Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học
……………………………… 220dụ 1 mục 4.2, chúng ta giả thiết hàng ñược tiêu thụ ñều ñặn chứ không phải ñược tiêu
thụ tức thời.
Lúc ñó q = (p-c)/(p+c) = 0,8 nên:
y
0
y
1 1
dD y dD
10 10D
∗
∗
∞
∗
+
∫ ∫
= q = 0,8 hay (1/10)(y* -
y*lny* + 2,3y*) = 0,8. Từ ñó có 3,3y* - y*lny* - 8 = 0. Giải phương trình này bằng
phương pháp thích hợp sẽ tìm ñược y* = 4,5. ðây là kết quả khác với ñáp số trong ví dụ
ở mục 3.2.
c. Nhu cầu ñược tiêu thụ tức thời, cần có chi phí khởi ñộng lại
Các kí hiệu và giả thiết của mô hình này giống với mục A, trừ một ñiểm: mô hình
sẽ giả thiết rằng chi phí khởi ñộng lại (hay chi phí ñặt hàng) là ñáng kể. Kí hiệu
E{
C
(y)} là kì vọ
ng t
ổ

Do K là h
ằ
ng s
ố
, giá tr
ị
c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a E{
C
(y)}s
ẽ

ñạ
t t
ạ
i y* (nh
ư

ñ
ã tính trong m
ụ
c
A, làm cho E{C(y)}
ñạ
t c

còn s là nghi
ệ
m nh
ỏ
h
ơ
n (
ñượ
c gi
ả
s
ử
là s
ố
không âm) c
ủ
a ph
ươ
ng trình E{C(y)} =
E{
C
(y*)} v
ớ
i
giả thiết hàm số E{C(y)} là hàm lồi.
§Æt hµng


ớ
i l
ượ
ng hàng x t
ồ
n
ñọ
ng kho
ñầ
u
chu kì,
quy tắc về ñặt hàng

ñượ
c xác
ñị
nh sau:
Trường hợp 1:
x < s. Lúc này n
ế
u không
ñặ
t hàng (b
ổ
sung vào kho) thì kì v
ọ
ng chi
phí d
ự
tr

x
≥
s. N
ế
u s
≤
x < S thì
không nên ñặt hàng
(b
ổ
sung vào kho) vì kì
v
ọ
ng chi phí d
ự
tr
ữ
hàng là E{C(x)} < E{
C
(S)} (xem hình VI.7) và l
ự
a ch
ọ
n t
ố
t nh
ấ
t là
d
ự

ñề
u có: E{C(x)} < E{
C
(y)}
(xem thêm hình VI.7).
Chú ý r
ằ
ng khi hàm s
ố
E{C(y)} không là hàm l
ồ
i c
ũ
ng nh
ủ
khi s < 0 thì quy t
ắ
c
ñặ
t
hàng trên không áp d
ụ
ng
ñượ
c.
Ví dụ 5: Xét mô hình một chu kì với h = 0,5 USD, p = 4,5 USD và c = 0,5 USD.
Nhu cầu tiêu thụ hàng tuân theo phân phối ñều trong [0, 10]. Tuy nhiên, khác so với ví
dụ 1 mục 4.2, chúng ta giả thiết hàng ñược tiêu thụ tức thời ngay sau khi nhập và cần có
chi phí ñặt hàng K = 25 USD. Ngoài ra, lượng hàng tồn ñọng kho ñầu chu kì là x = 2.
Do y* = 8 trong ví dụ ở mục 3.2, nên S = 8. ðể xác ñịnh s, cần xét:

∞
−
∫
= 0,25y
2
- 4,0y + 22,5 - 0,5x.
Do ñó E{C(s)} = E{
C
(S)} = K + E{C(S)}
⇔ 0,25s
2
- 4,0s + 22,5 - 0,5x = 25 + 0,25S
2
- 4,0S + 22,5 - 0,5x.
Cho S = 8 ta có s
2
- 16s - 36 = 0 hay s = -2 và s
1
=18. Do s < 0 nên lúc này chúng ta
không áp dụng ñược quy tắc ñặt hàng một cách trực tiếp. Tuy nhiên, theo minh họa trên
hình VI.7, nếu s < 0 thì không nên ñặt hàng.
Trong trường hợp K = 4 USD thì chúng ta có phương trình s
2
- 16s + 48 = 0 với hai
nghiệm s = 4 và s
1
= 12. Lúc này, x < s nên cần ñặt hàng với lượng ñặt hàng là S - x = 6
(ñơn vị hàng).
4.3. Mô hình xác suất nhiều chu kì
Các mô hình xác suất nhiều chu kì (số chu kì là hữu hạn hay vô hạn) trong mục này

∫
bởi dấu lấy tổng
∑
).

Các mô hình như trên là khá phức tạp, mà ñể giải chúng cần biết tới các kĩ thuật về
mô phỏng ngẫu nhiên mà chúng ta ñã ñược nghiên cứu ít nhiều ở chương III (chẳng hạn
như việc mô phỏng f(D) dựa trên các số liệu thống kê). Có thể nói ñây là các chủ ñề cần
tiếp tục ñược nghiên cứu, nhất là trong lĩnh vực Tin học quản lí và Quản trị kinh doanh
ở những bậc học cao hơn. Một số mô hình xác suất nhiều chu kì ñơn giản ñược trình
bày tóm lược ngay sau ñây.
a. Cho phép nợ hàng, thời gian dẫn hàng bằng 0
Xét mô hình N chu kì. Kí hiệu:
− f
i
(x
i
) là kì vọng tổng lợi nhuận lớn nhất cho các chu kì i, i+1, , N, với x
i
là lượng
hàng tồn ñọng từ chu kì trước chuyển sang.
− r là doanh thu/ñơn vị hàng.
− Các kí hiệu khác giống như các mục trước.
Lúc này, mô hình ñược phát biểu dưới dạng bài toán quy hoạch ñộng như sau:
f
i
(x
i
) =
i



∫
(*),
∀ i =1, 2, , N và f
N+1
(y
N
- D) ≡ 0 (ñây là quy trình tính toán lùi).
Các biến x
i
(lượng hàng tồn ñọng từ chu kì trước) có thể nhận giá trị âm khi chu kì i
- 1 cho phép nợ hàng. y
i
= x
i
+ z
i
, với z
i
là

lượng ñặt hàng trong chu kì i. Hình VII.8 sau
ñây minh họa quá trình ñiều khiển dựa trên quy hoạch ñộng cho mô hình ñang xét.

x
1
//

//


Hình VII.8. Áp dụng quy hoạch ñộng cho mô hình N chu kì
Giải thích phương trình truy toán (*):
− c(y
i
-x
i
) là chi phí mua hàng khi ñặt mua lượng hàng z
i
.
−
i
y
i
0
[rD h(y D)]f(D)dD
− −
∫
là lợi nhuận thu ñược với ñiều kiện D ≤ y
i
.
−
i
i i i
y
[ry r(D y ) p(D y )]f(D)dD
∞
+α − − −
∫
là lợi nhuận thu ñược với ñiều kiện D > y

≥

− − + − −


∫

+
y
[ry r(D y) p(D y)]f (D)dD
∞
+ α − − −
∫
+
0
f (y D)f (D)dD
∞

α −


∫
(**).
Trong (**), x và y là các mức hàng trước và sau khi ñặt hàng trong mỗi chu kì (nếu
không ñặt hàng thì x = y. ðể tìm giá trị tối ưu của y*, chúng ta xét ñiều kiện ñạo hàm
bậc nhất bằng 0:
(.)
y
∂
∂


y
0
p (1 )(r c)
f (D)dD
p h (1 )r
∗
+ − α −
=
+ + −α
∫
.
Chính sách về ñặt hàng tối ưu là: Nếu x < y* thì ñặt lượng hàng là y* - x. Nếu trái
lại thì không cần ñặt hàng.
Ngoài ra, cũng có thể chứng minh ñược ñịnh lí sau ñây.
ðịnh lí 1: Xét mô hình xác suất với số chu kì hữu hạn N với các giả thiết ñã nêu.
Lúc ñó, các lượng hàng
i
y
∗
tối ưu cho mỗi chu kì i phải thỏa mãn:

N N 1 i 1
y y y y y
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
−
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
với y* là giá trị tương ứng tìm ñược ở trên cho mô
hình với số chu kì vô hạn.
b. Không cho phép nợ hàng, thời gian dẫn hàng bằng 0

i i
y
[ry p(D y )]f (D)dD
∞
− −
∫
+
i
i
y
i 1 i i 1
0 y
f (y D)f (D)dD f (0)f (D)dD
∞
+ +

 

α − +
 

 
 

∫ ∫

∀ i =1, 2, , N và f
N+1
≡ 0.
Phương trình truy toán trên có thể giải ñược bằng quy hoạch ñộng nhưng ñồi hỏi

 

 
 

∫ ∫
.
Cho ñạo hàm theo y bằng 0 và sử dụng tính chất
f (y D)
y
∂ −
∂
= c, chúng ta sẽ có quy
tắc tìm y* (lượng hàng tối ưu trong mỗi chu kì) như sau:

y
0
r p c
f (D)dD
h r p c
∗
+ −
=
+ + −α
∫
.
Ngoài ra, ñịnh lí vẫn còn ñúng với các giả thiết ñã nêu trong mục B.
c. Cho phép nợ hàng, thời gian dẫn hàng khác 0
Giả thiết của mô hình này là: Nếu hợp ñồng ñặt hàng ñược ñưa ra vào chu kì i thì
hàng sẽ về kho vào chu kì i + k, với k > 1. Thời gian dẫn hàng k ñược coi là không ñối

k
-
1
ñã biết. Ta có:
f
i
(y, z
1
, , z
k
-
1
) =
k
k i 1 1 2 k
z 0
0
cz L(y) f (y z D,z , ,z )f(D)dD
Max
∞
+
≥
 
− + + α + −
 
 
∫

∀ i =1, 2, , N với f
N+1

2
z
3
z
k-2

z
k-1

D D
1
D
2
D
k-2

D
k-1

D
k
§Æt hµng

NhËp hµngThêi
gian dÉn hµng = k chu k×
 
α + − −
 
 
 
 
 
∑ ∑

(D là nhu cầu tiêu thụ hàng của chu khì i, D
j
là nhu cầu tiêu thụ hàng của chu kì i + j)
Do các nhu cầu tiêu thụ hàng là ñộc lập và có phân phối xác suất giống nhau, với
cùng hàm mật ñộ là F(D), nên biến ngẫu nhiên tổng s
m
= D + D
1
+ + D
m
-
1
, m = 2, 3, ,

k-1 chính là chính là các tích chập m chiều của D. ðặt f
m
(s
m
) là hàm mật ñộ của s
m
, ta

∑
∫
.
ðể tính doanh thu ròng cho chu kì i + k, ñặt u = y + (z
1
+ + z
k
-
1
) + z
k
và v = u - z
k

= y + (z
1
+ + z
k
-
1
). Do s
k+1
= D + D
1
+ + D
k
là tổng nhu cầu tiêu thụ hàng cho các
chu kì i, i+1, , i + k, nên mức hàng lưu kho và mức hàng thiếu trong chu kì i + k là (u -
s
k+1

Max
∞
+ +
≥
 
− − + α + α −
 
 
∫
.
Theo các ñặt các biểu thức f
i
(y, z
1
, , z
k
-
1
), C
k
và g
i
(v) = g
i
(y + z
1
+ + z
k
-
1

nghĩa như sau:
g(v) =
{
}
k
k 1
u v
c(u v) L (u) E{g(u _ D)}
Max
+
≥
− − + α +α
.
ðể xác ñịnh giá trị tối ưu u* cần giải phương trình:

k /
k 1
(.)
c L (u) c 0
u
+
∂
= − +α + α =
∂
.
Hay u* phải thỏa mãn:

k
u
k 1 k 1 k 1

1
) =
k
y
k i 1 1 2 k
z 0
0
cz L(y) f (y z D,z , ,z )f (D)dD
Max
+
≥

− + + α + −


∫i 1 1 2 k
y
f (z ,z , ,z )f (D)dD
∞
+


α



∫

ạ
n
ñọ
c quan tâm nghiên c
ứ
u.
Nhận xét:
Có th
ể
th
ấ
y r
ằ
ng các mô hình xác su
ấ
t trong qu
ả
n lí hàng d
ự
tr
ữ
khá ph
ứ
c
t
ạ
p. H
ơ
n n
ữ

ả
n lí hàng d
ự
tr
ữ
th
ự
c t
ế
có
ch
ứ
a nhi
ề
u bi
ế
n s
ố
và tham s
ố
c
ầ
n áp d
ụ
ng các k
ĩ
thu
ậ
t mô ph
ỏ

− Dựa vào công thức ñã biết y* =
2KD
C
, hãy chứ
ng minh công th
ứ
c y* =
1
2
1
2KD
R C
, trong
ñ
ó y* là l
ượ
ng
ñặ
t hàng t
ố
i
ư
u (tính b
ằ
ng
ñơ
n v
ị
hàng), còn R là giá
ti

ị
b
ằ
ng USD cho m
ỗ
i l
ầ
n
ñặ
t
hàng có th
ể
tính theo công th
ứ
c sau n
ế
u R ch
ư
a
ñượ
c bi
ế
t:
1
y
∗
=
1
1
2KD

t: D là nhu c
ầ
u tiêu th
ụ
hàng cho c
ả
n
ă
m (tính theo
ñơ
n v
ị
hàng), K là chi phí
ñặ
t
hàng cho m
ộ
t l
ầ
n
ñặ
t hàng, C
1
là chi phí l
ư
u kho/
ñơ
n v
ị
/n

ñơ
n v
ị
hàng), R là giá tì
ề
n m
ộ
t
ñơ
n v
ị
hàng, còn
α
và
β
là các tôc
ñộ
nh
ậ
p hàng và tiêu th
ụ
hàng: y* =
1
2KD
RC (1 / )
−β α
.
Áp dụng:
Tính y* bi
ế

ng mô hình tr
ả
hàng n
ợ
, v
ớ
i các
tham s
ố

ñượ
c
ướ
c tính nh
ư
sau: Nhu c
ầ
u tiêu th
ụ
hàng c
ả
n
ă
m D = 400 ô tô, C = 800
USD là chi phi l
ư
u kho/ô tô/n
ă
m, K = 100 USD là chi phí
ñặ

ợ
hàng t
ố
i
ư
u B* bi
ế
t vi
ệ
c nh
ậ
p hàng vào kho có tính ch
ấ
t t
ứ
c th
ờ
i
Hãy tìm t
ổ
ng chi phí d
ự
tr
ữ
hàng nh
ỏ
nh
ấ
t/n
ă

c tìm y* và
B (nh
ư

ñ
ã bi
ế
t) theo K, D, C và C
/
.
Hướng dẫn:
Trong v
ế
ph
ả
i c
ủ
a công th
ứ
c trên, s
ố
h
ạ
ng th
ứ
nh
ấ
t chính là chi phí l
ư
u


tiêu th
ụ
trong th
ờ
i gian d
ẫ
n hàng X có phân ph
ố
i chu
ẩ
n v
ớ
i
kì v
ọ
ng là 180 và
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n là 30. Hãy cho bi
ế
t c
ử
a hàng c
ầ
n duy trì l
ượ

m b
ả
o các m
ứ
c an toàn d
ị
ch v
ụ
50%,
60%, 70%, 80 %, 90%, 95%, 96%, 97%, 98%, 99%, 99,9% n
ế
u bi
ế
t chi phí l
ư
u
kho/
ñơ
n v
ị
hàng/n
ă
m là 5 USD. Hãy v
ẽ

ñồ
th
ị
chi phí d
ự

ế
t kh
ấ
u, trong
ñ
ó: chi phí
ñặ
t hàng K=
100 USD, chi phí l
ư
u kho/
ñơ
n v
ị
hàng/ngày h = 0,01 USD,
β
= 30 (
ñơ
n v
ị
hàng/ngày), q
= 300; c1= 10 USD; c2 = 8 USD. Hãy tìm l
ượ
ng
ñặ
t hàng t
ố
i
ư
u trong m

a khách
hàng. Qua kh
ả
o sát
ñ
ã bi
ế
t
ñượ
c: Giá nh
ậ
p vào là 20 USD/hòm. Nhu c
ầ
u hàng n
ă
m là
2000 hòm, chi phí
ñặ
t hàng là 50 USD cho m
ộ
t l
ầ
n còn chi phí l
ư
u kho/
ñơ
n v
ị
hàng/n
ă

ưỡ
ng chi
ế
t kh
ấ
u q = 500 (t
ứ
c là
v
ớ
i l
ượ
ng
ñặ
t hàng t
ừ
500 hòm tr
ở
lên thì giá nh
ậ
p vào là 19,40 USD/hòm) và chi
ế
t
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học
……………………………… 230kh
ấ
u 6% v

t hàng t
ố
i
ư
u.
−
−−
−
Hãy xác
ñị
nh l
ạ
i l
ượ
ng
ñặ
t hàng t
ố
i
ư
u v
ớ
i các
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
ở

ả
ng tính tr
ự
c ti
ế
p. Tr
ướ
c h
ế
t tính
1
y
∗

và
2
y
∗
. là các l
ượ
ng
ñặ
t hàng t
ố
i
ư
u khi không có giá chi
ế
t kh
ấ

ầ
n so sánh chi phí d
ự

tr
ữ
hàng cho các tr
ườ
ng h
ợ
p
ñặ
t hàng v
ớ
i l
ượ
ng
ñặ
t hàng q và
1
y
∗
. L
ượ
ng
ñặ
t hàng t
ố
i
ư

t quy trình s
ả
n xu
ấ
t v
ớ
i t
ố
c
ñộ
tiêu th
ụ

hàng
ñượ
c coi là h
ằ
ng s
ố
. Ngoài ra, gi
ả
s
ử
r
ằ
ng tình tr
ạ
ng thi
ế
u hàng không x

i
), chi phí l
ư
u kho/
ñơ
n v
ị
hàng/
ñơ
n v
ị
th
ờ
i gian (h
i
) và nhu c
ầ
u tiêu
th
ụ
hàng cho m
ộ
t n
ă
m (D
i
)
ñ
ã
ñượ

ầ
n
ñặ
t hàng cho t
ừ
ng lo
ạ
i hàng, bi
ế
t
t
ổ
ng s
ố
l
ầ
n
ñặ
t hàng cho c
ả
b
ố
n m
ặ
t hàng không
ñượ
c v
ượ
t quá 200 l
ầ

i
1 100 10 0,1 10000
2 50 20 0,2 5000
3 90 5 0,2 7500
3 20 10 0,1 5000
−
−−
− Hãy tìm lượng ñặt hàng tối ưu trong mỗi lần ñặt hàng cho từng loại hàng, biết
lượng hàng trung bình (cả bốn mặt hàng) không thể vượt quá 10000 USD trong bất cứ
thời ñiểm nào. Ngoài ra cũng cho biết các chi phí mua hàng/ñơn vị hàng là c
i
= 10, 5, 10
và 10 USD cho các mặt hàng i = 1, 2, 3, 4.
Hướng dẫn: Xét ñiều kiện ràng buộc
4
i i
i 1
(c y ) 10000
=
× ≤
∑
.