2. ðồ thị hàng lưu kho trong mô hình tĩnh Wilson
Trên hình VII.2, t
0
= y/β ñược gọi là chu kì hàng, chính là khoảng thời gian từ lúc
lượng ñặt hàng ñược nhập vào kho cho tới khi ñược tiêu thụ hết. Do y là mức hàng lưu
kho cao nhất và do tốc ñộ tiêu thụ hàng là không ñối nên y/2 là mức hàng lưu kho
trung bình.

y* =
2K
h
β
. (*)
Có thể kiểm tra rằng y* cũng thỏa mãn ñiều kiện ñủ (ñạo hàm bậc hai dương). y*
ñược gọi là
l
ượ
ng
ñặ
t hàng t
ố
i
ư
u
(trong các hệ thống mua bán
-
kinh doanh) hay
dung
l
ượ
ng lô hàng t
ố
i
ư
u
(trong các hệ thống sản xuất
-
kinh doanh).

∗
= y*/
β
nh
ằ
m
ñạ
t TCU(y*) =
2K h
β
. Ngoài ra, n
ế
u th
ờ
i gian
d
ẫ
n hàng là L thì
ngưỡng ñặt lại hàng
là
β
L và
thời ñiểm ñặt lại hàng
là th
ờ
i
ñ
i
ể
m khi

ỏ
h
ơ
n chu kì hàng m
ộ
t khi h
ệ

th
ố
ng
ñ
ã
ñượ
c coi là “
ổ
n
ñị
nh”.
Ví dụ 1: Nhu cầu hàng ngày về một mặt hàng là 100 ñơn vị. Chi phí ñặt hàng là 100
USD cho mỗi lần ñặt hàng. Thời gian nhập bổ sung hàng vào kho là không ñáng kể. Chi